Impulzív jelenségek modelljei|Digitális Tankönyvtár

Főoldal > Tankönyvtár > Könyvek > Természettudományok > Matematika

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

Beágyazás

5.6. A visszaverődés jelensége

A rögzített időpillanatokban ható impulzusoknál azt tapasztaltuk, hogy minden egyes impulzus legfeljebb egyszer hat, mivel a rendszer megoldásai minden

[D]

t i pillanaton túljutnak, ha ekkor létezik a rendszer differenciálegyenletének a megoldása. Ha

[D]

lim i › ? ? t i = ? , akkor a csupán véges intervallumra való folytathatóságát nem okozhatják az impulzusok. Általánosabb impulzusok esetén más a helyzet.

Előfordulhat, hogy egy megoldás többször is teljesíti ugyanazt az

[D]

S i ( t , x ? ( t ) ) = 0 feltételt, azaz erről a felületről „visszapattan”. Ez a tulajdonság függ a magától a megoldástól is. Ezt a jelenséget nevezzük visszaverődésnek vagy pulzációnak. Az alábbiakban néhány érdekes példán keresztül mutatjuk be a jelenséget. Egy rendszeren belül is előfordulhat visszaverődés és továbbhaladás.

Visszaverődés és továbbhaladás együtt

5.6.1. Példa.

Tekintsük az alábbi egyszerű rendszert:

[D]

x ' = 0 , ha ? S i ? ( t , x ? ( ? - 0 ) ) ? 0 , x ? ( ? + 0 ) = | x ? ( ? - 0 ) | ? sign ? ( x ? ( ? - 0 ) ) , ha ? S ? ( t , x ? ( ? - 0 ) ) = 0 ,

(5.6.1)

ahol

[D]

S ? ( t , x ) = sin ? ( ? ? ( t - x ) ) , ha

[D]

| x | ? 1 és legyen

[D]

S ? ( t , x ) = 1 egyébként. Nyilvánvaló, hogy

[D]

? i ( x ) = i + x , ha

[D]

| x | ? 1

[D]

( i = 1 , 2 , 3 , ... ) . Belátható, hogy a különböző kezdeti értékekből induló megoldások különbözőképpen viselkednek:

Ha

[D]
| x 0 | ///>/// 1 , akkor a megoldásokra nem hat impulzus.
Ha

[D]
| x 0 | = 1 vagy

[D]
x 0 = 0 , akkor a megoldásokra ható impulzus azonosság.
Ha

[D]
0 ///</// x 0 ///</// 1 , akkor a megoldásokra végtelen sok impulzus hat a

[D]
? i pillanatokban,

[D]
lim i › ? ? i = 1 , és

[D]
lim i › ? x ? ( ? i ± 0 ) = 1 .
Ha

[D]
- 1 ///</// x 0 ///</// 0 , akkor a megoldásokra végtelen sok impulzus hat a

[D]
? i pillanatokban,

[D]
lim i › ? ? i = ? , és

[D]
lim i › ?

[D]
x ? ( ? i ± 0 ) = 1.

Vizsgáljuk meg a megoldásokat azIDERKSolveprogram segítségével.

[D]

xdot = { 0 } ; xvar = { x } ; t0 = 0 ; t1 = 4 ; dt = 0.01 ; x1 = - 2 ; x2 = 2 ;

[D]

init = { { - 1 } , { - 1.5 } , { - 0.1 } , { 1 } , { 1.5 } , { 0.1 } } ;

[D]

S [ t_ , x_ ] := Which [ Abs [ x ] ///</// 1 , Sin [ ? ? ( t - x ) ] , True , 1 ] ;

[D]

Impulse = { { S [ t , x ] , { Abs [ x ] ? Sign [ x ] } , 1 } } ;

Ábrázoljuk az S halmazt és az impulzus S-re gyakorolt hatását:

[D]

JumpPlot [ S [ t , x ] , Impulse [ [ 1 , 2 ] ] , { t , t0 , t1 } , { x , x1 , x2 } , PlotPoints › 100 , ContourStyle › { Thickness [ 0.015 ] } ] ;

