Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

8.4. Lineáris közelítés változó impulzusidők esetén

8.4. Lineáris közelítés változó impulzusidők esetén

A lineáris közelítés módszere alkalmazható változó pillanatokban ható impulzusok esetén is. Az előző fejezet meggondolásait ki kell bővítenünk az impulzusok idejének közelítésével.

Tekintsük az alábbi alakú rendszert:

x'=A(t)x+g(t,x), ha t??_i(x), x(?+0)=B_ix(v–0)+I_i(x(?–0)), (i=1, 2, 3, ...), x ' = A ? ( t ) ? x + g ? ( t , x ) , ha t ? ? i ( x ) , x ? ( ? + 0 ) = B i ? x ? ( v - 0 ) + I i ( x ? ( ? - 0 ) ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) , (8.4.1)

melyben az A(t)

A ? ( t ) és B_n B n mátrixok a lineáris rendszereknél (7.1. fejezet) leírt feltételeknek tesznek eleget: g:R×R^n›R^n g : R × R n R n , I_i: R^n›R^n I i : R n R n folytonosak, g(t,0)=0 g ? ( t , 0 ) = 0 , I_i(0)=0 I i ( 0 ) = 0 , és tegyük fel, hogy

?g(t, x)???(t)?x? és ?I_i(x)??ß_i?x?,
? g ? ( t , x ) ? ? ? ? ( t ) ? ? x ? és ? I i ( x ) ? ? ß i ? ? x ? ,

ha t?t_0

t ? t 0 , ?x??h ? x ? ? h és ?(t), ß_i///>///0 ? ? ( t ) , ß i ///>/// 0 (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) . Tegyük fel, hogy a t=?_i(x) t = ? i ( x ) felületekre teljesül a

??_i(x')–?_i(x'')??N?x'–x''?
? ? i ( x ' ) - ? i ( x '' ) ? ? N ? ? x ' - x '' ?

Lipshitz-feltétel (?x'?,?x''??h

? x ' ? , ? x '' ? ? h ) egyenletesen minden i-re, és

?_i(x)??_i(B_ix+I_i(x)), ? i ( x ) ? ? ? i ( B i ? x + I i ( x ) ) , (8.4.2)

ha ?x??h

? x ? ? h , i=1,2,... i = 1 , 2 , ... . Ekkor a kis megoldások minden egyes t=?_i(x) t = ? i ( x ) felülettel legfeljebb egyszer találkoznak (nincs visszaverődés). Tegyük fel még, hogy a t=?_i(x) t = ? i ( x ) felületek egyenletes távolságra vannak egymástól, azaz ha ?x??h ? x ? ? h , akkor létezik olyan ?///>///0 ? ///>/// 0 szám, hogy

sup_i(min_(?x??h)?_(i+1)(x)–max_(?x??h)?_i(x))?? sup i ( min ? x ? ? h ? ? i + 1 ( x ) - max ? x ? ? h ? ? i ( x ) ) ? ? (8.4.3)

A (8.4.1) rendszerrel együtt tekintsük az

x'=A(t)x, ha t?t_i, x(t_i+0)=B_ix(t_i–0), (i=1, 2, 3, ...) x ' = A ? ( t ) ? x , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = B i ? x ? ( t i - 0 ) , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (8.4.4)

lineáris rendszert, ahol t_i=?_i(0)

t i = ? i ( 0 ) és |t_i–?_i(x)|›0 | t i - ? i ( x ) | 0 , miközben x›0 x 0 i-ben egyenletesen. Ezen általános feltételek mellett igaz az alábbi tétel.

8.4.1. Tétel.

A (8.4.1) rendszer teljesítse a fenti általános és (8.4.2) feltételeket. Ha

?_(t_0)^??(t)dt///<///? és ?_(t_i///>///t_0)(1+ß_i)///<///?,
? t 0 ? ? ? ( t ) ? ? t ///</// ? és ? t i ///>/// t 0 ( 1 + ß i ) ///</// ? ,

akkor a (8.4.4) lineáris rendszer zérómegoldásának stabilitásából vagy exponenciális stabilitásából következik a (8.4.1) rendszer zérómegoldásának megfelelő tulajdonsága.

