9.2. Fázistérfogat kísérletek differenciálegyenletekre
Tekintsük az
differenciálegyenletet. Az egyenlet
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
megoldásait valamely zárt G görbe
x
0
pontjaiból indulva határozzuk meg. A
H
0
kezdeti halmaz a G görbe által határolt zárt tartomány. A
?
t
,
t
0
(
?
H
0
)
=
?
?
t
,
t
0
(
H
0
)
feltétel automatikusan teljesül, ezért ábrázolhatjuk a G halmaz megoldások menti képét a fázistérben és a kibővített fázistérben.
A nemlineáris Liouville formula szerint:
Az integrál akkor számítható ki könnyen, ha az integrandust sikerül valamilyen módon a megoldások ismerete nélkül becsülni. Ehhez esetleg a megoldások bizonyos ismert tulajdonságait, például korlátosságát felhasználhatjuk. A lineáris esetben ez a probléma nem vetődik fel.
A módszer lépései: a lineáris fékezett oszcillátor esete
A 6.2. fejezetben ábrázoltuk a jól ismert lineáris fékezett oszcillátor fázisképeit. Az egyenlet rendszer alakban
A linearitás miatt tetszőleges halmaz képe mértékének becsléséhez elegendő a
?
0
t
Tr
?
A
?
(
s
)
?
?
?
s
integrált kiszámítani. A számolások előtt idézzük fel a fázisképeket a
t
=
i
pillanatokban:
xyvar
=
{
x
,
y
}
;
A
=
(
0
1
-
1
-
a
)
;
xydot
=
Flatten
[
A
.
(
x
y
)
]
;
A rendszer lineáris, ezért nyilvánvaló, hogy a jobb oldal Jacobi mátrixa az A mátrix (erre a lépésre a nemlineáris rendszereknél van igazán szükség):
MatrixForm
[
JMf
[
xydot
,
xyvar
]
]
(
0
1
-
1
-
a
)
A divergencia a jobb oldal Jacobi mátrixának a nyoma:
Tracef
[
JMf
[
xydot
,
xyvar
]
]
-
a
Ha
a
///>///
0
, akkor a divergencia negatív konstans, ami a linearitással együtt garantálja, hogy tetszőleges
H
0
halmazra
lim
t
›
?
?
µ
?
(
H
t
,
t
0
)
=
0
. A Hartman tétel (9.1.1. tétel) alapján kapjuk, hogy a rendszernek létezik nullához tartó megoldása. Megjegyezzük, most ennél többet tudunk. Mivel a rendszer konstans együtthatós és a sajátértékek negatívak, minden megoldás nullához tart, ha
t
›
?
.
További példák
9.2.1. Példa.
Nemlineáris oszcillátorok
Tekintsük az
fékezett nemlineáris oszcillátort. Bár formálisan „alig” van különbség a lineáris és a nemlineáris egyenletek között, a megoldások viselkedése lényegesen eltér a
0
///<///
?
///<///
1
szublineáris, az
?
=
1
lineáris és az
?
///>///
1
szuperlineáris esetekben. A fékezés nélküli egyenletek minden megoldása oszcillál, a nemlineáris esetekben a periódusidő nem azonos minden megoldás esetén. A szuperlineáris esetben a nagy megoldások gyorsabban, a szublineáris esetben pedig lassabban oszcillálnak. Ezzel később, a 13.1. fejezetben részletesen foglalkozunk. Ez a tény lényegesen befolyásolja a fázisképek alakját a fékezett egyenleteknél is. Valószínűleg ez az oka, hogy ugyan a fázistérfogat kiszámítható, a mai napig nem sikerült általánosítani Hartman tételét (9.1.1. tétel) ezekre az egyenletekre. Vizsgáljuk meg kísérletekkel a nemlineáris fékezett oszcillátorok esetén a fázisképek alakját.
H
0
halmaznak az egyszerűség kedvéért vegyük valamelyik origó középpontú kört. Most egy szuperlineáris rendszert tekintünk. Az olvasóra bízzuk további rendszerek vizsgálatát.
xyvar
=
{
x
,
y
}
;
eqnparm
=
{
?
›
3
}
;
xydot
=
{
y
,
-
x
?
-
y
1
+
t
}
;
Icond
=
Table
[
N
[
{
Cos
[
u
]
,
Sin
[
u
]
}
/
2
]
,
{
u
,
0
,
2
?
?
,
?
16
}
]
;
t0
=
0
;
t1
=
10
;
dt
=
1
;
x1
=
-
0.7
;
x2
=
0.7
;
y1
=
-
0.5
;
y2
=
0.5
;
MatrixForm
[
JMf
[
xydot
,
xyvar
]
]
(
0
1
-
x
-
1
+
?
?
?
-
1
1
+
t
)
A divergencia:
Tracef
[
JMf
[
xydot
,
xyvar
]
]
-
1
1
+
t
A (9.1.12) nemlineáris Liouville formulából adódik, hogy
lim
t
›
?
?
µ
?
(
H
t
,
t
0
)
=
0
.
Traj
[
t_
]
=
ODESolve
[
xydot
/.
