Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

10.4. Kísérletek változó pillanatokban ható impulzusokra

10.4. Kísérletek változó pillanatokban ható impulzusokra

Ebben a részben az

x'=f(t,x), x?R^n, t??_i(x) x(?+0)=I_i(x(?–0)), ?=?_i(x) x ' = f ? ( t , x ) , x ? R n , t ? ? i ( x ) x ? ( ? + 0 ) = I i ? ( x ? ( ? - 0 ) ) , ? = ? i ( x ) (10.4.1)

alakú impulzív rendszerekre alkalmazzuk a Ljapunov módszert. A rendszerben levő függvényekre a szokásos feltételek teljesülését követeljük meg. A lépések lényegében azonosak a rögzített pillanatban ható impulusok esetével. Feltételezzük, hogy az ?x?///<///h, t?t_0

? x ? ///</// h , t ? t 0 feltételt teljesítő értékekre egyetlen impulzusra sem fordulhat elő visszaverődés. A kísérletekben lényeges különbség a rendszer megoldásában és az ábrázolásokban van.

A módszer lépései: egy aszimptotikusan stabilis oszcillátor

A Ljapunov módszer lépéseit az alábbi rendszerre alkalmazzuk [25]:

x^'=–y–2x^3, y^'=x–2y^3, t??_i(x,y), x(?+0)=x(?–0)–ax^3(?–0)+by^3(?–0), y(?+0)=y(?–0)+bx^3(?–0)–ay^3(?–0), ?=?_i(x,y). x ' = - y - 2 ? x 3 , y ' = x - 2 ? y 3 , t ? ? i ( x , y ) , x ? ( ? + 0 ) = x ? ( ? - 0 ) - a ? x 3 ( ? - 0 ) + b ? y 3 ( ? - 0 ) , y ? ( ? + 0 ) = y ? ( ? - 0 ) + b ? x 3 ( ? - 0 ) - a ? y 3 ( ? - 0 ) , ? = ? i ( x , y ) . (10.4.2)

ahol a,b///>///0

a , b ///>/// 0 , ?_i(x,y)=i+x^2+y^2 ? i ( x , y ) = i + x 2 + y 2 . A t=?_i(x,y) t = ? i ( x , y ) függvények S(t,x,y)=0 S ? ( t , x , y ) = 0 alakban írhatók: S(t,x,y)=sin(?(t–x^2–y^2)) S ? ( t , x , y ) = sin ? ( ? ? ( t - x 2 - y 2 ) ) . Ljapunov függvényként tekintsük a

V(x,y)=x^2+y^2
V ? ( x , y ) = x 2 + y 2

függvényt. A megoldásokat valamely V(x,y)=V_0=1

V ? ( x , y ) = V 0 = 1 szintvonalból indítjuk.

  • A rendszer megadása

A differenciálegyenlet és az impulzusok

xyvar={x,y}; xydot={–y–2x^3,x–2y^3};

xyvar = { x , y } ; xydot = { - y - 2 ? x 3 , x - 2 ? y 3 } ;

eqnparm={a›2,b›1}; SS=Sin[?(t–x^2–y^2)];

eqnparm = { a 2 , b 1 } ; SS = Sin [ ? ? ( t - x 2 - y 2 ) ] ;

II={x–ax^3+by^3,y+bx^3–ay^3};

II = { x - a ? x 3 + b ? y 3 , y + b ? x 3 - a ? y 3 } ;

Impulse={{SS,II,1}};

Impulse = { { SS , II , 1 } } ;

A megoldás és megjelenítés paraméterei:

t0=0;t1=3;dt=1;tstep=0.01;

t0 = 0 ; t1 = 3 ; dt = 1 ; tstep = 0.01 ;

x1=y1=–0.7;x2=y2=0.7;

x1 = y1 = - 0.7 ; x2 = y2 = 0.7 ;

  • A Ljapunov függvény megadása és tulajdonságai

V[x_,y_]:=x^2+y^2;