Az S halmaz egyenes szakaszokból áll (a t-tengellyel párhuzamos vonalakat az ábrázolási korlátok eredményezik). Oldjuk meg a rendszert:

[D]

sol1 = IDERKSolve [ xdot , Impulse , xvar , init , { t , 0 , t1 , dt } ] ;

Ábrázoljuk a megoldásokat és az

[D]

S ? ( t , x ) = 0 halmazt együttesen:

[D]

plt1 = ListPlot1 [ sol1 , PlotJoined › True , GridLines › Automatic , PlotStyle › { Thickness [ 0.01 ] } ] ;

[D]

plt2 = ContourPlot [ S [ t , x ] , { t , t0 , t1 } , { x , x1 , x2 } , Contours › { 0 } , PlotPoints › 100 , ContourShading › False ] ;

[D]

Show [ plt1 , plt2 ] ;

Mindkét ábrán jól látható, hogy visszaverődés a

[D]

0 ///</// x ///</// 1 értékekre következik be. Ennek oka, hogy az impulzus hatására a megoldás visszapattan, nem tud áthaladni az

[D]

S ? ( t , x ) = 0 felület másik oldalára. Általában, amikor a megoldások korlátlan folytathatóságára van szükség, akkor ezt a jelenséget el kell elkerülni.

5.6.2. Példa. Még több érdekesség

Az előbbihez hasonló konstrukcióval még érdekesebb rendszert kaphatunk:

[D]

x ' = 0 , ha ? S ? ( t , x ? ( ? - 0 ) ) ? 0 , x ? ( ? + 0 ) = x ? ( ? - 0 ) 2 ? sign ? ( x ? ( ? - 0 ) ) , ha ? S ? ( t , x ? ( ? - 0 ) ) = 0 ,

(5.6.2)

ahol

[D]

S ? ( t , x ) = sin ? ( ? ? ( t - x ) ) , ha

[D]

| x | ? 1 . A rendszer más alakban is megadható:

[D]

x ' = 0 , ha t ? ? i ( x ) , x ? ( ? + 0 ) = x ? ( ? - 0 ) 2 ? sign ? ( x ? ( ? - 0 ) ) , ha t = ? i ( x ) ? ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) ,

ahol

[D]

? i ( x ) = x + 6 ? i , ha

[D]

| x | ? 3 .

[D]

xvar = { x } ; xdot = { 0 } ; t0 = 0 ; t1 = 8 ; dt = 0.01 ; x1 = - 2 ; x2 = 2 ;

[D]

init = { { - 1 } , { - 1.1 } , { - 0.9 } , { 1 } , { 1.1 } , { 0.9 } } ;

[D]

S [ t_ , x_ ] := Which [ Abs [ x ] ///</// 2 , Sin [ 1 2 ? ? ? ( t - x ) ] , True , 1 ] ;

$Impulse={{S[t,x],{x^2Sign[x]},1}};$

[D]

Impulse = { { S [ t , x ] , { x 2 ? Sign [ x ] } , 1 } } ;

Ábrázoljuk az S halmazt és az impulzus S-re gyakorolt hatását:

[D]

JumpPlot [ S [ t , x ] , Impulse [ [ 1 , 2 ] ] , { t , t0 , t1 } , { x , x1 , x2 } , PlotPoints › 100 , ContourStyle › { Thickness [ 0.015 ] } ] ;

Jól láthatók a visszaverődések és az impulzusok fixpontjai is. Oldjuk meg a rendszert:

[D]

sol1 = IDERKSolve [ xdot , Impulse , xvar , init , { t , t0 , t1 , dt } ] ;

Ábrázoljuk a megoldásokat és az

[D]

S ? ( t , x ) = 0 halmazt együttesen:

[D]

plt1 = ListPlot1 [ sol1 , PlotJoined › True , GridLines › Automatic , PlotStyle › { Thickness [ 0.01 ] } ] ;

[D]

plt2 = ContourPlot [ S [ t , x ] , { t , t0 , t1 } , { x , - 2 , 2 } , Contours › { 0 } , PlotPoints › 90 , ContourShading › False ] ;

[D]

