5.6. A visszaverődés jelensége
A rögzített időpillanatokban ható impulzusoknál azt tapasztaltuk, hogy minden egyes impulzus legfeljebb egyszer hat, mivel a rendszer megoldásai minden
t
i
pillanaton túljutnak, ha ekkor létezik a rendszer differenciálegyenletének a megoldása. Ha
lim
i
›
?
?
t
i
=
?
,
akkor a csupán véges intervallumra való folytathatóságát nem okozhatják az impulzusok. Általánosabb impulzusok esetén más a helyzet.
Előfordulhat, hogy egy megoldás többször is teljesíti ugyanazt az
S
i
(
t
,
x
?
(
t
)
)
=
0
feltételt, azaz erről a felületről „visszapattan”. Ez a tulajdonság függ a magától a megoldástól is. Ezt a jelenséget nevezzük visszaverődésnek vagy pulzációnak. Az alábbiakban néhány érdekes példán keresztül mutatjuk be a jelenséget. Egy rendszeren belül is előfordulhat visszaverődés és továbbhaladás.
Visszaverődés és továbbhaladás együtt
5.6.1. Példa.
Tekintsük az alábbi egyszerű rendszert:
ahol
S
?
(
t
,
x
)
=
sin
?
(
?
?
(
t
-
x
)
)
, ha
|
x
|
?
1
és legyen
S
?
(
t
,
x
)
=
1
egyébként. Nyilvánvaló, hogy
?
i
(
x
)
=
i
+
x
, ha
|
x
|
?
1
(
i
=
1
,
2
,
3
,
...
)
. Belátható, hogy a különböző kezdeti értékekből induló megoldások különbözőképpen viselkednek:
Vizsgáljuk meg a megoldásokat az
IDERKSolve
program segítségével.
xdot
=
{
0
}
;
xvar
=
{
x
}
;
t0
=
0
;
t1
=
4
;
dt
=
0.01
;
x1
=
-
2
;
x2
=
2
;
init
=
{
{
-
1
}
,
{
-
1.5
}
,
{
-
0.1
}
,
{
1
}
,
{
1.5
}
,
{
0.1
}
}
;
S
[
t_
,
x_
]
:=
Which
[
Abs
[
x
]
///<///
1
,
Sin
[
?
?
(
t
-
x
)
]
,
True
,
1
]
;
Impulse
=
{
{
S
[
t
,
x
]
,
{
Abs
[
x
]
?
Sign
[
x
]
}
,
1
}
}
;
Ábrázoljuk az S halmazt és az impulzus S-re gyakorolt hatását:
JumpPlot
[
S
[
t
,
x
]
,
Impulse
[
[
1
,
2
]
]
,
{
t
,
t0
,
t1
}
,
{
x
,
x1
,
x2
}
,
PlotPoints
›
100
,
ContourStyle
›
{
Thickness
[
0.015
]
}
]
;
Az S halmaz egyenes szakaszokból áll (a t-tengellyel párhuzamos vonalakat az ábrázolási korlátok eredményezik). Oldjuk meg a rendszert:
sol1
=
IDERKSolve
[
xdot
,
Impulse
,
xvar
,
init
,
{
t
,
0
,
t1
,
dt
}
]
;
Ábrázoljuk a megoldásokat és az
S
?
(
t
,
x
)
=
0
halmazt együttesen:
plt1
=
ListPlot1
[
sol1
,
PlotJoined
›
True
,
GridLines
›
Automatic
,
PlotStyle
›
{
Thickness
[
0.01
]
}
]
;
plt2
=
ContourPlot
[
S
[
t
,
x
]
,
{
t
,
t0
,
t1
}
,
{
x
,
x1
,
x2
}
,
Contours
›
{
0
}
,
PlotPoints
›
100
,
ContourShading
›
False
]
;
Show
[
plt1
,
plt2
]
;
Mindkét ábrán jól látható, hogy visszaverődés a
0
///<///
x
///<///
1
értékekre következik be. Ennek oka, hogy az impulzus hatására a megoldás visszapattan, nem tud áthaladni az
S
?
(
t
,
x
)
=
0
felület másik oldalára. Általában, amikor a megoldások korlátlan folytathatóságára van szükség, akkor ezt a jelenséget el kell elkerülni.
5.6.2. Példa.
Még több érdekesség
Az előbbihez hasonló konstrukcióval még érdekesebb rendszert kaphatunk:
ahol
S
?
(
t
,
x
)
=
sin
?
(
?
?
