Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

7. fejezet - Lineáris impulzív rendszerek

7. fejezet - Lineáris impulzív rendszerek

7.1. Lineáris rendszerek általános tulajdonságai

Ebben a fejezetben áttekintjük a lineáris rendszerek legfontosabb tulajdonságait. További részleteket és a tulajdonságok igazolását az olvasó Samoilenko és Perestjuk [25] könyvében találja.

Lineáris homogén rendszerek

Legyen adott a {t_i}

{ t i } monoton növő véges vagy végtelen, nem korlátos sorozat. Legyen az A(t): R_+›R^(n×n) A ? ( t ) : R + R n × n mátrixfüggvény balról folytonos minden t-re, és folytonos, kivéve a t=t_i t = t i értékeket. Legyenek adottak a B_i B i n×n-es mátrixok (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) . Ekkor az

x'=A(t)x, ha t?t_i x(t_i+0)=B_ix(t_i–0), (i=1, 2, ...) x ' = A ? ( t ) ? x , ha t ? t i x ? ( t i + 0 ) = B i ? x ? ( t i - 0 ) , ( i = 1 , 2 , ... ) (7.1.1)

rendszert homogén lineáris impulzív rendszernek nevezzük. A rendszer megoldásai balról folytonos függvények. Bármely t_0?0

t 0 ? 0 esetén a (7.1.1) rendszer megoldásai egyértelműen korlátlanul folytathatók előre. Amennyiben a B_i B i mátrixok nemelfajulók (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) , akkor minden megoldás egyértelműen visszafelé is folytatható. Ha valamelyik B_k B k mátrix szinguláris, akkor azok a megoldások, amelyek a t_k–0 t k - 0 pillanatban a B_k B k nullterében vannak, a t_k+0 t k + 0 pillanattól kezdve a triviális megoldással azonosak lesznek. Fordítva, visszafelé folytatásnál az azonosan zéró megoldásból t_k t k -ban keletkező megoldások lineáris teret alkotnak.

Nyilvánvaló, hogy ha valamely (t_0,T]

( t 0 , T ] intervallumon x_1(t) x 1 ( t ) és x_2(t) x 2 ( t ) a (7.1.1) homogén rendszer megoldásai, akkor tetszőleges c_1,c_2?R c 1 , ? c 2 ? R konstansok esetén c_1x_1(t) c 1 x 1 ( t ) + c_2x_2(t) c 2 ? x 2 ( t ) is megoldás, vagyis a homogén rendszerek megoldásai lineáris teret alkotnak. Ha minden t_i?(t_0,T] t i ? ? ( t 0 , T ] esetén B_i B i nemszinguláris, akkor (t_0,T] ( t 0 , T ] -n a megoldások tere n-dimenziós.

A differenciálegyenletek esetén ismert, hogy a homogén lineáris rendszerek megoldásai egyértelműen felírhatók az alaprendszer, az alapmátrix segítségével. A (7.1.1) rendszer esetén legyen az U_k(t,s)

U k ( t , s ) mátrixfüggvény az

x'=A(t)x
x ' = A ? ( t ) ? x

differenciálegyenlet alapmátrixa, ha t,s?(t_k,t_(k+1)]

t , s ? ( t k , t k + 1 ] , vagyis U_k(s,s)=E U k ( s , s ) = E (E az egységmátrix) és (d/dt)U_k(t,s)=A(t)U_k(t,s) d d ? t ? U k ( t , s ) = A ? ( t ) ? U k ( t , s ) és U_k(t,s)=U_k(s,t)^(–1) U k ( t , s ) = U k ( s , t ) - 1 . U_0(t,s) U 0 ( t , s ) jelöli az alapmátrixot, ha t,s?t_0 t , s ? t 0 . Hasonló tulajdonságokat várunk el a (7.1.1) impulzív rendszer alapmátrixától is. Ennek explicit megadásához írjuk fel rekurzív módon a megoldásokat. Tekintsük a (7.1.1) rendszer x(t,t_0,x_0) x ? ( t , t 0 , x 0 ) megoldását, melyre x(t_0,t_0,x_0)=x_0 x ? ( t 0 , t 0 , x 0 ) = x 0 . Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy t_0///<///t_1 t 0 ///</// t 1 . Ekkor, az alábbiak igazak:

