Tekintsünk most egy tetszőleges impulzív rendszert, amelynek a 
t
0
pillanatban valamely 
H
0
?
R
n
halmaz elemeiből induló 
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
megoldásai léteznek valamely 
[
t
0
,
T
)
intervallumon. Ugyanúgy, mint a differenciálegyenletek esetén, ezek a megoldások egy 
H
0
›
R
n
leképezést (fázisleképezést) generálnak minden egyes 
t
?
[
t
0
,
T
)
esetén az alábbi formulával:
A 
?
t
,
t
0
(
H
0
)
=
{
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
,
x
0
?
H
0
}
fázisképek tulajdonságainak t-ben való változása, a 
H
0
halmaztól való függése számos értékes információt adhat az adott rendszer viselkedésével kapcsolatosan. Ezen halmazok mértékének elemzésére alkalmas a fázistérfogat módszer, amivel majd a 9. fejezetben foglalkozunk.
A 
?
t
,
t
0
fázisleképezés tulajdonságait a megoldások kezdeti értékektől való függése határozza meg. A különböző típusú impulzív rendszereknél láttuk, hogy bizonyos regularitási feltételek teljesülése mellett valamely megfelelő tulajdonságú kezdeti 
H
0
halmazon a megoldások rögzített 
t
?
és
?
t
0
értékek esetén folytonosan függnek az 
x
0
kezdeti állapottól. Ezért a 
?
t
,
t
0
leképezés ezen rendszerekre minden rögzített t és 
t
0
esetén folytonos. Kiemeljük, hogy általános impulzusok esetén a folytonosság erősen függ a kezdeti értékektől az esetleges visszaverődések és az impulzusok időpontjának megoldásoktól való függése miatt. Ezért a 
?
t
,
t
0
(
H
0
)
fázisképek globális tulajdonságainak a vizsgálata ezekben az esetekben igen bonyolult lehet. Ilyen problémák nem merülnek fel a rögzített pillanatokban ható impulzusok esetén, ezért a fázisképek vizsgálata ezeknél a rendszereknél igazán hatékony. A módszer más rendszerek (például differenciaegyenletek) esetén is jól alkalmazható, ezért a következő pontban egy általánosabb áttekintést adunk.
Általános megfogalmazás
Tekintsük a fázisleképezéseket általánosabb környezetben. Legyen adott a 
?
:
K
×
K
×
R
n
›
R
n
függvény, ahol 
K
?
R
+
. Legyen 
?
?
(
t
,
s
,
x
)
folytonos x-ben minden rögzített t-re és s-re. Speciálisan ilyen függvény valamely közönséges differenciálegyenlet vagy impulzív rendszer (rögzített idejű impulzusokkal) egy 
t
0
pillanatból induló 
x
?
(
t
;
t
0
,
x
0
)
megoldásainak családja. Ekkor 
K
=
R
+
és 
?
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
=
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
, amely kielégíti az 
x
?
(
t
0
,
t
0
,
x
0
)
=
x
0
kezdeti feltételt. Ha 
?
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
=
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
valamely
differenciaegyenlet 
x
?
(
t
0
,
t
0
,
x
0
)
=
x
0
kezdeti feltételt kielégítő megoldása, akkor 
K
=
N
. A harmadik változóban való folytonosság feltétele teljesül valamilyen 
H
0
halmazon, ha ott az 
f
?
(
t
,
·
)
függvény folytonos rögzített t-re.
A 
?
t
,
t
0
:
R
n
›
R
n
fázisleképezés adott 
x
0
ponthoz a 
?
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
pontot rendeli minden egyes 
t
,
t
0
?
K
esetén. Legyen adott valamely megfelelő tulajdonságú 
H
0
?
R
n
halmaz, például egy zárt tartomány. Alkalmazzuk a 
?
t
,
t
0
fázisleképezést a 
H
0
halmazra. Adott 
t
,
t
0
?
K
esetén
A továbbiakban mindig feltételezzük, hogy ha 
H
0
zárt tartomány, akkor
vagyis a fázisleképezés 
H
0
határát a képhalmaz határába képezi. Ez a tulajdonság automatikusan teljesül lineáris rendszereknél, közönséges differenciálegyenleteknél, de egyáltalán nem automatikus a diszkrét rendszerek esetén. Ez a feltétel a nemlineáris rendszerekre vonatkozó elméleti megfontolásoknál is fontos, de alapvető a számítógépes szimulációk során, hiszen valamely halmaz képének alakját a határából indított megoldások képének segítségével rajzoljuk meg. Most síkbeli rendszerek fázisképeinek ábrázolásával foglalkozunk. Tulajdonságaik vizsgálatát az egyes problémák kapcsán végezzük el.
