Impulzív jelenségek modelljei|Digitális Tankönyvtár

Főoldal > Tankönyvtár > Könyvek > Természettudományok > Matematika

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

Beágyazás

8.3. Stabilitásvizsgálatok lineáris közelítéssel

Ebben a fejezetben áttekintjük a perturbált lineáris rendszerek legfontosabb tulajdonságait. További részleteket és a bizonyításokat az olvasó az

[D]

[ 1 , 3 , 25 ] monográfiákban talál.

Elméleti áttekintés

Tekintsünk egy nemlineáris impulzív rendszert rögzített pillanatokban ható impulzusokkal:

[D]

x ' = ? f ? ( t , x ) , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = J i ? ( x ? ( t i - 0 ) ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) ,

(8.3.1)

amelyben

[D]

f ? ( t , 0 ) = 0 és

[D]

J i ( 0 ) = 0 , amiből adódik, hogy

[D]

x = 0 a rendszer megoldása, egyensúlyi helyzete. Ha az f és

[D]

J i függvények folytonosan differenciálhatók az x változó szerint

[D]

? x ? ? h esetén, akkor az origó közelében felírhatók

[D]

f ? ( t , x ) = A ? ( t ) ? x + g ? ( t , x ) és J n ( x ) = B i ? x + I i ( x )

alakban, ahol

[D]

A ? ( t ) = f x ' ( t , 0 ) , B n = ( J i ) x ' . Ekkor a (8.3.1) rendszer az alábbi alakúnak tekinthető:

[D]

x ' = A ? ( t ) ? x + g ? ( t , x ) , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = B i ? x ? ( t i - 0 ) + I i ( x ? ( t i - 0 ) ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) ,

(8.3.2)

melyben az

[D]

A ? ( t ) és

[D]

B n mátrixok a lineáris rendszereknél (7.1. fejezet) leírt feltételeknek tesznek eleget;

[D]

g : R × R n › R n ,

[D]

I i : R n › R n folytonosak, ha

[D]

? x ? ? h és

[D]

g ? ( t , 0 ) = 0 , I i ( 0 ) = 0. Tekintsük a (8.3.2) rendszer lineáris közelítését, az

[D]

x ' = A ? ( t ) ? x , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = B i ? x ? ( t i - 0 ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... )

(8.3.3)

lineáris rendszert. A lineáris közelítéssel való stabilitásvizsgálatoknál a (8.3.2) alakú rendszerek stabilitási tulajdonságaira következtetünk az (8.3.3) lineáris rendszer segítségével. Azt várjuk, hogy ha a perturbáció „kicsi”, akkor a megoldás tulajdonságait a (8.3.3) rendszer viselkedése határozza meg.

A módszer lényege egyszerű. Adott megoldás esetén a (8.3.2) rendszer tekinthető egy inhomogén lineáris rendszernek. Ennek megoldásai pedig felírhatók a konstansvariációs formula segítségével

x(t,t_0,x_0)=X(t,t_0)[x_0+?_(t_0)^tX^(–1)(s,t_0)g(s,x(s,t_0,x_0))ds+ ?_(t_0///<///t_i///<///t)X(t,t_i+0)I_i(x(t_i,t_0,x_0))]

[D]

x ? ( t , t 0 , x 0 ) = X ? ( t , t 0 ) [ x 0 + ? t 0 t X - 1 ( s , t 0 ) ? g ? ( s , x ? ( s , t 0 , x 0 ) ) ? ? s + ? t 0 ///</// t i ///</// t X ? ( t , t i + 0 ) ? I i ( x ? ( t i , t 0 , x 0 ) ) ]

(8.3.4)

alakban, ahol

[D]

X ? ( t , t 0 ) a (8.3.3) rendszer alapmátrixa. Mindkét oldal normáját véve becslést kapunk, ahol a bal és jobb oldalon egyaránt szerepel az

[D]

x ? ( t , t 0 , x 0 ) függvény. A vizsgálat alapját a Bellman lemma általánosítása jelenti:

8.3.1. Tétel.

Tegyük fel, hogy a nemnegatív, szakaszonként folytonos

[D]

u ? ( t ) függvény a

[D]

t ? t 0 esetén teljesíti az

[D]

u ? ( t ) ? C + ? t 0 t v ? ( ? ) ? u ? ( ? ) ? ? ? + ? t 0 ///</// t i ///</// t ß i ? u ( t i )

(8.3.5)

egyenlőtlenséget, ahol

[D]

C ? 0 ,

[D]

ß i ? 0 ,

[D]

v ? ( t ) ///>/// 0 , és

[D]

t i

[D]

( i = 1 , 2 , ... ) az

[D]

u ? ( t ) elsőfajú szingularitási helyei. Ekkor az alábbi egyenlőtlenség teljesül:

[D]

u ? ( t ) ? C ? ? t 0 ///</// t i ///</// t ( 1 + ß i ) ? ? ? t 0 t v ? ( ? ) ? ? ? .

