Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

9. fejezet - A Liouville formula, fázistérfogat módszer

9. fejezet - A Liouville formula, fázistérfogat módszer

9.1. Elméleti áttekintés

A fázisleképezéssel és számítógépes megjelenítésével már foglalkoztunk (6.3. fejezet). A megoldások viselkedésének elemzésénél a fázisképek alakjának változását már több esetben felhasználtuk. Ebben a részben azt vizsgáljuk meg, hogy bizonyos rendszerek esetén a fázisleképezés hogyan változtatja meg a kezdeti halmazok mértékét, és ebből milyen következtetéseket lehet levonni a megoldások viselkedésére. Az ilyen irányú vizsgálatokat együttesen fázistérfogat-módszernek nevezzük. Először összefoglaljuk a legfontosabb elméleti eredményeket, majd néhány érdekes példán keresztül bemutatjuk a módszer alkalmazásának számítógépes eszközeit közönséges differenciálegyenletekre és impulzív rendszerekre rögzített pillanatokban ható impulzusokkal.

A fázistérfogat meghatározása

Valamely rendszer esetén tekintsük a ?_(t,t_0): R^n›R^n

? t , t 0 : R n R n fázisleképezést, amely adott x_0 x 0 ponthoz a x(t,t_0,x_0) x ? ( t , t 0 , x 0 ) pontot rendeli. Legyen adott egy H_0?R^n H 0 ? R n megfelelő tulajdonságú halmaz, például egyszeresen összefüggő zárt tartomány. Alkalmazzuk a ?_(t,t_0) ? t , t 0 fázisleképezést a H_0 H 0 halmazra:

H_(t,t_0):=?_(t,t_0)(H_0)={x?R^n: x=x(t,t_0,x_0), x_0?H_0}
H t , t 0 := ? t , t 0 ( H 0 ) = { x ? R n : x = x ? ( t , t 0 , x 0 ) , x 0 ? H 0 }

Feltételezzük, hogy a H_0

H 0 zárt halmazra teljesül a ?_(t,t_0)(?H_0)=??_(t,t_0)(H_0) ? t , t 0 ( ? H 0 ) = ? ? t , t 0 ( H 0 ) feltétel, azaz ?_(t,t_0) ? t , t 0 a H_0 H 0 halmaz határát a képhalmaz határába képezi (6.1. fejezet).

Ismert, hogy a konzervatív rendszerek esetén µ(H_(t,t_0))

µ ? ( H t , t 0 ) , a H_(t,t_0) H t , t 0 fázisképek mértéke nem változik, a rendszer összenyomhatatlan. Más esetekben µ(H_(t,t_0)) µ ? ( H t , t 0 ) változásából a rendszer stabilitási-instabilitási tulajdonságaira következtethetünk. Ezeknek a megfontolásoknak különösen az olyan rendszerek esetén van gyakorlati haszna, amelyeknél µ(H_(t,t_0)) µ ? ( H t , t 0 ) explicit módon kiszámítható. Ilyenek a közönséges differenciálegyenletek, differenciaegyenletek és közös általánosításaik, az impulzív rendszerek rögzített pillanatokban ható impulzusokkal. Az alábbiakban idézzük a fázistérfogatra vonatkozó képleteket ezekben az esetekben, majd összefoglaljuk a legfontosabb eredményeket.

  • Közönséges differenciálegyenletek

Tekintsük a lineáris homogén

x'=A(t)x, x?R^n, x ' = A ? ( t ) ? x , x ? R n , (9.1.1)

differenciálegyenletet, amelyben A(t): R_+›R^(n×n)

A ? ( t ) : R + R n × n folytonos mátrixfügvény. Ekkor a rendszer W(t,0) W ? ( t , 0 ) alapmátrixa determinánsának a deriváltja, (d/dt)detW(t,0)=TrA(t) d d ? t ? det ? W ? ( t , 0 ) = Tr ? A ? ( t ) , az A(t) A ? ( t ) mátrix nyoma. Innen a megoldások kezdeti értéktől való differenciálható függésére vonatkozó eredményekből (lásd például Pontrjagin könyvét [23]) könnyen adódik, hogy valamely véges mértékű H_0?R^n H 0 ? R n halmaz esetén

µ(H_(t,t_0))=?_(H_t,t_0) dx=µ(H_0)e^(?_(t_0)^t TrA(s)ds). µ ? ( H t , t 0 ) = ? H t , t 0 ? x = µ ? ( H 0 ) ? e ? t 0 t Tr ? A ? ( s ) ? ? ? s . (9.1.2)

Tekintsük most a nemlineáris

x'=f(t,x), x?R^n x ' = f ? ( t , x ) , x ? R n (9.1.3)

differenciálegyenletet, amelyben f(t,x): R_+×R^n›R^n

f ? ( t , x ) : R + × R n R n folytonos t-ben és folytonosan parciálisan differenciálható x-ben. Ekkor, valamely véges mértékű H_0?R^n H 0 ? R n halmaz és t_0=0 t 0 = 0 esetén

µ(H_(t,t_0))=?_(H_(t,t_0)) dx=?_(H_0)e^(?_(t_0)^t divf(s, x(s; t_0, x_0))ds)dx_0, µ ? ( H t , t 0 ) = ? H t , t 0 ? x = ? H 0 e ? t 0 t div ? f ? ( s , x ? ( s ; t 0 , x 0 ) ) ? ? s ? ? x 0 , (9.1.4)

ahol divf

div ? f az f(t,x) f ? ( t , x ) függvény f_x'(t,x)={(?f_i/?x_j)} f x ' ? ( t , x ) = { ? f i ? x j } Jacobi mátrixának a nyoma:

?_(j=1)^n(?f_j/?x_j).
? j = 1 n ? f j ? x j .

