Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

7.2. Lineáris periodikus rendszerek

7.2. Lineáris periodikus rendszerek

Ebben a fejezetben áttekintjük a lineáris periodikus rendszerek legfontosabb tulajdonságait és a vizsgálatukhoz alkalmazható legfontosabb Mathematica-eszközöket. További részletek Samoilenko és Perestjuk [25] könyvében találhatók.

Homogén lineáris periodikus rendszerek

Tekintsük először az általános lineáris homogén

x'=A(t)x, ha t?t_i x(t_i+0)=B_ix(t_i–0), (i=1, 2, 3, ...) x ' = A ? ( t ) ? x , ha t ? t i x ? ( t i + 0 ) = B i ? x ? ( t i - 0 ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (7.2.1)

rendszert, ahol {t_i}

{ t i } monoton növő végtelen, nem korlátos sorozat, A(t): R_+›R^(n×n) A ? ( t ) : R + R n × n balról folytonos mátrixfüggvény, és folytonos kivéve a t=t_i t = t i értékeket. A B_i B i n×n n × n -es mátrixok (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) nemszingulárisak.

A (7.2.1) rendszer periodikus és periódusa p, ha minden t?R_+

t ? R + esetén A(t+p)=A(t) A ? ( t + p ) = A ? ( t ) , és létezik egy k_p k p természetes szám, úgy hogy minden k=1,2, ... k = 1 , 2 , ... esetén t_(k+k_p)–t_k=p t k + k p - t k = p és B_(k+k_p)=B_k B k + k p = B k .

Belátható, hogy ha X(t,t_0)

X ? ( t , t 0 ) a (7.2.1) rendszer alapmátrixa, akkor X(t+p,t_0) X ? ( t + p , t 0 ) szintén alapmátrix és X(t+p+t_0,t_0)=X(t,t_0)X(p+t_0,t_0) X ? ( t + p + t 0 , t 0 ) = X ? ( t , t 0 ) ? X ? ( p + t 0 , t 0 ) , ahol X(p+t_0,t_0) X ? ( p + t 0 , t 0 ) a rendszer egy monodrómia mátrixa, amely nem más, mint a rendszer megoldásai által generált ?_(t,t_0)(x_0) ? t , t 0 ( x 0 ) fázisleképezés mátrixa, ha t=t_0+p t = t 0 + p . Általában, ha kp+t_0///<///t///<///(k+1)p+t_0 k ? p + t 0 ///</// t ///</// ( k + 1 ) ? p + t 0 , akkor X(t,t_0)=X(t–kp–t_0,t_0)X^k(p+t_0,t_0) X ? ( t , t 0 ) = X ? ( t - ? k ? p - t 0 , t 0 ) ? X k ( p + t 0 , t 0 ) a periodicitás miatt. A B_i B i mátrixok regularitása miatt a X(t,t_0) X ? ( t , t 0 ) mátrix nemelfajuló. Emiatt a rendszer tulajdonságait egyetlen rögzített t_0 t 0 pillanathoz tartozó monodrómia- mátrix határozza meg. Speciálisan, legyen t_0=t_(k_p)–p(///<///t_1) t 0 = t k p - p ? ( ///</// t 1 ) . Ekkor a t_0 t 0 pillanatban induló megoldások értéke valamely t=Nt_(k_p)+0 t = N ? t k p + 0 pillanatban az alábbi:

x(Nt_(k_p)+0,t_0,x_0)=(?_(j=1)^(k_p)B_jU_(j–1)(t_j,t_(j–1)))^Nx_0, x ? ( N ? t k p + 0 , t 0 , x 0 ) = ( ? j = 1 k p B j ? U j - 1 ( t j , t j - 1 ) ) N ? x 0 , (7.2.2)

ahol U_j(t,s)

U j ( t , s ) az x'=A(t)x x ' = A ? ( t ) ? x differenciálegyenlet alapmátrixa, ha t,s?(t_j,t_(j+1)] t , s ? ( t j , t j + 1 ] , ahol U_j(s,s)=E U j ( s , s ) = E . U_0(t,s) U 0 ( t , s ) jelöli az alapmátrixot, ha t,s?t_1 t , s ? t 1 . Innen kapjuk, hogy az

M=?_(j=1)^(k_p)B_jU_(j–1)(t_j,t_(j–1)) M = ? j = 1 k p B j ? U j - 1 ( t j , t j - 1 ) (7.2.3)

monodrómia-mátrix tulajdonságai meghatározzák a megoldások tulajdonságait, amelyek teljesen hasonlóan fogalmazhatók meg a lineáris periodikus differenciálegyenletek megoldásaihoz (Floquet elmélet). A legfontosabb tulajdonságokat az alábbiakban foglaljuk össze. A bizonyításokat az olvasóra bízzuk.

7.2.1. Tétel.

Az M mátrixnak valamely ? akkor és csakis akkor sajátértéke, ha a (7.2.1) rendszernek van x(t+p)=?x(t)

x ? ( t + p ) = ? ? x ? ( t ) tulajdonságú megoldása.

7.2.2. Tétel.

A (7.2.1) rendszernek akkor és csakis akkor van kp

k ? p periódusú megoldása, ha az M^k M k mátrixnak ?=1 ? = 1 sajátértéke.

Végül megfogalmazzuk a Floquet tétel általánosítását.

7.2.3. Tétel.

A (7.2.1) periodikus rendszer konstans együtthatós rendszerré transzformálható.

  • A szinguláris B_i

    B i mátrixok esete

Tudjuk, hogy ha egy vagy több B_i

B i mátrix szinguláris, akkor a megoldások visszafelé nem folytathatók egyértelműen, ezért általában a megoldások tulajdonságai lényegesen függnek a kezdeti pillanat megválasztásától. A periodicitás miatt a viselkedés különböző lehet, ha t_0=t_1, t_2, ..., t_(k_p) t 0 = t 1 , t 2 , ... , t k p , de nem lehetséges olyan drámai eltérés, mint az általános esetben. Valamely t_i t i (0///<///i///<///k_p) ( 0 ///</// i ///</// k p ) kezdőpillanatokhoz tartozó M_i M i monodrómia-mátrix (ami a (7.2.3) képlet szerint megadott M mátrix definíciójában levő szorzat egy ciklikus permutációja) a t_i t i pillanattól kezdve jellemzi a megoldásokat. Ha t_j///<///t_i t j ///</// t i , akkor X(t,t_j)=X(t,t_i)X(t_i,t_j) X ? ( t , t j ) = X ( t , t i ) ? X ? ( t i , t j ) , ahol X(t,t_i) X ( t , t i ) már az M_i M i -vel jellemezhető, X(t_i,t_j) X ? ( t i , t j ) pedig szinguláris is lehet, ami a t_i t i -beli kezdetiérték-halmazt szűkíti. Ez a meggondolás mutatja, hogy periodikus rendszer esetén bármely t_0 t 0 -ból induló megoldások egy periódus eltelte után hasonlóan viselkednek. Erre vonatkozóan később tekintünk példát.

Inhomogén lineáris periodikus rendszerek

Tekintsük a lineáris inhomogén

x'=A(t)x+g(t), ha t?t_i, x(t_i+0)=B_ix(t_i–0)+h_i, (i=1, 2, 3, ...) x ' = A ? ( t ) ? x + g ? ( t ) , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = B i ? x ? ( t i - 0 ) + h i , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (7.2.4)

rendszert, ahol {t_i}

{ t i } monoton növő végtelen, nem korlátos sorozat, A(t): R_+›R^(n×n) A ? ( t ) : R + R n × n és g(t): R_+›R^n g ? ( t ) : R + R n folytonos függvények, kivéve a t=t_i t = t i értékeket, ahol balról folytonosak. A B_i B i n×n n × n -es mátrixok (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) nemszingulárisak, és h_i?R^n h i ? R n .

A (7.2.4) rendszer periodikus és periódusa p, ha minden t?R_+

t ? R + esetén A(t+p)=A(t) A ? ( t + p ) = A ? ( t ) , g(t+p)=g(t) g ? ( t + p ) = g ? ( t ) , és létezik egy k_p k p természetes szám, úgy hogy minden k=1,2, ... k = 1 , 2 , ... esetén B_(k+k_p)=B_k B k + k p = B k , h_(k+k_p)=h_k h k + k p = h k és t_(k+k_p)=t_k+p t k + k p = t k + p .

