Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

8.3. Stabilitásvizsgálatok lineáris közelítéssel

8.3. Stabilitásvizsgálatok lineáris közelítéssel

Ebben a fejezetben áttekintjük a perturbált lineáris rendszerek legfontosabb tulajdonságait. További részleteket és a bizonyításokat az olvasó az [1,3,25]

[ 1 , 3 , 25 ] monográfiákban talál.

Elméleti áttekintés

Tekintsünk egy nemlineáris impulzív rendszert rögzített pillanatokban ható impulzusokkal:

x'=f(t,x), ha t?t_i, x(t_i+0)=J_i(x(t_i–0)), (i=1, 2, 3, ...), x ' = ? f ? ( t , x ) , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = J i ? ( x ? ( t i - 0 ) ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) , (8.3.1)

amelyben f(t,0)=0

f ? ( t , 0 ) = 0 és J_i(0)=0 J i ( 0 ) = 0 , amiből adódik, hogy x=0 x = 0 a rendszer megoldása, egyensúlyi helyzete. Ha az f és J_i J i függvények folytonosan differenciálhatók az x változó szerint ?x??h ? x ? ? h esetén, akkor az origó közelében felírhatók

f(t,x)=A(t)x+g(t,x) és J_n(x)=B_ix+I_i(x)
f ? ( t , x ) = A ? ( t ) ? x + g ? ( t , x ) és J n ( x ) = B i ? x + I i ( x )

alakban, ahol A(t)=f_x^'(t,0), B_n=(J_i)_x^'

A ? ( t ) = f x ' ( t , 0 ) , B n = ( J i ) x ' . Ekkor a (8.3.1) rendszer az alábbi alakúnak tekinthető:

x'=A(t)x+g(t,x), ha t?t_i, x(t_i+0)=B_ix(t_i–0)+I_i(x(t_i–0)), (i=1, 2, 3, ...), x ' = A ? ( t ) ? x + g ? ( t , x ) , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = B i ? x ? ( t i - 0 ) + I i ( x ? ( t i - 0 ) ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) , (8.3.2)

melyben az A(t)

A ? ( t ) és B_n B n mátrixok a lineáris rendszereknél (7.1. fejezet) leírt feltételeknek tesznek eleget; g:R×R^n›R^n g : R × R n R n , I_i: R^n›R^n I i : R n R n folytonosak, ha ?x??h ? x ? ? h és g(t,0)=0,I_i(0)=0. g ? ( t , 0 ) = 0 , I i ( 0 ) = 0. Tekintsük a (8.3.2) rendszer lineáris közelítését, az

x'=A(t)x, ha t?t_i, x(t_i+0)=B_ix(t_i–0), (i=1, 2, 3, ...) x ' = A ? ( t ) ? x , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = B i ? x ? ( t i - 0 ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (8.3.3)

lineáris rendszert. A lineáris közelítéssel való stabilitásvizsgálatoknál a (8.3.2) alakú rendszerek stabilitási tulajdonságaira következtetünk az (8.3.3) lineáris rendszer segítségével. Azt várjuk, hogy ha a perturbáció „kicsi”, akkor a megoldás tulajdonságait a (8.3.3) rendszer viselkedése határozza meg.

A módszer lényege egyszerű. Adott megoldás esetén a (8.3.2) rendszer tekinthető egy inhomogén lineáris rendszernek. Ennek megoldásai pedig felírhatók a konstansvariációs formula segítségével

x(t,t_0,x_0)=X(t,t_0)[x_0+?_(t_0)^tX^(–1)(s,t_0)g(s,x(s,t_0,x_0))ds+ ?_(t_0///<///t_i///<///t)X(t,t_i+0)I_i(x(t_i,t_0,x_0))] x ? ( t , t 0 , x 0 ) = X ? ( t , t 0 ) [ x 0 + ? t 0 t X - 1 ( s , t 0 ) ? g ? ( s , x ? ( s , t 0 , x 0 ) ) ? ? s + ? t 0 ///</// t i ///</// t X ? ( t , t i + 0 ) ? I i ( x ? ( t i , t 0 , x 0 ) ) ] (8.3.4)

alakban, ahol X(t,t_0)

X ? ( t , t 0 ) a (8.3.3) rendszer alapmátrixa. Mindkét oldal normáját véve becslést kapunk, ahol a bal és jobb oldalon egyaránt szerepel az x(t,t_0,x_0) x ? ( t , t 0 , x 0 ) függvény. A vizsgálat alapját a Bellman lemma általánosítása jelenti:

