Karsai János
Typotex
A fázisleképezés számítógépes vizsgálata technikailag egyszerű feladat, de impulzív rendszerekben az ugrások értelmezése kezdetben problémákat okozhat. A módszer lépéseit ezért a közönséges differenciálegyenleteken mutatjuk be. Tekintsük az
![]() [D] | (6.2.1) |
differenciálegyenletet. Az egyenlet
[D]
[D]
[D]
Lépések: a lineáris fékezett oszcillátor fázisképei
A módszer lépéseit a jól ismert lineáris fékezett oszcillátor példáján mutatjuk meg (részletesen a 13. fejezetben). Az egyenlet 2D rendszer alakjában
![]() [D] | (6.2.2) |
Ismert, hogy ha
[D]
[D]
A rendszer megadása
[D]
[D]
[D]
A rendszer megoldása
A rendszert az egységkör pontjaiban oldjuk meg:
[D]
[D]
Ábrázolások a fázistérben
A fázistérben való ábrázolás megszokott az autonóm rendszerek esetén, de a nemautonóm esetekben is hasznos. A fázisképek a fázissík részhalmazai, ezért itt ez az ábrázolási mód elengedhetetlen. A nemautonóm esetekben azonban a trajektóriákkal óvatosan kell bánni (metszhetik egymást és a rajz kaotikussá válhat). Az alábbi ábrák jól mutatják a trajektóriák változását a t idő függvényében.
Az egyenlő távolságra levő t pillanatokhoz tartozó fázisképek animációja meglepően sok információt ad a rendszer időbeni fejlődéséről.
[D]
[D]
[D]
Animáció a trajektóriákkal együtt:
[D]
[D]
A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:
[D]
A fázisképek és trajektóriák „stroboszkópikus” ábrában is egyszerűen ábrázolhatók
[D]
Néha hasznos lehet, ha a megoldások pontjait nem kötjük össze a fázisképen. A trajektóriákkal együtt különösen jól használható ábrázolási mód, mivel mozgásanimációra is lehetőséget ad (1.3. fejezet).
[D]
A fázisképek és trajektóriák együttesen:
[D]
A fázisképek tér-idő animációja különösen informatív. Ezért egyik legfontosabb eszközünk lesz a továbbiakban.
[D]
[D]
Feladatok
6.2.1. Kísérlet.
Tekintsünk a fenti rendszer helyett más lineáris rendszert, illetve más
[D]