  • Differenciaegyenletek

Tekintsük most az

x(t+1)=A(t)x, x?R^n, x ? ( t + 1 ) = A ? ( t ) ? x , x ? R n , (9.1.5)

differenciaegyenletet, amelyben A(t):N›R^(n×n)

A ? ( t ) : N R n × n mátrixfüggvény. Most is a kezdeti értékektől való differenciálható függés alapján kapjuk, hogy

µ(H_(t,0))=?_(H_t) dx=µ(H_0) ?_(k=0)^(t–1) |detA(k)|. µ ? ( H t , 0 ) = ? H t ? x = µ ? ( H 0 ) ? k = 0 t - 1 | det ? A ? ( k ) | . (9.1.6)

Az

x(t+1)=f(t,x(t)), x?R^n x ? ( t + 1 ) = f ? ( t , x ? ( t ) ) , x ? R n (9.1.7)

nemlineáris differenciaegyenletre vonatkozóan µ(H_(t,0))

µ ? ( H t , 0 ) meghatározásának módja hasonló:

µ(H_(t,0))=?_(H_(t,0))dx=?_(H_0)?_(k=0)^(t–1) |detf_x'(k,x(i,x_0))| dx_0, µ ? ( H t , 0 ) = ? H t , 0 ? x = ? H 0 ? k = 0 t - 1 | det ? f x ' ? ( k , x ? ( i , x 0 ) ) | ? x 0 , (9.1.8)

ahol f_x'(t;x)={(?f_i/?x_j)}

f x ' ? ( t ; x ) = { ? f i ? x j } az f függvény Jacobi mátrixa.

  • Impulzív rendszerek rögzített impulzusidővel

Mivel az impulzív rendszerek rögzített pillanatokban ható impulzusokkal a fenti két eset közös általánosításai, ezért a formulák eléggé természetesek. A levezetés most is a kezdeti értékektől való differenciálható függésen alapszik (4.1. fejezet). Már előre megjegyezzük, hogy a formulákban mátrixok determinánsai szerepelnek, amik nyilvánvalóan felcserélhetők. Ugyanakkor emlékezzünk rá, hogy a lineáris rendszer alapmátrixa általában nem felcserélhető mátrixok szorzata, aminek kezelése formálisan kellemetlen (ezért is használunk számítógépes módszereket). Emiatt az impulzív rendszerek esetén a fázistérfogat módszer különösen hasznos.

Tekintsük először az

x'=A(t)x, x?R^n, t?t_i, x(t_i+0)=B_i.x(t_i–0) x ' = A ? ( t ) ? x , x ? R n , t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = B i . x ? ( t i - 0 ) (9.1.9)

lineáris impulzív rendszert, amelyben {t_i

t i } monoton növő sorozat, A(t): R_+›R^(n×n) A ? ( t ) : R + R n × n folytonos mátrixfüggvény, B_i B i (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) n×n n × n -es mátrixok. Ekkor

µ(H_(t,t_0))=?_(H_t,t_0)dx=µ(H_0)?_(t_0///<///t_i///<///t) |detB_i|e^(?_(t_0)^t Tr(A(s))ds) µ ? ( H t , t 0 ) = ? H t , t 0 ? x = µ ? ( H 0 ) ? ? t 0 ///</// t i ///</// t ? | det ? B i | ? e ? t 0 t Tr ? ( A ? ( s ) ) ? ? s (9.1.10)

Végül az

x'=f(t,x), x?R^n, t?t_i, x(t_i+0)=I_i(x(t_i–0)) x ' = f ? ( t , x ) , x ? R n , t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = I i ( x ? ( t i - 0 ) ) (9.1.11)

impulzív rendszerre vonatkozóan, ahol f(t,x)

f ? ( t , x ) : R_+×R^n›R^n R + × R n R n folytonos t-ben, folytonosan parciálisan differenciálható x-ben, I_i: R^n›R^n I i : R n R n folytonosak, az alábbi formulát kapjuk:

µ(H_(t,t_0))=?_(H_(t,t_0))dx= ?_(H_0)?_(t_0///<///t_i///<///t) |detI_x'(x(t_i,x_0))|e^(?_(t_0)^t divf(s, x(s, t_0, x_0))ds)dx_0. µ ? ( H t , t 0 ) = ? H t , t 0 ? x = ? H 0 ? t 0 ///</// t i ///</// t | det ? I x ' ? ( x ? ( t i , x 0 ) ) | e ? t 0 t div ? f ? ( s , x ? ( s , t 0 , x 0 ) ) ? ? s ? ? x 0 . (9.1.12)

Alkalmazások

Vegyük észre, hogy a µ(H_(t,t_0))

µ ? ( H t , t 0 ) mértékeket csak a lineáris és speciális nemlineáris esetekben lehet egyszerűen kiszámítani, amikor a képletben szereplő függvényekre a megoldások aktuális értékétől független becslés adható. A nemlineáris rendszerekre vonatkozó számítások igen bonyolultak, még azokban az esetekben is, amelyekben µ(H_(t,t_0)) µ ? ( H t , t 0 ) -re létezik formula. Ezért különösen hasznosak a szimulációs vizsgálatok. Az impulzív rendszerekre vonatkozó Liouville formulával kapcsolatosan lásd Samoilenko és Perestjuk [25], vagy Bainov és Simeonov [1] könyvét. A mélyebb ismeretek iránt érdeklődő olvasóknak ajánljuk Hatvani és Krámli [44], Graef és Karsai [47–49], Peil és Peterson [58], valamint Zhukov [60] dolgozatait.

Legyen H

H ? R^n R n korlátos zárt halmaz. Tegyük fel, hogy az elegendően kicsi kezdeti értékből induló megoldások folytathatók végtelenig. Tegyük fel, hogy a (9.1.11) rendszernek az origó egyensúlyi helyzete. Könnyű látni, hogy ha tetszőlegesen kicsiny H_0 H 0 zárt halmazra, amely az origót belsejében tartalmazza, lim_(t›?)µ(H_(t,t_0))=? lim t ? ? µ ? ( H t , t 0 ) = ? , akkor a (9.1.11) rendszer zéró megoldása nem lehet stabilis (bizonyítandó!).

A stabilitás, ezen belül az attraktivitás kérdése sokkal bonyolultabb. Lineáris rendszerekre vonatkozóan Hartman híres tételének [42], valamint Peil és Peterson eredményének [58] közös általánosítása az alábbi tétel [47].

9.1.1. Tétel.

Tegyük fel, hogy a (9.1.9) lineáris rendszer zérómegoldása egyenletesen stabilis. Akkor és csakis akkor létezik a rendszernek lim_(t›?)x^_(t)

lim t ? x _ ( t ) = 0 tulajdonságú t_0 t 0 pillanatban kezdődő megoldása, ha

lim_(t›?)?_(t_0///<///t_i///<///t) |detB_i| e^(?_(t_0)^t Tr(A(s))ds)=0. lim t ? ? ? t 0 ///</// t i ///</// t | det ? B i | e ? t 0 t Tr ? ( A ? ( s ) ) ? ? s = 0 . (9.1.13)

Ennek a tételnek fontos következményei vannak a másodrendű egyenletekre vonatkozóan (13.2. fejezet). Megjegyezzük, hogy a nullához tartó megoldás létezése függhet a t_0

t 0 pillanattól, ha a B_i B i mátrixok között van szinguláris is. Ha van szinguláris B_i B i , akkor a tétel állítása trivialitás. A H_(t,t_0) H t , t 0 halmazt a H_0 H 0 -ból a ?_(t,t_0) ? t , t 0 lineáris fázisleképezéssel kapjuk, és számítógépes program a ? ? determinánsának kiszámításához szükséges. A nemlineáris rendszerek esetén más a helyzet, és a módszer formális alkalmazása több nehézségbe ütközik. Először is µ(H_(t,t_0)) µ ? ( H t , t 0 ) kiszámításához vagy megoldásfüggetlen becslésekre vagy a megoldások ismeretére van szükség. Még a (9.1.12) képletben levő deriváltak kiszámítása is kellemetlen lehet. Továbbá, a lineáris rendszerekre vonatkozó eredmények, például a fenti tétel mechanikus általánosítása nem igaz. Általánosított eredmények Karsai és Graef [47–49] dolgozataiban találhatók, bonyolultságuk miatt itt nem fogalmazzuk meg őket.

A fázistérfogat módszer kísérleti támogatása

Különösen a nemlineáris esetekben hasznosak a számítógépes módszerek. A H_(t,t_0)

H t , t 0 halmaz alakjának vizsgálatához a már eddig is alkalmazott vizualizációs eszközök hasznosak (6. fejezet). Ezen túlmenően, a fázistérfogat empírikus becslése sokat segíthet. A következő fejezetekben néhány jellemző példán bemutatjuk a módszer alkalmazásának Mathematica eszközeit.

Technikai nehézségek legkevésbé a differenciálegyenletek esetén merülnek fel, ezért a módszer alkalmazásához szükséges lépéseket először itt mutatjuk be, majd az ezt követő részben foglalkozunk az impulzív rendszerek esetével. A differenciálegyenletekkel kapcsolatosan sem érdektelen problémákat tekintünk, hiszen szinte azonnal máig megoldatlan elméleti problémával találkozunk.