8.1. Fogalmak, definíciók
Tekintsük az általános alakú impulzív rendszereket. Legyenek adottak a 
S
1
,
S
2
,
...
,
S
i
,
...
:
R
×
R
n
›
R
n
, és az 
I
1
,
I
2
,
...
,
I
i
,
...
:
R
n
›
R
n
folytonos függvények. Tegyük fel, hogy ha 
S
i
(
t
,
x
)
=
S
j
(
t
,
x
)
=
0
(
i
,
j
=
1
,
2
,
...
)
,
akkor 
I
i
(
t
,
x
)
=
I
j
(
t
,
x
)
=
0
. Legyen adott továbbá az 
f
:
R
×
R
n
›
R
n
függvény, amely folytonos, ha 
S
i
(
t
,
x
)
?
0
és elsőfajú szakadása van a 
S
i
(
t
,
x
)
=
0
egyenlőséget kielégítő pontokban 
(
i
=
1
,
2
,
3
,
...
)
. Ekkor tekintsük az
rendszert. Definíció szerint a rendszer megoldásai mindenütt balról folytonos, szakaszonként folytonosan differenciálható függvények, amelyeknek elsőrendű szakadásuk van az impulzusok bekövetkezésének pillanatában.
Most legyen 
?
?
(
t
)
a (8.1.1) rendszer valamely megoldása, amely definiálva van a 
[
0
,
?
)
intervallumon. Impulzusok hatnak rá a
pillanatokban, és 
lim
k
›
?
?
?
k
=
?
. Emlékeztetünk rá, hogy általában az impulzusok bekövetkezésének pillanatai megoldásonként változnak, és valamely megoldásra többször is hathat ugyanaz az impulzus. Ez a feltétel az ilyen hatásokat korlátozza.
Ljapunov stabilitás
A Ljapunov-féle stabilitási tulajdonságok esetén, ha a megoldások valamely kezdeti pillanatban közel vannak a ? megoldáshoz, akkor elvárjuk, hogy később minden pillanatban is közel maradjanak.
8.1.1. Definíció.
Azt mondjuk, hogy a (8.1.1) rendszer 
?
?
(
t
)
megoldása
stabilis, ha minden 
?
///>///
0
és 
?
///>///
0
számhoz és minden 
t
0
?
R
+
pillanathoz (
|
t
0
-
?
?
i
|
///>///
?
minden i-re) létezik 
?
///>///
0
úgy, hogy ha 
|
x
0
-
?
?
(
t
0
)
|
///<///
?
, akkor 
|
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
-
?
?
?
(
t
)
|
///<///
?
minden olyan 
t
///>///
t
0
esetén, amelyre 
|
t
-
?
?
i
|
///>///
?
;
egyenletesen stabilis, ha minden 
?
///>///
0
és 
?
///>///
0
számhoz létezik 
?
///>///
0
úgy, hogy minden 
t
0
?
R
+
kezdeti pillanatra (
|
t
0
-
?
?
i
|
///>///
?
minden i-re), ha 
|
x
0
-
?
?
(
t
0
)
|
///<///
?
, akkor 
|
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
-
?
?
?
(
t
)
|
///<///
?
minden olyan 
t
///>///
t
0
esetén, amelyre 
|
t
-
?
?
i
|
///>///
?
;
attraktív, ha minden 
?
///>///
0
számhoz létezik 
?
///>///
0
úgy, hogy minden 
t
0
?
R
+
kezdeti pillanatra (
|
t
0
-
?
?
i
|
///>///
?
minden i-re), ha 
|
x
0
-
?
?
(
t
0
)
|
///<///
?
, akkor 
lim
t
›
?
,
|
t
-
?
i
|
///>///
?
?
|
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
-
?
?
?
(
t
)
|
=
0
;
egyenletesen attraktív, ha minden 
?
///>///
0
számhoz létezik 
?
///>///
0
úgy, hogy minden 
t
0
?
R
+
kezdeti pillanatra (
|
t
0
-
?
?
i
|
///>///
?
minden i-re), ha 
|
x
0
-
?
?
(
t
0
)
|
///<///
?
teljesül, akkor 
lim
t
›
?
,
|
t
-
?
i
|
///>///
?
?
|
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
-
?
?
?
(
t
)
|
=
0
, és a konvergencia 
x
0
-ban egyenletes;
aszimptotikusan stabilis, ha stabilis és attraktív;
egyenletesen aszimptotikusan stabilis, ha egyenletesen stabilis és egyenletesen attraktív;
exponenciálisan stabilis, ha van olyan 
K
///>///
0
és 
?
///>///
0
szám, hogy minden 
?
///>///
0
számhoz létezik 
?
///>///
0
úgy, hogy minden 
t
0
?
R
+
kezdeti pillanatra (amelyre minden i esetén 
|
t
0
-
?
?
i
|
///>///
?
), 
|
x
0
-
?
?
(
t
0
)
|
///<///
?
teljesülése maga után vonja 
|
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
-
?
?
(
t
)
|
?
K
?
?
-
?
?
(
t
-
t
0
)
teljesülését minden 
|
t
-
?
i
|
///>///
?
esetén;
instabilis, ha léteznek olyan 
?