x(t,t_0,x_0)=U_0(t,t_0)x_0, ha t?t_1; x(t_1+0,t_0,x_0)=B_1U_0(t_1,t_0)x_0; x(t,t_0,x_0)=U_1(t,t_1)B_1U_0(t_1,t_0)x_0, t?(t_1,t_2]; ... x(t,t_0,x_0)=U_k(t,t_k)B_k...U_1(t_2,t_1)B_1U_0(t_1,t_0)x_(0, )t?(t_k,t_(k+1)];
x ? ( t , t 0 , x 0 ) = U 0 ( t , t 0 ) ? x 0 , ha t ? t 1 ; x ? ( t 1 + 0 , t 0 , x 0 ) = B 1 ? U 0 ( t 1 , t 0 ) ? x 0 ; x ? ( t , t 0 , x 0 ) = U 1 ( t , t 1 ) ? B 1 ? U 0 ( t 1 , t 0 ) ? x 0 , t ? ( t 1 , t 2 ] ; ... x ? ( t , t 0 , x 0 ) = U k ( t , t k ) ? B k ... ? U 1 ( t 2 , t 1 ) ? B 1 ? U 0 ( t 1 , t 0 ) ? x 0 , ? t ? ? ? ( t k , t k + 1 ] ;

Az alapmátrix tehát t_0///<///t_1

t 0 ///</// t 1 és t?(t_k,t_(k+1)] t ? ( t k , t k + 1 ] esetén

X(t,t_0)=U_k(t,t_k)B_k...U_1(t_2,t_1)B_1U_0(t_1,t_0)
X ( t , t 0 ) = U k ( t , t k ) B k ... U 1 ( t 2 , t 1 ) B 1 ? U 0 ( t 1 , t 0 )

alakban írható. A B_i

B i mátrixok invertálhatóságára a t///<///t_i///<///t_0 t ///</// t i ///</// t 0 esetben van szükség. Az explicit felírást az olvasóra bízzuk. Megjegyezzük, hogy a mátrixok szorzása általában nem cserélhető fel. A fázisleképezés

?_(t,t_0)(x_0)=X(t,t_0)x_0
? t , t 0 ( x 0 ) = ? X ? ( t , t 0 ) ? x 0

alakban adható meg, ami minden rögzített t esetén az R^n

R n tér lineáris transzformációja, és nemelfajuló, ha a B_k B k mátrixok nemelfajulóak (t_0///<///t_k///<///t t 0 ///</// t k ///</// t ). A fázisképekkel részletesen a 6. fejezetben foglalkoztunk.

Végül, a differenciálegyenletekre vonatkozó Liouville formula felhasználásával kapjuk, hogy

det(X(t,t_0))=?_(i=1)^kdet(B_i) exp(?_(t_0)^tTr A(s)ds). det ? ( X ? ( t , t 0 ) ) = ? i = 1 k det ? ( B i ) ? exp ? ( ? t 0 t Tr ? A ? ( s ) ? ? s ) . (7.1.2)

Lineáris inhomogén rendszerek

Az

y'=A(t)y+g(t), ha t?t_i, y(t_i+0)=B_iy(t_i–0)+h_i, (i=1, 2, 3, ...) y ' = A ? ( t ) ? y + g ? ( t ) , ha t ? t i , y ? ( t i + 0 ) = B i ? y ? ( t i - 0 ) + h i , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (7.1.3)

rendszert, melyben g:R›R^n

g : R R n , h_i?R^n h i ? R n , lineáris inhomogén impulzív rendszernek nevezzük. Nyilvánvaló, hogy ha x(t) x ? ( t ) megoldása a (7.1.1) homogén rendszernek és y(t) y ? ( t ) megoldása a (7.1.3) inhomogén rendszernek, akkor x(t)+y(t) x ? ( t ) + y ? ( t ) is megoldása az inhomogén rendszernek. Fordítva, ha y_1(t) y 1 ( t ) és y_2(t) y 2 ( t ) megoldásai a (7.1.3)-nak, akkor y_1(t)–y_2(t) y 1 ( t ) - y 2 ( t ) az (7.1.1) homogén rendszernek megoldása. Innen kapjuk, hogy az inhomogén rendszer általános megoldását a homogén rendszer általános megoldásának és az inhomogén rendszer valamely partikuláris megoldásának az összege adja.