(8.3.6)

A 8.1. fejezetben utaltunk a stabilitási fogalmak és a megoldások kezdeti értékektől való folytonos függésének (4.1. fejezet) kapcsolatára. A fenti tételnek az ott megfogalmazott állítások bizonyításában is alapvető szerepe van. A (8.3.4) formula és a 8.3.1 tétel segítségével bebizonyíthatók az alábbi állítások. Először az egyik alapvető eredményt ismertetjük.

8.3.2. Tétel.

Tegyük fel, hogy

[D]

0 ///</// ? 1 ? t i + 1 - t i ? ? 2 ///</// ? . Legyen

[D]

X ? ( t , s ) a (8.3.3) lineáris rendszer alapmátrixa. Tegyük fel, hogy minden

[D]

t ? s ? t 0 esetén

[D]

? X ? ( t , s ) ? ? K ? ? - ? ? ( t - s ) ,

ahol

[D]

K ///>/// 1 ,

[D]

? ///>/// 0 . Tegyük fel továbbá, hogy

[D]

? g ? ( t , x ) ? ? a ? ? x ? és

[D]

? I i ( x ) ? ? a ? ? x ? minden

[D]

t ? t 0 és

[D]

? x ? ///</// h , ha

[D]

h ///>/// 0 . Ekkor, ha az a érték elegendően kicsi, akkor a (8.3.2) rendszer zérómegoldása aszimptotikusan stabilis.

[D]

? g ? ( t , x ) ? ? a ? ? x ? m és

[D]

? I i ( x ) ? ? a ? ? x ? m

[D]

( m ///>/// 1 ) minden

[D]

t ? t 0 és

[D]

? x ? ///</// h

[D]

( h ///>/// 0 ) esetén, akkor a (8.3.2) rendszer zérómegoldása aszimptotikusan stabilis.

Megjegyezzük, hogy a fenti tétel segítségével a lineáris perturbációk is (

[D]

g ? ( t , x ) = A ^ . x és

[D]

I i ( x ) = B i ^ . x ) kezelhetők. Konstans együtthatós rendszerek esetén, ha

[D]

t i + 1 - t i = T , akkor igen egyszerű kritériumot kapunk.

8.3.3. Tétel.

Legyen

[D]

A ? ( t ) = A ,

[D]

B i = B és

[D]

t i + 1 - t i = T ///>/// 0 . Tegyük fel, hogy

[D]

? g ? ( t , x ) ? ? a ? ? x ? m és

[D]

? I i ( x ) ? ? a ? ? x ? m

[D]

( m ///>/// 1 ) minden

[D]

t ? t 0 és

[D]

? x ? ///</// h ha

[D]

h ///>/// 0 . A (8.3.2) nemlineáris rendszer zérómegoldása

aszimptotikusan stabilis, ha a

[D]
B ? ? A ? T mátrix sajátértékeinek abszolút értéke egynél kisebb;
instabilis, ha a

[D]
B ? ? A ? T mátrix sajátértékei között van olyan, amelyiknek az abszolút értéke egynél nagyobb.

Számítógépes vizsgálatok

Az alábbi példákban a megoldó és megjelenítő programrészleteket nem ismételjük meg. A teljes programot csak az első példa tartalmazza.

8.3.1. Példa. Egy instabilis rendszer

Tekintsünk az alábbi nemlineáris rendszert:

(x / y)^,=(–y+y^2 / –x–x^3), ha t?t_i, (x(t_i+0) / y(t_i+0))=(1.2 sin(x(t_i–0)) / 0.5(1–e^(–y(t_i–0)))),

[D]

( x y ) , = ( - y + y 2 - x - x 3 ) , ha ? t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( 1.2 sin ? ( x ? ( t i - 0 ) ) 0.5 ( 1 - ? - y ? ( t i - 0 ) ) ) ,

ahol

[D]

t i = i . Legyen $H_0={{x,y}: x^2+y^2=0.5}$

[D]

H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 0.5 } és

[D]

t 0 = 0 . A rendszernek az origó egyensúlyi helyzete. Linearizáljuk a rendszert és határozzuk meg a sajátértékeket. Végül ábrázoljuk a trajektóriákat és a megoldásokat az eredeti és a linearizált rendszer esetén is.

