Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

8.2. Lineáris rendszerek stabilitása

8.2. Lineáris rendszerek stabilitása

Ebben a fejezetben lineáris rendszerek stabilitására vonatkozó legfontosabb eredményekkel foglalkozunk, majd ezen tulajdonságok vizsgálatára végzünk szimulációkat. További részleteket és a bizonyításokat az olvasó az [1,2,3,25]

[ 1 , 2 , 3 , 25 ] monográfiákban talál.

Elméleti áttekintés

Tekintsük az általános lineáris homogén

x'=A(t)x, ha t?t_i x(t_i+0)=B_ix(t_i–0), (i=1, 2, 3, ...) x ' = A ? ( t ) ? x , ha t ? t i x ? ( t i + 0 ) = B i ? x ? ( t i - 0 ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (8.2.1)

rendszert, ahol {t_i}

{ t i } monoton növő végtelen, nem korlátos sorozat, az A(t): R_+›R^(n×n) A ? ( t ) : R + R n × n mátrixfüggvény folytonos, kivéve a t=t_i t = t i értékeket, ahol elsőfajú szakadásai vannak.

A lineáris rendszerek tulajdonságai között megmutattuk, hogy valamely t_0

t 0 pillanatban induló megoldás általános alakja

x(t,t_0,x_0)=X(t,t_0)x_0=U_k(t,t_k)(?_(j=2)^kB_jU_(j–1)(t_j,t_(j–1)))B_1U_0(t_0,t_1)x_0, ha t_0///<///t_1, t?(t_k,t_(k+1)], x(t,t_0,x_0)=X(t,t_0)x_0=U_k(t,t_k)(?_(j=k_0+1)^kB_jU_(j–1)(t_j,t_(j–1)))B_(k_0+1)U_(k_0)(t_(k_0),t_(k_0+1))x_0, ha t_0?(t_(k_0),t_(k_0+1)], t?(t_k,t_(k+1)], x ( t , t 0 , x 0 ) = X ( t , t 0 ) ? x 0 = U k ( t , t k ) ? ( ? j = 2 k B j ? U j - 1 ( t j , t j - 1 ) ) ? B 1 ? U 0 ( t 0 , t 1 ) ? x 0 , ha ? t 0 ///</// t 1 , t ? ( t k , t k + 1 ] , x ( t , t 0 , x 0 ) = X ( t , t 0 ) ? x 0 = U k ( t , t k ) ? ( ? j = k 0 + 1 k B j ? U j - 1 ( t j , t j - 1 ) ) ? B k 0 + 1 ? U k 0 ( t k 0 , t k 0 + 1 ) ? x 0 , ha ? t 0 ? ( t k 0 , t k 0 + 1 ] , t ? ( t k , t k + 1 ] , (8.2.2)

ahol U_j(t,s)

U j ( t , s ) az

x'=A(t)x
x ' = A ? ( t ) ? x

egyenlet alapmátrixa, ha t,s?(t_j,t_(j+1)]

t , s ? ( t j , t j + 1 ] . U_0(t,s) U 0 ( t , s ) jelöli az alapmátrixot, ha t,s?t_1 t , s ? t 1 .

A lineáris differenciálegyenletekre ismert tételek általánosításai igazak.

8.2.1. Tétel.

A (8.2.1) rendszer zérómegoldása

  • stabilis, akkor és csakis akkor, ha X(t,t_0)

    X ? ( t , t 0 ) korlátos R_+ R + -on minden t_0 t 0 esetén;

  • aszimptotikusan stabilis, akkor és csakis akkor, ha lim_(t›?)X(t,t_0)=0

    lim t ? X ? ( t , t 0 ) = 0 minden t_0 t 0 esetén;

  • instabilis, akkor és csakis akkor, ha X(t,t_0)

    X ? ( t , t 0 ) nem korlátos R_+ R + -on valamely t_0 t 0 esetén.

Ha a B_i

B i mátrixok nemszingulárisak, akkor elegendő a feltételeket megkövetelni az X(t,0) X ? ( t , 0 ) mátrixra.