Tegyük fel, hogy a B_i

B i mátrixok nemszingulárisak. Ekkor a (7.1.3) rendszer y(t_0)=y_0 y ? ( t 0 ) = y 0 kezdeti értékből induló megoldása a konstansvariációs módszer általánosításával adható meg (a levezetés azonos a differenciálegyenleteknél megismerttel):

y(t,t_0,y_0)=X(t,t_0)[y_0+?_(t_0)^tX^(–1)(s,t_0)g(s)ds+?_(t_0///<///t_i///<///t)X(t,t_i+0)h_i] y ? ( t , t 0 , y 0 ) = X ? ( t , t 0 ) [ y 0 + ? t 0 t X - 1 ( s , t 0 ) ? g ? ( s ) ? ? s + ? t 0 ///</// t i ///</// t X ? ( t , t i + 0 ) ? h i ] (7.1.4)

Konstans együtthatós rendszerek

Legyen adott a {t_i}

{ t i } monoton növő, véges vagy végtelen, nem korlátos sorozat. Legyenek A,B A , B n×n n × n -es mátrixok (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) . Ekkor az

x'=Ax, ha t?t_i x(t_i+0)=Bx(t_i–0), (i=1, 2, 3, ...) x ' = A ? x , ha t ? t i x ? ( t i + 0 ) = B ? x ? ( t i - 0 ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (7.1.5)

rendszert konstans együtthatós, lineáris homogén rendszernek nevezzük.

Ha g_0?R,

g 0 ? R , és h_0?R h 0 ? R akkor az

y'=Ay+g_0, ha t?t_i y(t_i+0)=By(t_i–0)+h_0, (i=1, 2, 3, ...) y ' = A ? y + g 0 , ha t ? t i y ? ( t i + 0 ) = B ? y ? ( t i - 0 ) + h 0 , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (7.1.6)

rendszer konstans együtthatós, lineáris inhomogén rendszer.

Mivel az x'=Ax

x ' = A ? x egyenlet alapmegoldása U(t,s)=e^(A(t–s)) U ? ( t , s ) = ? A ? ( t - s ) , ezért a (7.1.4) rendszer alapmegoldására t_0///<///t_1 t 0 ///</// t 1 és t ? (t_k,t_(k+1)] ( t k , t k + 1 ] esetén kapjuk, hogy

X(t,t_0)=e^(A(t–t_k))B...Be^(A(t_2–t_1))Be^(A(t_1–t_0)).
X ? ( t , t 0 ) = ? A ? ( t - t k ) ? B ... ? B ? ? A ? ( t 2 - t 1 ) ? B ? ? A ? ( t 1 - t 0 ) .

Ha AB=BA,

A ? B = B ? A , akkor az alapmátrixban a szorzás felcserélhető, vagyis

X(t,t_0)=B^ke^(A(t–t_0)).
X ? ( t , t 0 ) = B k ? ? A ? ( t - t 0 ) .

Néhány példa: 2D lineáris rendszerek

A homogén rendszerek alapmegoldásának felírásánál láttuk, hogy a megoldások által kitöltött lineáris tér lényegesen függ attól, hogy melyik intervallumon tekintjük őket. Szinguláris B_i

B i mátrixok elfajulásokat okozhatnak (ilyen jelenség a differenciálegyenletek esetén nem fordulhat elő), továbbá a B_i B i és az A(t) A ? ( t ) mátrixok tulajdonságainak függetlensége miatt a megoldások menete érdekesen alakulhat. Erre mutatunk most néhány kísérleti példát. Megjegyezzük, hogy a rendszerek formális vizsgálatához a Mathematica lineáris algebrai eszközei alkalmazhatók. Az alábbi példákban síkbeli rendszereket tekintünk. A megoldásokat valamely origó középpontú H_0={{x,y}: x^2+y^2=r^2} H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = r 2 } körvonal pontjaiból indítjuk. A rendszerek tulajdonságainak megértését a H_0 H 0 halmaz fázisképeinek ábrázolása nagymértékben segíti.

