Impulzív jelenségek modelljei|Digitális Tankönyvtár

Főoldal > Tankönyvtár > Könyvek > Természettudományok > Matematika

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

Beágyazás

9.3. Fázistérfogat kísérletek impulzív rendszerekre

Ebben a részben az

[D]

x ' = f ? ( t , x ) , x ? R n , t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = I i ( x ? ( t i - 0 ) )

(9.3.1)

impulzív rendszerek fázisképeit vizsgáljuk meg, ahol

[D]

f ? ( t , x ) : R + × R n › R n folytonos t-ben, folytonosan parciálisan differenciálható x-ben, és az

[D]

I i : R n › R n impulzusok folytonosak. Emlékeztetünk rá, hogy a fázistérfogatot az alábbi formula adja meg:

[D]

µ ? ( H t , t 0 ) = ? H 0 ? t 0 ///</// t k ///</// t | det ? I x ' ? ( x ? ( t k , t 0 , x 0 ) ) | e ? t 0 t div ? f ? ( s , x ? ( s , t 0 , x 0 ) ) ? ? s ? ? x 0 .

(9.3.2)

Ugyanúgy mint a differenciálegyenleteknél, a rendszer

[D]

x ? ( t , t 0 , x 0 ) megoldásait valamely zárt G görbe

[D]

x 0 pontjaiból indulva határozzuk meg. A

[D]

H 0 halmaz a G görbe által határolt zárt tartomány. A fázisképeket az impulzusok pillanataiban balról és jobbról is ábrázoljuk.

A módszert egy elméleti szempontból is érdekes rendszeren mutatjuk be.

Egy pulzáló oszcillátor

Tekintsük az alábbi impulzív rendszert:

[D]

x ' = y , y ' = - x , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = y 2 ( t i - 0 ) ? sign ? ( y ? ( t i - 0 ) ) , y ? ( t i + 0 ) = | x ? ( t i - 0 ) | 1 / 2 sign ? ( x ? ( t i - 0 ) ) ,

(9.3.3)

ahol

[D]

t i = i ? ? 2 . Legyen $H_0={{x,y}: x^2+y^2?(1/4)}$

[D]

H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 ? 1 4 } , és legyen

[D]

t 0 = 0 . Mivel a differenciálegyenlet a harmonikus oszcillátor egyenlete, a

[D]

t i megválasztása miatt nyilvánvaló, hogy a

[D]

? t i + 0 , t i + 1 - 0 fázisleképezés

[D]

? 2 -vel való forgatás. Valamely ${x_0,y_0}?H_0$

[D]

{ x 0 , y 0 } ? H 0 kezdeti pontra kapjuk, hogy

$?_(t_0,t_i+0)({x_0,y_0})={x_0^(2^i)sign(x_0),y_0^((1/2)^i)sign(y_0)}.$

[D]

? t 0 , t i + 0 ( { x 0 , y 0 } ) = { x 0 2 i ? sign ? ( x 0 ) , y 0 ( 1 / 2 ) i ? sign ? ( y 0 ) } .

Innen könnyen belátható, hogy

$?_(t_0,t_i+0)({0,1/2})={0,((1/2))^((1/2)^i)sign(y_0)}›{0,1} (i›?), ?_(t_0,t_i+0)({1/2,0})={(1/2)^(2^i),0}›{0,0} (i›?).$

[D]

? t 0 , t i + 0 ( { 0 , 1 / 2 } ) = { 0 , ( 1 2 ) ( 1 / 2 ) i ? sign ? ( y 0 ) } › { 0 , 1 } ( i › ? ) , ? t 0 , t i + 0 ( { 1 / 2 , 0 } ) = { ( 1 / 2 ) 2 i , 0 } › { 0 , 0 } ( i › ? ) .

Az egyik megoldás nullához tart, a másik nem, ha

[D]

t › ? . Az eredeti differenciálegyenlet stabilis egyensúlyi helyzetéből ennek a furcsa pulzáló impulzusnak a hatására nyeregpont lett (korábban, a 7.1.1. példában az impulzus nyeregpontot stabilizált). Látni fogjuk, hogy a fázistérfogat nullához tart, ha

[D]

t › ? , és a Hartman-tétel további feltételei is teljesülnek. Az ilyen úgynevezett féllineáris egyenletekre a Hartman tételt Atkinson és Elbert [33] általánosította.

Most vizsgáljuk meg a rendszert, ellenőrizzük megfontolásainkat Mathematica-val.

