Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

9.3. Fázistérfogat kísérletek impulzív rendszerekre

9.3. Fázistérfogat kísérletek impulzív rendszerekre

Ebben a részben az

x'=f(t,x), x?R^n, t?t_i, x(t_i+0)=I_i(x(t_i–0)) x ' = f ? ( t , x ) , x ? R n , t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = I i ( x ? ( t i - 0 ) ) (9.3.1)

impulzív rendszerek fázisképeit vizsgáljuk meg, ahol f(t,x): R_+×R^n›R^n

f ? ( t , x ) : R + × R n R n folytonos t-ben, folytonosan parciálisan differenciálható x-ben, és az I_i: R^n›R^n I i : R n R n impulzusok folytonosak. Emlékeztetünk rá, hogy a fázistérfogatot az alábbi formula adja meg:

µ(H_(t,t_0))=?_(H_0)?_(t_0///<///t_k///<///t) |detI_x'(x(t_k,t_0,x_0))|e^(?_(t_0)^t divf(s, x(s, t_0, x_0))ds)dx_0. µ ? ( H t , t 0 ) = ? H 0 ? t 0 ///</// t k ///</// t | det ? I x ' ? ( x ? ( t k , t 0 , x 0 ) ) | e ? t 0 t div ? f ? ( s , x ? ( s , t 0 , x 0 ) ) ? ? s ? ? x 0 . (9.3.2)

Ugyanúgy mint a differenciálegyenleteknél, a rendszer x(t,t_0,x_0)

x ? ( t , t 0 , x 0 ) megoldásait valamely zárt G görbe x_0 x 0 pontjaiból indulva határozzuk meg. A H_0 H 0 halmaz a G görbe által határolt zárt tartomány. A fázisképeket az impulzusok pillanataiban balról és jobbról is ábrázoljuk.

A módszert egy elméleti szempontból is érdekes rendszeren mutatjuk be.

Egy pulzáló oszcillátor

Tekintsük az alábbi impulzív rendszert:

x'=y, y'=–x, ha t?t_i, x(t_i+0)=y^2(t_i–0)sign(y(t_i–0)), y(t_i+0)=|x(t_i–0)|^(1/2) sign(x(t_i–0)), x ' = y , y ' = - x , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = y 2 ( t i - 0 ) ? sign ? ( y ? ( t i - 0 ) ) , y ? ( t i + 0 ) = | x ? ( t i - 0 ) | 1 / 2 sign ? ( x ? ( t i - 0 ) ) , (9.3.3)

ahol t_i=( i?/2)

t i = i ? ? 2 . Legyen H_0={{x,y}: x^2+y^2?(1/4)} H 0 = { { x , y } : x 2 + y 2 ? 1 4 } , és legyen t_0=0 t 0 = 0 . Mivel a differenciálegyenlet a harmonikus oszcillátor egyenlete, a t_i t i megválasztása miatt nyilvánvaló, hogy a ?_(t_i+0,t_(i+1)–0) ? t i + 0 , t i + 1 - 0 fázisleképezés (?/2) ? 2 -vel való forgatás. Valamely {x_0,y_0}?H_0 { x 0 , y 0 } ? H 0 kezdeti pontra kapjuk, hogy

?_(t_0,t_i+0)({x_0,y_0})={x_0^(2^i)sign(x_0),y_0^((1/2)^i)sign(y_0)}.
? t 0 , t i + 0 ( { x 0 , y 0 } ) = { x 0 2 i ? sign ? ( x 0 ) , y 0 ( 1 / 2 ) i ? sign ? ( y 0 ) } .

Innen könnyen belátható, hogy

?_(t_0,t_i+0)({0,1/2})={0,((1/2))^((1/2)^i)sign(y_0)}›{0,1} (i›?), ?_(t_0,t_i+0)({1/2,0})={(1/2)^(2^i),0}›{0,0} (i›?).
? t 0 , t i + 0 ( { 0 , 1 / 2 } ) = { 0 , ( 1 2 ) ( 1 / 2 ) i ? sign ? ( y 0 ) } { 0 , 1 } ( i ? ) , ? t 0 , t i + 0 ( { 1 / 2 , 0 } ) = { ( 1 / 2 ) 2 i , 0 } { 0 , 0 } ( i ? ) .

Az egyik megoldás nullához tart, a másik nem, ha t›?

t ? . Az eredeti differenciálegyenlet stabilis egyensúlyi helyzetéből ennek a furcsa pulzáló impulzusnak a hatására nyeregpont lett (korábban, a 7.1.1. példában az impulzus nyeregpontot stabilizált). Látni fogjuk, hogy a fázistérfogat nullához tart, ha t›? t ? , és a Hartman-tétel további feltételei is teljesülnek. Az ilyen úgynevezett féllineáris egyenletekre a Hartman tételt Atkinson és Elbert [33] általánosította.

Most vizsgáljuk meg a rendszert, ellenőrizzük megfontolásainkat Mathematica-val.

  • A rendszer megadása

xyvar={x,y};xydot={y,–x};

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x } ;

T=N[(?/2)];Imax=50;tn=Table[nT,{n,1,Imax}];

T = N [ ? 2 ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

bn=Table[{1.,1.},{i,1,Imax}];beta={2,0.5};

bn = Table [ { 1. , 1. } , { i , 1 , Imax } ] ; beta = { 2 , 0.5 } ;

ImpPulse[n_,tn_List,xn_List]:=bn[[n]]Sign[Reverse[xn]]Abs[Reverse[xn]]^(beta);

ImpPulse [ n_ , tn_List , xn_List ] := bn [ n ] ? Sign [ Reverse [ xn ] ] ? Abs [ Reverse [ xn ] ] beta ;

t0=0.;t1=5.;dt=(?/2); x1=y1=–1.;x2=y2=1.;

t0 = 0. ; t1 = 5. ; dt = ? 2 ; x1 = y1 = - 1. ; x2 = y2 = 1. ;

  • A Liouville formulához szükséges számolások

A differenciálegyenlet jobb oldalának divergenciája azonosan zéró. Számoljuk ki az

ImpPulse[1,bn,{x,y}]//TraditionalForm

ImpPulse [ 1 , bn , { x , y } ] // TraditionalForm

{1. |y|^2sgn(y),1. |x|^(0.5)sgn(x)}

{ 1. | y | 2 ? sgn ? ( y ) , 1. | x | 0.5 ? sgn ? ( x ) }

impulzusfüggvény Jacobi determinánsát. A derivált mátrix:

MatrixForm[JMf[ImpPulse[1,tn,{x,y}],{x,y}]]/.Sign[a_]^2›1

MatrixForm [ JMf [ ImpPulse [ 1 , tn , { x , y } ] , { x , y } ] ] /. ? Sign [ a_ ] 2 1

(0 2. Abs[y] / (0.5/Abs[x]^(0.5)) 0)

( 0 2. Abs [ y ] 0.5 Abs [ x ] 0.5 0 )

Determinánsa:

Det[JMf[ImpPulse[1,tn,{x,y}],{x,y}]]/.Sign[a_]^2›1

Det [ JMf [ ImpPulse [ 1 , tn , { x , y } ] , { x , y } ] ] /. ? Sign [ a_ ] 2 1

–(1. Abs[y]/Abs[x]^(0.5))

- 1. Abs [ y ] Abs [ x ] 0.5

A determináns tartalmazza a függő változókat is, ezért a fázistérfogat kiszámítása a Liouville formula alapján nehézkes, de a megoldások ismeretében elvégezhető. Ugyanakkor a fenti két megoldás a fázisképek két szélső méretét reprezentálja a t_i+0

t i + 0 pillanatokban. Ezt felhasználva könnyen megmutatható, hogy µ(H_(t,0))›0, µ ? ( H t , 0 ) 0 , ha t›? t ? .

  • A rendszer megoldása

Icond=Table[N[{Cos[u],Sin[u]},2]/2,{u,0,2?,(?/8)}];

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] / 2 , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

Traj[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpPulse,Icond,{t,t0,t1}];

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpPulse , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

  • Trajektóriák és fázisképek E

    E

A 2D fázistérben a rendszer trajektóriáit, valamint a H_(t_n–0,0)

H t n - 0 , 0 és H_(t_n+0,0) H t n + 0 , 0 fázisképeket ábrázoljuk (az animáció kockáit a nyomtatott változatban elrejtjük):

p0=PhasePlot[Traj[t],{t,t0,t1},PlotPoints›100,AxesLabel›{x,y}];

p0 = PhasePlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , PlotPoints 100 , AxesLabel { x , y } ] ;

tnn=Prepend[Select[tn,Function[u,t0?u?t1]],t0];

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

p2=PhaseMapImp[Traj[t],{t,tnn}, {Thickness[0.015],Hue[0,0,0]},PlotRange›{{x1,x2},{y1,y2}},Axes›True];

p2 = PhaseMapImp [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] , Hue [ 0 , 0 , 0 ] } , PlotRange { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , Axes True ] ;

p2a=Map[Show[p0,#]///&///,p2];

p2a = Map [ Show [ p0 , # ] ///&/// , p2 ] ;

A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:

p2b=Show[GraphicsArray[Partition[p2a,2]]];

p2b = Show [ GraphicsArray [ Partition [ p2a , 2 ] ] ] ;

A trajektóriák képe bár kaotikusnak tűnhet, a fázisképekkel együtt jól mutatja a két tengely közti „ugrálást” és a megoldások változását is. Ezzel kapcsolatosan lásd a feladatokat.

  • Fáziskép animáció 3D-ben E

    E

tnn=Prepend[Select[tn,Function[u,t0?u?t1]],t0];

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

phvol=PhaseVolImpBW[Traj[t],{t,tnn},{Thickness[0.015]},Axes›True];

phvol = PhaseVolImpBW [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } , Axes True ] ;

A képkockák együtt:

Show[phvol,PlotLabel›""];

Show [ phvol , PlotLabel ] ;

Feladatok, kísérletek

9.3.1. Kísérlet. Impulzívan perturbált oszcillátorok fázisképei

Az alkalmazások során a 13.2. fejezetben részletesen foglalkozunk impulzívan perturbált oszcillátorok viselkedésével, ezen belül a megoldások aszimptotikus viselkedésével. Az ott elhangzottakkal összhangban ábrázoljuk az egyes rendszerek esetén a kialakuló fázisképeket. Már az

x'=y, y'=–x, ha t?t_i,
x ' = y , y ' = - x , ha ? t ? t i ,

x(t_i+0)=x(t_i–0) y(t_i+0)=b_ny(t_i–0)
x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) y ? ( t i + 0 ) = b n ? y ? ( t i - 0 )

lineáris rendszerek is érdekes képet mutatnak. Érdemes összehasonlítani például a t_i=i?

t i = i ? ? és a t_i?i? t i ? i ? ? eseteket.

9.3.2. Feladat.

Vizsgáljuk meg az alábbi rendszer megoldásainak viselkedését és a fázisképek mértékének változását:

x'=0, y'=0, ha t?t_i,
x ' = 0 , y ' = 0 , ha ? t ? t i ,

x(t_i+0)=(x(t_i–0)/3+y^2(t_i–0)), y(t_i+0)=y(t_i–0)(2–y^2(t_i–0)).
x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) 3 + y 2 ( t i - 0 ) , y ? ( t i + 0 ) = y ? ( t i - 0 ) ? ( 2 - y 2 ( t i - 0 ) ) .

9.3.3. Feladat.

Vizsgáljuk meg az alábbi rendszer megoldásainak viselkedését és a fázisképek mértékének változását:

x'=0, y'=0, ha t?t_i,
x ' = 0 , y ' = 0 , ha t ? t i ,

x(t_i+0)=(x(t_i–0)/(x^2(t_i–0)+y^2(t_i–0))^(1/4)), y(t_i+0)=(y(t_i–0)/(x^2(t_i–0)+y^2(t_i–0))^(1/4)).
x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) ( x 2 ( t i - 0 ) + y 2 ( t i - 0 ) ) 1 / 4 , y ? ( t i + 0 ) = y ? ( t i - 0 ) ( x 2 ( t i - 0 ) + y 2 ( t i - 0 ) ) 1 / 4 .