7.1.1. Példa. Egy reguláris rendszer: impulzív stabilizálás

Először tekintsünk egy egyszerű nemelfajuló rendszert:

(x / y)^,=(–1 0 / 0 1) . (x / y), ha t?t_i, (x(t_i+0) / y(t_i+0))=(0 1 / 1 0) . (x(t_i–0) / y(t_i–0))
( x y ) , = ( - 1 0 0 1 ) . ( x y ) , ha t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( 0 1 1 0 ) . ( x ? ( t i - 0 ) y ? ( t i - 0 ) )

ahol t_i=i

t i = i . Legyen H_0={{x,y}: x^2+y^2=1} H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 1 } , és t_0=0 t 0 = 0 . A rendszer differenciálegyenletének az origó nyeregpontja. Látni fogjuk, hogy az impulzusok a koordináták felcserélésével az origót, mint egyensúlyi helyzetet stabilizálják.

  • A rendszer megadása

xyvar={x,y};

xyvar = { x , y } ;

A=(–1 0 / 0 1);xydot=A.xyvar;

A = ( - 1 0 0 1 ) ; xydot = A . xyvar ;

T=N[1.];Imax=50;tn=Table[nT,{n,1,Imax}];

T = N [ 1. ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

B=(0 1 / 1 0); Bn=Table[B,{i,1,Imax}];

B = ( 0 1 1 0 ) ; Bn = Table [ B , { i , 1 , Imax } ] ;

ImpLin[n_,tn_List,xn_List]:=Bn[[n]].xn;

ImpLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := Bn [ n ] . xn ;

t0=0.;t1=7.; dt=1.; x1=y1=–1.; x2=y2=1.;

t0 = 0. ; t1 = 7. ; dt = 1. ; x1 = y1 = - 1. ; x2 = y2 = 1. ;

  • Formális műveletek, formális megoldás

A megoldások vizsgálatához szükség van az A és a B

B mátrixok vizsgálatára. A mátrixok sajátértékei és sajátvektorai {{?_1,?_2},{v_1,v_2}} { { ? 1 , ? 2 } , { v 1 , v 2 } } alakban:

Eigensystem[A]

Eigensystem [ A ]

{{–1,1},{{1,0},{0,1}}}

{ { - 1 , 1 } , { { 1 , 0 } , { 0 , 1 } } }

Eigensystem[Bn[[1]]]

Eigensystem [ Bn [ 1 ] ]

{{–1,1},{{–1,1},{1,1}}}

{ { - 1 , 1 } , { { - 1 , 1 } , { 1 , 1 } } }

Jelen esetben az A mátrix konstans, ezért a differenciálegyenlet alapmátrixa:

MatrixExp[At]//MatrixForm

MatrixExp [ A ? t ] // MatrixForm

(e^(–t) 0 / 0 e^t)

( ? - t 0 0 ? t )

Az impulzív rendszer általános megoldása pedig (t_0=0

t 0 = 0 ):

thsol[t_]:=MatrixExp[AFractionalPart[t]].MatrixPower[B.MatrixExp[A],IntegerPart[t]]

thsol [ t_ ] := MatrixExp [ A ? FractionalPart [ t ] ] . MatrixPower [ B . MatrixExp [ A ] , IntegerPart [ t ] ]

  • A rendszer numerikus megoldása

Icond=Table[N[{Cos[u],Sin[u]},2],{u,0,2?,(?/8)}];

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

Traj[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpLin,Icond,{t,t0,t1}];

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpLin , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

  • Ábrázolások a fázistérben

A 2D fázistérben a trajektóriákat a szokásos módon (PhasePlot utasítás) ábrázolhatjuk. Mivel az impulzusok a koordinátákat felcserélik, a kép nem túl informatív. Érdemes a kezdeti értékek szerinti animációt készíteni, amint azt már a 4.4. fejezetben is tettük.

  • Fáziskép animáció 3D-ben E

    E

tnn=Prepend[Select[tn,Function[u,t0?u?t1]],t0];

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

phvol=PhaseVolImpBW[Traj[t],{t,tnn},{Thickness[0.015]},Axes›True,BoxRatios›{2,1,1}];

phvol = PhaseVolImpBW [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , Axes True , BoxRatios { 2 , 1 , 1 } ] ;

Show[phvol,PlotLabel›""];

Show [ phvol , PlotLabel ] ;

Ábrázolásaink sejtetik, és az általános megoldás vizsgálatával könnyen megmutatható, hogy minden megoldás periodikus (lásd a következő fejezetet).