Ha a perturbációkra teljesül a

?g(t, x)??a?x? és ?I_i(x)??a?x? ? g ? ( t , x ) ? ? a ? ? x ? és ? I i ( x ) ? ? a ? ? x ? (8.4.5)

feltétel, akkor a rögzített idejű impulzusokhoz hasonló alakú tételt fogalmazhatunk meg:

8.4.2. Tétel.

Tegyük fel, hogy a (8.4.1) rendszer kielégíti fenti általános, valamint a (8.4.2) és (8.4.5) feltételeket. Ha

?X(t,s)??Ke^(–?(t–s)),
? X ? ( t , s ) ? ? K ? ? - ? ? ( t - s ) ,

ahol K///>///1

K ///>/// 1 , ?///>///0 ? ///>/// 0 minden t?s?t_0 t ? s ? t 0 esetén, akkor elegendően kicsi a értékek esetén a (8.4.1) rendszer zérómegoldása aszimptotikusan stabilis.

Konstans együtthatós rendszerek esetén, ha t_(i+1)–t_i=T

t i + 1 - t i = T , akkor igen egyszerű kritériumot kaphatunk. Ha A(t)=A A ? ( t ) = A , B_i=B B i = B és t_(i+1)–t_i=T///>///0 t i + 1 - t i = T ///>/// 0 , és a Be^(AT) B ? ? A ? T mátrix sajátértékeinek abszolút értéke egynél kisebb, akkor az ?X(t,s)??Ke^(–?(t–s)) ? X ? ( t , s ) ? ? K ? ? - ? ? ( t - s ) feltétel teljesül.

Számítógépes vizsgálatok

8.4.1. Példa. Egy aszimptotikusan stabilis rendszer

Tekintsük az alábbi rendszert:

x^'=–0.5x+x^2, ha t??_i(x), x(?+0)=0.8 x(?–0)+x^3(?–0), ha ?=?_i(x), x ' = - 0.5 ? x + x 2 , ha ? t ? ? i ( x ) , x ? ( ? + 0 ) = 0.8 x ? ( ? - 0 ) + x 3 ( ? - 0 ) , ha ? ? = ? i ( x ) , (8.4.6)

ahol ?_i(x)=i+x^2

? i ( x ) = i + x 2 . A t=?_i(x) t = ? i ( x ) görbéket S(t,x)=0 S ? ( t , x ) = 0 alakba írhatjuk, ha S(t,x)=sin(?(t–x^2)) S ? ( t , x ) = sin ? ( ? ? ( t - x 2 ) ) .

Nyilvánvaló, hogy a rendszer linearizáltja az x=0

x = 0 egyensúlyi helyzet környezetében:

x^'=–0.5x, ha t?i, x(?+0)=0.8 x(?–0), ha ?=i. x ' = - 0.5 ? x , ha ? t ? i , x ? ( ? + 0 ) = 0.8 x ? ( ? - 0 ) , ha ? ? = i . (8.4.7)

A 8.4.2. tétel feltételei teljesülnek. A (8.4.2) feltétel teljesül kis x értékekre, a (8.4.6) rendszer differenciálegyenletének megoldásai nullához tartanak, ha x///<///0.5

x ///</// 0.5 . Hasonlítsuk össze a rendszerek irány- és impulzusmezőit, és a megoldások trajektóriáit. A (8.4.6) rendszert az IDERKSolve, a (8.4.7) rendszert az IDESolve programmal oldjuk meg.

  • Az eredeti rendszer

xvar={x}; xdot={–0.5x+x^2};

xvar = { x } ; xdot = { - 0.5 ? x + x 2 } ;

SS=Sin[?(t–x^2)]; II={0.8x+x^3}; Impulse={{SS,II,1}};

SS = Sin [ ? ? ( t - x 2 ) ] ; II = { 0.8 x + x 3 } ; Impulse = { { SS , II , 1 } } ;

  • A linearizált rendszer

xdotlin={–0.5x}; Imax=50; tn=Table[n,{n,1,Imax}];

xdotlin = { - 0.5 ? x } ; Imax = 50 ; tn = Table [ n , { n , 1 , Imax } ] ;

ImpLin[n_,tn_List,xn_List]:=0.8xn;

ImpLin [ n_ , tn_List , xn_List ] := 0.8 xn ;

  • Egyéb paraméterek

t0=0.5;t1=5;dt=1;tstep=0.005;x1=–0.6;x2=0.6;

t0 = 0.5 ; t1 = 5 ; dt = 1 ; tstep = 0.005 ; x1 = - 0.6 ; x2 = 0.6 ;

A kezdeti időpont 0.5 a szokásos 0 helyett, mert a nemlineáris rendszer esetén a 0 bármely kicsi környezetében hat impulzus a kis megoldásokra.

  • Iránymezők

A differenciálegyenletek iránymezői és a linearizált impulzusmező könnyen ábrázolhatók. Ezt az olvasóra bízzuk. A linearizálhatósági feltételek ellenőrzéséhez hasznos a (8.4.6) nemlineáris rendszer impulzusainak ábrázolása.

Pjump=JumpPlot[SS,II,{t,t0,t0+1},{x,x1,x2}, PlotPoints›40,AspectRatio›1];

Pjump = JumpPlot [ SS , II , { t , t0 , t0 + 1 } , { x , x1 , x2 } , PlotPoints 40 , AspectRatio 1 ] ;

Az ábra is mutatja, hogy az origóhoz közel a megoldások csak egyszer metszhetik a t=?_i(x)

t = ? i ( x ) görbéket.

  • A megoldások: –0.3?x0?0.3

    - 0.3 ? x0 ? 0.3

A megoldások grafikonjait együtt ábrázoljuk. Láthatók a nemlineáris rendszerre időben változó impulzushatások.

Icond=Table[{x0},{x0,–0.3,0.3,0.1}];

Icond = Table [ { x0 } , { x0 , - 0.3 , 0.3 , 0.1 } ] ;

SolNL=IDERKSolve[xdot,Impulse,xvar,Icond,{t,t0,t1,tstep}];

SolNL = IDERKSolve [ xdot , Impulse , xvar , Icond , { t , t0 , t1 , tstep } ] ;

TrajL[t_]= IDESolve[xdotlin,xvar,tn,ImpLin,Icond,{t,t0,t1}];

TrajL [ t_ ] = IDESolve [ xdotlin , xvar , tn , ImpLin , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

A nemlineáris rendszer:

p0nl=ListPlot1[SolNL,PlotJoined›True,PlotStyle›{RGBColor[0.9,0,0]},AxesLabel›{t,x},PlotRange›All];

p0nl = ListPlot1 [ SolNL , PlotJoined True , PlotStyle { RGBColor [ 0.9 , 0 , 0 ] } , AxesLabel { t , x } , PlotRange All ] ;

A linearizált rendszer:

p0l=Plot[Evaluate[TrajL[t]],{t,t0,t1},AxesLabel›{t,x},PlotRange›All];

p0l = Plot [ Evaluate [ TrajL [ t ] ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel { t , x } , PlotRange All ] ;

A trajektóriák együtt:

Show[p0l,p0nl];

Show [ p0l , p0nl ] ;

Megfigyelhető, hogy a két rendszer kis megoldásai nagyon közel vannak egymáshoz. Az impulzusidők x-től való függése alig észrevehető. Nagyítsuk ki az |x|?0.1

| x | ? 0.1 intervallumot.

  • A megoldások: –0.1?x0?0.1

    - 0.1 ? x0 ? 0.1

Icond=Table[{x0},{x0,–0.1,0.1,0.04}];

Icond = Table [ { x0 } , { x0 , - 0.1 , 0.1 , 0.04 } ] ;

A trajektóriák együtt: