Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

10. fejezet - Stabilitási vizsgálatok Ljapunov módszerével

10. fejezet - Stabilitási vizsgálatok Ljapunov módszerével

10.1. A módszer áttekintése, stabilitási tételek

Tekintsük az általános alakú impulzív rendszert. Legyenek adottak a S_1, S_2, ..., S_i ...:

S 1 , S 2 , ... , S i ... : R_+×R^n›R^n R + × R n R n , és az I_1, I_2, ..., I_i,... : I 1 , I 2 , ... , I i , ... : R_+×R^n›R^n R + × R n R n folytonos függvények. Tegyük fel, hogy ha S_i(t,x)=S_j(t,x)=0 S i ( t , x ) = S j ( t , x ) = 0 , akkor I_i(t,x)=I_j(t,x) I i ( t , x ) = I j ( t , x ) (i,j=1,2,...) ( i , j = 1 , 2 , ... ) . Legyen adott továbbá az f:R_+×R^n›R^n f : R + × R n R n függvény, amely folytonos ha S_i(t,x)?0 S i ( t , x ) ? 0 és elsőfajú szakadása van a S_i(t,x)=0 S i ( t , x ) = 0 egyenlőséget kielégítő pontokban (i=1, 2, 3, ...) ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) . Ekkor tekintsük az

x'=f(t,x), ha S_i(x(t))?0, x(?+0)=I_i(?,x(?–0)), ha S_i(?,x(?))=0, (i=1, 2, 3, ...) x ' = f ? ( t , x ) , ha S i ( x ( t ) ) ? 0 , x ? ( ? + 0 ) = I i ( ? , x ? ( ? - 0 ) ) , ha S i ( ? , x ( ? ) ) = 0 , ( i = 1 , 2 , 3 , ... ) (10.1.1)

rendszert. Tegyük fel, hogy az x=0

x = 0 (?R^n ? R n ) egyensúlyi helyzete az (10.1.1) rendszernek a [0,?) [ 0 , ? ) intervallumon. Ennek a stabilitási tulajdonságait vizsgáljuk. Más esetekben, valamely ?(t) ? ? ( t ) megoldás esetén az y=x–?(t) y = x - ? ? ( t ) transzformációval a megfelelő rendszert kapjuk. Feltételezzük, hogy a rendszer elegendően kis kezdeti értékből induló megoldásai korlátlanul folytathatók.

A korábbi fejezetekben láttuk, hogy a lineáris rendszerekre viszonylag egyszerű stabilitási kritériumok adhatók. A perturbált lineáris rendszerek stabilitási problémái pedig gyakran visszavezethetők a lineáris rendszerek esetére. Az ott vázolt módszerek bizonyos korlátok között kiterjeszthetők változó pillanatokban ható impulzusok esetére is, de nem alkalmazhatók lineáris tagokat nem tartalmazó rendszerekre. Egy, a lineáris tulajdonságokat nem, vagy csak speciális esetekben felhasználó hatékony módszer Ljapunov direkt módszere, vagy másként fogalmazva a segédfüggvények módszere. A módszer gyakorlati jelentősége nagy, irodalma igen kiterjedt.

A Ljapunov módszer lényege, hogy a rendszer megoldásainak viselkedésére valamilyen egyszerű skalárfüggvénynek (bizonyos esetekben vektorfüggvénynek) a megoldások menti viselkedéséből következtetünk anélkül, hogy magukat a megoldásokat ismernénk. Ha a segédfüggvény (Ljapunov függvény) változásának mértékére tudunk becsléseket adni valamely egyensúlyi helyzet közelében, akkor következtetni tudunk az egyensúlyi helyzet stabilitási tulajdonságaira.

A módszer alkalmazásához szükséges egy segédfüggvény, aminek keresésében a kísérletezésnek fontos szerep jut. Ebben nagy segítséget nyújtanak a számítógépes módszerek. Ezért a tételek pontos megfogalmazásánál talán fontosabb a módszer lényegének, geometriai jelentésének és a kísérletekhez szükséges technikai eszközöknek az ismerete. Mivel ezek jelentik a számítógépes vizsgálatok alapját, ezért először a módszer alapjait tekintjük át, a pontos tételekkel csak azután foglalkozunk. Mélyebb elméleti ismeretek Bainov és Simeonov [1], valamint Samoilenko és Perestjuk [25] könyvében találhatók. Javasoljuk még Rouche, Habets és Laloy [24] könyvét, amely a Ljapunov módszer differenciálegyenletekre való alkalmazását tárgyalja, és számos ötletet nyerhetünk impulzív rendszerekre is.

