8.3. Stabilitásvizsgálatok lineáris közelítéssel
Ebben a fejezetben áttekintjük a perturbált lineáris rendszerek legfontosabb tulajdonságait. További részleteket és a bizonyításokat az olvasó az
[
1
,
3
,
25
]
monográfiákban talál.
Elméleti áttekintés
Tekintsünk egy nemlineáris impulzív rendszert rögzített pillanatokban ható impulzusokkal:
amelyben
f
?
(
t
,
0
)
=
0
és
J
i
(
0
)
=
0
, amiből adódik, hogy
x
=
0
a rendszer megoldása, egyensúlyi helyzete. Ha az f és
J
i
függvények folytonosan differenciálhatók az x változó szerint
?
x
?
?
h
esetén, akkor az origó közelében felírhatók
alakban, ahol
A
?
(
t
)
=
f
x
'
(
t
,
0
)
,
B
n
=
(
J
i
)
x
'
. Ekkor a (8.3.1) rendszer az alábbi alakúnak tekinthető:
melyben az
A
?
(
t
)
és
B
n
mátrixok a lineáris rendszereknél (7.1. fejezet) leírt feltételeknek tesznek eleget;
g
:
R
×
R
n
›
R
n
,
I
i
:
R
n
›
R
n
folytonosak, ha
?
x
?
?
h
és
g
?
(
t
,
0
)
=
0
,
I
i
(
0
)
=
0.
Tekintsük a (8.3.2) rendszer lineáris közelítését, az
lineáris rendszert. A lineáris közelítéssel való stabilitásvizsgálatoknál a (8.3.2) alakú rendszerek stabilitási tulajdonságaira következtetünk az (8.3.3) lineáris rendszer segítségével. Azt várjuk, hogy ha a perturbáció „kicsi”, akkor a megoldás tulajdonságait a (8.3.3) rendszer viselkedése határozza meg.
A módszer lényege egyszerű. Adott megoldás esetén a (8.3.2) rendszer tekinthető egy inhomogén lineáris rendszernek. Ennek megoldásai pedig felírhatók a konstansvariációs formula segítségével
alakban, ahol
X
?
(
t
,
t
0
)
a (8.3.3) rendszer alapmátrixa. Mindkét oldal normáját véve becslést kapunk, ahol a bal és jobb oldalon egyaránt szerepel az
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
függvény. A vizsgálat alapját a Bellman lemma általánosítása jelenti:
8.3.1. Tétel.
Tegyük fel, hogy a nemnegatív, szakaszonként folytonos
u
?
(
t
)
függvény a
t
?
t
0
esetén teljesíti az
egyenlőtlenséget, ahol
C
?
0
,
ß
i
?
0
,
v
?
(
t
)
///>///
0
, és
t
i
(
i
=
1
,
2
,
...
)
az
u
?
(
t
)
elsőfajú szingularitási helyei. Ekkor az alábbi egyenlőtlenség teljesül:
A 8.1. fejezetben utaltunk a stabilitási fogalmak és a megoldások kezdeti értékektől való folytonos függésének (4.1. fejezet) kapcsolatára. A fenti tételnek az ott megfogalmazott állítások bizonyításában is alapvető szerepe van. A (8.3.4) formula és a 8.3.1 tétel segítségével bebizonyíthatók az alábbi állítások. Először az egyik alapvető eredményt ismertetjük.
8.3.2. Tétel.
Tegyük fel, hogy
0
///<///
?
1
?
t
i
+
1
-
t
i
?
?
2
///<///
?
. Legyen
X
?
(
t
,
s
)
a (8.3.3) lineáris rendszer alapmátrixa. Tegyük fel, hogy minden
t
?
s
?
t
0
esetén
ahol
K
///>///
1
,
?
///>///
0
. Tegyük fel továbbá, hogy
?
g
?
(
t
,
x
)
?
?
a
?
?
x
?
és
?
I
i
(
x
)
?
?
a
?
?
x
?
minden
t
?
t
0
és
?
x
?
///<///
h
, ha
h
///>///
0
. Ekkor, ha az a érték elegendően kicsi, akkor a (8.3.2) rendszer zérómegoldása aszimptotikusan stabilis.
Ha
?
g
?
(
t
,
x
)
?
?
a
?
?
x
?
m
és
?
I
i
(
x
)
?
?
a
?
?
x
?
m
(
m
///>///
1
)
minden
t
?
t
0
és
?
x
?
///<///
h
(
h
///>///
0
)
esetén, akkor a (8.3.2) rendszer zérómegoldása aszimptotikusan stabilis.
Megjegyezzük, hogy a fenti tétel segítségével a lineáris perturbációk is (
g
?
(
t
,
x
)
=
A
^
.
x
és
I
i
(
x
)
=
B
i
^
.
x
) kezelhetők. Konstans együtthatós rendszerek esetén, ha
t
i
+
1
-
t
i
=
T
, akkor igen egyszerű kritériumot kapunk.
8.3.3. Tétel.
Legyen
A
?
(
t
)
=
A
,
B
i
=
B
és
t
i
+
1
-
t
i
=
T
///>///
0
. Tegyük fel, hogy
?
g
?
(
t
,
x
)
?
?
a
?
?
x
?
m
és
?
I
i
(
x
)
?
?
a
?
?
x
?
m
(
m
///>///
1
)
minden
t
?
t
0
és
?
x
?
///<///
h
ha
h
///>///
0
. A (8.3.2) nemlineáris rendszer zérómegoldása
aszimptotikusan stabilis, ha a
B
?
?
A
?
T
mátrix sajátértékeinek abszolút értéke egynél kisebb;
instabilis, ha a
B
?
?
A
?
T
mátrix sajátértékei között van olyan, amelyiknek az abszolút értéke egynél nagyobb.
Számítógépes vizsgálatok
Az alábbi példákban a megoldó és megjelenítő programrészleteket nem ismételjük meg. A teljes programot csak az első példa tartalmazza.
8.3.1. Példa.
Egy instabilis rendszer
Tekintsünk az alábbi nemlineáris rendszert:
ahol
t
i
=
i
. Legyen
H
0
=
{
{
x
,
y
}
:
x
2
+
y
2
=
0.5
}
és
t
0
=
0
. A rendszernek az origó egyensúlyi helyzete. Linearizáljuk a rendszert és határozzuk meg a sajátértékeket. Végül ábrázoljuk a trajektóriákat és a megoldásokat az eredeti és a linearizált rendszer esetén is.
xyvar
=
{
x
,
y
}
;
xydot
=
{
-
y
+
y
2
,
-
x
+
x
3
}
;
T
=
N
[
1
]
;
Imax
=
50
;
tn
=
Table
[
n
?
T
,
{
n
,
1
,
Imax
}
]
;
ImpNonLin
[
n_
,
tn_
,
xn_
]
:=
{
1.2
Sin
[
xn
[
1
]
]
,
0.5
(
1
-
?
-
xn
[
2
]
)
}
;
A JMf
függvény az f Jacobi mátrixát határozza meg:
A
=
JMf
[
xydot
,
xyvar
]
/.
x
›
0
/.
y
›
0
;
xylindot
=
A
.
xyvar
;
MatrixForm
[
A
]
(
0
-
1
-
1
0
)
B
=
JMf
[
ImpNonLin
[
1
,
tn
,
xyvar
]
,
xyvar
]
/.
x
›
0
/.
y
›
0
;
MatrixForm
[
B
]
(
1.2
0
0
0.5
)
Bn
=
Table
[
B
,
{
i
,
1
,
Imax
}
]
;
ImpLin
[
n_
,
tn_List
,
xn_List
]
:=
Bn
[
n
]
.
xn
;
t0
=
0.
;
t1
=
3
;
dt
=
1
;
x1
=
y1
=
-
0.6
;
x1
=
y2
=
0.6
;
A linearizált rendszer konstans együtthatós, az impulzusok egyenlő távolságban követik egymást, ezért elegendő az
M
=
MatrixPower
[
B
.
MatrixExp
[
A
?
T
]
,
1
]
;
M
//
MatrixForm
(
1.8517
-
1.41024
-
0.5876
0.77154
)
mátrix tulajdonságait vizsgálni. Ennek sajátértékei és sajátvektorai {
{
?
1
,
?
2
}
,
{
v
1
,
v
2
}
} formában:
Eigensystem
[
M
]
{
{
2.37
,
0.253
}
,
{
{
0.93859
,
-
0.345
}
,
{
0.662
,
0.7498
}
}
}
Innen láthatjuk, hogy a linearizált rendszer instabilis. A sajátvektorok meghatározzák a lineáris rendszer instabilis és stabilis invariáns sokaságát.
A vektormezők jól mutatják, hogy a linearizálás megtartja az eredeti rendszer lokális tulajdonságait. A baloldali ábra az eredeti, a jobb oldali a linearizált rendszert mutatja.
PlotVectorField
[
xydot
,
{
x
,
x1
,
x2
}
,
{
y
,
y1
,
y2
}
,
Axes
›
True
]
;
PlotVectorField
[
A
.
