Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

8. fejezet - Stabilitás

8. fejezet - Stabilitás

8.1. Fogalmak, definíciók

Tekintsük az általános alakú impulzív rendszereket. Legyenek adottak a S_1, S_2, ..., S_i, ...: R×R^n›R^n

S 1 , S 2 , ... , S i , ... : R × R n R n , és az I_1, I_2, ..., I_i,... : I 1 , I 2 , ... , I i , ... : R^n›R^n R n R n folytonos függvények. Tegyük fel, hogy ha S_i(t,x)=S_j(t,x)=0 S i ( t , x ) = S j ( t , x ) = 0 (i,j=1,2,...), ( i , j = 1 , 2 , ... ) , akkor I_i(t,x)=I_j(t,x)=0 I i ( t , x ) = I j ( t , x ) = 0 . Legyen adott továbbá az f:R×R^n›R^n f : R × R n R n függvény, amely folytonos, ha S_i(t,x)?0 S i ( t , x ) ? 0 és elsőfajú szakadása van a S_i(t,x)=0 S i ( t , x ) = 0 egyenlőséget kielégítő pontokban (i=1, 2, 3, ...) ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) . Ekkor tekintsük az

x'=f(t,x), ha S_i(x(t))?0, x(?+0)=I_i(x(?–0)), ha S_i(?,x(?))=0, (i=1, 2, 3, ...) x ' = f ? ( t , x ) , ha S i ( x ( t ) ) ? 0 , x ? ( ? + 0 ) = I i ( x ? ( ? - 0 ) ) , ha S i ( ? , x ( ? ) ) = 0 , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (8.1.1)

rendszert. Definíció szerint a rendszer megoldásai mindenütt balról folytonos, szakaszonként folytonosan differenciálható függvények, amelyeknek elsőrendű szakadásuk van az impulzusok bekövetkezésének pillanatában.

Most legyen ?(t)

? ? ( t ) a (8.1.1) rendszer valamely megoldása, amely definiálva van a [0,?) [ 0 , ? ) intervallumon. Impulzusok hatnak rá a

0??_1///<///?_1///<///...///<///?_k...
0 ? ? 1 ///</// ? 1 ///</// ... ///</// ? k ...

pillanatokban, és lim_(k›?)?_k=?

lim k ? ? ? k = ? . Emlékeztetünk rá, hogy általában az impulzusok bekövetkezésének pillanatai megoldásonként változnak, és valamely megoldásra többször is hathat ugyanaz az impulzus. Ez a feltétel az ilyen hatásokat korlátozza.

Ljapunov stabilitás

A Ljapunov-féle stabilitási tulajdonságok esetén, ha a megoldások valamely kezdeti pillanatban közel vannak a ? megoldáshoz, akkor elvárjuk, hogy később minden pillanatban is közel maradjanak.

8.1.1. Definíció.

Azt mondjuk, hogy a (8.1.1) rendszer ?(t)

? ? ( t ) megoldása

  • stabilis, ha minden ?///>///0

    ? ///>/// 0 és ?///>///0 ? ///>/// 0 számhoz és minden t_0?R_+ t 0 ? R + pillanathoz (|t_0–?_i|///>///? | t 0 - ? ? i | ///>/// ? minden i-re) létezik ?///>///0 ? ///>/// 0 úgy, hogy ha |x_0–?(t_0)|///<///? | x 0 - ? ? ( t 0 ) | ///</// ? , akkor |x(t,t_0,x_0)–?(t)|///<///? | x ? ( t , t 0 , x 0 ) - ? ? ? ( t ) | ///</// ? minden olyan t///>///t_0 t ///>/// t 0 esetén, amelyre |t–?_i|///>///? | t - ? ? i | ///>/// ? ;

  • egyenletesen stabilis, ha minden ?///>///0

    ? ///>/// 0 és ?///>///0 ? ///>/// 0 számhoz létezik ?///>///0 ? ///>/// 0 úgy, hogy minden t_0?R_+ t 0 ? R + kezdeti pillanatra (|t_0–?_i|///>///? | t 0 - ? ? i | ///>/// ? minden i-re), ha |x_0–?(t_0)|///<///? | x 0 - ? ? ( t 0 ) | ///</// ? , akkor |x(t,t_0,x_0)–?(t)|///<///? | x ? ( t , t 0 , x 0 ) - ? ? ? ( t ) | ///</// ? minden olyan t///>///t_0 t ///>/// t 0 esetén, amelyre |t–?_i|///>///? | t - ? ? i | ///>/// ? ;