A módszer áttekintése

Az egyszerűség kedvéért tekintsünk először egy V: R^n›R_+

V : R n R + , az origó valamely környezetében (?x?///<///h ? x ? ///</// h ) definiált folytonosan deriválható segédfüggvényt, ami pozitív definit, ha V(0)=0 V ? ( 0 ) = 0 , és létezik egy ?(u)?0 ? ? ( u ) ? 0 (0?u///<///h) ( 0 ? u ///</// h ) szigorúan monoton növő, folytonos „ékfüggvény”, úgy hogy V(x)??(?x?) V ? ( x ) ? ? ? ( ? x ? ) . Gyakori segédfüggvény az ?x?^2 ? x ? 2 , mechanikai rendszereknél a teljes energia, vagy általában valamely pozitív definit kvadratikus függvény. Ha x(t) x ? ( t ) a (10.1.1) rendszer tetszőleges, az origó közeléből induló megoldása, akkor V(x(t)) V ? ( x ? ( t ) ) csökkenése (nemnövekedése) valamilyen jellegű stabilitást, növekedése pedig instabilitást jelenthet. Az alapfeladat tehát annak vizsgálata, hogy a V(x(t)) V ? ( x ? ( t ) ) függvény csökken avagy növekszik. Geometriailag ez a következőt jelenti. Tekintsük a V függvény valamely szintfelületét, például a V(x)=V_0 V ? ( x ) = V 0 halmazt. Tegyük fel, hogy az x(t) x ? ( t ) megoldásra a t^_ t _ pillanatban V(x(t^_))=V_0 V ? ( x ? ( t _ ) ) = V 0 . Ebben a pontban V(x(t)) V ? ( x ? ( t ) ) csökkenése azt jelenti, hogy a trajektóriának a V(x(t^_))=V_0 V ? ( x ? ( t _ ) ) = V 0 szintfelületet (amely az origó körüli zárt hiperfelület!) „kívülről” „befelé” kell átmetszeni, vagy legalábbis a trajektória fordítva nem haladhat. Adott megoldást számítógéppel megkeresve valamely véges intervallumon, ez a tulajdonság kísérletileg ellenőrizhető, ami persze nem helyettesíti a formális meggondolásokat.

Ha a t^_

t _ pillanatban hat valamelyik I_k I k impulzus, akkor a csökkenést az

V(x(t^_))?V(I_k(t^_,x(t^_)))
V ? ( x ? ( t _ ) ) ? V ( I k ( t _ , x ( t _ ) ) )

egyenlőtlenség fejezi ki. Mivel általában nem ismerjük a pontos helyeket, ezt a feltételt minden az S_k(t,x)=0 (k=1,2,...)

S k ( t , x ) = 0 ? ( k = 1 , 2 , ... ) egyenlőséget kielégítő (t,x) ( t , x ) pontban meg kell követelni.

Ha a t^_

t _ pillanatban nem hat impulzus, akkor ott x(t) x ? ( t ) megoldása a rendszer differenciálegyenlet részének. V(x(t)) V ? ( x ? ( t ) ) nemnövő t^_ t _ -ben, ha t szerinti deriváltja ebben a pontban nempozitív:

(d/dt)V(x(t))=(V_x^'(x)|_(x=x(t))) .x'(t)=(V_x^'(x)|_(x=x(t))) . f(t,x(t)),
d d ? t ? V ? ( x ? ( t ) ) = ( V x ' ( x ) | x = x ? ( t ) ) . x ' ? ( t ) = ( V x ' ( x ) | x = x ? ( t ) ) . f ? ( t , x ? ( t ) ) ,

ahol „.” jelenti a skaláris szorzatot. Következésképpen, az S_k(t,x)?0

S k ( t , x ) ? 0 feltételt kielégítő t és x értékekre a

V_x^'(x) . f(t,x)?0
V x ' ( x ) . f ? ( t , x ) ? 0

tulajdonság előnyös a stabilitás szempontjából. Megjegyezzük, hogy a V_x^'(x)

V x ' ( x ) gradiens vektor nem más, mint a V(x)=V_0 V ? ( x ) = V 0 szintfelület normálvektora.