?
eqnparm
,
xyvar
,
Icond
,
{
t
,
t0
,
t1
}
]
p0
=
PhasePlot
[
Traj
[
t
]
,
{
t
,
t0
,
t1
}
,
AxesLabel
›
{
x
,
y
}
]
;
p2
=
PhaseMap
[
Traj
[
t
]
,
{
t
,
t0
,
t1
,
dt
}
,
{
Hue
[
0
,
0
,
0
]
}
,
PlotRange
›
{
{
x1
,
x2
}
,
{
y1
,
y2
}
}
,
Axes
›
True
]
;
p2a
=
(
Show
[
p0
,
#1
]
///&///
)
/@
p2
;
A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:
p2b
=
Show
[
GraphicsArray
[
Partition
[
p2a
,
3
]
]
]
;
Láthatjuk, hogy megoldások eltérő változási sebessége a fázisképek gyűrődéséhez, felcsavarodásához vezetnek.
phvol
=
PhaseVolBW
[
Traj
[
t
]
,
{
t
,
t0
,
t1
,
dt
}
,
{
Thickness
[
0.012
]
,
Hue
[
0
,
0
,
0
]
}
,
BoxRatios
›
{
3
,
1
,
1
}
]
;
Show
[
phvol
,
PlotLabel
›
]
;
Az ábrán jól látható a megoldások által alkotott felület gyűrődése.
9.2.2. Példa.
Egy érdekes nemlineáris rendszer
Tekintsük az
egyenletrendszert. A megoldások általános alakja könnyen felírható:
Az alábbiakban látni fogjuk, hogy az origóhoz elegendően közeli kezdeti halmazok fázisképének mértéke nullához tart, ha
t
›
?
. Ugyanakkor egyetlen nemtriviális megoldás sem tart nullához, ami mutatja, hogy a Hartman tétel (9.1.1. tétel) nemlineáris általánosítása egyáltalán nem triviális probléma.
Írjuk le a rendszert Mathematica-ban. Ábrázoljuk a fázisképeket, majd számoljuk ki a
µ
?
(
H
t
,
t
0
)
mértékeket.
xyvar
=
{
x
,
y
}
;
xydot
=
{
0
,
-
y
?
x
2
}
;
Icond
=
Table
[
N
[
{
Cos
[
u
]
,
Sin
[
u
]
}
]
,
{
u
,
0
,
2
?
?
,
?
16
}
]
;
t0
=
0
;
t1
=
20
;
dt
=
4
;
x1
=
-
1
;
x2
=
1
;
y1
=
-
1
;
y2
=
1
;
Traj
[
t_
]
=
ODESolve
[
xydot
,
xyvar
,
Icond
,
{
t
,
t0
,
t1
}
]
;
p0
=
PhasePlot
[
Traj
[
t
]
,
{
t
,
t0
,
t1
}
,
AxesLabel
›
{
x
,
y
}
]
;
p2
=
PhaseMap
[
Traj
[
t
]
,
{
t
,
t0
,
t1
,
dt
}
,
{
Hue
[
0
,
0
,
0
]
}
,
Axes
›
True
]
;
p2a
=
(
Show
[
p0
,
#1
,
PlotRange
›
{
{
x1
,
x2
}
,
{
y1
,
y2
}
}
]
///&///
)
/@
p2
;
A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:
p2b
=
Show
[
GraphicsArray
[
Partition
[
p2a
,
3
]
]
]
;
MatrixForm
[
JMf
[
xydot
,
xyvar
]
]
(
0
0
-
2
?
x
?
y
-
x
2
)
A divergencia:
Tracef
[
JMf
[
xydot
,
xyvar
]
]
-
x
2
Innen
µ
?
(
H
t
,
0
)
///<///
µ
?
(
t
)
, ahol
µ
[
t_
]
=
4
?
?
0
1
(
?
0
1
?
-
?
0
t
x
2
?
?
s
?
?
x
)
?
?
y
2
?
?
?
Erf
[
t
]
t
Ennek képe
Plot
[
µ
[
t
]
,
{
t
,
t0
,
t1
}
,
PlotRange
›
{
0
,
4
}
]
;
Ezután
Limit
[
µ
[
t
]
,
t
›
?
]
0
Feladatok, kísérletek
9.2.1. Kísérlet.
Nemlineáris oszcillátorok
Vizsgáljuk meg más nemlineáris oszcillátorok (például szublineáris, vagy a Van der Pol oszcillátor, lásd a 13.5. fejezetet) fázisképeit.
9.2.2. Kísérlet.
Egy tanulságos nemlineáris rendszer
Tekintsük az
differenciálegyenletet. Vizsgáljuk meg a fázisképek alakját, és számítsuk ki a Liouville formula alapján a fázistérfogatokat. Mutassuk meg, hogy a zérómegoldás instabilis, de van nullához tartó megoldás is. A kísérletekben kezdeti értékeknek használjuk az egységkör pontjait. Segítségül, a rendszer definíciója:
xydot
=
{
-
x
?
(
2
-
y
2
)
,
y
-
y
3
}
;
t0
=
0
;
t1
=
10
;
dt
=
1
;
Icond
=
Table
[
N
[
{
Cos
[
u
]
,
Sin
[
u
]
}
,
2
]
,
{
u
,
0
,
2
?
?
,
?
16
}
]
;