  • attraktív, ha minden ?///>///0

    ? ///>/// 0 számhoz létezik ?///>///0 ? ///>/// 0 úgy, hogy minden t_0?R_+ t 0 ? R + kezdeti pillanatra (|t_0–?_i|///>///? | t 0 - ? ? i | ///>/// ? minden i-re), ha |x_0–?(t_0)|///<///? | x 0 - ? ? ( t 0 ) | ///</// ? , akkor lim_(t›?,|t–?_i|///>///?)|x(t,t_0,x_0)–?(t)|=0 lim t ? , | t - ? i | ///>/// ? ? | x ? ( t , t 0 , x 0 ) - ? ? ? ( t ) | = 0 ;

  • egyenletesen attraktív, ha minden ?///>///0

    ? ///>/// 0 számhoz létezik ?///>///0 ? ///>/// 0 úgy, hogy minden t_0?R_+ t 0 ? R + kezdeti pillanatra (|t_0–?_i|///>///? | t 0 - ? ? i | ///>/// ? minden i-re), ha |x_0–?(t_0)|///<///? | x 0 - ? ? ( t 0 ) | ///</// ? teljesül, akkor lim_(t›?,|t–?_i|///>///?)|x(t,t_0,x_0)–?(t)|=0 lim t ? , | t - ? i | ///>/// ? ? | x ? ( t , t 0 , x 0 ) - ? ? ? ( t ) | = 0 , és a konvergencia x_0 x 0 -ban egyenletes;

  • aszimptotikusan stabilis, ha stabilis és attraktív;

  • egyenletesen aszimptotikusan stabilis, ha egyenletesen stabilis és egyenletesen attraktív;

  • exponenciálisan stabilis, ha van olyan K///>///0

    K ///>/// 0 és ?///>///0 ? ///>/// 0 szám, hogy minden ?///>///0 ? ///>/// 0 számhoz létezik ?///>///0 ? ///>/// 0 úgy, hogy minden t_0?R_+ t 0 ? R + kezdeti pillanatra (amelyre minden i esetén |t_0–?_i|///>///? | t 0 - ? ? i | ///>/// ? ), |x_0–?(t_0)|///<///? | x 0 - ? ? ( t 0 ) | ///</// ? teljesülése maga után vonja |x(t,t_0,x_0)–?(t)|?Ke^(–?(t–t_0)) | x ? ( t , t 0 , x 0 ) - ? ? ( t ) | ? K ? ? - ? ? ( t - t 0 ) teljesülését minden |t–?_i|///>///? | t - ? i | ///>/// ? esetén;

  • instabilis, ha léteznek olyan ?///>///0

    ? ///>/// 0 és ?///>///0 ? ///>/// 0 számok, és létezik olyan t_0?R_+ t 0 ? R + pillanat (|t_0–?_i|///>///? | t 0 - ? ? i | ///>/// ? minden i-re), hogy minden ?///>///0 ? ///>/// 0 esetén van olyan kezdeti x_0 x 0 érték úgy, hogy |x_0–?(t_0)|///<///? | x 0 - ? ? ( t 0 ) | ///</// ? , és |x(t,t_0,x_0)–?(t)|///>///? | x ? ( t , t 0 , x 0 ) - ? ? ? ( t ) | ///>/// ? valamely olyan t///>///t_0 t ///>/// t 0 esetén, amelyre |t–?_i|///>///?; | t - ? ? i | ///>/// ? ;

Fontos speciális eset az egyensúlyi helyzetek stabilitási tulajdonságainak vizsgálata. Az egyensúlyi helyzetekre nem hat impulzus. Ekkor a fenti definíciók lényegesen egyszerűbbé válnak és a differenciálegyenleteknél megszokott módon írhatók le. Az x^_

x _ egyensúlyi helyzetről (konstans megoldásról) feltesszük, hogy a (8.1.1) rendszer megoldása a [0,?) [ 0 , ? ) intervallumon.

8.1.2. Definíció.

Azt mondjuk, hogy a (8.1.1) rendszer x^_

x _ egyensúlyi helyzete

  • stabilis, ha minden ?///>///0

    ? ///>/// 0 számhoz és minden t_0?R_+ t 0 ? R + pillanathoz létezik ?///>///0 ? ///>/// 0 úgy, hogy ha |x_0–x^_|///<///? | x 0 - x _ | ///</// ? , akkor |x(t,t_0,x_0)–x^_|///<///? | x ? ( t , t 0 , x 0 ) - ? x _ | ///</// ? minden t///>///t_0 t ///>/// t 0 esetén;

  • egyenletesen stabilis, ha minden ?///>///0

    ? ///>/// 0 számhoz létezik ?///>///0 ? ///>/// 0 úgy, hogy minden t_0?R_+ t 0 ? R + kezdeti pillanatra, ha |x_0–x^_|///<///? | x 0 - x _ | ///</// ? , akkor |x(t,t_0,x_0)–x^_|///<///? | x ? ( t , t 0 , x 0 ) - ? x _ | ///</// ? minden t///>///t_0 t ///>/// t 0 esetén;

  • attraktív, ha létezik ?///>///0

    ? ///>/// 0 , úgy hogy minden t_0?R_+ t 0 ? R + kezdeti pillanatra, ha |x_0–x^_|///<///?, | x 0 - x _ | ///</// ? , akkor lim_(t›?)|x(t,t_0,x_0)–x^_|=0; lim t ? | x ? ( t , t 0 , x 0 ) - ? x _ | = 0 ;

  • egyenletesen attraktív, ha létezik ?///>///0

    ? ///>/// 0 úgy, hogy minden t_0?R_+ t 0 ? R + kezdeti pillanat esetén, ha |x_0–x^_|///<///? | x 0 - x _ | ///</// ? , akkor lim_(t›?)|x(t,t_0,x_0)–x^_|=0 lim t ? ? | x ? ( t , t 0 , x 0 ) - ? x _ | = 0 teljesül, és a konvergencia x_0 x 0 -ban egyenletes;

  • aszimptotikusan stabilis, ha stabilis és attraktív;

  • egyenletesen aszimptotikusan stabilis, ha egyenletesen stabilis és egyenletesen attraktív;

  • exponenciálisan stabilis, ha léteznek olyan K///>///0

    K ///>/// 0 , ?///>///0 ? ///>/// 0 és ?///>///0 ? ///>/// 0 számok úgy, hogy ha minden t_0?R_+ t 0 ? R + kezdeti pillanat esetén |x_0–x^_|///<///? | x 0 - x _ | ///</// ? teljesül, akkor |x(t,t_0,x_0)–x^_|?Ke^(–?(t–t_0)); | x ? ( t , t 0 , x 0 ) - ? x _ | ? K ? ? - ? ? ( t - t 0 ) ;

  • instabilis, ha létezik olyan ?///>///0

    ? ///>/// 0 szám, és létezik olyan t_0?R_+ t 0 ? R + pillanat, hogy minden ?///>///0 ? ///>/// 0 esetén van olyan kezdeti x_0 x 0 érték úgy, hogy |x_0–x^_|///<///? | x 0 - x _ | ///</// ? és |x(t,t_0,x_0)–x^_|///>///? | x ? ( t , t 0 , x 0 ) - ? x _ | ///>/// ? valamely t///>///t_0 t ///>/// t 0 esetén.

  • Megjegyzés

Fontos megjegyeznünk, hogy a megoldások kezdeti értékektől való folytonos függése és a stabilitás között szoros kapcsolat van. Mindkét tulajdonság azt kívánja meg, hogy a kezdeti értékek kis eltérése esetén a megoldások kicsit térjenek el egymástól. A különbség csupán annyi, hogy a folytonos függésnél ennek minden egyes véges [t_0,T)

[ t 0 , T ) intervallum esetén (ahol a megoldás létezik), a stabilitásnál az egész [t_0,?) [ t 0 , ? ) intervallumon kell teljesülni. Emiatt az egyes módszerek, bizonyítási eszközök nagyon hasonlóak.

További stabilitási tulajdonságok

A fent definiált stabilitási tulajdonságok a megoldások kezdeti értékének kicsi megváltozásával szembeni stabilitást fejezik ki. Számos más stabilitási definíció létezik (lásd például [24]). Míg a Ljapunov stabilitás a megoldások távolságát azonos pillanatokban korlátozza, az orbitális stabilitás a megoldások trajektóriái, mint halmazok közti távolságot nem engedi nagyra nőni. Ennek az autonóm és periodikus rendszereknél van jelentősége. A totális stabilitás fogalma a differenciálegyenlet jobb oldalának és az impulzusoknak kismértékű ingadozásával szembeni stabilitást fejezi ki. Nem célunk, hogy mindezekkel a fogalmakkal itt foglalkozzunk, de megjegyezzük, hogy kísérleti eszközeink messzemenően alkalmasak más jellegű stabilitási tulajdonságok vizsgálatának támogatására is.