V [ x_ , y_ ] := x 2 + y 2 ;

V(x,y)

V ? ( x , y ) deriváltja a differenciálegyenlet megoldásai mentén negatív definit:

DV=Simplify[Grad[V[x,y],xyvar].xydot]/.eqnparm

DV = Simplify [ Grad [ V [ x , y ] , xyvar ] . xydot ] /. eqnparm

–4(x^4+y^4)

- 4 ? ( x 4 + y 4 )

V(x,y)

V ? ( x , y ) változása a t_k t k pillanatokban (elég egyetlen pillanatot tekinteni, mivel az impulzusok azonosak):

Vjump=V[II[[1]],II[[2]]]–V[x,y]

Vjump = V [ II [ 1 ] , II [ 2 ] ] - V [ x , y ]

–x^2–y^2+(bx^3+y–ay^3)^2+(x–ax^3+by^3)^2

- x 2 - y 2 + ( b ? x 3 + y - a ? y 3 ) 2 + ( x - a ? x 3 + b ? y 3 ) 2

A konkrét adatokkal V ugrásának grafikonja:

Plot3D[Vjump/.eqnparm,{x,x1,x2},{y,y1,y2},BoxRatios›{1,1,0.7},AxesLabel›{x,y,"Vjump"}];

Plot3D [ Vjump /. eqnparm , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , BoxRatios { 1 , 1 , 0.7 } , AxesLabel { x , y , Vjump } ] ;

A V függvény ugrása negatív definit az origó közelében (de nem globálisan, ami nagyobb tartományon való ábrázolással válik láthatóvá), és kielégíti a 10.1.1. tétel feltételeit (ellenőrizendő!)

  • A V(x,y) függvény szintvonalai és a differenciálegyenlet vektormezője

Ábrázoljuk a V(x,y)=0.05,0.2,0.4

V ? ( x , y ) = 0.05 , 0.2 , 0.4 szintvonalakat és az ezekből induló vektorokat.

Az ábra jól mutatja, hogy az origóhoz közel az egyenletben a nemlineáris tagok hatása egyre kisebb és a vektorok megközelítően érintő irányúvá válnak.

  • Az impulzusok

Az általános impulzusok ábrázolására készített utasításokat tudjuk alkalmazni. Az S(t,x,y)=0

S ? ( t , x , y ) = 0 felületeket és az impulzus által kapott transzformált felületeket ábrázoljuk. Az egyes pontokra ható impulzusokat a t=konst. t = konst . felületekkel való metszéssel kapjuk. Az S függvény periodikus, ezért elegendő egy ágat ábrázolni.

p1=JumpPlot3D[SS,II/.eqnparm,{t,t0,(t1/3)},{x, x1,x2},{y, y1, y2},PlotPoints›{5,5},BoxRatios›{1,1,1}];

p1 = JumpPlot3D [ SS , II /. ? eqnparm , { t , t0 , t1 3 } , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , PlotPoints { 5 , 5 } , BoxRatios { 1 , 1 , 1 } ] ;

Az impulzussal transzformált felület sötétebb, egyszínű E

E . Látható, hogy visszaverődés nem fordul elő az origó környezetében.

  • A rendszer megoldása

A rendszert a ?(0.4)

0.4 sugarú kör pontjaiban oldjuk meg:

Icond=Table[?(0.4)N[{Cos[u],Sin[u]},2],{u,0,2?,(?/8)}];

Icond = Table [ 0.4 ? N [ { Cos [ u ] , Sin [ u ] } , 2 ] , { u , 0 , 2 ? ? , ? 8 } ] ;

sol=IDERKSolve[xydot/.eqnparm,Impulse/.eqnparm,xyvar,Icond,{t,t0,t1,tstep}];

sol = IDERKSolve [ xydot /. ? eqnparm , Impulse /. ? eqnparm , xyvar , Icond , { t , t0 , t1 , tstep } ] ;

  • A Ljapunov függvény változása a megoldások mentén

ListPlot1[Table[({#1[[1]],V[#1[[1]],#1[[2]],#1[[3]]]}///&///)/@sol[[i]], {i,1,Length[sol]}],PlotJoined›True,PlotRange›{0,0.4}];

ListPlot1 [ Table [ ( { #1 [ 1 ] , V [ #1 [ 1 ] , #1 [ 2 ] , #1 [ 3 ] ] } ///&/// ) /@ sol [ i ] , { i , 1 , Length [ sol ] } ] , PlotJoined True , PlotRange { 0 , 0.4 } ] ;

  • A megoldások és a Ljapunov függvény ábrázolása E

    E

A nyomtatott változatban csak két jellemző megoldást jelenítünk meg.

ListSolPlot[sol/.{u_,v_,w_}›{u,v,w,V[u,v,w]},{x,y,V}, {{PlotRange›{x1,x2}},{PlotRange›{y1,y2}},{PlotRange›{0,.4}}}];

ListSolPlot [ sol /. { u_ , v_ , w_ } { u , v , w , V [ u , v , w ] } , { x , y , V } , { { PlotRange { x1 , x2 } } , { PlotRange { y1 , y2 } } , { PlotRange { 0 , .4 } } } ] ;

  • A megoldások trajektóriái

A 2D fázistérben ábrázoljuk a V függvény szintvonalait, és a megoldások trajektóriáit.

pV=ContourPlot[V[t,x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}, Contours›level,ContourShading›False];

pV = ContourPlot [ V [ t , x , y ] , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , Contours level , ContourShading False ] ;

pSol=ListPhasePlot[sol];

pSol = ListPhasePlot [ sol ] ;

Show[pV,pSol];

Show [ pV , pSol ] ;

  • 3D megjelenítések

Most együtt ábrázoljuk a megoldásokat és a Ljapunov függvény szintvonalait. Korábbi megállapításainknak megfelelően a változó impulzusidők miatt a fázisképek ábrázolása nem segítené a folyamat megértését.

pV3d=PlotContourLine3D[V[t,x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2},{t,t0,t1,dt},Contours›level];

pV3d = PlotContourLine3D [ V [ t , x , y ] , { x , x1 , x2 } , { y , y1 , y2 } , { t , t0 , t1 , dt } , Contours level ] ;

showsol3d=ListSolPlot3D[sol,{Thickness[0.015]}];

showsol3d = ListSolPlot3D [ sol , { Thickness [ 0.015 ] } ] ;

Show[showsol3d,pV3d,BoxRatios›{2,1,1},Axes›True];

Show [ showsol3d , pV3d , BoxRatios { 2 , 1 , 1 } , Axes True ] ;

Végül ábrázoljuk az impulzusokat és a megoldásokat. A kapott ábra színes változata az elektronikus mellékletben található E

E . Ott különösen jól látható a felületen való áthaladás.

Show[p1,showsol3d,PlotRange›{{0.,1},{x1,x2},{y1,y2}}, BoxRatios›{1,1,1},ViewPoint-///>///{2.5, –1.8, 1.17}];

Show [ p1 , showsol3d , PlotRange { { 0. , 1 } , { x1 , x2 } , { y1 , y2 } } , BoxRatios { 1 , 1 , 1 } , ViewPoint -///>/// { 2.5 , - 1.8 , 1.17 } ] ;

Feladatok, kísérletek

10.4.1. Kísérlet.

A (10.4.2) rendszernél a megoldások menetéből jól látható, hogy csökkenésük egyre inkább lelassul, és az impulzusok hatása egyre csökken. Végezzünk további kísérleteket a nagyon kicsi megoldásokra.

10.4.2. Kísérlet.

Végezzünk kísérleteket a nagy kezdeti értékből induló megoldásokra is. Vizsgáljuk meg az impulzusok fixpontjai (vonalak?) körül a megoldások viselkedését. Használjuk fel a V ugrását mutató ábrát.