Az eredeti rendszer

$xyvar={x,y}; xydot={–y+y^2,–x+x^3};$

[D]

xyvar = { x , y } ; xydot = { - y + y 2 , - x + x 3 } ;

[D]

T = N [ 1 ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

$ImpNonLin[n_,tn_,xn_]:={1.2 Sin[xn[[1]]],0.5(1–e^(–xn[[2]]))};$

[D]

ImpNonLin [ n_ , tn_ , xn_ ] := { 1.2 Sin [ xn [ 1 ] ] , 0.5 ( 1 - ? - xn [ 2 ] ) } ;

A linearizált rendszer

A JMf függvény az f Jacobi mátrixát határozza meg:

[D]

A = JMf [ xydot , xyvar ] /. x › 0 /. y › 0 ; xylindot = A . xyvar ;

[D]

MatrixForm [ A ]

[D]

( 0 - 1 - 1 0 )

[D]

B = JMf [ ImpNonLin [ 1 , tn , xyvar ] , xyvar ] /. x › 0 /. y › 0 ;

[D]

MatrixForm [ B ]

[D]

( 1.2 0 0 0.5 )

$Bn=Table[B,{i,1,Imax}]; ImpLin[n_,tn_List,xn_List]:=Bn[[n]].xn;$

[D]

Bn = Table [ B , { i , 1 , Imax } ] ; ImpLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := Bn [ n ] . xn ;

Egyéb paraméterek

[D]

t0 = 0. ; t1 = 3 ; dt = 1 ; x1 = y1 = - 0.6 ; x1 = y2 = 0.6 ;

Az instabilitás ellenőrzése

A linearizált rendszer konstans együtthatós, az impulzusok egyenlő távolságban követik egymást, ezért elegendő az

[D]

M = MatrixPower [ B . MatrixExp [ A ? T ] , 1 ] ; M // MatrixForm

[D]

( 1.8517 - 1.41024 - 0.5876 0.77154 )

mátrix tulajdonságait vizsgálni. Ennek sajátértékei és sajátvektorai { ${?_1,?_2}, {v_1,v_2}$

[D]

{ ? 1 , ? 2 } , { v 1 , v 2 } } formában:

[D]

Eigensystem [ M ]

[D]

{ { 2.37 , 0.253 } , { { 0.93859 , - 0.345 } , { 0.662 , 0.7498 } } }

Innen láthatjuk, hogy a linearizált rendszer instabilis. A sajátvektorok meghatározzák a lineáris rendszer instabilis és stabilis invariáns sokaságát.

A vektor- és impulzusmezők a 2D térben

A vektormezők jól mutatják, hogy a linearizálás megtartja az eredeti rendszer lokális tulajdonságait. A baloldali ábra az eredeti, a jobb oldali a linearizált rendszert mutatja.

[D]

PlotVectorField [ xydot , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Axes › True ] ;

[D]

PlotVectorField [ A . { x , y } , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Axes › True ] ;

[D]

Show [ GraphicsArray [ { %% , % } ] ] ;

[D]

PlotVectorField [ ImpNonLin [ 1 , tn , xyvar ] - xyvar , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Axes › True , ScaleFactor › None ] ;

[D]

PlotVectorField [ ImpLin [ 1 , tn , xyvar ] - xyvar , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Axes › True , ScaleFactor › None ] ;

[D]

Show [ GraphicsArray [ { %% , % } ] ] ;

A rendszerek numerikus megoldása

[D]

Icond = Table [ N [ 1 4 ? { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

$TrajNL[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpNonLin, Icond,{t,t0,t1}];$

[D]

TrajNL [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpNonLin , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

$TrajL[t_]=IDESolve[xylindot,xyvar,tn,ImpLin, Icond,{t,t0,t1}];$

[D]

TrajL [ t_ ] = IDESolve [ xylindot , xyvar , tn , ImpLin , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

A rendszerek trajektóriái

A nemlineáris rendszer:

[D]

p0nl = PhasePlotBW [ TrajNL [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel › { x , y } , PlotRange › { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , PlotStyle › { { Hue [ 1 ] , Thickness [ 0.01 ] } } ] ;

A linearizált rendszer:

[D]

p0l = PhasePlotBW [ TrajL [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel › { x , y } , PlotRange › { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } ] ;

A trajektóriák egymás mellett:

[D]

Show [ GraphicsArray [ { p0nl , p0l } ] ]

3D megjelenítések

[D]
E

Most egymás mellett láthatjuk és összehasonlíthatjuk az eredeti nemlineáris valamint a linearizált rendszer megoldásait és fázisképeit:

[D]