Általában a segédfüggvény explicit módon is függhet t-től. Legyen most V(t,x)

V ? ( t , x ) definiálva a G={(t,x):t?t_0, ?x?///<///h}?R^(n+1) G = { ( t , x ) : t ? t 0 , ? x ? ///</// h } ? R n + 1 halmazon. Megengedhető, hogy elsőfajú szakadása legyen az S_k(t,x)=0 S k ( t , x ) = 0 hiperfelületek pontjaiban. Feltételezzük, hogy ezekben a pontokban V balról folytonos t-ben. A V(t,x) V ? ( t , x ) függvény pozitív definitásának definíciója változatlan: V(t,0)=0 V ? ( t , 0 ) = 0 , és létezik egy ?(u)?0 ? ? ( u ) ? 0 (0?u///<///h_0) ( 0 ? u ///</// h 0 ) szigorúan monoton növő, folytonos „ékfüggvény” úgy, hogy V(t,x)??(?x?) V ? ( t , x ) ? ? ? ( ? x ? ) . Ekkor a V(t,x)=V_0 V ? ( t , x ) = V 0 halmaz egy „cső” R×R^n R × R n -ben, azaz minden egyes t-re, a metszet egy az origót körülvevő zárt felület R^n R n -ben. A nemnövekedési tulajdonság geometriai jelentése, hogy R×R^n R × R n -ben a (t,x(t)) ( t , x ? ( t ) ) alakú görbék a V(t,x)=V_0 V ? ( t , x ) = V 0 halmazt belülről kifelé nem metszhetik.

Ha a t^_

t _ pillanatban hat valamelyik I_k I k impulzus, akkor a csökkenést az

V(t^_,x(t^_))?V(t^_+0,I_k(t^_,x(t^_)))
V ? ( t _ , x ? ( t _ ) ) ? V ( t _ + 0 , I k ( t _ , x ( t _ ) ) )

egyenlőtlenség fejezi ki, azaz a V(t,x)?V(t+0,I_k(t,x))

V ( t , x ) ? V ( t + 0 , I k ( t , x ) ) feltételt az S_k(t,x)=0 S k ( t , x ) = 0 hiperfelületek minden pontjában meg kell követelni.

Ha a t^_

t _ pillanatban nem hat impulzus, akkor ott V(t,x(t)) V ? ( t , x ? ( t ) ) deriválható, és

(d/dt)V(t,x(t))=(?V(t,x)/?t)|_(x=x(t))+(V_x^'(t,x)|_(x=x(t))) . x'(t)=(?V(t,x)/?t)|_(x=x(t))+(V_x^'(t,x)|_(x=x(t))) . f(t,x(t)).
d d ? t ? V ? ( t , x ? ( t ) ) = ? V ? ( t , x ) ? t | x = x ? ( t ) + ( V x ' ( t , x ) | x = x ? ( t ) ) . x ' ? ( t ) = ? V ? ( t , x ) ? t | x = x ? ( t ) + ( V x ' ( t , x ) | x = x ? ( t ) ) . f ? ( t , x ? ( t ) ) .

Ezért az S_k(t,x)?0

S k ( t , x ) ? 0 feltételt kielégítő t és x értékekre a

(?V(t,x)/?t)+V_x^'(t,x) .f(t,x)?0
? V ? ( t , x ) ? t + V x ' ( t , x ) . f ? ( t , x ) ? 0

feltétel teljesülését kell elvárnunk. Fontos megjegyeznünk, hogy ha a csökkenési feltételeket csupán valamely V(t,x)=V_0

V ? ( t , x ) = V 0 szintfelületre ellenőrizzük, abból csak azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a megoldások nem léphetnek ki a V(t,x)?V_0 V ? ( t , x ) ? V 0 feltételt kielégítő halmazból. A stabilitáshoz ennél több kell, hasonló tulajdonságot kell megkövetelnünk minden elegendően kicsi V_0 V 0 esetén. Ugyanakkor, ha például egy V(t,x)=V_1///<///V_0 V ? ( t , x ) = V 1 ///</// V 0 szintfelület minden pontjában növekedési tulajdonságot tapasztalunk, akkor azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a megoldások nem léphetnek ki a V_1?V(t,x)?V_0 V 1 ? V ? ( t , x ) ? V 0 egyenlőtlenséget kielégítő halmazból.

