Impulzív jelenségek modelljei|Digitális Tankönyvtár

Főoldal > Tankönyvtár > Könyvek > Természettudományok > Matematika

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

Beágyazás

7. fejezet - Lineáris impulzív rendszerek

Tartalom

7.1. Lineáris rendszerek általános tulajdonságai
7.2. Lineáris periodikus rendszerek

7.1. Lineáris rendszerek általános tulajdonságai

Ebben a fejezetben áttekintjük a lineáris rendszerek legfontosabb tulajdonságait. További részleteket és a tulajdonságok igazolását az olvasó Samoilenko és Perestjuk [25] könyvében találja.

Lineáris homogén rendszerek

Legyen adott a ${t_i}$

[D]

{ t i } monoton növő véges vagy végtelen, nem korlátos sorozat. Legyen az

[D]

A ? ( t ) : R + › R n × n mátrixfüggvény balról folytonos minden t-re, és folytonos, kivéve a

[D]

t = t i értékeket. Legyenek adottak a

[D]

B i n×n-es mátrixok

[D]

( i = 1 , 2 , ... ) . Ekkor az

[D]

x ' = A ? ( t ) ? x , ha t ? t i x ? ( t i + 0 ) = B i ? x ? ( t i - 0 ) , ( i = 1 , 2 , ... )

(7.1.1)

rendszert homogén lineáris impulzív rendszernek nevezzük. A rendszer megoldásai balról folytonos függvények. Bármely

[D]

t 0 ? 0 esetén a (7.1.1) rendszer megoldásai egyértelműen korlátlanul folytathatók előre. Amennyiben a

[D]

B i mátrixok nemelfajulók

[D]

( i = 1 , 2 , ... ) , akkor minden megoldás egyértelműen visszafelé is folytatható. Ha valamelyik

[D]

B k mátrix szinguláris, akkor azok a megoldások, amelyek a

[D]

t k - 0 pillanatban a

[D]

B k nullterében vannak, a

[D]

t k + 0 pillanattól kezdve a triviális megoldással azonosak lesznek. Fordítva, visszafelé folytatásnál az azonosan zéró megoldásból

[D]

t k -ban keletkező megoldások lineáris teret alkotnak.

Nyilvánvaló, hogy ha valamely

[D]

( t 0 , T ] intervallumon

[D]

x 1 ( t ) és

[D]

x 2 ( t ) a (7.1.1) homogén rendszer megoldásai, akkor tetszőleges

[D]

c 1 , ? c 2 ? R konstansok esetén

[D]

c 1 x 1 ( t ) +

[D]

c 2 ? x 2 ( t ) is megoldás, vagyis a homogén rendszerek megoldásai lineáris teret alkotnak. Ha minden

[D]

t i ? ? ( t 0 , T ] esetén

[D]

B i nemszinguláris, akkor

[D]

( t 0 , T ] -n a megoldások tere n-dimenziós.

A differenciálegyenletek esetén ismert, hogy a homogén lineáris rendszerek megoldásai egyértelműen felírhatók az alaprendszer, az alapmátrix segítségével. A (7.1.1) rendszer esetén legyen az

[D]

U k ( t , s ) mátrixfüggvény az

[D]

x ' = A ? ( t ) ? x

differenciálegyenlet alapmátrixa, ha

[D]

t , s ? ( t k , t k + 1 ] , vagyis

[D]

U k ( s , s ) = E (E az egységmátrix) és

[D]

d d ? t ? U k ( t , s ) = A ? ( t ) ? U k ( t , s ) és

[D]

U k ( t , s ) = U k ( s , t ) - 1 .

[D]

U 0 ( t , s ) jelöli az alapmátrixot, ha

[D]

t , s ? t 0 . Hasonló tulajdonságokat várunk el a (7.1.1) impulzív rendszer alapmátrixától is. Ennek explicit megadásához írjuk fel rekurzív módon a megoldásokat. Tekintsük a (7.1.1) rendszer

[D]

x ? ( t , t 0 , x 0 ) megoldását, melyre

[D]

x ? ( t 0 , t 0 , x 0 ) = x 0 . Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy

[D]

t 0 ///</// t 1 . Ekkor, az alábbiak igazak:

[D]

x ? ( t , t 0 , x 0 ) = U 0 ( t , t 0 ) ? x 0 , ha t ? t 1 ; x ? ( t 1 + 0 , t 0 , x 0 ) = B 1 ? U 0 ( t 1 , t 0 ) ? x 0 ; x ? ( t , t 0 , x 0 ) = U 1 ( t , t 1 ) ? B 1 ? U 0 ( t 1 , t 0 ) ? x 0 , t ? ( t 1 , t 2 ] ; ... x ? ( t , t 0 , x 0 ) = U k ( t , t k ) ? B k ... ? U 1 ( t 2 , t 1 ) ? B 1 ? U 0 ( t 1 , t 0 ) ? x 0 , ? t ? ? ? ( t k , t k + 1 ] ;