7.1.2. Példa. Egy elfajuló rendszer

Tekintsünk az alábbi rendszert:

(x / y)^,=(0 1 / –1 0) . (x / y), ha t?t_i,(x(t_i+0) / y(t_i+0))=(1 0 / 0 0) . (x(t_i–0) / y(t_i–0)),
( x y ) , = ( 0 1 - 1 0 ) . ( x y ) , ha t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( 1 0 0 0 ) . ( x ? ( t i - 0 ) y ? ( t i - 0 ) ) ,

ahol t_i=i?/2

t i = i ? ? / 2 . Legyen H_0={{x,y}: x^2+y^2=1} H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 1 } , és t_0=0 t 0 = 0 . A differenciálegyenlet a harmonikus oszcillátor egyenlete, amely által létesített fázisleképezés valamely (t_i,t_(i+1)) ( t i , t i + 1 ) intervallumon ?/2 szöggel való elforgatás. Az impulzusok az y koordinátát nullázzák (a sebesség nulla lesz).

Definiáljuk a rendszert, adjuk meg a formális és közelítő megoldást, majd végül ábrázoljuk őket a 3D térben. Látni fogjuk, hogy a t_0=0

t 0 = 0 pillanatban induló megoldások által generált fázisleképezés invertálható, ha t?[0,?/2), t ? [ 0 , ? / 2 ) , a nulltere egydimenziós, ha t?[?/2,?), t ? [ ? / 2 , ? ) , és a leképezés azonosan nulla leképezés, ha t?? t ? ? .

  • A rendszer megadása

xyvar={x,y}; A=(0 1 / –1 0);xydot=A.xyvar;

xyvar = { x , y } ; A = ( 0 1 - 1 0 ) ; xydot = A . xyvar ;

T=N[(?/2)];Imax=50;tn=Table[nT,{n,1,Imax}];

T = N [ ? 2 ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

B=(1 0 / 0 0);Bn=Table[B,{i,1,Imax}];

B = ( 1 0 0 0 ) ; Bn = Table [ B , { i , 1 , Imax } ] ;

ImpLin[n_,tn_List,xn_List]:=Bn[[n]].xn;

ImpLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := Bn [ n ] . xn ;

t0=0.;t1=(3?/2);dt=(?/2);

t0 = 0. ; t1 = 3 ? ? 2 ; dt = ? 2 ;

x1=y1=–1.;x2=y2=1.;

x1 = y1 = - 1. ; x2 = y2 = 1. ;

  • Formális műveletek, formális megoldás

Az A és B

B mátrixok sajátértékei és sajátvektorai {{?_1,?_2}, {v_1,v_2}} { { ? 1 , ? 2 } , { v 1 , v 2 } } formában:

Eigensystem[A]

Eigensystem [ A ]

{{–i,i},{{i,1},{–i,1}}}

{ { - ? , ? } , { { ? , 1 } , { - ? , 1 } } }

Eigensystem[Bn[[1]]]

Eigensystem [ Bn [ 1 ] ]

{{0,1},{{0,1},{1,0}}}

{ { 0 , 1 } , { { 0 , 1 } , { 1 , 0 } } }

A differenciálegyenlet általános megoldása:

MatrixExp[At]//MatrixForm

MatrixExp [ A ? t ] // MatrixForm

(Cos[t] Sin[t] / –Sin[t] Cos[t])

( Cos [ t ] Sin [ t ] - Sin [ t ] Cos [ t ] )

Az impulzív rendszer általános megoldása (t_0=0

t 0 = 0 ):

thsol[t_]:=MatrixExp[A(t–IntegerPart[(t/T)])].MatrixPower[B.MatrixExp[A],IntegerPart[(t/T)]]

thsol [ t_ ] := MatrixExp [ A ? ( t - IntegerPart [ t T ] ) ] . MatrixPower [ B . MatrixExp [ A ] , IntegerPart [ t T ] ]

  • A rendszer numerikus megoldása

Icond=Table[N[{Cos[u],Sin[u]},2],{u,0,2?,(?/8)}];

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

Traj[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpLin,Icond,{t,t0,t1}];

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpLin , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