Hasonló állítások fogalmazhatók meg az egyenletes stabilitásra és egyenletes aszimptotikus stabilitásra is [1,2,3,25],

[ 1 , 2 , 3 , 25 ] , feltéve, hogy a B_i B i mátrixok nemszingulárisak. A stabilitási kritériumok különösen egyszerűek a szakaszonként konstans együtthatós és a periodikus rendszerek esetén. Tekintsük az

x'=A_0x, ha t?t_1, x'=A_ix, ha t?(t_i,t_(i+1)] x(t_i+0)=B_ix(t_i–0), (i=1, 2, 3, ...) x ' = A 0 ? x , ha t ? ? t 1 , x ' = A i ? x , ha t ? ? ( t i , t i + 1 ] x ? ( t i + 0 ) = B i ? x ? ( t i - 0 ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (8.2.3)

ahol A_i

A i és B_i B i (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) n×n n × n -es mátrixok. Ekkor az általános megoldás

x(t,t_0,x_0)=X(t,t_0)x_0=e^(A_k(t–t_k))(?_(j=2)^kB_je^(A_(j–1)(t_j–t_(j–1))))B_1e^(A_0(t_1–t_0))x_0,
x ? ( t , t 0 , x 0 ) = X ? ( t , t 0 ) ? x 0 = ? A k ( t - t k ) ? ( ? j = 2 k B j ? ? A j - 1 ( t j - t j - 1 ) ) ? B 1 ? ? A 0 ( t 1 - t 0 ) ? x 0 ,

ahol t_0///<///t_1, t?(t_k,t_(k+1)]

t 0 ///</// t 1 , t ? ( t k , t k + 1 ] . Könnyen bebizonyítható az alábbi állítás:

8.2.2. Tétel.

A (8.2.3) rendszer zérómegoldása aszimptotikusan stabilis, ha 0///<///?_0?t_(i+1)–t_i??_1///<///?

0 ///</// ? 0 ? t i + 1 - t i ? ? 1 ///</// ? , és az alábbi feltételek egyike teljesül:

  • ?B_ie^(A_(i–1)(t_i–t_(i–1)))??q///<///1

    ? B i ? ? A i - 1 ( t i - t i - 1 ) ? ? q ///</// 1 valamely mátrixnorma esetén (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) ;

  • lim_(i›?)B_ie^(A_(i–1)(t_i–t_(i–1)))=C

    lim i ? ? B i ? ? A i - 1 ( t i - t i - 1 ) = C , és C sajátértékeinek abszolút értéke egynél kisebb.

A speciális A_i=A

A i = A , B_i=B B i = B és t_i–t_(i–1)=T t i - t i - 1 = T esetben az általános megoldásban levő szorzat tényezői azonosak, ezért a fenti tétel egyszerűbb alakban írható:

8.2.3. Tétel.

Legyen A_i=A

A i = A , B_i=B B i = B és t_i–t_(i–1)=T t i - t i - 1 = T . A (8.2.3) rendszer zérómegoldása

  • stabilis, ha a Be^(AT)

    B ? ? A ? T mátrix minden sajátértékének abszolút értéke egynél nem nagyobb;

  • aszimptotikusan stabilis, ha a Be^(AT)

    B ? ? A ? T mátrix minden sajátértékének abszolút értéke egynél kisebb;

  • instabilis, ha a Be^(AT)

    B ? ? A ? T mátrixnak van olyan sajátértéke, amelyiknek az abszolút értéke egynél nagyobb.

Ha a (8.2.1) rendszerben A(t)=A

A ? ( t ) = A , B_i=B B i = B és A B = B A, akkor az általános megoldás alakja igen egyszerű:

x(t,t_0,x_0)=e^(A(t–t_0))B^(i(t))x_0,
x ? ( t , t 0 , x 0 ) = ? A ? ( t - t 0 ) ? B i ? ( t ) ? x 0 ,

ahol i(t)

i ? ( t ) a (t_0, t) ( t 0 , t ) intervallumba eső t_i t i impulzus-pillanatok száma. Erre az esetre is megfogalmazhatók stabilitási eredmények. Ezt a feladatot most az olvasóra bízzuk.

