Impulzív jelenségek modelljei|Digitális Tankönyvtár

Főoldal > Tankönyvtár > Könyvek > Természettudományok > Matematika

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

Beágyazás

10.3. Kísérletek rögzített pillanatokban ható impulzusokra

A Ljapunov módszer számítógépes kísérleti támogatása impulzív rendszerekre is hasonló a differenciálegyenletek esetéhez. Mivel a rendszerek leírása és megoldása a Mathematica-ban különbözik a különböző típusú impulzusok esetén, ezért az egyes eseteket külön vizsgáljuk. Az előző fejezetben a megjelenítéshez használt bonyolultabb programoknak csak az eredményét mutatjuk.

Ebben a részben az

[D]

x ' = f ? ( t , x ) , x ? R n , t ? t i x ? ( t i + 0 ) = I i ( x ? ( t i - 0 ) )

(10.3.1)

impulzív rendszerekre alkalmazzuk a Ljapunov módszert. A rendszerben levő függvényekre a szokásos feltételek teljesülését követeljük meg.

A módszer lépései: egy aszimptotikusan stabilis rendszer

A Ljapunov módszer lépéseit az alábbi impulzívan perturbált lineáris rendszerre alkalmazzuk:

[D]

x ' = y - a ? x , y ' = - x , a ///>/// 0 , t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = x 3 ? ( t i - 0 ) , y ? ( t i + 0 ) = y 2 ? ( t i - 0 ) ,

(10.3.2)

ahol

[D]

t i = i . Ljapunov függvényként a

[D]

V ? ( x , y ) = x 2 + y 2

függvényt használjuk. A megoldásokat valamely

[D]

V ? ( x , y ) = V 0 ? 1 szintvonalból indítjuk (körvonalak), mivel az impulzusok

[D]

x , y ///</// 1 esetén csökkentik az egyes koordinátákat.

A rendszer megadása

[D]

xyvar = { x , y } ; xydot = { y - a ? x , - x } ; eqnparm = { a › 1 } ;

[D]

T = N [ 1. ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

[D]

beta = { 3 , 2 } ;

[D]

Impulse [ n_ , tn_List , xn_List ] := xn beta ;

[D]

t0 = 0 ; t1 = 6 ; dt = 1 ;

[D]

x1 = y1 = - 1 ; x2 = y2 = 1 ;

A Ljapunov függvény megadása és tulajdonságai

[D]

V [ x_ , y_ ] := x 2 + y 2 ;

[D]

V ? ( x , y ) deriváltja a differenciálegyenlet megoldásai mentén nempozitív:

[D]

DV = Simplify [ Grad [ V [ x , y ] , xyvar ] . xydot ] /. eqnparm

[D]

- 2 ? x 2

[D]

t k pillanatokbeli változás vizsgálatához elég egyetlen

[D]

t k -t tekinteni, mivel az impulzusok azonosak.

[D]

VJump = Simplify [ V [ Impulse [ 1 , tn , { x , y } ] [ 1 ] , Impulse [ 1 , tn , { x , y } ] [ 2 ] ] - V [ x , y ] ]

[D]

- x 2 + x 6 - y 2 + y 4

[D]

Plot3D [ VJump , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , BoxRatios › { 1 , 1 , 0.5 } , AxesLabel › { x , y , Vjump } ] ;

Látható, hogy V ugrása negatív definit az origó közelében, tehát kielégíti az aszimptotikus stabilitási kritériumot (10.1.1 tétel). Ugyanakkor az aszimptotikus stabilitás nem globális, mert a V ugrása pozitív definit, ha

[D]

| x | , | y | ///>/// 1 .

A V(x,y) függvény szintvonalai és a differenciálegyenlet vektormezője

[D]
E

A vektormezőt és a szintvonalakat az előző fejezetben látottak alapján rajzolhatjuk meg. Ábrázoljuk a

[D]

V ? ( x , y ) = 0.2 , 0.5 , 1 szintvonalakat:

Jól látható, hogy a vektorok a szintvonalakat kívülről befelé metszik, kivéve ha

[D]

x = 0 , ahol a vektorok érintik őket. Ábrázoljuk a szintvonalakból induló vektorokat is.