///>///
0
és 
?
///>///
0
számok, és létezik olyan 
t
0
?
R
+
pillanat (
|
t
0
-
?
?
i
|
///>///
?
minden i-re), hogy minden 
?
///>///
0
esetén van olyan kezdeti 
x
0
érték úgy, hogy 
|
x
0
-
?
?
(
t
0
)
|
///<///
?
, és 
|
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
-
?
?
?
(
t
)
|
///>///
?
valamely olyan 
t
///>///
t
0
esetén, amelyre 
|
t
-
?
?
i
|
///>///
?
;
Fontos speciális eset az egyensúlyi helyzetek stabilitási tulajdonságainak vizsgálata. Az egyensúlyi helyzetekre nem hat impulzus. Ekkor a fenti definíciók lényegesen egyszerűbbé válnak és a differenciálegyenleteknél megszokott módon írhatók le. Az 
x
_
egyensúlyi helyzetről (konstans megoldásról) feltesszük, hogy a (8.1.1) rendszer megoldása a 
[
0
,
?
)
intervallumon.
8.1.2. Definíció.
Azt mondjuk, hogy a (8.1.1) rendszer 
x
_
egyensúlyi helyzete
stabilis, ha minden 
?
///>///
0
számhoz és minden 
t
0
?
R
+
pillanathoz létezik 
?
///>///
0
úgy, hogy ha 
|
x
0
-
x
_
|
///<///
?
, akkor 
|
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
-
?
x
_
|
///<///
?
minden 
t
///>///
t
0
esetén;
egyenletesen stabilis, ha minden 
?
///>///
0
számhoz létezik 
?
///>///
0
úgy, hogy minden 
t
0
?
R
+
kezdeti pillanatra, ha 
|
x
0
-
x
_
|
///<///
?
, akkor 
|
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
-
?
x
_
|
///<///
?
minden 
t
///>///
t
0
esetén;
attraktív, ha létezik 
?
///>///
0
, úgy hogy minden 
t
0
?
R
+
kezdeti pillanatra, ha 
|
x
0
-
x
_
|
///<///
?
,
akkor 
lim
t
›
?
|
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
-
?
x
_
|
=
0
;
egyenletesen attraktív, ha létezik 
?
///>///
0
úgy, hogy minden 
t
0
?
R
+
kezdeti pillanat esetén, ha 
|
x
0
-
x
_
|
///<///
?
, akkor 
lim
t
›
?
?
|
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
-
?
x
_
|
=
0
teljesül, és a konvergencia 
x
0
-ban egyenletes;
aszimptotikusan stabilis, ha stabilis és attraktív;
egyenletesen aszimptotikusan stabilis, ha egyenletesen stabilis és egyenletesen attraktív;
exponenciálisan stabilis, ha léteznek olyan 
K
///>///
0
, 
?
///>///
0
és 
?
///>///
0
számok úgy, hogy ha minden 
t
0
?
R
+
kezdeti pillanat esetén 
|
x
0
-
x
_
|
///<///
?
teljesül, akkor 
|
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
-
?
x
_
|
?
K
?
?
-
?
?
(
t
-
t
0
)
;
instabilis, ha létezik olyan 
?
///>///
0
szám, és létezik olyan 
t
0
?
R
+
pillanat, hogy minden 
?
///>///
0
esetén van olyan kezdeti 
x
0
érték úgy, hogy 
|
x
0
-
x
_
|
///<///
?
és 
|
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
-
?
x
_
|
///>///
?
valamely 
t
///>///
t
0
esetén.
Fontos megjegyeznünk, hogy a megoldások kezdeti értékektől való folytonos függése és a stabilitás között szoros kapcsolat van. Mindkét tulajdonság azt kívánja meg, hogy a kezdeti értékek kis eltérése esetén a megoldások kicsit térjenek el egymástól. A különbség csupán annyi, hogy a folytonos függésnél ennek minden egyes véges 
[
t
0
,
T
)
intervallum esetén (ahol a megoldás létezik), a stabilitásnál az egész 
[
t
0
,
?
)
intervallumon kell teljesülni. Emiatt az egyes módszerek, bizonyítási eszközök nagyon hasonlóak.
További stabilitási tulajdonságok
A fent definiált stabilitási tulajdonságok a megoldások kezdeti értékének kicsi megváltozásával szembeni stabilitást fejezik ki. Számos más stabilitási definíció létezik (lásd például [24]). Míg a Ljapunov stabilitás a megoldások távolságát azonos pillanatokban korlátozza, az orbitális stabilitás a megoldások trajektóriái, mint halmazok közti távolságot nem engedi nagyra nőni. Ennek az autonóm és periodikus rendszereknél van jelentősége. A totális stabilitás fogalma a differenciálegyenlet jobb oldalának és az impulzusoknak kismértékű ingadozásával szembeni stabilitást fejezi ki. Nem célunk, hogy mindezekkel a fogalmakkal itt foglalkozzunk, de megjegyezzük, hogy kísérleti eszközeink messzemenően alkalmasak más jellegű stabilitási tulajdonságok vizsgálatának támogatására is.
