Impulzív jelenségek modelljei|Digitális Tankönyvtár

Főoldal > Tankönyvtár > Könyvek > Természettudományok > Matematika

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

Beágyazás

10.2. A közönséges differenciálegyenletek esete

Tekintsük az

[D]

x ' = f ? ( t , x ) , x ? R n

differenciálegyenletet, ahol

[D]

f ? ( t , 0 ) = 0 . Az egyenlet

[D]

x ? ( t , t 0 , x 0 ) megoldásait valamely, az origót belsejében tartalmazó G tartomány

[D]

? G határpontjaiból indulva (síkon az origó körüli zárt görbe) határozzuk meg. Most csupán a módszer kísérleti támogatásával foglalkozunk. Rouche, Habets és Laloy [24] könyve mélyebb elméleti és gyakorlati ismereteket nyújt a Ljapunov módszerrel kapcsolatosan.

A módszer lépései: a lineáris fékezett oszcillátor

A Ljapunov módszer kísérleti lépéseit (mint korábban más módszereket is) a jól ismert lineáris fékezett oszcillátor példáján mutatjuk meg (lásd a 6.2. és 13.1. fejezeteket). Az alkalmazások során mindig a leghatékonyabb vizualizációs eszközöket alkalmazzuk. Az egyenlet 2D rendszer alakjában

[D]

x ' = y , y ' = - x - a ? y , ? ///>/// 0.

(10.2.1)

A rendszer teljes energiáját a

[D]

V ? ( x , y ) = 1 2 ? ( x 2 + y 2 )

függvény írja le. Ezért a megoldásokat az energia valamely szintvonalából indítjuk. A rendszer lineáris, tetszőleges körvonal, az egységsugarú kör is megfelelő.

A rendszer megadása

[D]

xyvar = { x , y } ; A = ( 0 1 - 1 - a ) ; eqnparm = { a › 1 } ;

[D]

xydot = Flatten [ A . ( x y ) ] ;

[D]

t0 = 0 ; t1 = 6 ; dt = 1 ; x1 = y1 = - 1.5 ; x2 = y2 = 1.5 ;

A Ljapunov függvény megadása és tulajdonságai

[D]

V [ x_ , y_ ] := y 2 2 + x 2 2 ;

[D]

DV = Simplify [ Grad [ V [ x , y ] , xyvar ] . xydot ] /. eqnparm

[D]

- y 2

A Ljapunov függvény rendszer szerinti deriváltjára az ismert eredményt kaptuk. A derivált csak negatív szemidefinit, de akár a sajátértékek negativitása, akár a La Salle-féle invarianciaelv [24] biztosítja a zérómegoldás aszimptotikus stabilitását.

A V(x,y) függvény szintvonalai és a rendszer vektormezője

[D]
E

Egy általános kép kialakításához ábrázoljuk a

[D]

V ? ( x , y ) = 0.2 , 0.5 , 1 szintvonalakat és a vektormezőt.

[D]

level = { 0.2 , 0.5 , 1 } ;

[D]

pV = ContourPlot [ V [ x , y ] , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Contours › level , ContourShading › False ] ;

[D]

plfield = PlotVectorField [ xydot /. ? eqnparm , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } ] ;

[D]

Show [ plfield , pV , Axes › True ] ;

Jól látható, hogy a vektorok a szintvonalakat kívülről befelé metszik, kivéve ha

[D]

y = 0 , ahol a vektorok érintik őket. Sokkal jobban vizsgálható a szintvonalak és a vektorok viszonya, ha a szintvonalakból induló vektorokat ábrázoljuk. A szintértékek origóhoz való közelítésével az alábbi utasítások segítségével igen informatív animációt kaphatunk.
[D]
E

[D]

pV1 = Table [ ContourFieldPlot2D [ V [ x , y ] - level [ i ] , xydot /. ? eqnparm , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , { { PlotPoints › 20 } , { ScaleFactor › 0.4 } , { AspectRatio › Automatic , PlotRange › { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } } } ] , { i , 1 , Length [ level ] } ] ;

[D]

Show [ pV1 ] ;

A rendszer megoldása

A rendszert a

[D]

V ? ( x , y ) = 1 körvonal pontjaiban oldjuk meg:

[D]

Icond = Table [ 2 ? N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

$Traj[t_]=ODESolve[xydot/.eqnparm,xyvar,Icond,{t,t0,t1}];$

[D]

Traj [ t_ ] = ODESolve [ xydot /. eqnparm , xyvar , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

A Ljapunov függvény változása a megoldások mentén

[D]

Plot [ Evaluate [ ( V [ #1 [ 1 ] , #1 [ 2 ] ] ///&/// ) /@ Traj [ t ] ] , { t , t0 , t1 } , PlotRange › { 0 , 1 } ] ;

A megoldások és a Ljapunov függvény ábrázolása

[D]
E

Az alábbi utasítás eredményeként kapottak közül csak két lineárisan független megoldás grafikonját láthatjuk.

$SolPlot[Traj[t]/.{u_,v_}›{u,v,V[u,v]},{t,t0,t1}, {x,y,V},PlotRange›All];$

[D]

SolPlot [ Traj [ t ] /. { u_ , v_ } › { u , v , V [ u , v ] } , { t , t0 , t1 } , { x , y , V } , PlotRange › All ] ;

A megoldások trajektóriái

A 2D fázistérben alkalmazott korábbi ábrázolásokat kiegészítjük a V függvény szintvonalaival. Jól láthatók a trajektóriák és a szintvonalak metszéspontjai.

[D]

p00 = PhasePlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel › { x , y } ] ;

[D]

p0 = Show [ pV , p00 ] ;

A fenti ábra alátámasztja az ismert tényt, hogy a vizsgált fékezett oszcillátor zérómegoldása aszimptotikusan stabilis.

Fáziskép animáció a fázissíkon

[D]
E

Már tapasztaltuk, hogy a fázisképek jól mutatják valamely adott halmazból induló megoldások változását. Az ismert animációt a Ljapunov függvény szintvonalaival kombinálva hatékony vizualizációs eszközhöz jutunk.

[D]

p2 = PhaseMap [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , { Hue [ 0 , 0 , 0 ] } , PlotRange › { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , Axes › True ] ;

[D]

p2a = Map [ Show [ p0 , # ] ///&/// , p2 ] ;

A fázisképek és trajektóriák grafikus tömbben:

[D]

p2b = Show [ GraphicsArray [ Partition [ p2a , 3 ] ] ] ;

3D megjelenítések

A 3D megjelenítések során a

[D]

V ? ( x , y ) = konst . felületek megjelenítése nem célszerű, mivel ezek a bezárt tartományt eltakarják. Ehelyett adott ? időpillanatokban a V szintvonalait (az általános esetben a

[D]

V ? ( ? , x , y ) = konst . vonalakkal) ábrázoljuk.

[D]

pV3d = PlotContourLine3D [ V [ x , y ] , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , { t , t0 , t1 , dt } , Contours › level ] ;

[D]

field3d = PlotVectorField3D [ Flatten [ { 1 , xydot } ] /. ? eqnparm , { t , t0 , t1 } , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , PlotPoints › 7 ] ;

[D]

showsol3d = SolPlot3DBW [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } ] ;

[D]

Show [ field3d , showsol3d , pV3d , Axes › True ] ;

Fáziskép animáció 3D-ben

[D]
E

[D]

phvol = PhaseVolBW [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 , dt } , { Thickness [ 0.015 ] , Hue [ 0 , 0 , 0 ] } ] ;

[D]

Show [ pV3d , phvol ] ;

Még egy példa

10.2.1. Példa. Egy nemautonóm oszcillátor

Tekintsük az

[D]

x '' + ( a ? ( t ) + a 0 ) ? x ' + sin ? ( x ) = 0

egyenletet, amelyben

[D]

a ? ( t ) ? 0 ,

[D]

a 0 ///>/// 0 . Írjuk át rendszer alakba:

[D]

x ' = y , y ' = - ( a ? ( t ) + a 0 ) ? y - sin ? ( x ) .

(10.2.2)

Legyen

[D]

a ? ( t ) = sin 2 ( t ) és

[D]

a 0 = 0.1 .

$xyvar={x,y};eqnparm={a[t]›Sin[t]^2,a0›0.1};$

[D]

xyvar = { x , y } ; eqnparm = { a [ t ] › Sin [ t ] 2 , a0 › 0.1 } ;

[D]

xydot = { y , - ( a [ t ] + a0 ) ? y - Sin [ x ] } ;

[D]

t0 = 0 ; t1 = 10 ; dt = 2 ; x1 = - 1.6 ; x2 = 1.6 ; y1 = - 1.6 ; y2 = 1.6 ;

A rendszer energiafüggvénye:

[D]

W ? ( x , x ' ) = ( 1 - cos ? ( x ) + y 2 2 ) .

[D]

W [ t_ , x_ , y_ ] := y 2 2 + 1 - Cos [ x ] ;

Ennek deriváltja:

[D]

DW = ? t W [ t , x , y ] + Simplify [ Grad [ W [ t , x , y ] , xyvar ] . xydot ]

[D]

- y 2 ? ( a0 + a [ t ] )

Annak ellenére, hogy deriváltja nem negatív definit, a stabilitási vizsgálatokban mégis az energia-függvényt használjuk leggyakrabban. Most tekintsünk egy másik, bár kissé bonyolulabb segédfüggvényt. A kérdés, hogy hogyan lehet ilyen alakú segédfüggvényt találni, teljesen jogos. A válasz csak részben megnyugtató: előzetes formális meggondolások alapján kísérletezéssel, illetve az irodalmi leírások ismeretében (lásd például [24]).

[D]

V [ t_ , x_ , y_ ] := ( ( y + a0 ? Sin [ x ] ) 2 2 + ( 1 + a0 ? a [ t ] - a0 2 ) ? ( 1 - Cos [ x ] ) )

Ennek deriváltja:

[D]

DV = Simplify [ ? t V [ t , x , y ] + Grad [ V [ t , x , y ] , xyvar ] . xydot ]

[D]

- y 2 ? a [ t ] + a0 ? ( - y 2 - 2 ? a0 ? y ? Sin [ x ] - Sin [ x ] 2 + y ? Cos [ x ] ? ( y + a0 ? Sin [ x ] ) - ( - 1 + Cos [ x ] ) ? a ' [ t ] )

A konkrét esetben:

[D]

DV1 = Simplify [ ? t ( V [ t , x , y ] /. eqnparm ) + Grad [ V [ t , x , y ] , xyvar ] . xydot /. eqnparm ]

[D]

- 0.1 ? y 2 + 0.2 Cos [ t ] ? Sin [ t ] - 1. y 2 ? Sin [ t ] 2 + Cos [ x ] ? ( - 0.2 ? Cos [ t ] ? Sin [ t ] + y ? ( 0.1 y + 0.01 Sin [ x ] ) ) - 0.02 y ? Sin [ x ] - 0.1 Sin [ x ] 2

Ellenőrizhető, hogy ha