Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

9.2. Fázistérfogat kísérletek differenciálegyenletekre

9.2. Fázistérfogat kísérletek differenciálegyenletekre

Tekintsük az

x'=f(t,x), (x?R^n) x ' = f ? ( t , x ) , ( x ? R n ) (9.2.1)

differenciálegyenletet. Az egyenlet x(t,t_0,x_0)

x ? ( t , t 0 , x 0 ) megoldásait valamely zárt G görbe x_0 x 0 pontjaiból indulva határozzuk meg. A H_0 H 0 kezdeti halmaz a G görbe által határolt zárt tartomány. A ?_(t,t_0)(?H_0)=??_(t,t_0)(H_0) ? t , t 0 ( ? H 0 ) = ? ? t , t 0 ( H 0 ) feltétel automatikusan teljesül, ezért ábrázolhatjuk a G halmaz megoldások menti képét a fázistérben és a kibővített fázistérben.

A nemlineáris Liouville formula szerint:

µ(H_(t,t_0))=?_(H_0)e^(?_(t_0)^tdivf(s,x(s;t_0,x_0))ds)dx_0. µ ? ( H t , t 0 ) = ? H 0 e ? t 0 t div ? f ? ( s , x ? ( s ; t 0 , x 0 ) ) ? ? s ? ? x 0 . (9.2.2)

Az integrál akkor számítható ki könnyen, ha az integrandust sikerül valamilyen módon a megoldások ismerete nélkül becsülni. Ehhez esetleg a megoldások bizonyos ismert tulajdonságait, például korlátosságát felhasználhatjuk. A lineáris esetben ez a probléma nem vetődik fel.

A módszer lépései: a lineáris fékezett oszcillátor esete

A 6.2. fejezetben ábrázoltuk a jól ismert lineáris fékezett oszcillátor fázisképeit. Az egyenlet rendszer alakban

x^'=y, y^'=–x–ay. x ' = y , y ' = - x - a ? y . (9.2.3)

A linearitás miatt tetszőleges halmaz képe mértékének becsléséhez elegendő a ?_0^t TrA(s)ds

? 0 t Tr ? A ? ( s ) ? ? ? s integrált kiszámítani. A számolások előtt idézzük fel a fázisképeket a t=i t = i pillanatokban:

  • A rendszer megadása

xyvar={x,y}; A=(0 1 / –1 –a); xydot=Flatten[A.(x / y)];

xyvar = { x , y } ; A = ( 0 1 - 1 - a ) ; xydot = Flatten [ A . ( x y ) ] ;

  • A rendszer Jacobi mátrixa

A rendszer lineáris, ezért nyilvánvaló, hogy a jobb oldal Jacobi mátrixa az A mátrix (erre a lépésre a nemlineáris rendszereknél van igazán szükség):

MatrixForm[JMf[xydot,xyvar]]

MatrixForm [ JMf [ xydot , xyvar ] ]

(0 1 / –1 –a)

( 0 1 - 1 - a )

A divergencia a jobb oldal Jacobi mátrixának a nyoma:

Tracef[JMf[xydot,xyvar]]

Tracef [ JMf [ xydot , xyvar ] ]

–a

- a

Ha a///>///0

a ///>/// 0 , akkor a divergencia negatív konstans, ami a linearitással együtt garantálja, hogy tetszőleges H_0 H 0 halmazra lim_(t›?)µ(H_(t,t_0))=0 lim t ? ? µ ? ( H t , t 0 ) = 0 . A Hartman tétel (9.1.1. tétel) alapján kapjuk, hogy a rendszernek létezik nullához tartó megoldása. Megjegyezzük, most ennél többet tudunk. Mivel a rendszer konstans együtthatós és a sajátértékek negatívak, minden megoldás nullához tart, ha t›? t ? .

További példák

9.2.1. Példa. Nemlineáris oszcillátorok

Tekintsük az

x^'=y y^'=–|x|^?sign(x)–a(t)y x ' = y y ' = - | x | ? sign ? ( x ) - a ? ( t ) ? y (9.2.4)

fékezett nemlineáris oszcillátort. Bár formálisan „alig” van különbség a lineáris és a nemlineáris egyenletek között, a megoldások viselkedése lényegesen eltér a 0///<///?///<///1

