Impulzív jelenségek modelljei|Digitális Tankönyvtár

Főoldal > Tankönyvtár > Könyvek > Természettudományok > Matematika

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

Beágyazás

9.2. Fázistérfogat kísérletek differenciálegyenletekre

Tekintsük az

[D]

x ' = f ? ( t , x ) , ( x ? R n )

(9.2.1)

differenciálegyenletet. Az egyenlet

[D]

x ? ( t , t 0 , x 0 ) megoldásait valamely zárt G görbe

[D]

x 0 pontjaiból indulva határozzuk meg. A

[D]

H 0 kezdeti halmaz a G görbe által határolt zárt tartomány. A

[D]

? t , t 0 ( ? H 0 ) = ? ? t , t 0 ( H 0 ) feltétel automatikusan teljesül, ezért ábrázolhatjuk a G halmaz megoldások menti képét a fázistérben és a kibővített fázistérben.

A nemlineáris Liouville formula szerint:

[D]

µ ? ( H t , t 0 ) = ? H 0 e ? t 0 t div ? f ? ( s , x ? ( s ; t 0 , x 0 ) ) ? ? s ? ? x 0 .

(9.2.2)

Az integrál akkor számítható ki könnyen, ha az integrandust sikerül valamilyen módon a megoldások ismerete nélkül becsülni. Ehhez esetleg a megoldások bizonyos ismert tulajdonságait, például korlátosságát felhasználhatjuk. A lineáris esetben ez a probléma nem vetődik fel.

A módszer lépései: a lineáris fékezett oszcillátor esete

A 6.2. fejezetben ábrázoltuk a jól ismert lineáris fékezett oszcillátor fázisképeit. Az egyenlet rendszer alakban

[D]

x ' = y , y ' = - x - a ? y .

(9.2.3)

A linearitás miatt tetszőleges halmaz képe mértékének becsléséhez elegendő a

[D]

? 0 t Tr ? A ? ( s ) ? ? ? s integrált kiszámítani. A számolások előtt idézzük fel a fázisképeket a

[D]

t = i pillanatokban:

A rendszer megadása

[D]

xyvar = { x , y } ; A = ( 0 1 - 1 - a ) ; xydot = Flatten [ A . ( x y ) ] ;

A rendszer Jacobi mátrixa

A rendszer lineáris, ezért nyilvánvaló, hogy a jobb oldal Jacobi mátrixa az A mátrix (erre a lépésre a nemlineáris rendszereknél van igazán szükség):

[D]

MatrixForm [ JMf [ xydot , xyvar ] ]

[D]

( 0 1 - 1 - a )

A divergencia a jobb oldal Jacobi mátrixának a nyoma:

[D]

Tracef [ JMf [ xydot , xyvar ] ]

[D]

- a

[D]

a ///>/// 0 , akkor a divergencia negatív konstans, ami a linearitással együtt garantálja, hogy tetszőleges

[D]

H 0 halmazra

[D]

lim t › ? ? µ ? ( H t , t 0 ) = 0 . A Hartman tétel (9.1.1. tétel) alapján kapjuk, hogy a rendszernek létezik nullához tartó megoldása. Megjegyezzük, most ennél többet tudunk. Mivel a rendszer konstans együtthatós és a sajátértékek negatívak, minden megoldás nullához tart, ha

[D]

t › ? .

További példák

9.2.1. Példa. Nemlineáris oszcillátorok

Tekintsük az

[D]

x ' = y y ' = - | x | ? sign ? ( x ) - a ? ( t ) ? y

(9.2.4)

fékezett nemlineáris oszcillátort. Bár formálisan „alig” van különbség a lineáris és a nemlineáris egyenletek között, a megoldások viselkedése lényegesen eltér a

[D]

0 ///</// ? ///</// 1 szublineáris, az

[D]

? = 1 lineáris és az

[D]

? ///>/// 1 szuperlineáris esetekben. A fékezés nélküli egyenletek minden megoldása oszcillál, a nemlineáris esetekben a periódusidő nem azonos minden megoldás esetén. A szuperlineáris esetben a nagy megoldások gyorsabban, a szublineáris esetben pedig lassabban oszcillálnak. Ezzel később, a 13.1. fejezetben részletesen foglalkozunk. Ez a tény lényegesen befolyásolja a fázisképek alakját a fékezett egyenleteknél is. Valószínűleg ez az oka, hogy ugyan a fázistérfogat kiszámítható, a mai napig nem sikerült általánosítani Hartman tételét (9.1.1. tétel) ezekre az egyenletekre. Vizsgáljuk meg kísérletekkel a nemlineáris fékezett oszcillátorok esetén a fázisképek alakját.

[D]

H 0 halmaznak az egyszerűség kedvéért vegyük valamelyik origó középpontú kört. Most egy szuperlineáris rendszert tekintünk. Az olvasóra bízzuk további rendszerek vizsgálatát.

$xyvar={x,y}; eqnparm={?›3}; xydot={y,–x^?–(y/1+t)};$

[D]

xyvar = { x , y } ; eqnparm = { ? › 3 } ; xydot = { y , - x ? - y 1 + t } ;

[D]

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } / 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 16 } ] ;

[D]

t0 = 0 ; t1 = 10 ; dt = 1 ;

[D]

x1 = - 0.7 ; x2 = 0.7 ; y1 = - 0.5 ; y2 = 0.5 ;

Az egyenlet jobb oldalának Jacobi mátrixa:

[D]

MatrixForm [ JMf [ xydot , xyvar ] ]

(0 1 / –x^(–1+?)? –(1/1+t))

[D]

( 0 1 - x - 1 + ? ? ? - 1 1 + t )

A divergencia:

[D]

Tracef [ JMf [ xydot , xyvar ] ]

[D]

- 1 1 + t

A (9.1.12) nemlineáris Liouville formulából adódik, hogy

[D]

lim t › ? ? µ ? ( H t , t 0 ) = 0 .