{
x
,
y
}
,
{
x
,
x1
,
x2
}
,
{
y
,
y1
,
y2
}
,
Axes
›
True
]
;
Show
[
GraphicsArray
[
{
%%
,
%
}
]
]
;
PlotVectorField
[
ImpNonLin
[
1
,
tn
,
xyvar
]
-
xyvar
,
{
x
,
x1
,
x2
}
,
{
y
,
y1
,
y2
}
,
Axes
›
True
,
ScaleFactor
›
None
]
;
PlotVectorField
[
ImpLin
[
1
,
tn
,
xyvar
]
-
xyvar
,
{
x
,
x1
,
x2
}
,
{
y
,
y1
,
y2
}
,
Axes
›
True
,
ScaleFactor
›
None
]
;
Show
[
GraphicsArray
[
{
%%
,
%
}
]
]
;
Icond
=
Table
[
N
[
1
4
?
{
Cos
[
u
]
,
Sin
[
u
]
}
,
2
]
,
{
u
,
0
,
2
?
?
,
?
8
}
]
;
TrajNL
[
t_
]
=
IDESolve
[
xydot
,
xyvar
,
tn
,
ImpNonLin
,
Icond
,
{
t
,
t0
,
t1
}
]
;
TrajL
[
t_
]
=
IDESolve
[
xylindot
,
xyvar
,
tn
,
ImpLin
,
Icond
,
{
t
,
t0
,
t1
}
]
;
A nemlineáris rendszer:
p0nl
=
PhasePlotBW
[
TrajNL
[
t
]
,
{
t
,
t0
,
t1
}
,
AxesLabel
›
{
x
,
y
}
,
PlotRange
›
{
{
x1
,
x2
}
,
{
y1
,
y2
}
}
,
PlotStyle
›
{
{
Hue
[
1
]
,
Thickness
[
0.01
]
}
}
]
;
A linearizált rendszer:
p0l
=
PhasePlotBW
[
TrajL
[
t
]
,
{
t
,
t0
,
t1
}
,
AxesLabel
›
{
x
,
y
}
,
PlotRange
›
{
{
x1
,
x2
}
,
{
y1
,
y2
}
}
]
;
A trajektóriák egymás mellett:
Show
[
GraphicsArray
[
{
p0nl
,
p0l
}
]
]
3D megjelenítések
E
Most egymás mellett láthatjuk és összehasonlíthatjuk az eredeti nemlineáris valamint a linearizált rendszer megoldásait és fázisképeit:
tnn
=
Prepend
[
Select
[
tn
,
Function
[
u
,
t0
?
u
?
t1
]
]
,
t0
]
;
phvolnonlin
=
PhaseVolImpBW
[
TrajNL
[
t
]
,
{
t
,
tnn
}
,
{
Thickness
[
0.015
]
}
,
BoxRatios
›
{
2
,
1
,
1
}
,
Axes
›
True
,
PlotRange
-///>///
{
{
t0
,
t1
}
,
{
x1
,
x2
}
,
{
y1
,
y2
}
}
]
;
phvollin
=
PhaseVolImpBW
[
TrajL
[
t
]
,
{
t
,
tnn
}
,
{
Thickness
[
0.015
]
}
,
BoxRatios
›
{
2
,
1
,
1
}
,
Axes
›
True
,
PlotRange
-///>///
{
{
t0
,
t1
}
,
{
x1
,
x2
}
,
{
y1
,
y2
}
}
]
;
Show
[
GraphicsArray
[
{
Show
[
phvolnonlin
,
PlotLabel
›
Nemlin. rsz.
]
,
Show
[
phvollin
,
PlotLabel
›
Lin. rsz.
]
}
]
]
;
8.3.2. Példa.
Egy aszimptotikusan stabilis rendszer
Tekintsünk egy impulzívan fékezett valódi ingát:
ahol
t
i
=
i
. Legyen
H
0
=
{
{
x
,
y
}
:
x
2
+
y
2
=
1
16
}
, és
t
0
=
0
. A rendszernek az origó egyensúlyi helyzete. Linearizáljuk a rendszert és megvizsgáljuk, hogy teljesülnek-e a lineáris közelítéssel az aszimptotikus stabilitás feltételei. Végül ábrázoljuk a trajektóriákat és a megoldásokat az eredeti és a linearizált rendszer esetén is. Vegyük észre, hogy önmagában sem a differenciálegyenlet, sem az impulzusok nem eredményeznek aszimptotikus stabilitást. A differenciálegyenlet forgató és az impulzusok y koordinátára gyakorolt hatása együttesen végzik el ezt a feladatot.
xyvar
=
{
x
,
y
}
;
xydot
=
{
y
,
-
Sin
[
x
]
}
;
T
=
N
[
1
]
;
Imax
=
50
;
tn
=
Table
[
n
?