Az alapmátrix tehát

[D]

t 0 ///</// t 1 és

[D]

t ? ( t k , t k + 1 ] esetén

[D]

X ( t , t 0 ) = U k ( t , t k ) B k ... U 1 ( t 2 , t 1 ) B 1 ? U 0 ( t 1 , t 0 )

alakban írható. A

[D]

B i mátrixok invertálhatóságára a

[D]

t ///</// t i ///</// t 0 esetben van szükség. Az explicit felírást az olvasóra bízzuk. Megjegyezzük, hogy a mátrixok szorzása általában nem cserélhető fel. A fázisleképezés

[D]

? t , t 0 ( x 0 ) = ? X ? ( t , t 0 ) ? x 0

alakban adható meg, ami minden rögzített t esetén az

[D]

R n tér lineáris transzformációja, és nemelfajuló, ha a

[D]

B k mátrixok nemelfajulóak (

[D]

t 0 ///</// t k ///</// t ). A fázisképekkel részletesen a 6. fejezetben foglalkoztunk.

Végül, a differenciálegyenletekre vonatkozó Liouville formula felhasználásával kapjuk, hogy

[D]

det ? ( X ? ( t , t 0 ) ) = ? i = 1 k det ? ( B i ) ? exp ? ( ? t 0 t Tr ? A ? ( s ) ? ? s ) .

(7.1.2)

Lineáris inhomogén rendszerek

[D]

y ' = A ? ( t ) ? y + g ? ( t ) , ha t ? t i , y ? ( t i + 0 ) = B i ? y ? ( t i - 0 ) + h i , ( i = 1 , 2 , 3 , ... )

(7.1.3)

rendszert, melyben

[D]

g : R › R n ,

[D]

h i ? R n , lineáris inhomogén impulzív rendszernek nevezzük. Nyilvánvaló, hogy ha

[D]

x ? ( t ) megoldása a (7.1.1) homogén rendszernek és

[D]

y ? ( t ) megoldása a (7.1.3) inhomogén rendszernek, akkor

[D]

x ? ( t ) + y ? ( t ) is megoldása az inhomogén rendszernek. Fordítva, ha

[D]

y 1 ( t ) és

[D]

y 2 ( t ) megoldásai a (7.1.3)-nak, akkor

[D]

y 1 ( t ) - y 2 ( t ) az (7.1.1) homogén rendszernek megoldása. Innen kapjuk, hogy az inhomogén rendszer általános megoldását a homogén rendszer általános megoldásának és az inhomogén rendszer valamely partikuláris megoldásának az összege adja.

Tegyük fel, hogy a

[D]

B i mátrixok nemszingulárisak. Ekkor a (7.1.3) rendszer

[D]

y ? ( t 0 ) = y 0 kezdeti értékből induló megoldása a konstansvariációs módszer általánosításával adható meg (a levezetés azonos a differenciálegyenleteknél megismerttel):

[D]

y ? ( t , t 0 , y 0 ) = X ? ( t , t 0 ) [ y 0 + ? t 0 t X - 1 ( s , t 0 ) ? g ? ( s ) ? ? s + ? t 0 ///</// t i ///</// t X ? ( t , t i + 0 ) ? h i ]

(7.1.4)

Konstans együtthatós rendszerek

Legyen adott a ${t_i}$

[D]

{ t i } monoton növő, véges vagy végtelen, nem korlátos sorozat. Legyenek

[D]

A , B

[D]

n × n -es mátrixok

[D]

( i = 1 , 2 , ... ) . Ekkor az

[D]

x ' = A ? x , ha t ? t i x ? ( t i + 0 ) = B ? x ? ( t i - 0 ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... )

(7.1.5)

rendszert konstans együtthatós, lineáris homogén rendszernek nevezzük.

[D]

g 0 ? R , és

[D]

h 0 ? R akkor az

[D]

y ' = A ? y + g 0 , ha t ? t i y ? ( t i + 0 ) = B ? y ? ( t i - 0 ) + h 0 , ( i = 1 , 2 , 3 , ... )

(7.1.6)

rendszer konstans együtthatós, lineáris inhomogén rendszer.

Mivel az

[D]

x ' = A ? x egyenlet alapmegoldása

[D]

U ? ( t , s ) = ? A ? ( t - s ) , ezért a (7.1.4) rendszer alapmegoldására

[D]

t 0 ///</// t 1 és t ?

