A fázisleképezéssel és számítógépes megjelenítésével már foglalkoztunk (6.3. fejezet). A megoldások viselkedésének elemzésénél a fázisképek alakjának változását már több esetben felhasználtuk. Ebben a részben azt vizsgáljuk meg, hogy bizonyos rendszerek esetén a fázisleképezés hogyan változtatja meg a kezdeti halmazok mértékét, és ebből milyen következtetéseket lehet levonni a megoldások viselkedésére. Az ilyen irányú vizsgálatokat együttesen fázistérfogat-módszernek nevezzük. Először összefoglaljuk a legfontosabb elméleti eredményeket, majd néhány érdekes példán keresztül bemutatjuk a módszer alkalmazásának számítógépes eszközeit közönséges differenciálegyenletekre és impulzív rendszerekre rögzített pillanatokban ható impulzusokkal.

A fázistérfogat meghatározása

Valamely rendszer esetén tekintsük a

? t , t 0 : R n › R n fázisleképezést, amely adott

[D]

x 0 ponthoz a

[D]

x ? ( t , t 0 , x 0 ) pontot rendeli. Legyen adott egy

[D]

H 0 ? R n megfelelő tulajdonságú halmaz, például egyszeresen összefüggő zárt tartomány. Alkalmazzuk a

[D]

? t , t 0 fázisleképezést a

[D]

H 0 halmazra:

Feltételezzük, hogy a

H 0 zárt halmazra teljesül a

[D]

? t , t 0 ( ? H 0 ) = ? ? t , t 0 ( H 0 ) feltétel, azaz

[D]

? t , t 0 a

[D]

H 0 halmaz határát a képhalmaz határába képezi (6.1. fejezet).

Ismert, hogy a konzervatív rendszerek esetén

µ ? ( H t , t 0 ) , a

[D]

H t , t 0 fázisképek mértéke nem változik, a rendszer összenyomhatatlan. Más esetekben

[D]

µ ? ( H t , t 0 ) változásából a rendszer stabilitási-instabilitási tulajdonságaira következtethetünk. Ezeknek a megfontolásoknak különösen az olyan rendszerek esetén van gyakorlati haszna, amelyeknél

[D]

µ ? ( H t , t 0 ) explicit módon kiszámítható. Ilyenek a közönséges differenciálegyenletek, differenciaegyenletek és közös általánosításaik, az impulzív rendszerek rögzített pillanatokban ható impulzusokkal. Az alábbiakban idézzük a fázistérfogatra vonatkozó képleteket ezekben az esetekben, majd összefoglaljuk a legfontosabb eredményeket.

Tekintsük a lineáris homogén

differenciálegyenletet, amelyben

A ? ( t ) : R + › R n × n folytonos mátrixfügvény. Ekkor a rendszer

[D]

W ? ( t , 0 ) alapmátrixa determinánsának a deriváltja,

[D]

d d ? t ? det ? W ? ( t , 0 ) = Tr ? A ? ( t ) , az

[D]

A ? ( t ) mátrix nyoma. Innen a megoldások kezdeti értéktől való differenciálható függésére vonatkozó eredményekből (lásd például Pontrjagin könyvét [23]) könnyen adódik, hogy valamely véges mértékű

[D]

H 0 ? R n halmaz esetén

Tekintsük most a nemlineáris

differenciálegyenletet, amelyben

f ? ( t , x ) : R + × R n › R n folytonos t-ben és folytonosan parciálisan differenciálható x-ben. Ekkor, valamely véges mértékű

[D]

H 0 ? R n halmaz és

[D]

t 0 = 0 esetén

ahol

div ? f az

[D]

f ? ( t , x ) függvény

[D]

f x ' ? ( t , x ) = { ? f i ? x j } Jacobi mátrixának a nyoma:

Tekintsük most az

differenciaegyenletet, amelyben

A ? ( t ) : N › R n × n mátrixfüggvény. Most is a kezdeti értékektől való differenciálható függés alapján kapjuk, hogy

Az

nemlineáris differenciaegyenletre vonatkozóan

µ ? ( H t , 0 ) meghatározásának módja hasonló:

ahol

f x ' ? ( t ; x ) = { ? f i ? x j } az f függvény Jacobi mátrixa.

Mivel az impulzív rendszerek rögzített pillanatokban ható impulzusokkal a fenti két eset közös általánosításai, ezért a formulák eléggé természetesek. A levezetés most is a kezdeti értékektől való differenciálható függésen alapszik (4.1. fejezet). Már előre megjegyezzük, hogy a formulákban mátrixok determinánsai szerepelnek, amik nyilvánvalóan felcserélhetők. Ugyanakkor emlékezzünk rá, hogy a lineáris rendszer alapmátrixa általában nem felcserélhető mátrixok szorzata, aminek kezelése formálisan kellemetlen (ezért is használunk számítógépes módszereket). Emiatt az impulzív rendszerek esetén a fázistérfogat módszer különösen hasznos.

Tekintsük először az

lineáris impulzív rendszert, amelyben {

t i } monoton növő sorozat,

[D]

A ? ( t ) : R + › R n × n folytonos mátrixfüggvény,

[D]

B i

[D]

( i = 1 , 2 , ... )

[D]

n × n -es mátrixok. Ekkor

Végül az

impulzív rendszerre vonatkozóan, ahol

f ? ( t , x ) :

[D]

R + × R n › R n folytonos t-ben, folytonosan parciálisan differenciálható x-ben,

[D]

I i : R n › R n folytonosak, az alábbi formulát kapjuk:

Alkalmazások

Vegyük észre, hogy a

µ ? ( H t , t 0 ) mértékeket csak a lineáris és speciális nemlineáris esetekben lehet egyszerűen kiszámítani, amikor a képletben szereplő függvényekre a megoldások aktuális értékétől független becslés adható. A nemlineáris rendszerekre vonatkozó számítások igen bonyolultak, még azokban az esetekben is, amelyekben

[D]

µ ? ( H t , t 0 ) -re létezik formula. Ezért különösen hasznosak a szimulációs vizsgálatok. Az impulzív rendszerekre vonatkozó Liouville formulával kapcsolatosan lásd Samoilenko és Perestjuk [25], vagy Bainov és Simeonov [1] könyvét. A mélyebb ismeretek iránt érdeklődő olvasóknak ajánljuk Hatvani és Krámli [44], Graef és Karsai [47–49], Peil és Peterson [58], valamint Zhukov [60] dolgozatait.

Legyen

H ?

[D]

R n korlátos zárt halmaz. Tegyük fel, hogy az elegendően kicsi kezdeti értékből induló megoldások folytathatók végtelenig. Tegyük fel, hogy a (9.1.11) rendszernek az origó egyensúlyi helyzete. Könnyű látni, hogy ha tetszőlegesen kicsiny

[D]

H 0 zárt halmazra, amely az origót belsejében tartalmazza,

[D]

lim t › ? ? µ ? ( H t , t 0 ) = ? , akkor a (9.1.11) rendszer zéró megoldása nem lehet stabilis (bizonyítandó!).

A stabilitás, ezen belül az attraktivitás kérdése sokkal bonyolultabb. Lineáris rendszerekre vonatkozóan Hartman híres tételének [42], valamint Peil és Peterson eredményének [58] közös általánosítása az alábbi tétel [47].

9.1.1. Tétel.

Tegyük fel, hogy a (9.1.9) lineáris rendszer zérómegoldása egyenletesen stabilis. Akkor és csakis akkor létezik a rendszernek

lim t › ? x _ ( t ) = 0 tulajdonságú

[D]

t 0 pillanatban kezdődő megoldása, ha

Ennek a tételnek fontos következményei vannak a másodrendű egyenletekre vonatkozóan (13.2. fejezet). Megjegyezzük, hogy a nullához tartó megoldás létezése függhet a

t 0 pillanattól, ha a

[D]

B i mátrixok között van szinguláris is. Ha van szinguláris

[D]

B i , akkor a tétel állítása trivialitás. A

[D]

H t , t 0 halmazt a

[D]

H 0 -ból a

[D]

? t , t 0 lineáris fázisleképezéssel kapjuk, és számítógépes program a

[D]

? determinánsának kiszámításához szükséges. A nemlineáris rendszerek esetén más a helyzet, és a módszer formális alkalmazása több nehézségbe ütközik. Először is

[D]

µ ? ( H t , t 0 ) kiszámításához vagy megoldásfüggetlen becslésekre vagy a megoldások ismeretére van szükség. Még a (9.1.12) képletben levő deriváltak kiszámítása is kellemetlen lehet. Továbbá, a lineáris rendszerekre vonatkozó eredmények, például a fenti tétel mechanikus általánosítása nem igaz. Általánosított eredmények Karsai és Graef [47–49] dolgozataiban találhatók, bonyolultságuk miatt itt nem fogalmazzuk meg őket.

A fázistérfogat módszer kísérleti támogatása

Különösen a nemlineáris esetekben hasznosak a számítógépes módszerek. A

H t , t 0 halmaz alakjának vizsgálatához a már eddig is alkalmazott vizualizációs eszközök hasznosak (6. fejezet). Ezen túlmenően, a fázistérfogat empírikus becslése sokat segíthet. A következő fejezetekben néhány jellemző példán bemutatjuk a módszer alkalmazásának Mathematica eszközeit.

Technikai nehézségek legkevésbé a differenciálegyenletek esetén merülnek fel, ezért a módszer alkalmazásához szükséges lépéseket először itt mutatjuk be, majd az ezt követő részben foglalkozunk az impulzív rendszerek esetével. A differenciálegyenletekkel kapcsolatosan sem érdektelen problémákat tekintünk, hiszen szinte azonnal máig megoldatlan elméleti problémával találkozunk.