A (7.2.4) inhomogén rendszer tulajdonságai az inhomogén lineáris differenciálegyenletek tulajdonságaihoz analóg módon kaphatók. Lényeges különbség szinguláris B_i

B i mátrixok esetén lehetséges. Ezekkel a kísérletek során foglalkozunk. A (7.2.4) rendszerre vonatkozóan a legfontosabb tulajdonság az alábbi:

7.2.4. Tétel.

Ha a (7.2.1) rendszernek nincs nemtriviális periodikus megoldása, akkor tetszőleges g(t)

g ? ( t ) p-periodikus függvény és {h_i} { h i } sorozat (h_(i+k_p)=h_i h i + k p = h i ) esetén a (7.2.4) rendszernek pontosan egy periodikus megoldása van.

A periodikus és korlátos megoldások létezése között a lineáris impulzív rendszerek esetén is szoros a kapcsolat. Az alábbi állítás a számítógépes kísérletek szempontjából igen fontos, mivel a korlátosság a kísérletek segítségével sokkal könnyebben sejthető meg, mint periodikus megoldás létezése.

7.2.5. Tétel.

A (7.2.4) rendszernek akkor és csakis akkor van periodikus megoldása, ha van korlátos megoldása. Innen adódik, hogy ha a rendszernek nincs periodikus megoldása, akkor minden megoldás nem-korlátos.

Számítógépes vizsgálatok

7.2.1. Példa. Egy reguláris homogén rendszer (folytatás)

Tekintsük újra a 7.1.1. példában már vizsgált nemelfajuló rendszert:

(x / y)^,=(–1 0 / 0 1) . (x / y), ha t?t_i, (x(t_i+0) / y(t_i+0))=(0 1 / 1 0) . (x(t_i–0) / y(t_i–0)),
( x y ) , = ( - 1 0 0 1 ) . ( x y ) , ha t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( 0 1 1 0 ) . ( x ? ( t i - 0 ) y ? ( t i - 0 ) ) ,

ahol t_i=i

t i = i . Legyen H_0={{x,y}: x^2+y^2=1} H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 1 } kezdeti halmaz, és legyen t_0=0 t 0 = 0 . Emlékeztetőül, a megoldások és a fázisképek a 3D térben:

A differenciálegyenlet konstans együtthatós, az impulzusok egyenlő távolságra követik egymás, ezért a rendszer periodikus. Határozzuk meg a monodrómia-mátrix sajátértékeit.

A=(–1 0 / 0 1); T=N[1.]; B=(0 1 / 1 0)

A = ( - 1 0 0 1 ) ; T = N [ 1. ] ; B = ( 0 1 1 0 )

Az M monodrómia-mátrix:

M=MatrixPower[B.MatrixExp[A],1]; M//MatrixForm

M = MatrixPower [ B . MatrixExp [ A ] , 1 ] ; M // MatrixForm

(0 e / (1/e) 0)

( 0 ? 1 ? 0 )

Az M mátrix sajátértékei és sajátvektorai:

Eigensystem[M]

Eigensystem [ M ]

{{–1,1},{{–e,1},{e,1}}}

{ { - 1 , 1 } , { { - ? , 1 } , { ? , 1 } } }

Innen kapjuk, hogy a {–e,1}

{ - ? , 1 } kezdeti értékhez tartozó megoldás p=1 p = 1 -et tekintve alternál, az {e,1} { ? , 1 } kezdeti vektorhoz tartozó megoldás pedig periodikus. Következésképpen, minden megoldás p=2 p = 2 periódusú, amit a fenti ábra is mutat. Az M^2 M 2 mátrixot közvetlenül is ellenőrizhetjük:

MM=MatrixPower[B.MatrixExp[A],2]; MM//MatrixForm

MM = MatrixPower [ B . MatrixExp [ A ] , 2 ] ; MM // MatrixForm

(1 0 / 0 1)

( 1 0 0 1 )

7.2.2. Példa. Egy elfajuló periodikus rendszer

Tekintsünk az alábbi rendszert:

(x / y)^,=(0 1 / –1 0) . (x / y), ha t?t_i, (x(t_i+0) / y(t_i+0))=(sin^2(t_i) 0 / –1 1) . (y(t_i–0) / x(t_i–0)), ( x y ) , = ( 0 1 - 1 0 ) . ( x y ) , ha ? t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( sin 2 ( t i ) 0 - 1 1 ) . ( y ? ( t i - 0 ) x ? ( t i - 0 ) ) , (7.2.5)

ahol t_i=?/4

t i = ? / 4 . Legyen H_0={{x,y}: x^2+y^2=1} H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 1 } , és t_0=0 t 0 = 0 . A differenciálegyenlet egy harmonikus oszcillátor egyenlete, amely által egy (t_i,t_(i+1)) ( t i , t i + 1 ) intervallumon létesített fázisleképezés egyszerűen ?/4 szöggel való elforgatás. A rendszer ?/2 ? / 2 periodikus, és a B_(2i) B 2 ? i mátrixok szingulárisak, ezért külön kell vizsgálnunk az

M_1=B_2e^(A(?/4))B_1e^(A(?/4))
M 1 = B 2 ? ? A ? ? 4 ? B 1 ? ? A ? ? 4

és

M_2=B_1e^(A(?/4))B_2e^(A(?/4))
M 2 = B 1 ? ? A ? ? 4 ? B 2 ? ? A ? ? 4

monodrómia-mátrixokat, ahol B_1=(0 0 / –1 1)

B 1 = ( 0 0 - 1 1 ) és B_2=(0.5 0 / –1 1) B 2 = ( 0.5 0 - 1 1 ) . A számolások mellett ábrázoljuk a t_0=0 t 0 = 0 és t_0=(?/4)+0 t 0 = ? 4 + 0 kezdőpontból induló megoldásokat.

  • A rendszer megadása

xyvar={x,y}; A=(0 1 / –1 0); xydot=A.xyvar;

xyvar = { x , y } ; A = ( 0 1 - 1 0 ) ; xydot = A . xyvar ;

T=(?/4);Imax=50; tn=Table[nT,{n,1,Imax}];

T = ? 4 ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

B[t_]:=(Sin[2t]^2 0 / –1 1); Bn=Table[B[iT],{i,1,Imax}];

B [ t_ ] := ( Sin [ 2 ? t ] 2 0 - 1 1 ) ; Bn = Table [ B [ i ? T ] , { i , 1 , Imax } ] ;

ImpLin[n_,tn_List,xn_List]:=Bn[[n]].xn;

ImpLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := Bn [ n ] . xn ;

  • A monodrómia-mátrixok vizsgálata

Számítsuk ki az M_1

M 1 és M_2 M 2 mátrixok sajátértékeit és sajátvektorait.

M1=Bn[[2]].MatrixExp[AT].Bn[[1]].MatrixExp[AT];MatrixForm[M1]

M1 = Bn [ 2 ] . MatrixExp [ A ? T ] . Bn [ 1 ] . MatrixExp [ A ? T ] ; MatrixForm [ M1 ]

(0 0 / –1 –1)

( 0 0 - 1 - 1 )

esys1=Eigensystem[M1]

esys1 = Eigensystem [ M1 ]

{{–1,0},{{0,1},{–1,1}}}

{ { - 1 , 0 } , { { 0 , 1 } , { - 1 , 1 } } }

M2=Bn[[3]].MatrixExp[AT].Bn[[2]].MatrixExp[AT]; MatrixForm[M2]

M2 = Bn [ 3 ] . MatrixExp [ A ? T ] . Bn [ 2 ] . MatrixExp [ A ? T ] ; MatrixForm [ M2 ]

(–1 0 / 0 0)

( - 1 0 0 0 )

esys2=Eigensystem[M2]

esys2 = Eigensystem [ M2 ]