A V(x,y) függvény szintvonalai és az impulzusok

[D]
E

A 4.4. fejezetben vázoltak szerint a megoldások

[D]

t k pillanatokban való ugrását a fázistérben a vektormezőhöz hasonlóan ábrázolhatjuk. Ekkor a

[D]

t k pillanathoz tartozó impulzusmező: $I_k({x,y})–{x,y}$

[D]

I k ( { x , y } ) - { x , y } . Jelen esetben az impulzusok minden

[D]

t k esetén azonosak, ezért elegendő egynek az ábrázolása. Megjegyezzük, hogy nemautonóm esetben érdemes

[D]

t k szerinti animációt készíteni, vagy a PlotVectorField3D utasítást használni a {0, $I_k({x,y})–{x,y}$

[D]

I k ( { x , y } ) - { x , y } } vektormezőre a ${t_k}×R^2$

[D]

{ t k } × R 2 halmazon (lásd ismét a 4.4. fejezetet).

[D]

level = { 0.2 , 0.5 , 1. } ;

[D]

pV = ContourPlot [ V [ x , y ] , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Contours › level , ContourShading › False , PlotPoints › 90 ] ;

[D]

plfield = PlotVectorField [ Impulse [ 1 , tn , xyvar ] - xyvar , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Axes › True , ScaleFactor › None ] ;

[D]

Show [ plfield , pV ] ;

Jól látható, hogy a vektorok a szintvonalakat kívülről befelé metszik. A differenciálegyenlethez hasonlóan érdemes a szintvonalakból induló impulzusvektorokat is ábrázolni. Ismét hangsúlyozzuk, hogy a vektorok nem csak irányt, hanem tényleges ugrást jelentenek, ezért a ScaleFactor›None beállítás szükséges. Az egész vektornak a szintvonal belsejében kell maradni, ha stabilitást várunk.

[D]

pV2 = Table [ ContourFieldPlot2D [ V [ x , y ] - level [ i ] , Impulse [ 1 , tn , xyvar ] - xyvar , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , { { PlotPoints › 10 } , { ScaleFactor › None } , { AspectRatio › Automatic , PlotRange › { { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } } } ] , { i , 1 , Length [ level ] } ] ;

[D]

Show [ GraphicsArray [ pV2 ] ] ;

A rendszer megoldása

A rendszert a

[D]

V ? ( x , y ) = V 0 = 1 körvonal pontjaiban oldjuk meg:

[D]

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 4 } ] ;

$Traj[t_]=IDESolve[xydot/.eqnparm,xyvar,tn,Impulse, Icond,{t,t0,t1}];$

[D]

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot /. ? eqnparm , xyvar , tn , Impulse , Icond , { t , t0 , t1 } ] ;

A Ljapunov függvény változása a megoldások mentén

[D]

Plot [ Evaluate [ ( V [ #1 [ 1 ] , #1 [ 2 ] ] ///&/// ) /@ Traj [ t ] ] , { t , t0 , t1 } , PlotRange › All ] ;

A megoldások és a Ljapunov függvény ábrázolása

[D]
E

Helytakarékosság miatt az alábbi utasítás eredményeként kapott grafikonok közül nyomtatásban csak két jellemző megoldást láthatunk.

$SolPlot[Traj[t]/.{u_,v_}›{u,v,V[u,v]/.eqnparm},{t,t0,t1},{x,y,V},PlotRange›All];$

[D]

SolPlot [ Traj [ t ] /. { u_ , v_ } › { u , v , V [ u , v ] /. eqnparm } , { t , t0 , t1 } , { x , y , V } , PlotRange › All ] ;

A rendszer trajektóriái

A 2D fázistérben együtt ábrázoljuk a V függvény szintvonalait és a megoldások trajektóriáit. A trajektóriák nemautonóm rendszer esetén is informatívak.

[D]

p0 = PhasePlotBW [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel › { x , y } , PlotStyle › { Thickness [ 0.01 ] } ] ;

[D]

Show [ pV , p0 , PlotRange › All , AspectRatio › Automatic ] ;

Fáziskép animáció 3D-ben

[D]
E

[D]

pV3d = PlotContourLine3D [ V [ x , y ] , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , { t , t0 , t1 , dt } , Contours › level ] ;

[D]

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

[D]

phvol = PhaseVolImpBW [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] , Hue [ 0 , 0 , 0 ] } ] ;

[D]

Show [ pV3d , phvol , PlotRange › All , Axes › True ] ;

Még egy példa

10.3.1. Példa. Egy instabilis rendszer

Módosítsuk egy kicsit az előbb vizsgált rendszert:

[D]

x ' = y , y ' = - x 3 , ? ///>/// 0 , t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = | x ? ( t i - 0 ) | 1 / 3 , y ? ( t i + 0 ) = | y ? ( t i - 0 ) | 2

(10.3.3)

ahol

[D]

t i = i . Ljapunov függvényként most tekintsük a

[D]

V ? ( x , y ) = x 4 4 + y 2 2

függvényt (lásd még a 9.2. és 13.1. fejezeteket). A megoldásokat az egységkörvonal pontjaiból indítjuk. Vegyük észre, hogy az impulzusok

[D]

x , y ///</// 1 esetén csökkentik az y koordinátát és növelik az x-et.

A rendszer megadása

$xyvar={x,y}; xydot={y,–x^3}; eqnparm={a›1};$

[D]

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x 3 } ; eqnparm = { a › 1 } ;

[D]

T = N [ 1. ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1 , Imax } ] ;

[D]

beta = { 1 / 3 , 2 } ;

[D]

Impulse [ n_ , tn_List , xn_List ] := Abs [ xn ] beta ;

[D]

t0 = 0 ; t1 = 6 ; dt = 1 ;

[D]

x1 = y1 = - 1.2 ; x2 = y2 = 1.2 ;

[D]

Icond = Table [ N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

A Ljapunov függvény megadása és tulajdonságai

[D]

V [ x_ , y_ ] := y 2 2 + x 4 4 ;

[D]

V ? ( x , y ) pozitív definit. Deriváltja a differenciálegyenlet megoldásai mentén:

[D]

DV = Simplify [ Grad [ V [ x , y ] , xyvar ] . xydot ] /. eqnparm

[D]

Ez az eredmény várható volt, mivel a Ljapunov függvény a konzervatív differenciálegyenlet teljes energiája.

[D]

V ? ( x , y ) változása a

[D]

t i pillanatokban az alábbi:

[D]

Vjump = V [ Impulse [ 1 , tn , { x , y } ] [ 1 ] , Impulse [ 1 , tn , { x , y } ] [ 2 ] ] - V [ x , y ]

[D]

- x 4 4 - y 2 2 + 1 4 ? Abs [ x ] 4 / 3 + Abs [ y ] 4 2

[D]

Plot3D [ Vjump , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , BoxRatios › { 1 , 1 , 0.5 } , AxesLabel › { x , y , Vjump } ] ;

Látható, hogy V ugrásának az origóban nyeregpontja van, növekszik x-ben és csökken y-ban. Tehát V teljesíti az instabilitásra vonatkozó 10.1.2. tétel feltételeit.

A V(x,y) függvény szintvonalai és a differenciálegyenlet vektormezője

[D]
E

Ábrázoljuk a vektormező adott szintvonalakból induló elemeit:

[D]

level = { 0.5 , 0.2 , 0.05 } ;

A V(x,y) függvény szintvonalai és az impulzusok

[D]
E

Az átláthatóság kedvéért az egyes szintvonalakból induló impulzusvektorokat külön jelenítjük meg:

A megoldások és a Ljapunov-függvény ábrázolása

[D]
E

A megoldások trajektóriái

A 2D fázistérben ábrázoljuk a V függvény szintvonalait és a megoldások trajektóriáit.

Fázisképek 3D-ben

Feladatok, kísérletek

10.3.1. Kísérlet. Stabilizálás

A (10.3.2) aszimptotikusan stabilis rendszerben változtassuk meg a differenciálegyenletben az a konstans előjelét. Ekkor a differenciálegyenlet zérómegoldása instabilis lesz. Vizsgáljuk meg, milyen impulzus képes ezt stabilizálni.

10.3.2. Kísérlet. Az instabilis rendszerről

Láttuk, hogy a (10.3.10) rendszer zérómegoldása instabilis. A vizsgálatok azt sejtetik, hogy a megoldások az