Show [ plt1 , plt2 ] ;

Belátható, hogy a különböző kezdeti értékekből induló megoldások eltérően viselkednek:

Ha

[D]
| x 0 | ///>/// 2 , akkor a megoldásokra nem hat impulzus.
Ha

[D]
1 ///</// x 0 ///</// 2 , akkor a megoldásokra véges sok impulzus hat ugyanazon a felületen.
Ha

[D]
- 2 ///</// x 0 ///</// - 1 , akkor a megoldásokra véges sok impulzus hat különböző a felületeken.
Ha |

[D]
x 0 | = 1 vagy

[D]
x 0 = 0 akkor a megoldásokra ható impulzus azonosság.
Ha

[D]
0 ///</// x 0 ///</// 1 , akkor a megoldásokra végtelen sok impulzus hat a

[D]
? i pillanatokban,

[D]
lim i › ? ? i = ? , és

[D]
lim i › ? x ? ( ? i ± 0 ) = 0 .
Ha

[D]
- 1 ///</// x 0 ///</// 0 , akkor a megoldásokra végtelen sok impulzus hat a

[D]
? i pillanatokban,

[D]
lim i › ? ? i = 2 , és

[D]
lim i › ? x ? ( ? i ± 0 ) = 0 .

Egy érdekes autonóm rendszer

5.6.3. Példa.

Tekintsük az

[D]

x ' = - x , y ' = - ? ? y

autonóm 2D differenciálegyenlet-rendszert, és tételezzük fel, hogy

[D]

x , y ? 0 . Ismert, hogy a rendszer trajektóriái a síkon

[D]

y = C ? x ? formulával leírható görbék, amelyeknél a mozgás az origó felé mutat. Hasson erre a rendszerre az alábbi impulzus. Ha a trajektória eléri az

$MM={{x,y}:5x^2+y^2=8}$

[D]

MM = { { x , y } : 5 ? x 2 + y 2 = 8 }

ellipszist, akkor sugárirányban ugorjon át az

$NN={{x,y}:x^2+y^2=4}$

[D]

NN = { { x , y } : x 2 + y 2 = 4 }

ellipszisre. Az olvasó további részleteket és irodalmi hivatkozásokat Samoilenko és Perestyuk [25], valamint Bainov és Simeonov [1,3] könyvében talál. Egy kis számolás után felírhatjuk az impulzusfüggvényt explicit alakban is:

$x'=–x, y'=–?y, ha {x(t–0),y(t–0)}?^_MM {x(t+0),y(t+0)}={(x(t–0)/?(2–x(t–0)^2)),(y(t–0)/?(2–x(t–0)^2))}, ha {x(t–0),y(t–0)}?MM.$

[D]

x ' = - x , y ' = - ? ? y , ha { x ? ( t - 0 ) , y ? ( t - 0 ) } ? ? _ ? MM { x ? ( t + 0 ) , y ? ( t + 0 ) } = { x ? ( t - 0 ) 2 - x ? ( t - 0 ) 2 , y ? ( t - 0 ) 2 - x ? ( t - 0 ) 2 } , ha { x ( t - 0 ) , y ? ( t - 0 ) } ? MM .

Definiáljuk a rendszert és ábrázoljuk az impulzusok hatását:

[D]

xyvar = { x , y } ; xydot := { - x , - ? ? y } ; t0 = 0 ; t1 = 3 ; dt = 0.005 ;

[D]

MM = 5 ? x 2 + y 2 - 8 == 0 ; NN = x 2 + y 2 == 4 ;

[D]

x1 = 0 ; x2 = 3 ; y1 = 0 ; y2 = 4 ;

$Impulse={{MM[[1]],{(x/?(2–x^2)),(y/?(2–x^2))},1}};$

[D]

Impulse = { { MM [ 1 ] , { x 2 - x 2 , y 2 - x 2 } , 1 } } ;

[D]

splt = ImplicitPlot [ { MM , NN } , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , PlotStyle › { RGBColor [ 1 , 0 , 0 ] , RGBColor [ 0 , 0 , 1 ] } ] ;

[D]

AutonomousJumpPlot2D [ MM [ 1 ] , Impulse [ 1 , 2 ] , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , PlotPoints › 17 , AspectRatio › Automatic , ContourStyle › { Thickness [ 0.014 ] } , PlotRange › All ] ;

Az MM és NN görbe az

[D]

{ 1 , 3 } pontban metszik egymást. Az ezen a ponton áthaladó

[D]

y = 3 ? x ? alakú trajektóriára nem hat impulzus.