A rendszer megadása

[D]

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x } ;

[D]

T = N [ ? 2 ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

[D]

bn = Table [ { 1. , 1. } , { i , 1 , Imax } ] ; beta = { 2 , 0.5 } ;

[D]

ImpPulse [ n_ , tn_List , xn_List ] := bn [ n ] ? Sign [ Reverse [ xn ] ] ? Abs [ Reverse [ xn ] ] beta ;

[D]

t0 = 0. ; t1 = 5. ; dt = ? 2 ; x1 = y1 = - 1. ; x2 = y2 = 1. ;

A Liouville formulához szükséges számolások

A differenciálegyenlet jobb oldalának divergenciája azonosan zéró. Számoljuk ki az

[D]

ImpPulse [ 1 , bn , { x , y } ] // TraditionalForm

${1. |y|^2sgn(y),1. |x|^(0.5)sgn(x)}$

[D]

{ 1. | y | 2 ? sgn ? ( y ) , 1. | x | 0.5 ? sgn ? ( x ) }

impulzusfüggvény Jacobi determinánsát. A derivált mátrix:

$MatrixForm[JMf[ImpPulse[1,tn,{x,y}],{x,y}]]/.Sign[a_]^2›1$

[D]

MatrixForm [ JMf [ ImpPulse [ 1 , tn , { x , y } ] , { x , y } ] ] /. ? Sign [ a_ ] 2 › 1

(0 2. Abs[y] / (0.5/Abs[x]^(0.5)) 0)

[D]

( 0 2. Abs [ y ] 0.5 Abs [ x ] 0.5 0 )

Determinánsa:

$Det[JMf[ImpPulse[1,tn,{x,y}],{x,y}]]/.Sign[a_]^2›1$

[D]

Det [ JMf [ ImpPulse [ 1 , tn , { x , y } ] , { x , y } ] ] /. ? Sign [ a_ ] 2 › 1

[D]

- 1. Abs [ y ] Abs [ x ] 0.5

A determináns tartalmazza a függő változókat is, ezért a fázistérfogat kiszámítása a Liouville formula alapján nehézkes, de a megoldások ismeretében elvégezhető. Ugyanakkor a fenti két megoldás a fázisképek két szélső méretét reprezentálja a

[D]

t i + 0 pillanatokban. Ezt felhasználva könnyen megmutatható, hogy

[D]

µ ? ( H t , 0 ) › 0 , ha

[D]

t › ? .

A rendszer megoldása

[D]

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] / 2 , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

$Traj[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpPulse,Icond,{t,t0,t1}];$

[D]

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpPulse , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

Trajektóriák és fázisképek

[D]
E

A 2D fázistérben a rendszer trajektóriáit, valamint a

[D]

H t n - 0 , 0 és

[D]

H t n + 0 , 0 fázisképeket ábrázoljuk (az animáció kockáit a nyomtatott változatban elrejtjük):

[D]

p0 = PhasePlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , PlotPoints › 100 , AxesLabel › { x , y } ] ;

[D]

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

[D]

p2 = PhaseMapImp [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] , Hue [ 0 , 0 , 0 ] } , PlotRange › { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , Axes › True ] ;

[D]

p2a = Map [ Show [ p0 , # ] ///&/// , p2 ] ;

A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:

[D]

p2b = Show [ GraphicsArray [ Partition [ p2a , 2 ] ] ] ;

A trajektóriák képe bár kaotikusnak tűnhet, a fázisképekkel együtt jól mutatja a két tengely közti „ugrálást” és a megoldások változását is. Ezzel kapcsolatosan lásd a feladatokat.

Fáziskép animáció 3D-ben

[D]
E

[D]

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

[D]

phvol = PhaseVolImpBW [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , Axes › True ] ;

A képkockák együtt:

[D]

Show [ phvol , PlotLabel › ] ;

Feladatok, kísérletek

9.3.1. Kísérlet. Impulzívan perturbált oszcillátorok fázisképei

Az alkalmazások során a 13.2. fejezetben részletesen foglalkozunk impulzívan perturbált oszcillátorok viselkedésével, ezen belül a megoldások aszimptotikus viselkedésével. Az ott elhangzottakkal összhangban ábrázoljuk az egyes rendszerek esetén a kialakuló fázisképeket. Már az

[D]

x ' = y , y ' = - x , ha ? t ? t i ,

[D]

x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) y ? ( t i + 0 ) = b n ? y ? ( t i - 0 )

lineáris rendszerek is érdekes képet mutatnak. Érdemes összehasonlítani például a

[D]

t i = i ? ? és a

[D]

t i ? i ? ? eseteket.

9.3.2. Feladat.

Vizsgáljuk meg az alábbi rendszer megoldásainak viselkedését és a fázisképek mértékének változását:

[D]

x ' = 0 , y ' = 0 , ha ? t ? t i ,

[D]

x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) 3 + y 2 ( t i - 0 ) , y ? ( t i + 0 ) = y ? ( t i - 0 ) ? ( 2 - y 2 ( t i - 0 ) ) .

9.3.3. Feladat.

Vizsgáljuk meg az alábbi rendszer megoldásainak viselkedését és a fázisképek mértékének változását:

[D]

x ' = 0 , y ' = 0 , ha t ? t i ,

[D]

x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) ( x 2 ( t i - 0 ) + y 2 ( t i - 0 ) ) 1 / 4 , y ? ( t i + 0 ) = y ? ( t i - 0 ) ( x 2 ( t i - 0 ) + y 2 ( t i - 0 ) ) 1 / 4 .