8.3.1. Tétel.

Tegyük fel, hogy a nemnegatív, szakaszonként folytonos u(t)

u ? ( t ) függvény a t?t_0 t ? t 0 esetén teljesíti az

u(t)?C+?_(t_0)^tv(?)u(?)d?+?_(t_0///<///t_i///<///t)ß_iu(t_i) u ? ( t ) ? C + ? t 0 t v ? ( ? ) ? u ? ( ? ) ? ? ? + ? t 0 ///</// t i ///</// t ß i ? u ( t i ) (8.3.5)

egyenlőtlenséget, ahol C?0

C ? 0 , ß_i?0 ß i ? 0 , v(t)///>///0 v ? ( t ) ///>/// 0 , és t_i t i (i=1,2, ...) ( i = 1 , 2 , ... ) az u(t) u ? ( t ) elsőfajú szingularitási helyei. Ekkor az alábbi egyenlőtlenség teljesül:

u(t)?C?_(t_0///<///t_i///<///t)(1+ß_i)e^(?_(t_0)^tv(?) d?). u ? ( t ) ? C ? ? t 0 ///</// t i ///</// t ( 1 + ß i ) ? ? ? t 0 t v ? ( ? ) ? ? ? . (8.3.6)

A 8.1. fejezetben utaltunk a stabilitási fogalmak és a megoldások kezdeti értékektől való folytonos függésének (4.1. fejezet) kapcsolatára. A fenti tételnek az ott megfogalmazott állítások bizonyításában is alapvető szerepe van. A (8.3.4) formula és a 8.3.1 tétel segítségével bebizonyíthatók az alábbi állítások. Először az egyik alapvető eredményt ismertetjük.

8.3.2. Tétel.

Tegyük fel, hogy 0///<///?_1?t_(i+1)–t_i??_2///<///?

0 ///</// ? 1 ? t i + 1 - t i ? ? 2 ///</// ? . Legyen X(t,s) X ? ( t , s ) a (8.3.3) lineáris rendszer alapmátrixa. Tegyük fel, hogy minden t?s?t_0 t ? s ? t 0 esetén

?X(t,s)??Ke^(–?(t–s)),
? X ? ( t , s ) ? ? K ? ? - ? ? ( t - s ) ,

ahol K///>///1

K ///>/// 1 , ?///>///0 ? ///>/// 0 . Tegyük fel továbbá, hogy ?g(t,x)??a?x? ? g ? ( t , x ) ? ? a ? ? x ? és ?I_i(x)??a?x? ? I i ( x ) ? ? a ? ? x ? minden t?t_0 t ? t 0 és ?x?///<///h ? x ? ///</// h , ha h///>///0 h ///>/// 0 . Ekkor, ha az a érték elegendően kicsi, akkor a (8.3.2) rendszer zérómegoldása aszimptotikusan stabilis.

Ha ?g(t,x)??a?x?^m

? g ? ( t , x ) ? ? a ? ? x ? m és ?I_i(x)??a?x?^m ? I i ( x ) ? ? a ? ? x ? m (m///>///1) ( m ///>/// 1 ) minden t?t_0 t ? t 0 és ?x?///<///h ? x ? ///</// h (h///>///0) ( h ///>/// 0 ) esetén, akkor a (8.3.2) rendszer zérómegoldása aszimptotikusan stabilis.

Megjegyezzük, hogy a fenti tétel segítségével a lineáris perturbációk is (g(t,x)=A^^ . x

g ? ( t , x ) = A ^ . x és I_i(x)=B_i^^. x I i ( x ) = B i ^ . x ) kezelhetők. Konstans együtthatós rendszerek esetén, ha t_(i+1)–t_i=T t i + 1 - t i = T , akkor igen egyszerű kritériumot kapunk.