Nemautonóm periodikus rendszerek esetén az alábbi állítás igaz:

8.2.4. Tétel.

Legyen a (8.2.1) rendszer p-periodikus (definíció a 7.2. fejezetben). Ekkor:

  • Minden megoldás stabilis, akkor és csakis akkor, ha minden M monodrómia- mátrix (nemelfajuló esetben az egyik mátrix) minden ?_i

    ? i sajátértékére |?_i|?1 | ? i | ? 1 , és a |?_i|=1 | ? i | = 1 tulajdonságú sajátértékek egyszeresek.

  • A (8.2.1) rendszer minden megoldása aszimptotikusan stabilis, akkor és csakis akkor, ha az M mátrixoknak minden ?_i

    ? i sajátértékére |?_i|///<///1 | ? i | ///</// 1 .

  • A (8.2.1) rendszer minden megoldása instabilis, ha az M mátrixoknak van |?_i|///>///1

    | ? i | ///>/// 1 tulajdonságú sajátértéke.

Végül tekintsük az

x'=A(t)x+g(t), ha t?t_i, x(t_i+0)=B_ix(t_i–0)+h_i, (i=1, 2, 3, ...) x ' = A ? ( t ) ? x + g ? ( t ) , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = B i ? x ? ( t i - 0 ) + h i , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (8.2.4)

inhomogén lineáris rendszert. A megoldások struktúrája alapján nyilvánvaló az alábbi eredmény:

8.2.5. Tétel.

A (8.2.4) rendszer minden megoldása stabilis, aszimptotikusan stabilis, ..., instabilis, akkor és csakis akkor, ha a (8.2.1) rendszer zérómegoldása rendelkezik az adott tulajdonsággal.

Számítógépes vizsgálatok

8.2.1. Példa. Impulzív stabilizálás (folytatás)

Tekintsük még egyszer a 7.1.1. példában már vizsgált nemelfajuló rendszert:

(x / y)^,=(–1 0 / 0 1) . (x / y), ha t?t_i, (x(t_i+0) / y(t_i+0))=(0 1 / 1 0) . (x(t_i–0) / y(t_i–0))
( x y ) , = ( - 1 0 0 1 ) . ( x y ) , ha ? t ? t i , ( x ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( 0 1 1 0 ) . ( x ? ( t i - 0 ) y ? ( t i - 0 ) )

ahol t_i=i

t i = i . A rendszer nemelfajuló, monodrómia-mátrixa M=(Be^A)^2?E M = ( B ? ? A ) 2 ? E , minden megoldás periodikus, amiből a zérómegoldás stabilitása következik.

8.2.2. Példa. Egy elfajuló instabilis rendszer

Tekintsünk az alábbi rendszert:

(x / y)^,=(1 1 / 0 1) . (x / y), ha t?t_i, (x(t_i+0) / y(t_i+0))=(0 0 / 0 0.7) . (x(t_i–0) / y(t_i–0))
( x y ) , = ( 1 1 0 1 ) . ( x y ) , ha t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( 0 0 0 0.7 ) . ( x ? ( t i - 0 ) y ? ( t i - 0 ) )

ahol t_i=i

t i = i . Legyen H_0={{x,y}: x^2+y^2=1} H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 1 } , és t_0=0 t 0 = 0 . A differenciálegyenlet önmagában instabilis. Ugyanakkor az impulzusok az x koordinátát nullázzák, az y koordinátát csökkentik. Definiáljuk a rendszert, adjuk meg a formális és közelítő megoldást, majd végül ábrázoljuk a megoldásokat a 3D térben. Látni fogjuk, hogy a differenciálegyenlet és az impulzusok hatása közül a differenciálegyenlet insabilitása az erősebb. Megjegyezzük, hogy a fázisleképezés invertálható, ha t?[0,1), t ? [ 0 , 1 ) , a nulltere egydimenziós, ha t?1 t ? 1 .

  • A rendszer megadása

xyvar={x,y}; A=(1 1 / 0 1); xydot=A.xyvar;

xyvar = { x , y } ; A = ( 1 1 0 1 ) ; xydot = A . xyvar ;

T=1;Imax=50;tn=Table[nT,{n,1,Imax}];

T = 1 ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

B=(0 0 / 0 0.7);Bn=Table[B,{i,1,Imax}];ImpLin[n_,tn_List,xn_List]:=Bn[[n]].xn;

B = ( 0 0 0 0.7 ) ; Bn = Table [ B , { i , 1 , Imax } ] ; ImpLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := Bn [ [ n ] ] . xn ;

t0=0.; t1=4; dt=T;

t0 = 0. ; t1 = 4 ; dt = T ;

x0=y0=–1.; x1=y1=1.;

x0 = y0 = - 1. ; x1 = y1 = 1. ;

A teljesség kedvéért írjuk fel az impulzív rendszer általános megoldását (t_0=0

t 0 = 0 ):

thsol[t_]:=MatrixExp[A(t–IntegerPart[(t/T)])].MatrixPower[B.MatrixExp[AT],IntegerPart[(t/T)]]

thsol [ t_ ] := MatrixExp [ A ? ( t - IntegerPart [ t T ] ) ] . MatrixPower [ B . MatrixExp [ A ? T ] , IntegerPart [ t T ] ]

  • Az instabilitás ellenőrzése

A rendszer T=1

T = 1 periodikus, ezért a stabilitási tulajdonságok vizsgálatához elegendő tekintenünk az M=Be^(AT) M = B ? ? A ? T monodrómia-mátrixot:

M=B.MatrixExp[AT]; M//MatrixForm

M = B . MatrixExp [ A ? T ] ; M // MatrixForm

(0. 0. / 0. 1.9028)

( 0. 0. 0. 1.9028 )

További számolások nélkül is látható, hogy a megoldások első koordinátája azonosan nulla minden t_i+0

t i + 0 pillanatban, és a második koordináta exponenciálisan tart a végtelenbe.

  • A rendszer numerikus megoldása

Icond=Table[(1/2)N[{Cos[u],Sin[u]},2],{u,0,2?,(?/8)}];

Icond = Table [ 1 2 ? N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

Traj[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpLin,Icond,{t,t0,t1}];

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpLin , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

  • Ábrázolások a fázistérben

Ábrázoljuk a rendszer trajektóriáit:

p0=PhasePlot[Traj[t],{t,t0,t1},AxesLabel›{x,y},AspectRatio›1,PlotRange›All];

p0 = PhasePlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel { x , y } , AspectRatio 1 , PlotRange All ] ;

  • Fáziskép animáció 3D-ben E

    E

tnn=Prepend[Select[tn,Function[u,t0?u?t1]],t0];

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

phvol=PhaseVolImpBW[Traj[t],{t,tnn},{Thickness[0.015]},Axes›True,BoxRatios›{2,1,1}];

phvol = PhaseVolImpBW [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , Axes True , BoxRatios { 2 , 1 , 1 } ] ;

Show[phvol,PlotLabel›"",ViewPoint-///>///{2.412, –2.029, 1.231}];

Show [ phvol , PlotLabel , ViewPoint -///>/// { 2.412 , - 2.029 , 1.231 } ] ;

Láthatjuk, hogy az impulzusok megoldáscsökkentő hatása nem elegendő az exponenciális növekedés ellensúlyozására. A stabilitás érdekében az impulzusokat „erősíteni” vagy a köztük eltelt időt csökkenteni kell (lásd az alábbi feladatot).

Feladatok és kísérletek

8.2.1. Feladat.

A fenti példában változtassuk meg az impulzus B mátrixát, vagy az impulzusok közti időtartamot olyan módon, hogy a rendszer zérómegoldása stabilis illetve aszimptotikusan stabilis legyen. Végezzünk kísérleteket, és adjunk formális feltételeket.