Stabilitási tételek

Az előző pontban vázoltuk a Ljapunov módszer alapötletét és az ebben rejlő legfőbb lehetőségeket, miközben az alkalmazás feltételeit kissé elnagyoltuk. Most néhány speciális esetre fogalmazunk meg pontos stabilitási kritériumokat.

Legyen a V: R_+×R^n›R_+

V : R + × R n R + függvény folytonosan differenciálható és pozitív definit a G={(t,x):t?t_0, ?x?///<///h}?R^(n+1) G = { ( t , x ) : t ? t 0 , ? x ? ///</// h } ? R n + 1 halmazon.

Most a változó (speciálisan a rögzített) pillanatokban ható impulzusok esetére fogalmazunk tételeket. Tekintsük az

x'=f(t,x), ha t??_i(x) x(?+0)=I_i(x(?–0)), ha ?=?_i(x) (i=1, 2, ...) x ' = f ? ( t , x ) , ha t ? ? i ( x ) x ? ( ? + 0 ) = I i ( x ? ( ? - 0 ) ) , ha ? = ? i ( x ) ? ( i = 1 , 2 , ... ) (10.1.2)

rendszert, ahol ?_i: R^n›R

? i : R n R folytonos függvények (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) , amelyekre pontonként teljesülnek a ?_i(x)///<///?_(i+1)(x) ? i ( x ) ///</// ? i + 1 ( x ) és lim_(i›?)?_i(x)=? lim i ? ? ? i ( x ) = ? feltételek. Az I_1, I_2, ..., I_i,... : I 1 , I 2 , ... , I i , ... : R^n›R^n R n R n függvények folytonosak. Az f függvényre ugyanazok a feltételek teljesülnek, mint a (10.1.1) rendszer esetén. Feltételezzük, hogy f(t,0)=0, I_k(0)=0 f ? ( t , 0 ) = 0 , I k ( 0 ) = 0 , és minden elegendően kicsi kezdeti értékből induló megoldás létezik a [t_0,?) [ t 0 , ? ) intervallumon.

Tudjuk, hogy az impulzív rendszereknél a megoldások viselkedését a differenciálegyenlet folytonos hatása és az impulzusok diszkrét hatása alakítja. Az alábbi tételekben a kétféle hatás erősíti egymást, de az impulzusok hatása a domináns. Ez megtehető, mivel a korlátlan folytathatóság miatt a (10.1.2) rendszer minden elegendően kicsi megoldására végtelen sok impulzus hat.

10.1.1. Tétel.

Tegyük fel, hogy létezik olyan V pozitív definit függvény, amely teljesíti az alábbi egyenlőtlenségeket a G={(t,x):t?t_0,?x?///<///h}?R^(n+1)

G = { ( t , x ) : t ? t 0 , ? x ? ///</// h } ? R n + 1 halmazon:

(?V(t,x)/?t)+V_x^'(t,x).f(t,x)?0, ? V ? ( t , x ) ? t + V x ' ( t , x ) . f ? ( t , x ) ? 0 , (10.1.3)

V(?_i(x),I_i(x))?V(?_i(x),x),(i=1,2,...). V ( ? i ( x ) , I i ( x ) ) ? V ? ( ? i ( x ) , x ) , ( i = 1 , 2 , ... ) . (10.1.4)

Ekkor a (10.1.2) rendszer zérómegoldása stabilis.

Ha a második egyenlőtlenség helyett

V(?_i(x),I_i(x))–V(?_i(x),x)?–?(V(?_i(x),x)) V ( ? i ( x ) , I i ( x ) ) - V ? ( ? i ( x ) , x ) ? - ? ? ( V ? ( ? i ( x ) , x ) ) (10.1.5)

teljesül minden i=1,2,...

i = 1 , 2 , ... esetén, ahol ?(s) ? ? ( s ) folytonos (s?0) ( s ? 0 ) , ?(0)=0 ? ? ( 0 ) = 0 , ?(s)///>///0 ? ? ( s ) ///>/// 0 (s///>///0 s ///>/// 0 ), akkor a (10.1.2) rendszer zérómegoldása aszimptotikusan stabilis.