Megoldás:

$Traj[t_]=ODESolve[xydot/.eqnparm,xyvar,Icond,{t,t0,t1}]$

[D]

Traj [ t_ ] = ODESolve [ xydot /. ? eqnparm , xyvar , Icond , { t , t0 , t1 } ]

A trajektóriák és a fázisképek a 2D fázistérben:

[D]
E

[D]

p0 = PhasePlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel › { x , y } ] ;

[D]

p2 = PhaseMap [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , { Hue [ 0 , 0 , 0 ] } , PlotRange › { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , Axes › True ] ;

[D]

p2a = ( Show [ p0 , #1 ] ///&/// ) /@ p2 ;

A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:

[D]

p2b = Show [ GraphicsArray [ Partition [ p2a , 3 ] ] ] ;

Láthatjuk, hogy megoldások eltérő változási sebessége a fázisképek gyűrődéséhez, felcsavarodásához vezetnek.

Mindez a háromdimenziós kibővített fázistérben:

[D]
E

[D]

phvol = PhaseVolBW [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , { Thickness [ 0.012 ] , Hue [ 0 , 0 , 0 ] } , BoxRatios › { 3 , 1 , 1 } ] ;

[D]

Show [ phvol , PlotLabel › ] ;

Az ábrán jól látható a megoldások által alkotott felület gyűrődése.

9.2.2. Példa. Egy érdekes nemlineáris rendszer

Tekintsük az

[D]

x ' = 0 , y ' = - y ? x 2

(9.2.5)

egyenletrendszert. A megoldások általános alakja könnyen felírható:

[D]

x ? ( t ) = x 0 , y ? ( t ) = y ? ( 0 ) ? ? - t ? x 0 2 .

Az alábbiakban látni fogjuk, hogy az origóhoz elegendően közeli kezdeti halmazok fázisképének mértéke nullához tart, ha

[D]

t › ? . Ugyanakkor egyetlen nemtriviális megoldás sem tart nullához, ami mutatja, hogy a Hartman tétel (9.1.1. tétel) nemlineáris általánosítása egyáltalán nem triviális probléma.

Írjuk le a rendszert Mathematica-ban. Ábrázoljuk a fázisképeket, majd számoljuk ki a

[D]

µ ? ( H t , t 0 ) mértékeket.

$xyvar={x,y}; xydot={0,–yx^2};$

[D]

xyvar = { x , y } ; xydot = { 0 , - y ? x 2 } ;

[D]

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 16 } ] ;

[D]

t0 = 0 ; t1 = 20 ; dt = 4 ; x1 = - 1 ; x2 = 1 ; y1 = - 1 ; y2 = 1 ;

Megoldás:

$Traj[t_]=ODESolve[xydot,xyvar,Icond,{t,t0,t1}];$

[D]

Traj [ t_ ] = ODESolve [ xydot , xyvar , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

A trajektóriák és a fázisképek a 2D fázistérben:

[D]
E

[D]

p0 = PhasePlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel › { x , y } ] ;

[D]

p2 = PhaseMap [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , { Hue [ 0 , 0 , 0 ] } , Axes › True ] ;

[D]

p2a = ( Show [ p0 , #1 , PlotRange › { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } ] ///&/// ) /@ p2 ;

A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:

[D]

p2b = Show [ GraphicsArray [ Partition [ p2a , 3 ] ] ] ;

Az egyenlet jobb oldalának Jacobi mátrixa:

[D]

MatrixForm [ JMf [ xydot , xyvar ] ]

(0 0 / –2xy –x^2)

[D]

( 0 0 - 2 ? x ? y - x 2 )

A divergencia:

[D]

Tracef [ JMf [ xydot , xyvar ] ]

[D]

- x 2

Innen

[D]

µ ? ( H t , 0 ) ///</// µ ? ( t ) , ahol

[D]

µ [ t_ ] = 4 ? ? 0 1 ( ? 0 1 ? - ? 0 t x 2 ? ? s ? ? x ) ? ? y

(2??Erf[?t]/?t)

[D]

2 ? ? ? Erf [ t ] t

Ennek képe

[D]

Plot [ µ [ t ] , { t , t0 , t1 } , PlotRange › { 0 , 4 } ] ;

Ezután

[D]

Limit [ µ [ t ] , t › ? ]

[D]

Feladatok, kísérletek

9.2.1. Kísérlet. Nemlineáris oszcillátorok

Vizsgáljuk meg más nemlineáris oszcillátorok (például szublineáris, vagy a Van der Pol oszcillátor, lásd a 13.5. fejezetet) fázisképeit.

9.2.2. Kísérlet. Egy tanulságos nemlineáris rendszer

Tekintsük az

[D]

x ' = - x ? ( 2 - y 2 ) , y ' = y - y 3

differenciálegyenletet. Vizsgáljuk meg a fázisképek alakját, és számítsuk ki a Liouville formula alapján a fázistérfogatokat. Mutassuk meg, hogy a zérómegoldás instabilis, de van nullához tartó megoldás is. A kísérletekben kezdeti értékeknek használjuk az egységkör pontjait. Segítségül, a rendszer definíciója:

$xydot={–x(2–y^2),y–y^3}; t0=0; t1=10; dt=1;$