Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

6.2. Közönséges differenciálegyenletek fázisképei

6.2. Közönséges differenciálegyenletek fázisképei

A fázisleképezés számítógépes vizsgálata technikailag egyszerű feladat, de impulzív rendszerekben az ugrások értelmezése kezdetben problémákat okozhat. A módszer lépéseit ezért a közönséges differenciálegyenleteken mutatjuk be. Tekintsük az

x'=f(t,x), (x?R^n) x ' = f ? ( t , x ) , ( x ? R n ) (6.2.1)

differenciálegyenletet. Az egyenlet x(t,t_0,x_0)

x ? ( t , t 0 , x 0 ) megoldásait valamely zárt G görbe pontjaiból indulva határozzuk meg. A H_0 H 0 kezdeti halmaz a G görbe által határolt zárt tartomány. Mivel a ?_(t,t_0)(?H_0)=??_(t,t_0)(H_0) ? t , t 0 ( ? H 0 ) = ? ? t , t 0 ( H 0 ) feltétel automatikusan teljesül, ezért a G halmaz megoldások menti képét ábrázoljuk a fázistérben és a kibővített fázistérben.

Lépések: a lineáris fékezett oszcillátor fázisképei

A módszer lépéseit a jól ismert lineáris fékezett oszcillátor példáján mutatjuk meg (részletesen a 13. fejezetben). Az egyenlet 2D rendszer alakjában

x^'=y, y^'=–x–ay. x ' = y , y ' = - x - a ? y . (6.2.2)

Ismert, hogy ha ?=0

? = 0 , akkor a trajektóriák origó körüli koncentrikus körök. Legyen H_0 H 0 az egységsugarú kör.

  • A rendszer megadása

xyvar={x,y};

xyvar = { x , y } ;

A=(0 1 / –1 –a); xydot=Flatten[A.(x / y)]; eqnparm={a›0.5};

A = ( 0 1 - 1 - a ) ; xydot = Flatten [ A . ( x y ) ] ; eqnparm = { a 0.5 } ;

t0=0;t1=6; dt=1; x1=y1=–1; x2=y2=1;

t0 = 0 ; t1 = 6 ; dt = 1 ; x1 = y1 = - 1 ; x2 = y2 = 1 ;

  • A rendszer megoldása

A rendszert az egységkör pontjaiban oldjuk meg:

Icond=Table[N[{Cos[u],Sin[u]},2],{u,0,2?,?/8}];

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? / 8 } ] ;

Traj[t_]=ODESolve[xydot/.eqnparm,xyvar,Icond,{t,t0,t1}];

Traj [ t_ ] = ODESolve [ xydot /. eqnparm , xyvar , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

  • Ábrázolások a fázistérben

A fázistérben való ábrázolás megszokott az autonóm rendszerek esetén, de a nemautonóm esetekben is hasznos. A fázisképek a fázissík részhalmazai, ezért itt ez az ábrázolási mód elengedhetetlen. A nemautonóm esetekben azonban a trajektóriákkal óvatosan kell bánni (metszhetik egymást és a rajz kaotikussá válhat). Az alábbi ábrák jól mutatják a trajektóriák változását a t idő függvényében.

  • A fáziskép animációk I. E

    E

Az egyenlő távolságra levő t pillanatokhoz tartozó fázisképek animációja meglepően sok információt ad a rendszer időbeni fejlődéséről.

plfield=PlotVectorField[xydot/.eqnparm, {x,x1,x2},{y,y1,y2},Axes›True];

plfield = PlotVectorField [ xydot /. ? eqnparm , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Axes True ] ;

p0=PhasePlot[Traj[t],{t,t0,t1},AxesLabel›{x,y}];

p0 = PhasePlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel { x , y } ] ;

p2=PhaseMap[Traj[t],{t,t0,t1,dt},{Hue[0,0,0]}, PlotRange›{{x1,x2},{y1,y2}},Axes›True];

p2 = PhaseMap [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , { Hue [ 0 , 0 , 0 ] } , PlotRange { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , Axes True ] ;

Animáció a trajektóriákkal együtt: E

E

p2a=Map[Show[p0,#]///&///,p2];

p2a = Map [ Show [ p0 , # ] ///&/// , p2 ] ;

A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:

p2b=Show[GraphicsArray[Partition[p2a,3]]];

p2b = Show [ GraphicsArray [ Partition [ p2a , 3 ] ] ] ;

A fázisképek és trajektóriák „stroboszkópikus” ábrában is egyszerűen ábrázolhatók

Show[p0,p2];

Show [ p0 , p2 ] ;

  • A fáziskép animációk II. E

    E

Néha hasznos lehet, ha a megoldások pontjait nem kötjük össze a fázisképen. A trajektóriákkal együtt különösen jól használható ábrázolási mód, mivel mozgásanimációra is lehetőséget ad (1.3. fejezet).

p21=ListPhaseMap[Traj[t],{t,t0,t1,dt}, PlotRange›{{x1,x2},{y1,y2}},Axes›True];

p21 = ListPhaseMap [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , PlotRange { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , Axes True ] ;

A fázisképek és trajektóriák együttesen:

Show[p21,p0];

Show [ p21 , p0 ] ;

  • Fáziskép animáció 3D-ben E

    E

A fázisképek tér-idő animációja különösen informatív. Ezért egyik legfontosabb eszközünk lesz a továbbiakban.

PhaseVolBW[Traj[t],{t,t0,t1,dt},{Thickness[0.015]}];

PhaseVolBW [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , { Thickness [ 0.015 ] } ] ;

Show[%,PlotLabel›""];

Show [ % , PlotLabel ] ;

Feladatok

6.2.1. Kísérlet.

Tekintsünk a fenti rendszer helyett más lineáris rendszert, illetve más H_0

H 0 halmazt. Ellenőrizzük, hogy a lineáris rendszerek fázisleképezései a fázistér lineáris transzformációi. Írjuk fel a transzformációt formálisan is a t paraméter függvényében. Tekintsünk nemlineáris rendszereket is.