0 ///</// ? ///</// 1 szublineáris, az ?=1 ? = 1 lineáris és az ?///>///1 ? ///>/// 1 szuperlineáris esetekben. A fékezés nélküli egyenletek minden megoldása oszcillál, a nemlineáris esetekben a periódusidő nem azonos minden megoldás esetén. A szuperlineáris esetben a nagy megoldások gyorsabban, a szublineáris esetben pedig lassabban oszcillálnak. Ezzel később, a 13.1. fejezetben részletesen foglalkozunk. Ez a tény lényegesen befolyásolja a fázisképek alakját a fékezett egyenleteknél is. Valószínűleg ez az oka, hogy ugyan a fázistérfogat kiszámítható, a mai napig nem sikerült általánosítani Hartman tételét (9.1.1. tétel) ezekre az egyenletekre. Vizsgáljuk meg kísérletekkel a nemlineáris fékezett oszcillátorok esetén a fázisképek alakját. H_0 H 0 halmaznak az egyszerűség kedvéért vegyük valamelyik origó középpontú kört. Most egy szuperlineáris rendszert tekintünk. Az olvasóra bízzuk további rendszerek vizsgálatát.

xyvar={x,y}; eqnparm={?›3}; xydot={y,–x^?–(y/1+t)};

xyvar = { x , y } ; eqnparm = { ? 3 } ; xydot = { y , - x ? - y 1 + t } ;

Icond=Table[N[{Cos[u],Sin[u]}/2],{u,0,2?,(?/16)}];

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } / 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 16 } ] ;

t0=0; t1=10; dt=1;

t0 = 0 ; t1 = 10 ; dt = 1 ;

x1=–0.7; x2=0.7; y1=–0.5; y2=0.5;

x1 = - 0.7 ; x2 = 0.7 ; y1 = - 0.5 ; y2 = 0.5 ;

  • Az egyenlet jobb oldalának Jacobi mátrixa:

MatrixForm[JMf[xydot,xyvar]]

MatrixForm [ JMf [ xydot , xyvar ] ]

(0 1 / –x^(–1+?)? –(1/1+t))

( 0 1 - x - 1 + ? ? ? - 1 1 + t )

A divergencia:

Tracef[JMf[xydot,xyvar]]

Tracef [ JMf [ xydot , xyvar ] ]

–(1/1+t)

- 1 1 + t

A (9.1.12) nemlineáris Liouville formulából adódik, hogy lim_(t›?)µ(H_(t,t_0))=0

lim t ? ? µ ? ( H t , t 0 ) = 0 .

  • Megoldás:

Traj[t_]=ODESolve[xydot/.eqnparm,xyvar,Icond,{t,t0,t1}]

Traj [ t_ ] = ODESolve [ xydot /. ? eqnparm , xyvar , Icond , { t , t0 , t1 } ]

  • A trajektóriák és a fázisképek a 2D fázistérben: E

    E

p0=PhasePlot[Traj[t],{t,t0,t1},AxesLabel›{x,y}];

p0 = PhasePlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel { x , y } ] ;

p2=PhaseMap[Traj[t],{t,t0,t1,dt},{Hue[0,0,0]},PlotRange›{{x1,x2},{y1,y2}},Axes›True];

p2 = PhaseMap [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , { Hue [ 0 , 0 , 0 ] } , PlotRange { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , Axes True ] ;

p2a=(Show[p0,#1]///&///)/@p2;

p2a = ( Show [ p0 , #1 ] ///&/// ) /@ p2 ;

A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:

p2b=Show[GraphicsArray[Partition[p2a,3]]];

p2b = Show [ GraphicsArray [ Partition [ p2a , 3 ] ] ] ;

Láthatjuk, hogy megoldások eltérő változási sebessége a fázisképek gyűrődéséhez, felcsavarodásához vezetnek.

  • Mindez a háromdimenziós kibővített fázistérben: E

    E

phvol=PhaseVolBW[Traj[t],{t,t0,t1,dt},{Thickness[0.012],Hue[0,0,0]},BoxRatios›{3,1,1}];

phvol = PhaseVolBW [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , { Thickness [ 0.012 ] , Hue [ 0 , 0 , 0 ] } , BoxRatios { 3 , 1 , 1 } ] ;

Show[phvol,PlotLabel›""];

Show [ phvol , PlotLabel ] ;

Az ábrán jól látható a megoldások által alkotott felület gyűrődése.

9.2.2. Példa. Egy érdekes nemlineáris rendszer

Tekintsük az

x^'=0, y^'=–yx^2 x ' = 0 , y ' = - y ? x 2 (9.2.5)

egyenletrendszert. A megoldások általános alakja könnyen felírható:

x(t)=x_0, y(t)=y(0)e^(–tx_0^2).
x ? ( t ) = x 0 , y ? ( t ) = y ? ( 0 ) ? ? - t ? x 0 2 .