Az instabilitáshoz nem szükséges, hogy a Ljapunov függvény minden megoldás mentén növekedjen. A V(t,x)

V ? ( t , x ) függvényről nem kell feltételeznünk, hogy pozitív definit legyen. Feltesszük, hogy V(t,x) V ? ( t , x ) kielégíti az alábbi két feltételt:

a) Az ?={(t,x):t?t_0,?x?///<///h, V(t,x)///>///0}?R^(n+1)

? = { ( t , x ) : t ? t 0 , ? x ? ///</// h , V ? ( t , x ) ///>/// 0 } ? R n + 1 halmaz és a t=konstans t = konstans hipersíkok metszete nem-üres nyitott halmaz, amelynek minden t///>///t_0 t ///>/// t 0 esetén az origó határpontja;

b) V(t, x)

V ? ( t , x ) korlátos az ? halmazon.

Igaz az alábbi tétel:

10.1.2. Tétel.

Tegyük fel, hogy létezik egy az a) és b) tulajdonságokkal rendelkező V függvény, amely az ? halmazon kielégíti az alábbi feltételeket:

(?V(t,x)/?t)+V_x^'(t,x).f(t,x)?0, ? V ? ( t , x ) ? t + V x ' ( t , x ) . f ? ( t , x ) ? 0 , (10.1.6)

V(?_i(x),I_i(x))–V(?_i(x),x)??(V(?_i(x),x)) V ( ? i ( x ) , I i ( x ) ) - V ? ( ? i ( x ) , x ) ? ? ? ( V ? ( ? i ( x ) , x ) ) (10.1.7)

(i=1,2,...)

( i = 1 , 2 , ... ) , ahol ?(s) ? ? ( s ) folytonos (s?0) ( s ? 0 ) , ?(0)=0 ? ? ( 0 ) = 0 , ?(s)///>///0 ? ? ( s ) ///>/// 0 ha s///>///0 s ///>/// 0 . Ekkor a (10.1.2) rendszer zérómegoldása instabilis.

A fenti tételek feltételeiben a ?_i(x)

? i ( x ) függvényeknek nincs különösebb szerepük. Az impulzusok bekövetkezési idejét is figyelő kritériumok bonyolultabbak. Ilyenek találhatók például az [1,25] [ 1 , 25 ] monográfiákban. Természetesen olyan tételek is megfogalmazhatók, amelyekben az impulzus hatása csupán kis perturbáció. Ha például teljesül a (10.1.4) feltétel, akkor a közönséges differenciálegyenletekre vonatkozó stabilitási, aszimptotikus stabilitási tételek alkalmazhatók. A modern kutatások olyan rendszerekre irányulnak, amelyekben ezek a hatások ellentétesek is lehetnek, például differenciálegyenlet instabil egyensúlyi helyzetét sikerül impulzusokkal stabilizálni (például [51-55]). Ilyen jellegűek a 7.1.1. és 8.2.2. példákban vizsgált lineáris rendszerek is.

Autonóm rendszerek esetén, ha valamely x^_

x _ egyensúlyi helyzet nem határpontja egyetlen S_i(x)=0 S i ( x ) = 0 halmaznak sem, akkor a differenciálegyenletekre vonatkozó eredmények alkalmazhatók (kivéve a globális tulajdonságokra vonatkozóakat). Ha pedig S_i(x^_)=0 S i ( x _ ) = 0 , akkor, mint láttuk a 5. fejezetben, már az x^_ x _ kis környezeteiből induló megoldások létezésével kapcsolatosan is felmerülhetnek problémák.

A Ljapunov módszer kísérleti támogatása

A módszernek éppen az a „gyenge pontja”, hogy valamely V segédfüggvény létezését feltételezve alkalmaztuk gondolatmenetünket. A számítógépes kísérletező vizsgálatok ebben sokat segíthetnek. Valamilyen módon meg kell sejtenünk a megoldások viselkedését az origó közelében. Megfelelő segédfüggvényt kell találnunk, ami igen fáradságos lehet vizualizációs módszerek alkalmazása nélkül. Megjegyezzük, hogy léteznek algoritmusok is Ljapunov függvények konstruálására. Ezután vizuálisan, majd formálisan ellenőriznünk kell a megoldások és a segédfüggvény szintfelületeinek kapcsolatát. Ez az utolsó lépés számos kvalitatív módszer alapját jelenti.

A módszer alkalmazásához szükséges alaplépéseket és rutinokat először differenciálegyenletekre mutatjuk be, majd azután foglalkozunk különböző típusú impulzív rendszerekkel.