T
,
{
n
,
1
,
Imax
}
]
;
ImpNonLin
[
n_
,
tn_List
,
xn_List
]
:=
{
Sin
[
xn
[
1
]
]
,
0.5
xn
[
2
]
}
;
A
=
JMf
[
xydot
,
xyvar
]
/.
x
›
0
/.
y
›
0
;
xylindot
=
A
.
xyvar
;
MatrixForm
[
A
]
(
0
1
-
1
0
)
B
=
JMf
[
ImpNonLin
[
1
,
tn
,
xyvar
]
,
xyvar
]
/.
x
›
0
/.
y
›
0
;
MatrixForm
[
B
]
(
1
0
0
0.5
)
Bn
=
Table
[
B
,
{
i
,
1
,
Imax
}
]
;
ImpLin
[
n_
,
tn_List
,
xn_List
]
:=
Bn
[
n
]
.
xn
;
t0
=
0.
;
t1
=
4
dt
=
1
;
x1
=
y1
=
-
0.3
;
x2
=
y2
=
0.3
;
A linearizált rendszer konstans együtthatós, az impulzusok egyenlő távolságban követik egymást, ezért elegendő az
M
=
MatrixPower
[
B
.
MatrixExp
[
A
?
T
]
,
1
]
;
M
//
MatrixForm
(
0.540302
0.841471
-
0.420735
0.270151
)
mátrix tulajdonságait vizsgálni. Ennek sajátértékei:
Eigenvalues
[
M
]
{
0.405227
?
+
0.579475
?
,
0.405227
?
-
0.579475
?
}
Láthatjuk, hogy a linearizált rendszer aszimptotikusan (sőt exponenciálisan) stabilis.
A differenciálegyenletek vektormezői:
Az impulzusmezők:
Icond
=
Table
[
N
[
1
4
?
{
Cos
[
u
]
,
Sin
[
u
]
}
,
2
]
,
{
u
,
0
,
2
?
?
,
?
8
}
]
;
3D megjelenítések
E
Most egymás mellett láthatjuk és összehasonlíthatjuk az eredeti nemlineáris és a linearizált rendszer megoldásait és a fázisképeket:
8.3.3. Példa.
Egy „bizonytalan” rendszer
Tekintsünk egy impulzívan fékezett szuperlineáris ingát (részletesen lásd a 13.1. és 13.2. fejezetekben):
ahol
t
n
=
1
. Legyen
H
0
=
{
{
x
,
y
}
:
x
2
+
y
2
=
1
}
és
t
0
=
0
. A rendszernek az origó aszimptotikusan stabilis egyensúlyi helyzete (bizonyítsuk be!). A differenciálegyenlet és az impulzus is szigorúan nemlineáris. Sejthető, és ezt az ábrákon látni is fogjuk, hogy az eredeti és a linearizált rendszer viselkedése teljesen különböző lesz.
xyvar
=
{
x
,
y
}
;
xydot
=
{
y
,
-
x
3
}
;
T
=
N
[
1
]
;
Imax
=
50
;
tn
=
Table
[
n
?
T
,
{
n
,
1
,
Imax
}
]
;
ImpNonLin
[
n_
,
tn_List
,
xn_List
]
:=
{
xn
[
1
]
2
,
xn
[
2
]
}
;
A
=
JMf
[
xydot
,
xyvar
]
/.
x
›
0
/.
y
›
0
;
xylindot
=
A
.
xyvar
;
MatrixForm
[
A
]
(
0
1
0
0
)
B
=
JMf
[
ImpNonLin
[
1
,
tn
,
xyvar
]
,
xyvar
]
/.
x
›
0
/.
y
›
0
;
MatrixForm
[
B
]
(
0
0
0
1
)
Bn
=
Table
[
B
,
{
i
,
1
,
Imax
}
]
;
ImpLin
[
n_
,
tn_List
,
xn_List
]
:=
Bn
[
n
]
.
xn
;
t0
=
0.
;
t1
=
6
;
dt
=
1
;
x1
=
y1
=
-
1.
;
x2
=
y2
=
1.
;
A linearizált rendszer konstans együtthatós, az impulzusok egyenlő távolságban követik egymást, ezért elegendő az
M
=
MatrixPower
[
B
.
MatrixExp
[
A
?
T
]
,
1
]
;
M
//
MatrixForm
(
0.
0.
0.
1.
)
mátrix tulajdonságait vizsgálni. Ennek sajátértékei
Eigenvalues
[
M
]
{
1.
,
0.
}
Innen láthatjuk, hogy a linearizált rendszer stabilis és elfajuló. Nem teljesülnek a lineáris közelítésre vonatkozó feltételek.
Icond
=
Table
[
N
[
{
Cos
[
u
]
,
Sin
[
u
]
}
,
2
]
,
{
u
,
0
,
2
?
?
,
?
8
}
]
;
3D megjelenítések
E