$initsep:={x0,?3x0^?}/.x0›1.5;$

[D]

initsep := { x0 , 3 ? x0 ? } /. ? x0 › 1.5 ;

Ha egy trajektória az MM görbét valamely

[D]

x ///</// 1 tulajdonságú pontban metszi, akkor csak egyszer hat rá impulzus, mivel itt az NN görbe az MM belsejében van. Ha a trajektória és az MM találkozási pontjára

[D]

x ///>/// 1 , akkor innen kifelé pattan az NN görbére. Ezért az ilyen trajektóriákra végtelen sokszor hat impulzus. Az is látható, hogy ha

[D]

y ? 0 , akkor a megoldás periodikus. Ha a rendszerben

[D]

? = 1 , akkor a trajektóriák félegyenesek. Mindegyik olyan trajektória csapdába esik és periodikusan folytatódik, amelyik az MM görbét

[D]

x ///>/// 1 koordinátájú pontban metszi. Oldjuk meg a rendszert, és ábrázoljuk a trajektóriákat az ? különböző értékeire.

[D]
? = 1.5 eset

[D]

? = 1.5 ; init = { initsep , { 0.5 , 3 } , { 2 , 3 } } ;

[D]

sol = IDERKSolve [ xydot , Impulse , xyvar , init , { t , t0 , t1 , dt } ] ;

Ábrázoljuk a trajektóriákat, az MM és NN halmazokat együttesen:

[D]

trplt = ( ListPlot [ Coordinate [ #1 , { 2 , 3 } ] , PlotJoined › True ] ///&/// ) /@ sol ;

[D]

Show [ splt , trplt ] ;

Az ábrából sejthető, hogy az MM és NN görbék között oszcilláló trajektóriák monoton közelednek az x tengelybe eső periodikus trajektóriához. Ábrázoljuk ennek a trajektóriának az x koordinátáját:

[D]

solplt = ListPlot [ Coordinate [ sol [ 3 ] , { 1 , 2 } ] , PlotJoined › True , GridLines › Automatic , PlotStyle › { Thickness [ 0.01 ] } ] ;

Az egyes impulzusok közt eltelt idő láthatóan növekszik, tehát a trajektóriák képét is felhasználva sejthetjük, hogy az ilyen jellegű megoldások aszimptotikusan periodikusak és a periodikus trajektóriához tartanak.

[D]
? = 1 eset

Használjuk az előző eset programját a megoldáshoz és ábrázoláshoz az alábbi adatokkal, majd ábrázoljuk a trajektóriákat:

[D]

? = 1. ; init = { initsep , { 0.5 , 3 } , { 2 , 2 } , { 2 , 1 } } ;

Az ábra alapján nehéz látni, hogy a „csapdába” esett trajektóriák periodikusak. Ábrázoljuk egyikük x-koordinátáját:

A csúcsok helyének változása a lépésköz megválasztása miatti hibából adódik.

[D]
? = 0.3 eset

A megoldás és ábrázolás paraméterei most:

[D]

? = 0.3 ; init = { initsep , { 2 , 3 } , { 2 , 0.3 } } ;

Ábrázoljuk a trajektóriákat, az MM és NN halmazokat együttesen:

Az ábrából sejthető, hogy az MM és NN görbék között oszcilláló trajektóriák monoton távolodnak az x-tengelybe eső periodikus trajektóriától, és közelednek a két görbe

[D]

{ 1 , 3 } metszéspontjához. Annak megválaszolását, hogy a trajektória véges idő alatt eléri-e ezt a pontot, a feladatok között az olvasóra bízzuk. Segítségül, ábrázoljuk ennek a trajektóriának az x koordinátáját: