Karsai János
Typotex
A Ljapunov módszer számítógépes kísérleti támogatása impulzív rendszerekre is hasonló a differenciálegyenletek esetéhez. Mivel a rendszerek leírása és megoldása a Mathematica-ban különbözik a különböző típusú impulzusok esetén, ezért az egyes eseteket külön vizsgáljuk. Az előző fejezetben a megjelenítéshez használt bonyolultabb programoknak csak az eredményét mutatjuk.
Ebben a részben az
![]() [D] | (10.3.1) |
impulzív rendszerekre alkalmazzuk a Ljapunov módszert. A rendszerben levő függvényekre a szokásos feltételek teljesülését követeljük meg.
A módszer lépései: egy aszimptotikusan stabilis rendszer
A Ljapunov módszer lépéseit az alábbi impulzívan perturbált lineáris rendszerre alkalmazzuk:
![]() [D] | (10.3.2) |
ahol
[D]
függvényt használjuk. A megoldásokat valamely
[D]
[D]
A rendszer megadása
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
A Ljapunov függvény megadása és tulajdonságai
[D]
[D]
[D]
[D]
A
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Látható, hogy V ugrása negatív definit az origó közelében, tehát kielégíti az aszimptotikus stabilitási kritériumot (10.1.1 tétel). Ugyanakkor az aszimptotikus stabilitás nem globális, mert a V ugrása pozitív definit, ha
[D]
A vektormezőt és a szintvonalakat az előző fejezetben látottak alapján rajzolhatjuk meg. Ábrázoljuk a
[D]
Jól látható, hogy a vektorok a szintvonalakat kívülről befelé metszik, kivéve ha
[D]
A 4.4. fejezetben vázoltak szerint a megoldások
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]PlotVectorField3D
utasítást használni a {0,
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Jól látható, hogy a vektorok a szintvonalakat kívülről befelé metszik. A differenciálegyenlethez hasonlóan érdemes a szintvonalakból induló impulzusvektorokat is ábrázolni. Ismét hangsúlyozzuk, hogy a vektorok nem csak irányt, hanem tényleges ugrást jelentenek, ezért a ScaleFactor›None
beállítás szükséges. Az egész vektornak a szintvonal belsejében kell maradni, ha stabilitást várunk.
[D]
[D]
A rendszer megoldása
A rendszert a
[D]
[D]
[D]
A Ljapunov függvény változása a megoldások mentén
[D]
Helytakarékosság miatt az alábbi utasítás eredményeként kapott grafikonok közül nyomtatásban csak két jellemző megoldást láthatunk.
[D]
A rendszer trajektóriái
A 2D fázistérben együtt ábrázoljuk a V függvény szintvonalait és a megoldások trajektóriáit. A trajektóriák nemautonóm rendszer esetén is informatívak.
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Még egy példa
10.3.1. Példa. Egy instabilis rendszer
Módosítsuk egy kicsit az előbb vizsgált rendszert:
![]() [D] | (10.3.3) |
ahol
[D]
függvényt (lásd még a 9.2. és 13.1. fejezeteket). A megoldásokat az egységkörvonal pontjaiból indítjuk. Vegyük észre, hogy az impulzusok
[D]
A rendszer megadása
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
A Ljapunov függvény megadása és tulajdonságai
[D]
[D]
[D]
[D]
Ez az eredmény várható volt, mivel a Ljapunov függvény a konzervatív differenciálegyenlet teljes energiája.
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Látható, hogy V ugrásának az origóban nyeregpontja van, növekszik x-ben és csökken y-ban. Tehát V teljesíti az instabilitásra vonatkozó 10.1.2. tétel feltételeit.
Ábrázoljuk a vektormező adott szintvonalakból induló elemeit:
[D]
Az átláthatóság kedvéért az egyes szintvonalakból induló impulzusvektorokat külön jelenítjük meg:
A megoldások trajektóriái
A 2D fázistérben ábrázoljuk a V függvény szintvonalait és a megoldások trajektóriáit.
Fázisképek 3D-ben
Feladatok, kísérletek
10.3.1. Kísérlet. Stabilizálás
A (10.3.2) aszimptotikusan stabilis rendszerben változtassuk meg a differenciálegyenletben az a konstans előjelét. Ekkor a differenciálegyenlet zérómegoldása instabilis lesz. Vizsgáljuk meg, milyen impulzus képes ezt stabilizálni.
10.3.2. Kísérlet. Az instabilis rendszerről
Láttuk, hogy a (10.3.10) rendszer zérómegoldása instabilis. A vizsgálatok azt sejtetik, hogy a megoldások az
[D]