6.3. Impulzív rendszerek fázisképei
Az alábbiakban egy egyszerű példán mutatjuk be a rögzített pillanatokban ható impulzusok esetén a síkbeli
?
t
,
t
0
fázisleképezésekre vonatkozó számítógépes kísérleti eszközöket. A 4.4. fejezetben adott sémát egészítjük ki a
?
t
,
t
0
(
H
0
)
fázisképek megjelenítésével a 2D fázistérben és a 3D kibővített fázistérben. Két impulzus között a differenciálegyenletekre vonatkozó eszközök alkalmazhatók (a változás t-ben folytonos) de célszerű a
?
t
k
-
0
,
t
0
(
H
0
)
és
?
t
k
+
0
,
t
0
(
H
0
)
fázisképeket (impulzusok bekövetkezése előtt és után) is ábrázolni, ami az ugrások jellegét jól jeleníti meg.
A módszer lépései: Kísérletek síkbeli rendszerekre
Tekintsük az alábbi nemlineáris impulzussal perturbált harmonikus oszcillátort:
ahol
t
i
=
i
?
?
4
. Legyen
H
0
=
{
{
x
,
y
}
:
x
2
+
y
2
=
r
2
///<///
1
}
és
t
0
=
0
. Nyilvánvaló, hogy két impulzus között a
t
i
megválasztása miatt a
?
t
i
+
0
,
t
i
+
1
-
0
leképezés
?
4
-gyel való forgatás. Az is látható, hogy
x
2
(
t
i
+
0
)
+
y
2
(
t
i
+
0
)
///<///
?
r
(
x
2
(
t
i
-
0
)
+
y
2
(
t
i
-
0
)
)
, ahol
?
r
///<///
1
ha
r
///<///
1
.
xyvar
=
{
x
,
y
}
;
xydot
=
{
y
,
-
x
}
;
t0
=
0.
;
t1
=
5.
;
dt
=
T
;
x1
=
-
1.
;
x2
=
1.
;
y1
=
-
1.
;
y2
=
1.
;
T
=
N
[
?
4
]
;
Imax
=
50
;
tn
=
Table
[
n
?
T
,
{
n
,
1
,
Imax
}
]
;
Imp
[
n_
,
tn_
,
xn_
]
:=
{
xn
[
1
]
?
xn
[
2
]
,
xn
[
1
]
}
;
Az impulzusok t-től függetlenek. Érdemes ábrázolnunk az impulzusmezőt a fázistérben. A differenciálegyenlet vektormezőjének ábrázolását az olvasóra bízzuk.
PlotImp
=
PlotVectorField
[
Imp
[
1
,
tn
,
xyvar
]
-
xyvar
,
{
x
,
x1
,
x2
}
,
{
y
,
y1
,
y2
}
,
Axes
›
True
,
PlotPoints
›
8
,
ScaleFactor
›
None
]
;
Icond
=
Table
[
N
[
0.8
{
Cos
[
u
]
,
Sin
[
u
]
}
,
2
]
,
{
u
,
0
,
2
?
?
,
?
/
8
}
]
;
Traj
[
t_
]
=
IDESolve
[
xydot
,
xyvar
,
tn
,
Imp
,
Icond
,
{
t
,
t0
,
t1
}
]
;
A trajektóriákat valamint a
?
t
k
-
0
,
t
0
(
H
0
)
?
és
?
?
t
k
+
0
,
t
0
(
H
0
)
fázisképeket ábrázoljuk:
p0
=
PhasePlot
[
Traj
[
t
]
,
{
t
,
t0
,
t1
}
,
AxesLabel
›
{
x
,
y
}
]
;
Áttekinthetőbb ábrát kaphatunk a trajektóriák egyszínű vagy egyenkénti ábrázolásával (4.4. fejezetet). A trajektóriák képe – bár az ugrások miatt kaotikusnak tűnhet – jól mutatja a megoldások változását. Az impulzusok fenti ábrázolása segíti az eligazodást.
A fázisképeket megközelítően a
t
i
-
0
és
t
i
+
0
pillanatokban ábrázoljuk. A szaggatott vonal az ugrás előtti, a folytonos pedig az ugrás utáni állapotot mutatja. A képek jól mutatják a rendszer fejlődését, és az előző ábránál világosabban engednek következtetni a rendszer viselkedésére.
tnn
=
Prepend
[
Select
[
tn
,
Function
[
u
,
t0
?
u
?
t1
]
]
,
t0
]
;
p2
=
PhaseMapImp
[
Traj
[
t
]
,
{
t
,
tnn
}
,
{
Thickness
[
0.02
]
}
,
PlotRange
›
{
{
x1
,
x2
}
,
{
y1
,
y2
}
}
,
Axes
›
True
]
;
A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:
p2b
=
Show
[
GraphicsArray
[
Partition
[
Map
[
Show
[
p0
,
#
,
DisplayFunction
›
Identity
]
///&///
,
p2
]
,
3
]
]
]
;
Még világosabbá válik a rendszer fejlődése az alábbi animáció során:
tnn
=
Prepend
[
Select
[
tn
,
Function
[
u
,
t0
?
u
?
t1
]
]
,
t0
]
;
phvol
=
PhaseVolImpBW
[
Traj
[
t
]
,
{
t
,
tnn
}
,
{
Thickness
[
0.015
]
}
,
Axes
›
True
]
;
A kockák együtt:
Show
[
phvol
,
PlotLabel
›
]
;
A fenti ábrák alátámasztják a differenciálegyenlet és az impulzusok hatására vonatkozó előzetes észrevételeinket. Emellett jól láthatók a legnagyobb és a legkisebb mértékű csökkenések helyei. Ezek a konkrét becslésekben sokat segítenek.
Feladat
6.3.1. Feladat.
Vizsgáljuk meg az origó, mint egyensúlyi helyzet tulajdonságait. Adjunk explicit becslést a megoldások csökkenésére. Készítsünk animációt, amelyben a kezdeti állapot végigfut a kezdeti körön.