  • Fáziskép animáció 3D-ben E

    E

Az alábbi ábrán jól látható a megoldások viselkedése és az elfajulás módja.

tnn=Prepend[Select[tn,Function[u,t0?u?t1]],t0];

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

phvol=PhaseVolImpBW[Traj[t],{t,tnn},{Thickness[0.015]},Axes›True,BoxRatios›Automatic];

phvol = PhaseVolImpBW [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , Axes True , BoxRatios Automatic ] ;

Show[phvol,PlotLabel›""];

Show [ phvol , PlotLabel ] ;

7.1.3. Példa. Egy differenciaegyenlet

Tekintsük az alábbi rendszert, amely nem más, mint egy egyszerű differenciaegyenlet:

(x / y)^,=(0 0 / 0 0) . (x / y), ha t?t_i, (x(t_i+0) / y(t_i+0))=(log(t)–1 0 / 0 log((t/2))–1) . (x(t_i–0) / y(t_i–0)),
( x y ) , = ( 0 0 0 0 ) . ( x y ) , ha t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( log ( t ) - 1 0 0 log ( t 2 ) - 1 ) . ( x ? ( t i - 0 ) y ? ( t i - 0 ) ) ,

ahol t_i=ie

t i = i ? ? . Legyen H_0={{x,y}: x^2+y^2=1} H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 1 } , és t_0=0 t 0 = 0 . Az impulzusmátrixok t_1=e t 1 = ? és t_2=2e t 2 = 2 ? ? esetén elfajulók, az x illetve az y koordinátát nullázzák. A többi impulzus nemelfajuló. Emiatt a megoldások tere teljesen különbözik, ha t_0=0, e, 2e. t 0 = 0 , e , 2 ? e . A formális számolások nélkül ábrázoljuk a megoldások integrálgörbéit és a fázisképeket. Az ábrákhoz nem szükséges további magyarázat.

  • A rendszer megadása

xyvar={x,y}; A=(0 0 / 0 0);xydot=A.xyvar;

xyvar = { x , y } ; A = ( 0 0 0 0 ) ; xydot = A . xyvar ;

T=N[e];Imax=50;tn=Table[nT,{n,1,Imax}];

T = N [ ? ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

tnn=Prepend[Select[tn,Function[u,t0?u?t1]],t0];

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

B[t_]:=(Log[t]–1 0 / 0 Log[(t/2)]–1); Bn=Table[B[iT],{i,1,Imax}];

B [ t_ ] := ( Log [ t ] - 1 0 0 Log [ t 2 ] - 1 ) ; Bn = Table [ B [ i ? T ] , { i , 1 , Imax } ] ;

ImpLin[n_,tn_List,xn_List]:=Bn[[n]].xn;

ImpLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := Bn [ n ] . xn ;

  • A t_0=0

    t 0 = 0 eset E E

t0=0.;t1=4e;dt=e;Icond=Table[N[{Cos[u],Sin[u]},2],{u,0,2?,(?/8)}];

t0 = 0. ; t1 = 4 ? ? ; dt = ? ; Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

Traj[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpLin,Icond,{t,t0,t1}];

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpLin , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

phvol=PhaseVolImpBW[Traj[t],{t,tnn},{Thickness[0.015]},Axes›True,BoxRatios›{3,1,1}];

phvol = PhaseVolImpBW [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , Axes True , BoxRatios { 3 , 1 , 1 } ] ;

Show[phvol,PlotLabel›""];

Show [ phvol , PlotLabel ] ;

Minden megoldás azonosan nulla, ha t///>///2e

t ///>/// 2 ? ? . A további két esetben csak az eredményeket láthatjuk. A program azonos a fentivel.

  • A t_0=e

    t 0 = ? eset

t0=e;t1=5e;dt=e;

t0 = ? ; t1 = 5 ? ? ; dt = ? ;

Minden megoldás y koordinátája azonosan nulla, ha t///>///2e

t ///>/// 2 ? ? .

  • A t_0=2e

    t 0 = 2 ? ? eset

t0=2e+0.01;t1=6e;dt=e;

t0 = 2 ? ? + 0.01 ; t1 = 6 ? ? ; dt = ? ;

A rendszer nemelfajuló, ha t///>///2e

t ///>/// 2 ? ? .