[D]

( t k , t k + 1 ] esetén kapjuk, hogy

[D]

X ? ( t , t 0 ) = ? A ? ( t - t k ) ? B ... ? B ? ? A ? ( t 2 - t 1 ) ? B ? ? A ? ( t 1 - t 0 ) .

[D]

A ? B = B ? A , akkor az alapmátrixban a szorzás felcserélhető, vagyis

[D]

X ? ( t , t 0 ) = B k ? ? A ? ( t - t 0 ) .

Néhány példa: 2D lineáris rendszerek

A homogén rendszerek alapmegoldásának felírásánál láttuk, hogy a megoldások által kitöltött lineáris tér lényegesen függ attól, hogy melyik intervallumon tekintjük őket. Szinguláris

[D]

B i mátrixok elfajulásokat okozhatnak (ilyen jelenség a differenciálegyenletek esetén nem fordulhat elő), továbbá a

[D]

B i és az

[D]

A ? ( t ) mátrixok tulajdonságainak függetlensége miatt a megoldások menete érdekesen alakulhat. Erre mutatunk most néhány kísérleti példát. Megjegyezzük, hogy a rendszerek formális vizsgálatához a Mathematica lineáris algebrai eszközei alkalmazhatók. Az alábbi példákban síkbeli rendszereket tekintünk. A megoldásokat valamely origó középpontú $H_0={{x,y}: x^2+y^2=r^2}$

[D]

H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = r 2 } körvonal pontjaiból indítjuk. A rendszerek tulajdonságainak megértését a

[D]

H 0 halmaz fázisképeinek ábrázolása nagymértékben segíti.

7.1.1. Példa. Egy reguláris rendszer: impulzív stabilizálás

Először tekintsünk egy egyszerű nemelfajuló rendszert:

[D]

( x y ) , = ( - 1 0 0 1 ) . ( x y ) , ha t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( 0 1 1 0 ) . ( x ? ( t i - 0 ) y ? ( t i - 0 ) )

ahol

[D]

t i = i . Legyen $H_0={{x,y}: x^2+y^2=1}$

[D]

H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 1 } , és

[D]

t 0 = 0 . A rendszer differenciálegyenletének az origó nyeregpontja. Látni fogjuk, hogy az impulzusok a koordináták felcserélésével az origót, mint egyensúlyi helyzetet stabilizálják.

A rendszer megadása

[D]

xyvar = { x , y } ;

[D]

A = ( - 1 0 0 1 ) ; xydot = A . xyvar ;

[D]

T = N [ 1. ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

[D]

B = ( 0 1 1 0 ) ; Bn = Table [ B , { i , 1 , Imax } ] ;

[D]

ImpLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := Bn [ n ] . xn ;

[D]

t0 = 0. ; t1 = 7. ; dt = 1. ; x1 = y1 = - 1. ; x2 = y2 = 1. ;

Formális műveletek, formális megoldás

A megoldások vizsgálatához szükség van az A és a

[D]

B mátrixok vizsgálatára. A mátrixok sajátértékei és sajátvektorai ${{?_1,?_2},{v_1,v_2}}$

[D]

{ { ? 1 , ? 2 } , { v 1 , v 2 } } alakban:

[D]

Eigensystem [ A ]

[D]

{ { - 1 , 1 } , { { 1 , 0 } , { 0 , 1 } } }

[D]

Eigensystem [ Bn [ 1 ] ]

[D]

{ { - 1 , 1 } , { { - 1 , 1 } , { 1 , 1 } } }

Jelen esetben az A mátrix konstans, ezért a differenciálegyenlet alapmátrixa:

[D]

MatrixExp [ A ? t ] // MatrixForm

(e^(–t) 0 / 0 e^t)

[D]

( ? - t 0 0 ? t )

Az impulzív rendszer általános megoldása pedig (

[D]

t 0 = 0 ):

[D]

thsol [ t_ ] := MatrixExp [ A ? FractionalPart [ t ] ] . MatrixPower [ B . MatrixExp [ A ] , IntegerPart [ t ] ]

A rendszer numerikus megoldása

[D]

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

$Traj[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpLin,Icond,{t,t0,t1}];$

[D]

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpLin , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

Ábrázolások a fázistérben

A 2D fázistérben a trajektóriákat a szokásos módon (PhasePlot utasítás) ábrázolhatjuk. Mivel az impulzusok a koordinátákat felcserélik, a kép nem túl informatív. Érdemes a kezdeti értékek szerinti animációt készíteni, amint azt már a 4.4. fejezetben is tettük.

Fáziskép animáció 3D-ben

[D]
E

[D]

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

[D]

phvol = PhaseVolImpBW [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , Axes › True , BoxRatios › { 2 , 1 , 1 } ] ;

[D]

Show [ phvol , PlotLabel › ] ;

Ábrázolásaink sejtetik, és az általános megoldás vizsgálatával könnyen megmutatható, hogy minden megoldás periodikus (lásd a következő fejezetet).

