Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

6.3. Impulzív rendszerek fázisképei

6.3. Impulzív rendszerek fázisképei

Az alábbiakban egy egyszerű példán mutatjuk be a rögzített pillanatokban ható impulzusok esetén a síkbeli ?_(t,t_0)

? t , t 0 fázisleképezésekre vonatkozó számítógépes kísérleti eszközöket. A 4.4. fejezetben adott sémát egészítjük ki a ?_(t,t_0)(H_0) ? t , t 0 ( H 0 ) fázisképek megjelenítésével a 2D fázistérben és a 3D kibővített fázistérben. Két impulzus között a differenciálegyenletekre vonatkozó eszközök alkalmazhatók (a változás t-ben folytonos) de célszerű a ?_(t_k–0,t_0)(H_0) ? t k - 0 , t 0 ( H 0 ) és ?_(t_k+0,t_0)(H_0) ? t k + 0 , t 0 ( H 0 ) fázisképeket (impulzusok bekövetkezése előtt és után) is ábrázolni, ami az ugrások jellegét jól jeleníti meg.

A módszer lépései: Kísérletek síkbeli rendszerekre

Tekintsük az alábbi nemlineáris impulzussal perturbált harmonikus oszcillátort:

x'=y,y'=–x,ha t?t_i, x(t_i+0)=x(t_i–0)y(t_i–0), y(t_i+0)=x(t_i–0), x ' = y , y ' = - x , ha ? t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) ? y ? ( t i - 0 ) , y ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) , (6.3.1)

ahol t_i=i(?/4)

t i = i ? ? 4 . Legyen H_0={{x,y}: x^2+y^2=r^2///<///1} H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = r 2 ///</// 1 } és t_0=0 t 0 = 0 . Nyilvánvaló, hogy két impulzus között a t_i t i megválasztása miatt a ?_(t_i+0,t_(i+1)–0) ? t i + 0 , t i + 1 - 0 leképezés (?/4) ? 4 -gyel való forgatás. Az is látható, hogy x^2(t_i+0)+y^2(t_i+0)///<///?_r(x^2(t_i–0)+y^2(t_i–0)) x 2 ( t i + 0 ) + y 2 ( t i + 0 ) ///</// ? r ( x 2 ( t i - 0 ) + y 2 ( t i - 0 ) ) , ahol ?_r///<///1 ? r ///</// 1 ha r///<///1 r ///</// 1 .

  • A rendszer megadása

xyvar={x,y};xydot={y,–x};

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x } ;

t0=0.;t1=5.;dt=T;

t0 = 0. ; t1 = 5. ; dt = T ;

x1=–1.;x2=1.;y1=–1.;y2=1.;

x1 = - 1. ; x2 = 1. ; y1 = - 1. ; y2 = 1. ;

T=N[(?/4)]; Imax=50;

T = N [ ? 4 ] ; Imax = 50 ;

tn=Table[nT,{n,1,Imax}];

tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

Imp[n_,tn_,xn_]:={xn[[1]]xn[[2]],xn[[1]]};

Imp [ n_ , tn_ , xn_ ] := { xn [ 1 ] ? xn [ 2 ] , xn [ 1 ] } ;

  • Impulzusmező

Az impulzusok t-től függetlenek. Érdemes ábrázolnunk az impulzusmezőt a fázistérben. A differenciálegyenlet vektormezőjének ábrázolását az olvasóra bízzuk.

PlotImp=PlotVectorField[Imp[1,tn,xyvar]–xyvar,{x,x1,x2},{y,y1,y2},Axes›True,PlotPoints›8,ScaleFactor›None];

PlotImp = PlotVectorField [ Imp [ 1 , tn , xyvar ] - xyvar , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Axes True , PlotPoints 8 , ScaleFactor None ] ;

  • A rendszer megoldása

Icond=Table[N[0.8{Cos[u],Sin[u]},2],{u,0,2?,?/8}];

Icond = Table [ N [ 0.8 { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? / 8 } ] ;

Traj[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,Imp,Icond,{t,t0,t1}];

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , Imp , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

  • Ábrázolás a fázistérben

A trajektóriákat valamint a ?_(t_k–0,t_0)(H_0) és ?_(t_k+0,t_0)(H_0)

? t k - 0 , t 0 ( H 0 ) ? és ? ? t k + 0 , t 0 ( H 0 ) fázisképeket ábrázoljuk:

p0=PhasePlot[Traj[t],{t,t0,t1},AxesLabel›{x,y}];

p0 = PhasePlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel { x , y } ] ;

Áttekinthetőbb ábrát kaphatunk a trajektóriák egyszínű vagy egyenkénti ábrázolásával (4.4. fejezetet). A trajektóriák képe – bár az ugrások miatt kaotikusnak tűnhet – jól mutatja a megoldások változását. Az impulzusok fenti ábrázolása segíti az eligazodást.

  • Fáziskép animáció a fázissíkban E

    E

A fázisképeket megközelítően a t_i–0

t i - 0 és t_i+0 t i + 0 pillanatokban ábrázoljuk. A szaggatott vonal az ugrás előtti, a folytonos pedig az ugrás utáni állapotot mutatja. A képek jól mutatják a rendszer fejlődését, és az előző ábránál világosabban engednek következtetni a rendszer viselkedésére.

tnn=Prepend[Select[tn,Function[u,t0?u?t1]],t0];

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

p2=PhaseMapImp[Traj[t],{t,tnn},{Thickness[0.02]},PlotRange›{{x1,x2},{y1,y2}},Axes›True];

p2 = PhaseMapImp [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.02 ] } , PlotRange { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , Axes True ] ;

A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:

p2b=Show[GraphicsArray[Partition[ Map[Show[p0,#,DisplayFunction›Identity]///&///,p2],3]]];

p2b = Show [ GraphicsArray [ Partition [ Map [ Show [ p0 , # , DisplayFunction Identity ] ///&/// , p2 ] , 3 ] ] ] ;

  • Fáziskép animáció 3D-ben E

    E

Még világosabbá válik a rendszer fejlődése az alábbi animáció során:

tnn=Prepend[Select[tn,Function[u,t0?u?t1]],t0];

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

phvol=PhaseVolImpBW[Traj[t],{t,tnn}, {Thickness[0.015]},Axes›True];

phvol = PhaseVolImpBW [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , Axes True ] ;

A kockák együtt:

Show[phvol,PlotLabel›""];

Show [ phvol , PlotLabel ] ;

A fenti ábrák alátámasztják a differenciálegyenlet és az impulzusok hatására vonatkozó előzetes észrevételeinket. Emellett jól láthatók a legnagyobb és a legkisebb mértékű csökkenések helyei. Ezek a konkrét becslésekben sokat segítenek.

Feladat

6.3.1. Feladat.

Vizsgáljuk meg az origó, mint egyensúlyi helyzet tulajdonságait. Adjunk explicit becslést a megoldások csökkenésére. Készítsünk animációt, amelyben a kezdeti állapot végigfut a kezdeti körön.