Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

6. fejezet - A fázisleképezés számítógépes vizsgálata

6. fejezet - A fázisleképezés számítógépes vizsgálata

6.1. Elméleti áttekintés

Tekintsünk most egy tetszőleges impulzív rendszert, amelynek a t_0

t 0 pillanatban valamely H_0?R^n H 0 ? R n halmaz elemeiből induló x(t,t_0, x_0) x ? ( t , t 0 , x 0 ) megoldásai léteznek valamely [t_0,T) [ t 0 , T ) intervallumon. Ugyanúgy, mint a differenciálegyenletek esetén, ezek a megoldások egy H_0›R^n H 0 R n leképezést (fázisleképezést) generálnak minden egyes t?[t_0,T) t ? [ t 0 , T ) esetén az alábbi formulával:

?_(t,t_0)(x_0):=x(t,t_0, x_0). ? t , t 0 ( x 0 ) := x ? ( t , t 0 , x 0 ) . (6.1.1)

A ?_(t,t_0)(H_0)={x(t,t_0,x_0), x_0?H_0}

? t , t 0 ( H 0 ) = { x ? ( t , t 0 , x 0 ) , x 0 ? H 0 } fázisképek tulajdonságainak t-ben való változása, a H_0 H 0 halmaztól való függése számos értékes információt adhat az adott rendszer viselkedésével kapcsolatosan. Ezen halmazok mértékének elemzésére alkalmas a fázistérfogat módszer, amivel majd a 9. fejezetben foglalkozunk.

A ?_(t,t_0)

? t , t 0 fázisleképezés tulajdonságait a megoldások kezdeti értékektől való függése határozza meg. A különböző típusú impulzív rendszereknél láttuk, hogy bizonyos regularitási feltételek teljesülése mellett valamely megfelelő tulajdonságú kezdeti H_0 H 0 halmazon a megoldások rögzített t és t_0 t ? és ? t 0 értékek esetén folytonosan függnek az x_0 x 0 kezdeti állapottól. Ezért a ?_(t,t_0) ? t , t 0 leképezés ezen rendszerekre minden rögzített t és t_0 t 0 esetén folytonos. Kiemeljük, hogy általános impulzusok esetén a folytonosság erősen függ a kezdeti értékektől az esetleges visszaverődések és az impulzusok időpontjának megoldásoktól való függése miatt. Ezért a ?_(t,t_0)(H_0) ? t , t 0 ( H 0 ) fázisképek globális tulajdonságainak a vizsgálata ezekben az esetekben igen bonyolult lehet. Ilyen problémák nem merülnek fel a rögzített pillanatokban ható impulzusok esetén, ezért a fázisképek vizsgálata ezeknél a rendszereknél igazán hatékony. A módszer más rendszerek (például differenciaegyenletek) esetén is jól alkalmazható, ezért a következő pontban egy általánosabb áttekintést adunk.

Általános megfogalmazás

Tekintsük a fázisleképezéseket általánosabb környezetben. Legyen adott a ?:K×K×R^n›R^n

? : K × K × R n R n függvény, ahol K?R_+ K ? R + . Legyen ?(t,s,x) ? ? ( t , s , x ) folytonos x-ben minden rögzített t-re és s-re. Speciálisan ilyen függvény valamely közönséges differenciálegyenlet vagy impulzív rendszer (rögzített idejű impulzusokkal) egy t_0 t 0 pillanatból induló x(t;t_0,x_0) x ? ( t ; t 0 , x 0 ) megoldásainak családja. Ekkor K=R_+ K = R + és ?(t,t_0,x_0)=x(t,t_0,x_0) ? ? ( t , t 0 , x 0 ) = x ? ( t , t 0 , x 0 ) , amely kielégíti az x(t_0,t_0,x_0)=x_0 x ? ( t 0 , t 0 , x 0 ) = x 0 kezdeti feltételt. Ha ?(t,t_0,x_0)=x(t,t_0,x_0) ? ? ( t , t 0 , x 0 ) = x ? ( t , t 0 , x 0 ) valamely

x(t+1)=f(t,x(t))
x ? ( t + 1 ) = f ? ( t , x ? ( t ) )

differenciaegyenlet x(t_0,t_0,x_0)=x_0

x ? ( t 0 , t 0 , x 0 ) = x 0 kezdeti feltételt kielégítő megoldása, akkor K=N K = N . A harmadik változóban való folytonosság feltétele teljesül valamilyen H_0 H 0 halmazon, ha ott az f(t,·) f ? ( t , · ) függvény folytonos rögzített t-re.

A ?_(t,t_0): R^n›R^n

? t , t 0 : R n R n fázisleképezés adott x_0 x 0 ponthoz a ?(t,t_0,x_0) ? ? ( t , t 0 , x 0 ) pontot rendeli minden egyes t, t_0?K t , t 0 ? K esetén. Legyen adott valamely megfelelő tulajdonságú H_0?R^n H 0 ? R n halmaz, például egy zárt tartomány. Alkalmazzuk a ?_(t,t_0) ? t , t 0 fázisleképezést a H_0 H 0 halmazra. Adott t,t_0?K t , t 0 ? K esetén

H_(t,t_0):=?_(t,t_0)(H_0)={x?R^n: x=?(t,t_0,x_0), x_0?H_0}. H t , t 0 := ? t , t 0 ( H 0 ) = { x ? R n : x = ? ? ( t , t 0 , x 0 ) , x 0 ? H 0 } . (6.1.2)

A továbbiakban mindig feltételezzük, hogy ha H_0

H 0 zárt tartomány, akkor

?_(t,t_0)(?H_0)=??_(t,t_0)(H_0), ? t , t 0 ( ? H 0 ) = ? ? t , t 0 ( H 0 ) , (6.1.3)

vagyis a fázisleképezés H_0

H 0 határát a képhalmaz határába képezi. Ez a tulajdonság automatikusan teljesül lineáris rendszereknél, közönséges differenciálegyenleteknél, de egyáltalán nem automatikus a diszkrét rendszerek esetén. Ez a feltétel a nemlineáris rendszerekre vonatkozó elméleti megfontolásoknál is fontos, de alapvető a számítógépes szimulációk során, hiszen valamely halmaz képének alakját a határából indított megoldások képének segítségével rajzoljuk meg. Most síkbeli rendszerek fázisképeinek ábrázolásával foglalkozunk. Tulajdonságaik vizsgálatát az egyes problémák kapcsán végezzük el.