7.1.2. Példa. Egy elfajuló rendszer

Tekintsünk az alábbi rendszert:

[D]

( x y ) , = ( 0 1 - 1 0 ) . ( x y ) , ha t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( 1 0 0 0 ) . ( x ? ( t i - 0 ) y ? ( t i - 0 ) ) ,

ahol

[D]

t i = i ? ? / 2 . Legyen $H_0={{x,y}: x^2+y^2=1}$

[D]

H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 1 } , és

[D]

t 0 = 0 . A differenciálegyenlet a harmonikus oszcillátor egyenlete, amely által létesített fázisleképezés valamely

[D]

( t i , t i + 1 ) intervallumon ?/2 szöggel való elforgatás. Az impulzusok az y koordinátát nullázzák (a sebesség nulla lesz).

Definiáljuk a rendszert, adjuk meg a formális és közelítő megoldást, majd végül ábrázoljuk őket a 3D térben. Látni fogjuk, hogy a

[D]

t 0 = 0 pillanatban induló megoldások által generált fázisleképezés invertálható, ha

[D]

t ? [ 0 , ? / 2 ) , a nulltere egydimenziós, ha

[D]

t ? [ ? / 2 , ? ) , és a leképezés azonosan nulla leképezés, ha

[D]

t ? ? .

A rendszer megadása

[D]

xyvar = { x , y } ; A = ( 0 1 - 1 0 ) ; xydot = A . xyvar ;

[D]

T = N [ ? 2 ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

[D]

B = ( 1 0 0 0 ) ; Bn = Table [ B , { i , 1 , Imax } ] ;

[D]

ImpLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := Bn [ n ] . xn ;

[D]

t0 = 0. ; t1 = 3 ? ? 2 ; dt = ? 2 ;

[D]

x1 = y1 = - 1. ; x2 = y2 = 1. ;

Formális műveletek, formális megoldás

Az A és

[D]

B mátrixok sajátértékei és sajátvektorai ${{?_1,?_2}, {v_1,v_2}}$

[D]

{ { ? 1 , ? 2 } , { v 1 , v 2 } } formában:

[D]

Eigensystem [ A ]

[D]

{ { - ? , ? } , { { ? , 1 } , { - ? , 1 } } }

[D]

Eigensystem [ Bn [ 1 ] ]

[D]

{ { 0 , 1 } , { { 0 , 1 } , { 1 , 0 } } }

A differenciálegyenlet általános megoldása:

[D]

MatrixExp [ A ? t ] // MatrixForm

(Cos[t] Sin[t] / –Sin[t] Cos[t])

[D]

( Cos [ t ] Sin [ t ] - Sin [ t ] Cos [ t ] )

Az impulzív rendszer általános megoldása (

[D]

t 0 = 0 ):

[D]

thsol [ t_ ] := MatrixExp [ A ? ( t - IntegerPart [ t T ] ) ] . MatrixPower [ B . MatrixExp [ A ] , IntegerPart [ t T ] ]

A rendszer numerikus megoldása

[D]

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

$Traj[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpLin,Icond,{t,t0,t1}];$

[D]

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpLin , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

Fáziskép animáció 3D-ben

[D]
E

Az alábbi ábrán jól látható a megoldások viselkedése és az elfajulás módja.

[D]

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

[D]

phvol = PhaseVolImpBW [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , Axes › True , BoxRatios › Automatic ] ;

[D]

Show [ phvol , PlotLabel › ] ;

7.1.3. Példa. Egy differenciaegyenlet

Tekintsük az alábbi rendszert, amely nem más, mint egy egyszerű differenciaegyenlet:

[D]

( x y ) , = ( 0 0 0 0 ) . ( x y ) , ha t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( log ( t ) - 1 0 0 log ( t 2 ) - 1 ) . ( x ? ( t i - 0 ) y ? ( t i - 0 ) ) ,

ahol

[D]

t i = i ? ? . Legyen $H_0={{x,y}: x^2+y^2=1}$

[D]

H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 1 } , és

[D]

t 0 = 0 . Az impulzusmátrixok

[D]

t 1 = ? és

[D]

t 2 = 2 ? ? esetén elfajulók, az x illetve az y koordinátát nullázzák. A többi impulzus nemelfajuló. Emiatt a megoldások tere teljesen különbözik, ha

[D]

t 0 = 0 , e , 2 ? e . A formális számolások nélkül ábrázoljuk a megoldások integrálgörbéit és a fázisképeket. Az ábrákhoz nem szükséges további magyarázat.