9.3. Fázistérfogat kísérletek impulzív rendszerekre
Ebben a részben az
impulzív rendszerek fázisképeit vizsgáljuk meg, ahol
f
?
(
t
,
x
)
:
R
+
×
R
n
›
R
n
folytonos t-ben, folytonosan parciálisan differenciálható x-ben, és az
I
i
:
R
n
›
R
n
impulzusok folytonosak. Emlékeztetünk rá, hogy a fázistérfogatot az alábbi formula adja meg:
Ugyanúgy mint a differenciálegyenleteknél, a rendszer
x
?
(
t
,
t
0
,
x
0
)
megoldásait valamely zárt G görbe
x
0
pontjaiból indulva határozzuk meg. A
H
0
halmaz a G görbe által határolt zárt tartomány. A fázisképeket az impulzusok pillanataiban balról és jobbról is ábrázoljuk.
A módszert egy elméleti szempontból is érdekes rendszeren mutatjuk be.
Egy pulzáló oszcillátor
Tekintsük az alábbi impulzív rendszert:
ahol
t
i
=
i
?
?
2
. Legyen
H
0
=
{
{
x
,
y
}
:
x
2
+
y
2
?
1
4
}
, és legyen
t
0
=
0
. Mivel a differenciálegyenlet a harmonikus oszcillátor egyenlete, a
t
i
megválasztása miatt nyilvánvaló, hogy a
?
t
i
+
0
,
t
i
+
1
-
0
fázisleképezés
?
2
-vel való forgatás. Valamely
{
x
0
,
y
0
}
?
H
0
kezdeti pontra kapjuk, hogy
Innen könnyen belátható, hogy
Az egyik megoldás nullához tart, a másik nem, ha
t
›
?
. Az eredeti differenciálegyenlet stabilis egyensúlyi helyzetéből ennek a furcsa pulzáló impulzusnak a hatására nyeregpont lett (korábban, a 7.1.1. példában az impulzus nyeregpontot stabilizált). Látni fogjuk, hogy a fázistérfogat nullához tart, ha
t
›
?
, és a Hartman-tétel további feltételei is teljesülnek. Az ilyen úgynevezett féllineáris egyenletekre a Hartman tételt Atkinson és Elbert [33] általánosította.
Most vizsgáljuk meg a rendszert, ellenőrizzük megfontolásainkat Mathematica-val.
xyvar
=
{
x
,
y
}
;
xydot
=
{
y
,
-
x
}
;
T
=
N
[
?
2
]
;
Imax
=
50
;
tn
=
Table
[
n
?
T
,
{
n
,
1
,
Imax
}
]
;
bn
=
Table
[
{
1.
,
1.
}
,
{
i
,
1
,
Imax
}
]
;
beta
=
{
2
,
0.5
}
;
ImpPulse
[
n_
,
tn_List
,
xn_List
]
:=
bn
[
n
]
?
Sign
[
Reverse
[
xn
]
]
?
Abs
[
Reverse
[
xn
]
]
beta
;
t0
=
0.
;
t1
=
5.
;
dt
=
?
2
;
x1
=
y1
=
-
1.
;
x2
=
y2
=
1.
;
A differenciálegyenlet jobb oldalának divergenciája azonosan zéró. Számoljuk ki az
ImpPulse
[
1
,
bn
,
{
x
,
y
}
]
//
TraditionalForm
{
1.
|
y
|
2
?
sgn
?
(
y
)
,
1.
|
x
|
0.5
?
sgn
?
(
x
)
}
impulzusfüggvény Jacobi determinánsát. A derivált mátrix:
MatrixForm
[
JMf
[
ImpPulse
[
1
,
tn
,
{
x
,
y
}
]
,
{
x
,
y
}
]
]
/.
?
Sign
[
a_
]
2
›
1
(
0
2.
Abs
[
y
]
0.5
Abs
[
x
]
0.5
0
)
Determinánsa:
Det
[
JMf
[
ImpPulse
[
1
,
tn
,
{
x
,
y
}
]
,
{
x
,
y
}
]
]
/.
?
Sign
[
a_
]
2
›
1
-
1.
Abs
[
y
]
Abs
[
x
]
0.5
A determináns tartalmazza a függő változókat is, ezért a fázistérfogat kiszámítása a Liouville formula alapján nehézkes, de a megoldások ismeretében elvégezhető. Ugyanakkor a fenti két megoldás a fázisképek két szélső méretét reprezentálja a
t
i
+
0
pillanatokban. Ezt felhasználva könnyen megmutatható, hogy
µ
?
(
H
t
,
0
)
›
0
,
ha
t
›
?
.
Icond
=
Table
[
N
[
{
Cos
[
u
]
,
Sin
[
u
]
}
,
2
]
/
2
,
{
u
,
0
,
2
?
?
,
?
8
}
]
;
Traj
[
t_
]
=
IDESolve
[
xydot
,
xyvar
,
tn
,
ImpPulse
,
Icond
,
{
t
,
t0
,
t1
}
]
;
A 2D fázistérben a rendszer trajektóriáit, valamint a
H
t
n
-
0
,
0
és
H
t
n
+
0
,
0
fázisképeket ábrázoljuk (az animáció kockáit a nyomtatott változatban elrejtjük):
p0
=
PhasePlot
[
Traj
[
t
]
,
{
t
,
t0
,
t1
}
,
PlotPoints
›
100
,
AxesLabel
›
{
x
,
y
}
]
;
tnn
=
Prepend
[
Select
[
tn
,
Function
[
u
,
t0
?
u
?
t1
]
]
,
t0
]
;
p2
=
PhaseMapImp
[
Traj
[
t
]
,
{
t
,
tnn
}
,
{
Thickness
[
0.015
]
,
Hue
[
0
,
0
,
0
]
}
,
PlotRange
›
{
{
x1
,
x2
}
,
{
y1
,
y2
}
}
,
Axes
›
True
]
;
p2a
=
Map
[
Show
[
p0
,
#
]
///&///
,
p2
]
;
A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:
p2b
=
Show
[
GraphicsArray
[
Partition
[
p2a
,
2
]
]
]
;
A trajektóriák képe bár kaotikusnak tűnhet, a fázisképekkel együtt jól mutatja a két tengely közti „ugrálást” és a megoldások változását is. Ezzel kapcsolatosan lásd a feladatokat.
tnn
=
Prepend
[
Select
[
tn
,
Function
[
u
,
t0
?
u
?
t1
]
]
,
t0
]
;
phvol
=
PhaseVolImpBW
[
Traj
[
t
]
,
{
t
,
tnn
}
,
{
Thickness
[
0.015
]
}
,
Axes
›
True
]
;
A képkockák együtt:
Show
[
phvol
,
PlotLabel
›
]
;
Feladatok, kísérletek
9.3.1. Kísérlet.
Impulzívan perturbált oszcillátorok fázisképei
Az alkalmazások során a 13.2. fejezetben részletesen foglalkozunk impulzívan perturbált oszcillátorok viselkedésével, ezen belül a megoldások aszimptotikus viselkedésével. Az ott elhangzottakkal összhangban ábrázoljuk az egyes rendszerek esetén a kialakuló fázisképeket. Már az
lineáris rendszerek is érdekes képet mutatnak. Érdemes összehasonlítani például a
t
i
=
i
?
?
és a
t
i
?
i
?
?
eseteket.
9.3.2. Feladat.
Vizsgáljuk meg az alábbi rendszer megoldásainak viselkedését és a fázisképek mértékének változását:
9.3.3. Feladat.
Vizsgáljuk meg az alábbi rendszer megoldásainak viselkedését és a fázisképek mértékének változását: