Az alábbiakban egy egyszerű példán mutatjuk be a rögzített pillanatokban ható impulzusok esetén a síkbeli

? t , t 0 fázisleképezésekre vonatkozó számítógépes kísérleti eszközöket. A 4.4. fejezetben adott sémát egészítjük ki a

[D]

? t , t 0 ( H 0 ) fázisképek megjelenítésével a 2D fázistérben és a 3D kibővített fázistérben. Két impulzus között a differenciálegyenletekre vonatkozó eszközök alkalmazhatók (a változás t-ben folytonos) de célszerű a

[D]

? t k - 0 , t 0 ( H 0 ) és

[D]

? t k + 0 , t 0 ( H 0 ) fázisképeket (impulzusok bekövetkezése előtt és után) is ábrázolni, ami az ugrások jellegét jól jeleníti meg.

A módszer lépései: Kísérletek síkbeli rendszerekre

Tekintsük az alábbi nemlineáris impulzussal perturbált harmonikus oszcillátort:

ahol

t i = i ? ? 4 . Legyen

[D]

H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = r 2 ///</// 1 } és

[D]

t 0 = 0 . Nyilvánvaló, hogy két impulzus között a

[D]

t i megválasztása miatt a

[D]

? t i + 0 , t i + 1 - 0 leképezés

[D]

? 4 -gyel való forgatás. Az is látható, hogy

[D]

x 2 ( t i + 0 ) + y 2 ( t i + 0 ) ///</// ? r ( x 2 ( t i - 0 ) + y 2 ( t i - 0 ) ) , ahol

[D]

? r ///</// 1 ha

[D]

r ///</// 1 .

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x } ;

t0 = 0. ; t1 = 5. ; dt = T ;

x1 = - 1. ; x2 = 1. ; y1 = - 1. ; y2 = 1. ;

T = N [ ? 4 ] ; Imax = 50 ;

tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

Imp [ n_ , tn_ , xn_ ] := { xn [ 1 ] ? xn [ 2 ] , xn [ 1 ] } ;

Az impulzusok t-től függetlenek. Érdemes ábrázolnunk az impulzusmezőt a fázistérben. A differenciálegyenlet vektormezőjének ábrázolását az olvasóra bízzuk.

PlotImp = PlotVectorField [ Imp [ 1 , tn , xyvar ] - xyvar , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Axes › True , PlotPoints › 8 , ScaleFactor › None ] ;

Icond = Table [ N [ 0.8 { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? / 8 } ] ;

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , Imp , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

A trajektóriákat valamint a

? t k - 0 , t 0 ( H 0 ) ? és ? ? t k + 0 , t 0 ( H 0 ) fázisképeket ábrázoljuk:

p0 = PhasePlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel › { x , y } ] ;

Áttekinthetőbb ábrát kaphatunk a trajektóriák egyszínű vagy egyenkénti ábrázolásával (4.4. fejezetet). A trajektóriák képe – bár az ugrások miatt kaotikusnak tűnhet – jól mutatja a megoldások változását. Az impulzusok fenti ábrázolása segíti az eligazodást.

A fázisképeket megközelítően a

t i - 0 és

[D]

t i + 0 pillanatokban ábrázoljuk. A szaggatott vonal az ugrás előtti, a folytonos pedig az ugrás utáni állapotot mutatja. A képek jól mutatják a rendszer fejlődését, és az előző ábránál világosabban engednek következtetni a rendszer viselkedésére.

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

p2 = PhaseMapImp [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.02 ] } , PlotRange › { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , Axes › True ] ;

A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:

p2b = Show [ GraphicsArray [ Partition [ Map [ Show [ p0 , # , DisplayFunction › Identity ] ///&/// , p2 ] , 3 ] ] ] ;

Még világosabbá válik a rendszer fejlődése az alábbi animáció során:

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

phvol = PhaseVolImpBW [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , Axes › True ] ;

A kockák együtt:

Show [ phvol , PlotLabel › ] ;

A fenti ábrák alátámasztják a differenciálegyenlet és az impulzusok hatására vonatkozó előzetes észrevételeinket. Emellett jól láthatók a legnagyobb és a legkisebb mértékű csökkenések helyei. Ezek a konkrét becslésekben sokat segítenek.

Feladat

6.3.1. Feladat.

Vizsgáljuk meg az origó, mint egyensúlyi helyzet tulajdonságait. Adjunk explicit becslést a megoldások csökkenésére. Készítsünk animációt, amelyben a kezdeti állapot végigfut a kezdeti körön.