(
t
-
x
)
)
, ha
|
x
|
?
1
. A rendszer más alakban is megadható:
ahol
?
i
(
x
)
=
x
+
6
?
i
, ha
|
x
|
?
3
.
xvar
=
{
x
}
;
xdot
=
{
0
}
;
t0
=
0
;
t1
=
8
;
dt
=
0.01
;
x1
=
-
2
;
x2
=
2
;
init
=
{
{
-
1
}
,
{
-
1.1
}
,
{
-
0.9
}
,
{
1
}
,
{
1.1
}
,
{
0.9
}
}
;
S
[
t_
,
x_
]
:=
Which
[
Abs
[
x
]
///<///
2
,
Sin
[
1
2
?
?
?
(
t
-
x
)
]
,
True
,
1
]
;
Impulse
=
{
{
S
[
t
,
x
]
,
{
x
2
?
Sign
[
x
]
}
,
1
}
}
;
Ábrázoljuk az S halmazt és az impulzus S-re gyakorolt hatását:
JumpPlot
[
S
[
t
,
x
]
,
Impulse
[
[
1
,
2
]
]
,
{
t
,
t0
,
t1
}
,
{
x
,
x1
,
x2
}
,
PlotPoints
›
100
,
ContourStyle
›
{
Thickness
[
0.015
]
}
]
;
Jól láthatók a visszaverődések és az impulzusok fixpontjai is. Oldjuk meg a rendszert:
sol1
=
IDERKSolve
[
xdot
,
Impulse
,
xvar
,
init
,
{
t
,
t0
,
t1
,
dt
}
]
;
Ábrázoljuk a megoldásokat és az
S
?
(
t
,
x
)
=
0
halmazt együttesen:
plt1
=
ListPlot1
[
sol1
,
PlotJoined
›
True
,
GridLines
›
Automatic
,
PlotStyle
›
{
Thickness
[
0.01
]
}
]
;
plt2
=
ContourPlot
[
S
[
t
,
x
]
,
{
t
,
t0
,
t1
}
,
{
x
,
-
2
,
2
}
,
Contours
›
{
0
}
,
PlotPoints
›
90
,
ContourShading
›
False
]
;
Show
[
plt1
,
plt2
]
;
Belátható, hogy a különböző kezdeti értékekből induló megoldások eltérően viselkednek:
Egy érdekes autonóm rendszer
5.6.3. Példa.
Tekintsük az
autonóm 2D differenciálegyenlet-rendszert, és tételezzük fel, hogy
x
,
y
?
0
. Ismert, hogy a rendszer trajektóriái a síkon
y
=
C
?
x
?
formulával leírható görbék, amelyeknél a mozgás az origó felé mutat. Hasson erre a rendszerre az alábbi impulzus. Ha a trajektória eléri az
ellipszist, akkor sugárirányban ugorjon át az
ellipszisre. Az olvasó további részleteket és irodalmi hivatkozásokat Samoilenko és Perestyuk [25], valamint Bainov és Simeonov [1,3] könyvében talál. Egy kis számolás után felírhatjuk az impulzusfüggvényt explicit alakban is:
Definiáljuk a rendszert és ábrázoljuk az impulzusok hatását:
xyvar
=
{
x
,
y
}
;
xydot
:=
{
-
x
,
-
?
?
y
}
;
t0
=
0
;
t1
=
3
;
dt
=
0.005
;
MM
=
5
?
x
2
+
y
2
-
8
==
0
;
NN
=
x
2
+
y
2
==
4
;
x1
=
0
;
x2
=
3
;
y1
=
0
;
y2
=
4
;
Impulse
=
{
{
MM
[
1
]
,
{
x
2
-
x
2
,
y
2
-
x
2
}
,
1
}
}
;
splt
=
ImplicitPlot
[
{
MM
,
NN
}
,
{
x
,
x1
,
x2
}
,
{
y
,
y1
,
y2
}
,
PlotStyle
›
{
RGBColor
[
1
,
0
,
0
]
,
RGBColor
[
0
,
0
,
1
]
}
]
;
AutonomousJumpPlot2D
[
MM
[
1
]
,
Impulse
[
1
,
2
]
,
{
x
,
x1
,
x2
}
,
{
y
,
y1
,
y2
}
,
PlotPoints
›
17
,
AspectRatio
›
Automatic
,
ContourStyle
›
{
Thickness
[
0.014
]
}
,
PlotRange
›
All
]
;
Az MM és NN görbe az
{
1
,
3
}
pontban metszik egymást. Az ezen a ponton áthaladó
y
=
3
?
x
?
alakú trajektóriára nem hat impulzus.
initsep
:=
{
x0
,
3
?
x0
?
