Impulzív jelenségek modelljei|Digitális Tankönyvtár

Főoldal > Tankönyvtár > Könyvek > Természettudományok > Matematika

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

Beágyazás

6.2. Közönséges differenciálegyenletek fázisképei

A fázisleképezés számítógépes vizsgálata technikailag egyszerű feladat, de impulzív rendszerekben az ugrások értelmezése kezdetben problémákat okozhat. A módszer lépéseit ezért a közönséges differenciálegyenleteken mutatjuk be. Tekintsük az

[D]

x ' = f ? ( t , x ) , ( x ? R n )

(6.2.1)

differenciálegyenletet. Az egyenlet

[D]

x ? ( t , t 0 , x 0 ) megoldásait valamely zárt G görbe pontjaiból indulva határozzuk meg. A

[D]

H 0 kezdeti halmaz a G görbe által határolt zárt tartomány. Mivel a

[D]

? t , t 0 ( ? H 0 ) = ? ? t , t 0 ( H 0 ) feltétel automatikusan teljesül, ezért a G halmaz megoldások menti képét ábrázoljuk a fázistérben és a kibővített fázistérben.

Lépések: a lineáris fékezett oszcillátor fázisképei

A módszer lépéseit a jól ismert lineáris fékezett oszcillátor példáján mutatjuk meg (részletesen a 13. fejezetben). Az egyenlet 2D rendszer alakjában

[D]

x ' = y , y ' = - x - a ? y .

(6.2.2)

Ismert, hogy ha

[D]

? = 0 , akkor a trajektóriák origó körüli koncentrikus körök. Legyen

[D]

H 0 az egységsugarú kör.

A rendszer megadása

[D]

xyvar = { x , y } ;

[D]

A = ( 0 1 - 1 - a ) ; xydot = Flatten [ A . ( x y ) ] ; eqnparm = { a › 0.5 } ;

[D]

t0 = 0 ; t1 = 6 ; dt = 1 ; x1 = y1 = - 1 ; x2 = y2 = 1 ;

A rendszer megoldása

A rendszert az egységkör pontjaiban oldjuk meg:

[D]

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? / 8 } ] ;

$Traj[t_]=ODESolve[xydot/.eqnparm,xyvar,Icond,{t,t0,t1}];$

[D]

Traj [ t_ ] = ODESolve [ xydot /. eqnparm , xyvar , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

Ábrázolások a fázistérben

A fázistérben való ábrázolás megszokott az autonóm rendszerek esetén, de a nemautonóm esetekben is hasznos. A fázisképek a fázissík részhalmazai, ezért itt ez az ábrázolási mód elengedhetetlen. A nemautonóm esetekben azonban a trajektóriákkal óvatosan kell bánni (metszhetik egymást és a rajz kaotikussá válhat). Az alábbi ábrák jól mutatják a trajektóriák változását a t idő függvényében.

A fáziskép animációk I.

[D]
E

Az egyenlő távolságra levő t pillanatokhoz tartozó fázisképek animációja meglepően sok információt ad a rendszer időbeni fejlődéséről.

[D]

plfield = PlotVectorField [ xydot /. ? eqnparm , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Axes › True ] ;

[D]

p0 = PhasePlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel › { x , y } ] ;

[D]

p2 = PhaseMap [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , { Hue [ 0 , 0 , 0 ] } , PlotRange › { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , Axes › True ] ;

Animáció a trajektóriákkal együtt:

[D]

[D]

p2a = Map [ Show [ p0 , # ] ///&/// , p2 ] ;

A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:

[D]

p2b = Show [ GraphicsArray [ Partition [ p2a , 3 ] ] ] ;

A fázisképek és trajektóriák „stroboszkópikus” ábrában is egyszerűen ábrázolhatók

[D]

Show [ p0 , p2 ] ;

A fáziskép animációk II.

[D]
E

Néha hasznos lehet, ha a megoldások pontjait nem kötjük össze a fázisképen. A trajektóriákkal együtt különösen jól használható ábrázolási mód, mivel mozgásanimációra is lehetőséget ad (1.3. fejezet).

[D]

p21 = ListPhaseMap [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , PlotRange › { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , Axes › True ] ;

A fázisképek és trajektóriák együttesen:

[D]

Show [ p21 , p0 ] ;

Fáziskép animáció 3D-ben

[D]
E

A fázisképek tér-idő animációja különösen informatív. Ezért egyik legfontosabb eszközünk lesz a továbbiakban.

[D]

PhaseVolBW [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , { Thickness [ 0.015 ] } ] ;

[D]

Show [ % , PlotLabel › ] ;

Feladatok

6.2.1. Kísérlet.

Tekintsünk a fenti rendszer helyett más lineáris rendszert, illetve más

[D]

H 0 halmazt. Ellenőrizzük, hogy a lineáris rendszerek fázisleképezései a fázistér lineáris transzformációi. Írjuk fel a transzformációt formálisan is a t paraméter függvényében. Tekintsünk nemlineáris rendszereket is.