8.3.3. Tétel.

Legyen A(t)=A

A ? ( t ) = A , B_i=B B i = B és t_(i+1)–t_i=T///>///0 t i + 1 - t i = T ///>/// 0 . Tegyük fel, hogy ?g(t,x)??a?x?^m ? g ? ( t , x ) ? ? a ? ? x ? m és ?I_i(x)??a?x?^m ? I i ( x ) ? ? a ? ? x ? m (m///>///1) ( m ///>/// 1 ) minden t?t_0 t ? t 0 és ?x?///<///h ? x ? ///</// h ha h///>///0 h ///>/// 0 . A (8.3.2) nemlineáris rendszer zérómegoldása

  • aszimptotikusan stabilis, ha a Be^(AT)

    B ? ? A ? T mátrix sajátértékeinek abszolút értéke egynél kisebb;

  • instabilis, ha a Be^(AT)

    B ? ? A ? T mátrix sajátértékei között van olyan, amelyiknek az abszolút értéke egynél nagyobb.

Számítógépes vizsgálatok

Az alábbi példákban a megoldó és megjelenítő programrészleteket nem ismételjük meg. A teljes programot csak az első példa tartalmazza.

8.3.1. Példa. Egy instabilis rendszer

Tekintsünk az alábbi nemlineáris rendszert:

(x / y)^,=(–y+y^2 / –x–x^3), ha t?t_i, (x(t_i+0) / y(t_i+0))=(1.2 sin(x(t_i–0)) / 0.5(1–e^(–y(t_i–0)))),
( x y ) , = ( - y + y 2 - x - x 3 ) , ha ? t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( 1.2 sin ? ( x ? ( t i - 0 ) ) 0.5 ( 1 - ? - y ? ( t i - 0 ) ) ) ,

ahol t_i=i

t i = i . Legyen H_0={{x,y}: x^2+y^2=0.5} H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 0.5 } és t_0=0 t 0 = 0 . A rendszernek az origó egyensúlyi helyzete. Linearizáljuk a rendszert és határozzuk meg a sajátértékeket. Végül ábrázoljuk a trajektóriákat és a megoldásokat az eredeti és a linearizált rendszer esetén is.

  • Az eredeti rendszer

xyvar={x,y}; xydot={–y+y^2,–x+x^3};

xyvar = { x , y } ; xydot = { - y + y 2 , - x + x 3 } ;

T=N[1];Imax=50; tn=Table[nT,{n,1,Imax}];

T = N [ 1 ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

ImpNonLin[n_,tn_,xn_]:={1.2 Sin[xn[[1]]],0.5(1–e^(–xn[[2]]))};

ImpNonLin [ n_ , tn_ , xn_ ] := { 1.2 Sin [ xn [ 1 ] ] , 0.5 ( 1 - ? - xn [ 2 ] ) } ;

  • A linearizált rendszer

A JMf függvény az f Jacobi mátrixát határozza meg:

A=JMf[xydot,xyvar]/.x›0/.y›0; xylindot=A.xyvar;

A = JMf [ xydot , xyvar ] /. x 0 /. y 0 ; xylindot = A . xyvar ;

MatrixForm[A]

MatrixForm [ A ]

(0 –1 / –1 0)

( 0 - 1 - 1 0 )

B=JMf[ImpNonLin[1,tn,xyvar],xyvar]/.x›0/.y›0;

B = JMf [ ImpNonLin [ 1 , tn , xyvar ] , xyvar ] /. x 0 /. y 0 ;

MatrixForm[B]

MatrixForm [ B ]

(1.2 0 / 0 0.5)

( 1.2 0 0 0.5 )

Bn=Table[B,{i,1,Imax}]; ImpLin[n_,tn_List,xn_List]:=Bn[[n]].xn;

Bn = Table [ B , { i , 1 , Imax } ] ; ImpLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := Bn [ n ] . xn ;

  • Egyéb paraméterek

t0=0.; t1=3; dt=1; x1=y1=–0.6; x1=y2=0.6;

t0 = 0. ; t1 = 3 ; dt = 1 ; x1 = y1 = - 0.6 ; x1 = y2 = 0.6 ;

  • Az instabilitás ellenőrzése

A linearizált rendszer konstans együtthatós, az impulzusok egyenlő távolságban követik egymást, ezért elegendő az

M=MatrixPower[B.MatrixExp[AT],1]; M//MatrixForm

M = MatrixPower [ B . MatrixExp [ A ? T ] , 1 ] ; M // MatrixForm

(1.8517 –1.41024 / –0.5876 0.77154)

( 1.8517 - 1.41024 - 0.5876 0.77154 )

mátrix tulajdonságait vizsgálni. Ennek sajátértékei és sajátvektorai {{?_1,?_2}, {v_1,v_2}

{ ? 1 , ? 2 } , { v 1 , v 2 } } formában:

Eigensystem[M]

Eigensystem [ M ]

{{2.37,0.253},{{0.93859,–0.345},{0.662,0.7498}}}

{ { 2.37 , 0.253 } , { { 0.93859 , - 0.345 } , { 0.662 , 0.7498 } } }

Innen láthatjuk, hogy a linearizált rendszer instabilis. A sajátvektorok meghatározzák a lineáris rendszer instabilis és stabilis invariáns sokaságát.

  • A vektor- és impulzusmezők a 2D térben

A vektormezők jól mutatják, hogy a linearizálás megtartja az eredeti rendszer lokális tulajdonságait. A baloldali ábra az eredeti, a jobb oldali a linearizált rendszert mutatja.

PlotVectorField[xydot,{x,x1,x2},{y,y1,y2},Axes›True];

PlotVectorField [ xydot , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Axes True ] ;

PlotVectorField[A.{x,y},{x,x1,x2},{y,y1,y2},Axes›True];

PlotVectorField [ A . { x , y } , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Axes True ] ;

Show[GraphicsArray[{%%,%}]];

Show [ GraphicsArray [ { %% , % } ] ] ;

PlotVectorField[ImpNonLin[1,tn,xyvar]–xyvar,{x,x1,x2},{y,y1,y2},Axes›True,ScaleFactor›None];

PlotVectorField [ ImpNonLin [ 1 , tn , xyvar ] - xyvar , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Axes True , ScaleFactor None ] ;

PlotVectorField[ImpLin[1,tn,xyvar]–xyvar,{x,x1,x2},{y,y1,y2},Axes›True,ScaleFactor›None];

PlotVectorField [ ImpLin [ 1 , tn , xyvar ] - xyvar , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Axes True , ScaleFactor None ] ;

Show[GraphicsArray[{%%,%}]];

Show [ GraphicsArray [ { %% , % } ] ] ;

  • A rendszerek numerikus megoldása

Icond=Table[N[(1/4){Cos[u],Sin[u]},2],{u,0,2?,(?/8)}];

Icond = Table [ N [ 1 4 ? { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

TrajNL[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpNonLin, Icond,{t,t0,t1}];

TrajNL [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpNonLin , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

TrajL[t_]=IDESolve[xylindot,xyvar,tn,ImpLin, Icond,{t,t0,t1}];

TrajL [ t_ ] = IDESolve [ xylindot , xyvar , tn , ImpLin , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

  • A rendszerek trajektóriái

A nemlineáris rendszer:

p0nl=PhasePlotBW[TrajNL[t],{t,t0,t1},AxesLabel›{x,y},PlotRange›{{x1,x2},{y1,y2}},PlotStyle›{{Hue[1],Thickness[0.01]}}];

p0nl = PhasePlotBW [ TrajNL [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel { x , y } , PlotRange { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , PlotStyle { { Hue [ 1 ] , Thickness [ 0.01 ] } } ] ;

A linearizált rendszer:

p0l=PhasePlotBW[TrajL[t],{t,t0,t1},AxesLabel›{x,y},PlotRange›{{x1,x2},{y1,y2}}];

p0l = PhasePlotBW [ TrajL [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel { x , y } , PlotRange { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } ] ;

A trajektóriák egymás mellett:

Show[GraphicsArray[{p0nl,p0l}]]

Show [ GraphicsArray [ { p0nl , p0l } ] ]

  • 3D megjelenítések E

    E

Most egymás mellett láthatjuk és összehasonlíthatjuk az eredeti nemlineáris valamint a linearizált rendszer megoldásait és fázisképeit:

tnn=Prepend[Select[tn,Function[u,t0?u?t1]],t0]; phvolnonlin=PhaseVolImpBW[TrajNL[t],{t,tnn},{Thickness[0.015]}, BoxRatios›{2,1,1},Axes›True,PlotRange-///>///{{t0,t1},{x1,x2},{y1,y2}}]; phvollin=PhaseVolImpBW[TrajL[t],{t,tnn},{Thickness[0.015]}, BoxRatios›{2,1,1},Axes›True,PlotRange-///>///{{t0,t1},{x1,x2},{y1,y2}}]; Show[GraphicsArray[{Show[phvolnonlin,PlotLabel›"Nemlin. rsz."], Show[phvollin,PlotLabel›"Lin. rsz."]}]];