}
/.
?
x0
›
1.5
;
Ha egy trajektória az MM görbét valamely
x
///<///
1
tulajdonságú pontban metszi, akkor csak egyszer hat rá impulzus, mivel itt az NN görbe az MM belsejében van. Ha a trajektória és az MM találkozási pontjára
x
///>///
1
, akkor innen kifelé pattan az NN görbére. Ezért az ilyen trajektóriákra végtelen sokszor hat impulzus. Az is látható, hogy ha
y
?
0
,
akkor a megoldás periodikus. Ha a rendszerben
?
=
1
, akkor a trajektóriák félegyenesek. Mindegyik olyan trajektória csapdába esik és periodikusan folytatódik, amelyik az MM görbét
x
///>///
1
koordinátájú pontban metszi. Oldjuk meg a rendszert, és ábrázoljuk a trajektóriákat az ? különböző értékeire.
?
=
1.5
eset
?
=
1.5
;
init
=
{
initsep
,
{
0.5
,
3
}
,
{
2
,
3
}
}
;
sol
=
IDERKSolve
[
xydot
,
Impulse
,
xyvar
,
init
,
{
t
,
t0
,
t1
,
dt
}
]
;
Ábrázoljuk a trajektóriákat, az MM és NN halmazokat együttesen:
trplt
=
(
ListPlot
[
Coordinate
[
#1
,
{
2
,
3
}
]
,
PlotJoined
›
True
]
///&///
)
/@
sol
;
Show
[
splt
,
trplt
]
;
Az ábrából sejthető, hogy az MM és NN görbék között oszcilláló trajektóriák monoton közelednek az x tengelybe eső periodikus trajektóriához. Ábrázoljuk ennek a trajektóriának az x koordinátáját:
solplt
=
ListPlot
[
Coordinate
[
sol
[
3
]
,
{
1
,
2
}
]
,
PlotJoined
›
True
,
GridLines
›
Automatic
,
PlotStyle
›
{
Thickness
[
0.01
]
}
]
;
Az egyes impulzusok közt eltelt idő láthatóan növekszik, tehát a trajektóriák képét is felhasználva sejthetjük, hogy az ilyen jellegű megoldások aszimptotikusan periodikusak és a periodikus trajektóriához tartanak.
?
=
1
eset
Használjuk az előző eset programját a megoldáshoz és ábrázoláshoz az alábbi adatokkal, majd ábrázoljuk a trajektóriákat:
?
=
1.
;
init
=
{
initsep
,
{
0.5
,
3
}
,
{
2
,
2
}
,
{
2
,
1
}
}
;
Az ábra alapján nehéz látni, hogy a „csapdába” esett trajektóriák periodikusak. Ábrázoljuk egyikük x-koordinátáját:
A csúcsok helyének változása a lépésköz megválasztása miatti hibából adódik.
?
=
0.3
eset
A megoldás és ábrázolás paraméterei most:
?
=
0.3
;
init
=
{
initsep
,
{
2
,
3
}
,
{
2
,
0.3
}
}
;
Ábrázoljuk a trajektóriákat, az MM és NN halmazokat együttesen:
Az ábrából sejthető, hogy az MM és NN görbék között oszcilláló trajektóriák monoton távolodnak az x-tengelybe eső periodikus trajektóriától, és közelednek a két görbe
{
1
,
3
}
metszéspontjához. Annak megválaszolását, hogy a trajektória véges idő alatt eléri-e ezt a pontot, a feladatok között az olvasóra bízzuk. Segítségül, ábrázoljuk ennek a trajektóriának az x koordinátáját:
Feladatok
5.6.1. Feladat.
A kísérletek alapján bizonyítsuk be, hogy az utolsó példában szereplő autonóm rendszernél
?
///>///
1
esetén az MM és NN görbék között oszcilláló trajektóriák az x-tengelybe eső periódikus trajektóriához tartanak, ha
t
›
?
.
5.6.2. Feladat.
Láttuk, hogy
?
///>///
1
esetén az oszcilláló trajektóriák nem érhetik el véges idő alatt a periódikus trajektóriát. Sejtéseink alapján vizsgáljuk meg, hogy a
0
///<///
?
///<///
1
esetben elérhetik-e véges idő alatt az MM és NN görbék
{
1
,
3
}
metszéspontját.