{{–1,0},{{1,0},{0,1}}}

{ { - 1 , 0 } , { { 1 , 0 } , { 0 , 1 } } }

További számolások nélkül is látható, hogy mindkét esetben elfajuló a megoldások tere, és mivel –1

- 1 az M_1 M 1 és M_2 M 2 mátrixok sajátértéke, van ?/2 ? / 2 periodikus megoldás. Ezek kezdeti értéke a monodrómia-mátrixok négyzetének egyik megfelelő sajátvektora:

Eigensystem[MatrixPower[M1,2]]

Eigensystem [ MatrixPower [ M1 , 2 ] ]

{{0,1},{{–1,1},{0,1}}}

{ { 0 , 1 } , { { - 1 , 1 } , { 0 , 1 } } }

Eigensystem[MatrixPower[M2,2]]

Eigensystem [ MatrixPower [ M2 , 2 ] ]

{{0,1},{{0,1},{1,0}}}

{ { 0 , 1 } , { { 0 , 1 } , { 1 , 0 } } }

Mindkét mátrixnak a ?=0, 1

? = 0 , 1 a sajátértékei. Vegyük észre, hogy

Bn[[1]].MatrixExp[AT].{0,1}

Bn [ 1 ] . MatrixExp [ A ? T ] . { 0 , 1 }

{(1/?2),0}

{ 1 2 , 0 }

Bn[[1]].MatrixExp[AT].{–1,1}

Bn [ 1 ] . MatrixExp [ A ? T ] . { - 1 , 1 }

{0,?2}

{ 0 , 2 }

vagyis, a fázisleképezés a (0,?/4]

( 0 , ? / 4 ] intervallumon az M_1 M 1 mátrix ?=1,0 ? = 1 , 0 sajátértékekhez tartozó sajátvektorát az M_2 M 2 megfelelő sajátvektorába viszi át. Ebből adódik, hogy a kezdőpillanattól függően, legfeljebb ?/4 ? / 4 idő múlva minden megoldás periodikussá, vagy azonosan nullává válik. A t_0=0 t 0 = 0 és t_0=(?/4) t 0 = ? 4 kezdőpillanatokból induló megoldásokat ábrázoljuk az alábbiakban. A programok a két esetben azonosak, ezért a második esetben a programsorokat elrejtjük. A közös adatok:

x0=y0=–1.;x1=y1=1.;

x0 = y0 = - 1. ; x1 = y1 = 1. ;

Icond=Table[(1/2)N[{Cos[u],Sin[u]},2],{u,0,2?,(?/4)}];

Icond = Table [ 1 2 ? N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 4 } ] ;

  • A megoldások t_0=0

    t 0 = 0 esetén

Az egységkör pontjaiból induló megoldásokat határozzuk meg.

t0=0.;t1=t0+8T;dt=T;

t0 = 0. ; t1 = t0 + 8 ? T ; dt = T ;

Traj0[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpLin,Icond,{t,t0,t1}];

Traj0 [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpLin , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

Helytakarékosság miatt csak két jellegzetes megoldás koordinátáit rajzoljuk meg. E

E

SolPlot[Traj0[t],{t,t0,t1},xyvar,PlotRange›All];

SolPlot [ Traj0 [ t ] , { t , t0 , t1 } , xyvar , PlotRange All ] ;

  • A megoldások és a fázisképek: E

    E

tnn=Prepend[Select[tn,Function[u,t0?u?t1]],t0];

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

phvol0=PhaseVolImpBW[Traj0[t],{t,tnn},{Thickness[0.015]},Axes›True,BoxRatios›{3,1,1}];

phvol0 = PhaseVolImpBW [ Traj0 [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , Axes True , BoxRatios { 3 , 1 , 1 } ] ;

Show[phvol0,PlotLabel›""];

Show [ phvol0 , PlotLabel ] ;

  • A megoldások t_0=(?/4)

    t 0 = ? 4 esetén

t0=(?/4);t1=t0+8T;dt=T;

t0 = ? 4 ; t1 = t0 + 8 ? T ; dt = T ;

Helytakarékosság miatt csak két jellegzetes megoldás koordinátáit rajzoljuk meg. E

E

  • A megoldások és a fázisképek E

    E