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ; phvolnonlin = PhaseVolImpBW [ TrajNL [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , BoxRatios { 2 , 1 , 1 } , Axes True , PlotRange -///>/// { { t0 , t1 } , { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } ] ; phvollin = PhaseVolImpBW [ TrajL [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , BoxRatios { 2 , 1 , 1 } , Axes True , PlotRange -///>/// { { t0 , t1 } , { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } ] ; Show [ GraphicsArray [ { Show [ phvolnonlin , PlotLabel Nemlin. rsz. ] , Show [ phvollin , PlotLabel Lin. rsz. ] } ] ] ;

8.3.2. Példa. Egy aszimptotikusan stabilis rendszer

Tekintsünk egy impulzívan fékezett valódi ingát:

(x / y)^,=(y / –sin(x)), ha t?t_i, (x(t_i+0) / y(t_i+0))=(sin(x(t_i–0)) / 0.5 y(t_i–0)),
( x y ) , = ( y - sin ( x ) ) , ha t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( sin ( x ? ( t i - 0 ) ) 0.5 y ? ( t i - 0 ) ) ,

ahol t_i=i

t i = i . Legyen H_0={{x,y}: x^2+y^2=(1/16)} H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 1 16 } , és t_0=0 t 0 = 0 . A rendszernek az origó egyensúlyi helyzete. Linearizáljuk a rendszert és megvizsgáljuk, hogy teljesülnek-e a lineáris közelítéssel az aszimptotikus stabilitás feltételei. Végül ábrázoljuk a trajektóriákat és a megoldásokat az eredeti és a linearizált rendszer esetén is. Vegyük észre, hogy önmagában sem a differenciálegyenlet, sem az impulzusok nem eredményeznek aszimptotikus stabilitást. A differenciálegyenlet forgató és az impulzusok y koordinátára gyakorolt hatása együttesen végzik el ezt a feladatot.

  • Az eredeti rendszer

xyvar={x,y};xydot={y,–Sin[x]};

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - Sin [ x ] } ;

T=N[1];Imax=50;tn=Table[nT,{n,1,Imax}];

T = N [ 1 ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

ImpNonLin[n_,tn_List,xn_List]:={Sin[xn[[1]]],0.5 xn[[2]]};

ImpNonLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := { Sin [ xn [ 1 ] ] , 0.5 xn [ 2 ] } ;

  • A linearizált rendszer

A=JMf[xydot,xyvar]/.x›0/.y›0; xylindot=A.xyvar;

A = JMf [ xydot , xyvar ] /. x 0 /. y 0 ; xylindot = A . xyvar ;

MatrixForm[A]

MatrixForm [ A ]

(0 1 / –1 0)

( 0 1 - 1 0 )

B=JMf[ImpNonLin[1,tn,xyvar],xyvar]/.x›0/.y›0;

B = JMf [ ImpNonLin [ 1 , tn , xyvar ] , xyvar ] /. x 0 /. y 0 ;

MatrixForm[B]

MatrixForm [ B ]

(1 0 / 0 0.5)

( 1 0 0 0.5 )

Bn=Table[B,{i,1,Imax}]; ImpLin[n_,tn_List,xn_List]:=Bn[[n]].xn;

Bn = Table [ B , { i , 1 , Imax } ] ; ImpLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := Bn [ n ] . xn ;

  • Egyéb paraméterek

t0=0.; t1=4 dt=1; x1=y1=–0.3; x2=y2=0.3;

t0 = 0. ; t1 = 4 dt = 1 ; x1 = y1 = - 0.3 ; x2 = y2 = 0.3 ;

  • A stabilitás ellenőrzése

A linearizált rendszer konstans együtthatós, az impulzusok egyenlő távolságban követik egymást, ezért elegendő az

M=MatrixPower[B.MatrixExp[AT],1];

M = MatrixPower [ B . MatrixExp [ A ? T ] , 1 ] ;

M//MatrixForm

M // MatrixForm

(0.540302 0.841471 / –0.420735 0.270151)

( 0.540302 0.841471 - 0.420735 0.270151 )

mátrix tulajdonságait vizsgálni. Ennek sajátértékei:

Eigenvalues[M]

Eigenvalues [ M ]

{0.405227+0.579475 i,0.405227–0.579475 i}

{ 0.405227 ? + 0.579475 ? , 0.405227 ? - 0.579475 ? }

Láthatjuk, hogy a linearizált rendszer aszimptotikusan (sőt exponenciálisan) stabilis.

  • A vektor- és impulzusmezők a 2D térben

A differenciálegyenletek vektormezői:

Az impulzusmezők:

  • A megoldások kezdeti értékei

Icond=Table[N[(1/4){Cos[u],Sin[u]},2],{u,0,2?,(?/8)}];

Icond = Table [ N [ 1 4 ? { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

  • A rendszerek trajektóriái

  • 3D megjelenítések E

    E

Most egymás mellett láthatjuk és összehasonlíthatjuk az eredeti nemlineáris és a linearizált rendszer megoldásait és a fázisképeket:

8.3.3. Példa. Egy „bizonytalan” rendszer

Tekintsünk egy impulzívan fékezett szuperlineáris ingát (részletesen lásd a 13.1. és 13.2. fejezetekben):

(x / y)^,=(y / –x^3), ha t?t_i, (x(t_i+0) / y(t_i+0))=(x^2(t_i–0) / y(t_i–0))
( x y ) , = ( y - x 3 ) , ha t ? t i , ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) ) = ( x 2 ? ( t i - 0 ) y ? ( t i - 0 ) )

ahol t_n=1

t n = 1 . Legyen H_0={{x,y}: x^2+y^2=1} H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 = 1 } és t_0=0 t 0 = 0 . A rendszernek az origó aszimptotikusan stabilis egyensúlyi helyzete (bizonyítsuk be!). A differenciálegyenlet és az impulzus is szigorúan nemlineáris. Sejthető, és ezt az ábrákon látni is fogjuk, hogy az eredeti és a linearizált rendszer viselkedése teljesen különböző lesz.

  • Az eredeti rendszer

xyvar={x,y}; xydot={y,–x^3};

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x 3 } ;

T=N[1];Imax=50; tn=Table[nT,{n,1,Imax}];

T = N [ 1 ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

ImpNonLin[n_,tn_List,xn_List]:={xn[[1]]^2,xn[[2]]};

ImpNonLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := { xn [ 1 ] 2 , xn [ 2 ] } ;

  • A linearizált rendszer

A=JMf[xydot,xyvar]/.x›0/.y›0; xylindot=A.xyvar;

A = JMf [ xydot , xyvar ] /. x 0 /. y 0 ; xylindot = A . xyvar ;

MatrixForm[A]

MatrixForm [ A ]

(0 1 / 0 0)

( 0 1 0 0 )

B=JMf[ImpNonLin[1,tn,xyvar],xyvar]/.x›0/.y›0;

B = JMf [ ImpNonLin [ 1 , tn , xyvar ] , xyvar ] /. x 0 /. y 0 ;

MatrixForm[B]

MatrixForm [ B ]

(0 0 / 0 1)

( 0 0 0 1 )

Bn=Table[B,{i,1,Imax}]; ImpLin[n_,tn_List,xn_List]:=Bn[[n]].xn;

Bn = Table [ B , { i , 1 , Imax } ] ; ImpLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := Bn [ n ] . xn ;

  • Egyéb paraméterek

t0=0.; t1=6; dt=1; x1=y1=–1.; x2=y2=1.;

t0 = 0. ; t1 = 6 ; dt = 1 ; x1 = y1 = - 1. ; x2 = y2 = 1. ;

  • A stabilitás ellenőrzése

A linearizált rendszer konstans együtthatós, az impulzusok egyenlő távolságban követik egymást, ezért elegendő az

M=MatrixPower[B.MatrixExp[AT],1]; M//MatrixForm

M = MatrixPower [ B . MatrixExp [ A ? T ] , 1 ] ; M // MatrixForm

(0. 0. / 0. 1.)

( 0. 0. 0. 1. )

mátrix tulajdonságait vizsgálni. Ennek sajátértékei

Eigenvalues[M]

Eigenvalues [ M ]

{1.,0.}

{ 1. , 0. }

Innen láthatjuk, hogy a linearizált rendszer stabilis és elfajuló. Nem teljesülnek a lineáris közelítésre vonatkozó feltételek.

  • A megoldások kezdeti értékei

Icond=Table[N[{Cos[u],Sin[u]},2],{u,0,2?,(?/8)}];

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

  • A rendszerek trajektóriái együtt

  • 3D megjelenítések E

    E