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ; phvolnonlin = PhaseVolImpBW [ TrajNL [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , BoxRatios › { 2 , 1 , 1 } , Axes › True , PlotRange -///>/// { { t0 , t1 } , { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } ] ; phvollin = PhaseVolImpBW [ TrajL [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , BoxRatios › { 2 , 1 , 1 } , Axes › True , PlotRange -///>/// { { t0 , t1 } , { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } ] ; Show [ GraphicsArray [ { Show [ phvolnonlin , PlotLabel › Nemlin. rsz. ] , Show [ phvollin , PlotLabel › Lin. rsz. ] } ] ] ;

8.3.2. Példa. Egy aszimptotikusan stabilis rendszer

Tekintsünk egy impulzívan fékezett valódi ingát:

[D]

( x y ) , = ( y - sin ( x ) ) , ha t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( sin ( x ? ( t i - 0 ) ) 0.5 y ? ( t i - 0 ) ) ,

ahol

[D]

t i = i . Legyen $H_0={{x,y}: x^2+y^2=(1/16)}$

[D]

H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 1 16 } , és

[D]

t 0 = 0 . A rendszernek az origó egyensúlyi helyzete. Linearizáljuk a rendszert és megvizsgáljuk, hogy teljesülnek-e a lineáris közelítéssel az aszimptotikus stabilitás feltételei. Végül ábrázoljuk a trajektóriákat és a megoldásokat az eredeti és a linearizált rendszer esetén is. Vegyük észre, hogy önmagában sem a differenciálegyenlet, sem az impulzusok nem eredményeznek aszimptotikus stabilitást. A differenciálegyenlet forgató és az impulzusok y koordinátára gyakorolt hatása együttesen végzik el ezt a feladatot.

Az eredeti rendszer

[D]

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - Sin [ x ] } ;

[D]

T = N [ 1 ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

$ImpNonLin[n_,tn_List,xn_List]:={Sin[xn[[1]]],0.5 xn[[2]]};$

[D]

ImpNonLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := { Sin [ xn [ 1 ] ] , 0.5 xn [ 2 ] } ;

A linearizált rendszer

[D]

A = JMf [ xydot , xyvar ] /. x › 0 /. y › 0 ; xylindot = A . xyvar ;

[D]

MatrixForm [ A ]

[D]

( 0 1 - 1 0 )

[D]

B = JMf [ ImpNonLin [ 1 , tn , xyvar ] , xyvar ] /. x › 0 /. y › 0 ;

[D]

MatrixForm [ B ]

[D]

( 1 0 0 0.5 )

$Bn=Table[B,{i,1,Imax}]; ImpLin[n_,tn_List,xn_List]:=Bn[[n]].xn;$

[D]

Bn = Table [ B , { i , 1 , Imax } ] ; ImpLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := Bn [ n ] . xn ;

Egyéb paraméterek

[D]

t0 = 0. ; t1 = 4 dt = 1 ; x1 = y1 = - 0.3 ; x2 = y2 = 0.3 ;

A stabilitás ellenőrzése

A linearizált rendszer konstans együtthatós, az impulzusok egyenlő távolságban követik egymást, ezért elegendő az

[D]

M = MatrixPower [ B . MatrixExp [ A ? T ] , 1 ] ;

[D]

M // MatrixForm

[D]

( 0.540302 0.841471 - 0.420735 0.270151 )

mátrix tulajdonságait vizsgálni. Ennek sajátértékei:

[D]

Eigenvalues [ M ]

[D]

{ 0.405227 ? + 0.579475 ? , 0.405227 ? - 0.579475 ? }

Láthatjuk, hogy a linearizált rendszer aszimptotikusan (sőt exponenciálisan) stabilis.

A vektor- és impulzusmezők a 2D térben

A differenciálegyenletek vektormezői:

Az impulzusmezők:

A megoldások kezdeti értékei

[D]

Icond = Table [ N [ 1 4 ? { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

A rendszerek trajektóriái

3D megjelenítések

[D]
E

Most egymás mellett láthatjuk és összehasonlíthatjuk az eredeti nemlineáris és a linearizált rendszer megoldásait és a fázisképeket:

8.3.3. Példa. Egy „bizonytalan” rendszer

Tekintsünk egy impulzívan fékezett szuperlineáris ingát (részletesen lásd a 13.1. és 13.2. fejezetekben):

[D]

( x y ) , = ( y - x 3 ) , ha t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( x 2 ? ( t i - 0 ) y ? ( t i - 0 ) )

ahol

[D]

t n = 1 . Legyen $H_0={{x,y}: x^2+y^2=1}$

[D]

H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 1 } és

[D]

t 0 = 0 . A rendszernek az origó aszimptotikusan stabilis egyensúlyi helyzete (bizonyítsuk be!). A differenciálegyenlet és az impulzus is szigorúan nemlineáris. Sejthető, és ezt az ábrákon látni is fogjuk, hogy az eredeti és a linearizált rendszer viselkedése teljesen különböző lesz.