Az alábbiakban látni fogjuk, hogy az origóhoz elegendően közeli kezdeti halmazok fázisképének mértéke nullához tart, ha t›?

t ? . Ugyanakkor egyetlen nemtriviális megoldás sem tart nullához, ami mutatja, hogy a Hartman tétel (9.1.1. tétel) nemlineáris általánosítása egyáltalán nem triviális probléma.

Írjuk le a rendszert Mathematica-ban. Ábrázoljuk a fázisképeket, majd számoljuk ki a µ(H_(t,t_0))

µ ? ( H t , t 0 ) mértékeket.

xyvar={x,y}; xydot={0,–yx^2};

xyvar = { x , y } ; xydot = { 0 , - y ? x 2 } ;

Icond=Table[N[{Cos[u],Sin[u]}],{u,0,2?,(?/16)}];

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 16 } ] ;

t0=0; t1=20; dt=4; x1=–1; x2=1; y1=–1; y2=1;

t0 = 0 ; t1 = 20 ; dt = 4 ; x1 = - 1 ; x2 = 1 ; y1 = - 1 ; y2 = 1 ;

  • Megoldás:

Traj[t_]=ODESolve[xydot,xyvar,Icond,{t,t0,t1}];

Traj [ t_ ] = ODESolve [ xydot , xyvar , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

  • A trajektóriák és a fázisképek a 2D fázistérben: E

    E

p0=PhasePlot[Traj[t],{t,t0,t1},AxesLabel›{x,y}];

p0 = PhasePlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel { x , y } ] ;

p2=PhaseMap[Traj[t],{t,t0,t1,dt},{Hue[0,0,0]},Axes›True];

p2 = PhaseMap [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , { Hue [ 0 , 0 , 0 ] } , Axes True ] ;

p2a=(Show[p0,#1,PlotRange›{{x1,x2},{y1,y2}}]///&///)/@p2;

p2a = ( Show [ p0 , #1 , PlotRange { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } ] ///&/// ) /@ p2 ;

A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:

p2b=Show[GraphicsArray[Partition[p2a,3]]];

p2b = Show [ GraphicsArray [ Partition [ p2a , 3 ] ] ] ;

  • Az egyenlet jobb oldalának Jacobi mátrixa:

MatrixForm[JMf[xydot,xyvar]]

MatrixForm [ JMf [ xydot , xyvar ] ]

(0 0 / –2xy –x^2)

( 0 0 - 2 ? x ? y - x 2 )

A divergencia:

Tracef[JMf[xydot,xyvar]]

Tracef [ JMf [ xydot , xyvar ] ]

–x^2

- x 2

Innen µ(H_(t,0))///<///µ(t)

µ ? ( H t , 0 ) ///</// µ ? ( t ) , ahol

µ[t_]=4?_0^1(?_0^1e^(–?_0^tx^2ds)dx)dy

µ [ t_ ] = 4 ? ? 0 1 ( ? 0 1 ? - ? 0 t x 2 ? ? s ? ? x ) ? ? y

(2??Erf[?t]/?t)

2 ? ? ? Erf [ t ] t

Ennek képe

Plot[µ[t],{t,t0,t1},PlotRange›{0,4}];

Plot [ µ [ t ] , { t , t0 , t1 } , PlotRange { 0 , 4 } ] ;

Ezután

Limit[µ[t],t›?]

Limit [ µ [ t ] , t ? ]

0

0

Feladatok, kísérletek

9.2.1. Kísérlet. Nemlineáris oszcillátorok

Vizsgáljuk meg más nemlineáris oszcillátorok (például szublineáris, vagy a Van der Pol oszcillátor, lásd a 13.5. fejezetet) fázisképeit.

9.2.2. Kísérlet. Egy tanulságos nemlineáris rendszer

Tekintsük az

x'=–x(2–y^2), y'=y–y^3
x ' = - x ? ( 2 - y 2 ) , y ' = y - y 3

differenciálegyenletet. Vizsgáljuk meg a fázisképek alakját, és számítsuk ki a Liouville formula alapján a fázistérfogatokat. Mutassuk meg, hogy a zérómegoldás instabilis, de van nullához tartó megoldás is. A kísérletekben kezdeti értékeknek használjuk az egységkör pontjait. Segítségül, a rendszer definíciója:

xydot={–x(2–y^2),y–y^3}; t0=0; t1=10; dt=1;

xydot = { - x ? ( 2 - y 2 ) , y - y 3 } ; t0 = 0 ; t1 = 10 ; dt = 1 ;

Icond=Table[N[{Cos[u],Sin[u]},2],{u,0,2?,(?/16)}];

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 16 } ] ;