A fázisleképezéssel és számítógépes megjelenítésével már foglalkoztunk (6.3. fejezet). A megoldások viselkedésének elemzésénél a fázisképek alakjának változását már több esetben felhasználtuk. Ebben a részben azt vizsgáljuk meg, hogy bizonyos rendszerek esetén a fázisleképezés hogyan változtatja meg a kezdeti halmazok mértékét, és ebből milyen következtetéseket lehet levonni a megoldások viselkedésére. Az ilyen irányú vizsgálatokat együttesen fázistérfogat-módszernek nevezzük. Először összefoglaljuk a legfontosabb elméleti eredményeket, majd néhány érdekes példán keresztül bemutatjuk a módszer alkalmazásának számítógépes eszközeit közönséges differenciálegyenletekre és impulzív rendszerekre rögzített pillanatokban ható impulzusokkal.
A fázistérfogat meghatározása
Valamely rendszer esetén tekintsük a
?
t
,
t
0
:
R
n
›
R
n
fázisleképezést, amely adott
x
0
ponthoz a
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
pontot rendeli. Legyen adott egy
H
0
?
R
n
megfelelő tulajdonságú halmaz, például egyszeresen összefüggő zárt tartomány. Alkalmazzuk a
?
t
,
t
0
fázisleképezést a
H
0
halmazra:
Feltételezzük, hogy a
H
0
zárt halmazra teljesül a
?
t
,
t
0
(
?
H
0
)
=
?
?
t
,
t
0
(
H
0
)
feltétel, azaz
?
t
,
t
0
a
H
0
halmaz határát a képhalmaz határába képezi (6.1. fejezet).
Ismert, hogy a konzervatív rendszerek esetén
µ
?
(
H
t
,
t
0
)
, a
H
t
,
t
0
fázisképek mértéke nem változik, a rendszer összenyomhatatlan. Más esetekben
µ
?
(
H
t
,
t
0
)
változásából a rendszer stabilitási-instabilitási tulajdonságaira következtethetünk. Ezeknek a megfontolásoknak különösen az olyan rendszerek esetén van gyakorlati haszna, amelyeknél
µ
?
(
H
t
,
t
0
)
explicit módon kiszámítható. Ilyenek a közönséges differenciálegyenletek, differenciaegyenletek és közös általánosításaik, az impulzív rendszerek rögzített pillanatokban ható impulzusokkal. Az alábbiakban idézzük a fázistérfogatra vonatkozó képleteket ezekben az esetekben, majd összefoglaljuk a legfontosabb eredményeket.
Tekintsük a lineáris homogén
differenciálegyenletet, amelyben
A
?
(
t
)
:
R
+
›
R
n
×
n
folytonos mátrixfügvény. Ekkor a rendszer
W
?
(
t
,
0
)
alapmátrixa determinánsának a deriváltja,
d
d
?
t
?
det
?
W
?
(
t
,
0
)
=
Tr
?
A
?
(
t
)
, az
A
?
(
t
)
mátrix nyoma. Innen a megoldások kezdeti értéktől való differenciálható függésére vonatkozó eredményekből (lásd például Pontrjagin könyvét [23]) könnyen adódik, hogy valamely véges mértékű
H
0
?
R
n
halmaz esetén
Tekintsük most a nemlineáris
differenciálegyenletet, amelyben
f
?
(
t
,
x
)
:
R
+
×
R
n
›
R
n
folytonos t-ben és folytonosan parciálisan differenciálható x-ben. Ekkor, valamely véges mértékű
H
0
?
R
n
halmaz és
t
0
=
0
esetén
ahol
div
?
f
az
f
?
(
t
,
x
)
függvény
f
x
'
?
(
t
,
x
)
=
{
?
f
i
?
x
j
}
Jacobi mátrixának a nyoma:
Tekintsük most az
differenciaegyenletet, amelyben
A
?
(
t
)
:
N
›
R
n
×
n
mátrixfüggvény. Most is a kezdeti értékektől való differenciálható függés alapján kapjuk, hogy
Az
nemlineáris differenciaegyenletre vonatkozóan
µ
?
(
H
t
,
0
)
meghatározásának módja hasonló:
ahol
f
x
'
?
(
t
;
x
)
=
{
?
f
i
?
x
j
}
az f függvény Jacobi mátrixa.
Mivel az impulzív rendszerek rögzített pillanatokban ható impulzusokkal a fenti két eset közös általánosításai, ezért a formulák eléggé természetesek. A levezetés most is a kezdeti értékektől való differenciálható függésen alapszik (4.1. fejezet). Már előre megjegyezzük, hogy a formulákban mátrixok determinánsai szerepelnek, amik nyilvánvalóan felcserélhetők. Ugyanakkor emlékezzünk rá, hogy a lineáris rendszer alapmátrixa általában nem felcserélhető mátrixok szorzata, aminek kezelése formálisan kellemetlen (ezért is használunk számítógépes módszereket). Emiatt az impulzív rendszerek esetén a fázistérfogat módszer különösen hasznos.
Tekintsük először az
lineáris impulzív rendszert, amelyben {
t
i
} monoton növő sorozat,
A
?
(
t
)
:
R
+
›
R
n
×
n
folytonos mátrixfüggvény,
B
i
(
i
=
1
,
2
,
...
)
n
×
n
-es mátrixok. Ekkor
Végül az
impulzív rendszerre vonatkozóan, ahol
f
?
(
t
,
x
)
:
R
+
×
R
n
›
R
n
folytonos t-ben, folytonosan parciálisan differenciálható x-ben,
I
i
:
R
n
›
R
n
folytonosak, az alábbi formulát kapjuk:
Alkalmazások
Vegyük észre, hogy a
µ
?
(
H
t
,
t
0
)
mértékeket csak a lineáris és speciális nemlineáris esetekben lehet egyszerűen kiszámítani, amikor a képletben szereplő függvényekre a megoldások aktuális értékétől független becslés adható. A nemlineáris rendszerekre vonatkozó számítások igen bonyolultak, még azokban az esetekben is, amelyekben
µ
?
(
H
t
,
t
0
)
-re létezik formula. Ezért különösen hasznosak a szimulációs vizsgálatok. Az impulzív rendszerekre vonatkozó Liouville formulával kapcsolatosan lásd Samoilenko
és Perestjuk [25], vagy Bainov és Simeonov [1] könyvét. A mélyebb ismeretek iránt érdeklődő olvasóknak ajánljuk Hatvani és Krámli [44], Graef és Karsai [47–49], Peil és Peterson [58], valamint Zhukov [60] dolgozatait.
Legyen
H
?
R
n
korlátos zárt halmaz. Tegyük fel, hogy az elegendően kicsi kezdeti értékből induló megoldások folytathatók végtelenig. Tegyük fel, hogy a (9.1.11) rendszernek az origó egyensúlyi helyzete. Könnyű látni, hogy ha tetszőlegesen kicsiny
H
0
zárt halmazra, amely az origót belsejében tartalmazza,
lim
t
›
?
?
µ
?
(
H
t
,
t
0
)
=
?
, akkor a (9.1.11) rendszer zéró megoldása nem lehet stabilis (bizonyítandó!).
A stabilitás, ezen belül az attraktivitás kérdése sokkal bonyolultabb. Lineáris rendszerekre vonatkozóan Hartman híres tételének [42], valamint Peil és Peterson eredményének [58] közös általánosítása az alábbi tétel [47].
9.1.1. Tétel.
Tegyük fel, hogy a (9.1.9) lineáris rendszer zérómegoldása egyenletesen stabilis. Akkor és csakis akkor létezik a rendszernek
lim
t
›
?
x
_
(
t
)
= 0 tulajdonságú
t
0
pillanatban kezdődő megoldása, ha
Ennek a tételnek fontos következményei vannak a másodrendű egyenletekre vonatkozóan (13.2. fejezet). Megjegyezzük, hogy a nullához tartó megoldás létezése függhet a
t
0
pillanattól, ha a
B
i
mátrixok között van szinguláris is. Ha van szinguláris
B
i
, akkor a tétel állítása trivialitás. A
H
t
,
t
0
halmazt a
H
0
-ból a
?
t
,
t
0
lineáris fázisleképezéssel kapjuk, és számítógépes program a
?
determinánsának kiszámításához szükséges. A nemlineáris rendszerek esetén más a helyzet, és a módszer formális alkalmazása több nehézségbe ütközik. Először is
µ
?
(
H
t
,
t
0
)
kiszámításához vagy megoldásfüggetlen becslésekre vagy a megoldások ismeretére van szükség. Még a (9.1.12) képletben levő deriváltak kiszámítása is kellemetlen lehet. Továbbá, a lineáris rendszerekre vonatkozó eredmények, például a fenti tétel mechanikus általánosítása nem igaz. Általánosított eredmények Karsai és Graef [47–49] dolgozataiban találhatók, bonyolultságuk miatt itt nem fogalmazzuk meg őket.
A fázistérfogat módszer kísérleti támogatása
Különösen a nemlineáris esetekben hasznosak a számítógépes módszerek. A
H
t
,
t
0
halmaz alakjának vizsgálatához a már eddig is alkalmazott vizualizációs eszközök hasznosak (6. fejezet). Ezen túlmenően, a fázistérfogat empírikus becslése sokat segíthet. A következő fejezetekben néhány jellemző példán bemutatjuk a módszer alkalmazásának Mathematica eszközeit.
Technikai nehézségek legkevésbé a differenciálegyenletek esetén merülnek fel, ezért a módszer alkalmazásához szükséges lépéseket először itt mutatjuk be, majd az ezt követő részben foglalkozunk az impulzív rendszerek esetével. A differenciálegyenletekkel kapcsolatosan sem érdektelen problémákat tekintünk, hiszen szinte azonnal máig megoldatlan elméleti problémával találkozunk.