Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

11. fejezet - Gyógyszeradagolási modellek

11. fejezet - Gyógyszeradagolási modellek

11.1. Rekeszrendszerek

Az emberi szervezetben valamely anyag – például gyógyszer – áramlását úgy képzelhetjük el, mintha az anyag egymással összekötött tartályokból, rekeszekből álló rendszerben áramolna. Rekesznek nevezzük a szervezet egy olyan terét, amelyben az adott anyag mennyiségének (vagy koncentrációjának) a változása azonos törvény szerint történik. Az elmélet szempontjából általában lényegtelen, hogy a koncentrációt vagy a mennyiséget figyeljük, ezek egymásba alakíthatók. A következőkben végig a mennyiség változásáról beszélünk. Az alábbiakban áttekintjük a rekeszrendszerek felépítését, az áramlás legfontosabb lehetséges szabályait. Az általános rendszert az érthetőség kedvéért gyakran azonosítjuk az emberi szervezettel, bár az alkalmazások más tudományágakban (például az ökológiában) is elterjedtek, amelyek jelentősége hasonlóan nagy.

Egyrekeszes rendszerek

A legegyszerűbb modellekben az egész szervezetet egyetlen rekesznek tekintjük. Ez gyakran pontatlan megközelítés, de számos probléma megértését ez az egyszerűsítés segíti. Jelölje x(t)

x ? ( t ) a vizsgált anyag mennyiségét valamely t pillanatban. A rendszernek van bemenete (input) és kimenete (output). A bemeneti és kimeneti áramlás sebességét jelölje I(t) I ? ( t ) és O(t) O ? ( t ) .

Az I(t)

I ? ( t ) és O(t) O ? ( t ) lehet időben elosztott, vagyis az áramlás folyamatos, illetve a hatásuk korlátozódhat időpillanatokra, amikor is impulzív bemenetről illetve kimenetről beszélhetünk. Az x(t) x ? ( t ) változására az alábbi egyenlet írható fel:

x'(t)=I(t)–O(t) x ' ? ( t ) = I ? ( t ) - O ? ( t ) (11.1.1)

Az egyenlet általános értelemben érvényes. Tudjuk hogy a pillanatnyi hatásokat a Dirac-féle ? függvénnyel (3.2. fejezet), illetve impulzív rendszerrel lehet felírni.

Az I(t)

I ? ( t ) függvény legjellemzőbb jelentései:

  • időben elosztott hatás: infúzió, folyamatos betáplálás.

  • pillanatnyi hatások: ismételt gyógyszeradagolás, impulzív betáplálás.

Az O(t)

O ? ( t ) függvényre hasonló értelmezések adhatók, de itt általában időben elhúzódó a kiáramlás, ami többek között lehet

  • kitisztítás (pl. művese kezelés),

  • természetes kiürülés.

A kiürülés lefolyása eltérő kinetikájú lehet a különböző rendszerek és anyagok esetén, például:

  • elsőrendű kinetika: O(t)=kx(t)

    O ? ( t ) = k ? x ? ( t ) , a kimeneti sebesség arányos x(t) x ? ( t ) -vel (a gyógyszerek nagy része ilyen);

  • nulladrendű kinetika: O(t)=k

    O ? ( t ) = k , állandó kimeneti sebesség: az alkohol ürül ki ilyen szabály szerint;

  • vegyes kinetika, például: O(t)=kmin(x(t), K)

    O ? ( t ) = k ? min ? ( x ? ( t ) , K ) .

Kétrekeszes rendszerek

Most kapcsoljunk össze két rekeszt, ekkor mindkettő bemenete és kimenete állhat az egymásba való áramlásból és az önálló be- és kimenetekből. Az egymás közti áramlást lineárisnak tekintjük, az áramlás sebessége arányos a forrásrekeszben levő anyagmennyiséggel. A jelöléseket az alábbi ábra mutatja:

A rendszer viselkedését leíró (esetleg általánosított) egyenletrendszer most

x_1'(t)=I_1(t)–O_1(t)–c_(12)x_1(t)+c_(21)x_2(t) x_2'(t)=I_2(t)–O_2(t)–c_(21)x_2(t)+c_(12)x_1(t) x 1 ' ? ( t ) = I 1 ( t ) - O 1 ( t ) - c 12 ? x 1 ( t ) + c 21 ? x 2 ( t ) ? x 2 ' ? ( t ) = I 2 ( t ) - O 2 ( t ) - c 21 ? x 2 ( t ) + c 12 ? x 1 ( t ) (11.1.2)

Amennyiben a két rekesz közötti áramlás során anyagfelszívódás van, akkor az áramlási sebességek (konstansok) különbözhetnek a két rekeszben.

Példaként tekintsünk egy megközelítően valós rendszert, amelyben az első rekesz az érrendszer, a második rekesz pedig a szervezet többi része. Tegyük fel, hogy kiürülés csak a második rekeszből van lineáris kinetika szerint (O_2(t)=O_0x_2(t)

O 2 ( t ) = O 0 ? x 2 ( t ) ) és az érrendszerbe való visszaáramlás elhanyagolható (c_(21)=0 c 21 = 0 ). A beteg a gyógyszert intravénásan kapja (I_2(0)=0 I 2 ( 0 ) = 0 ). Feltételezzük, hogy az anyag a vérben azonnal szétterjed. Állandó sebességű infúzió esetén (I_1(t)=I_0) ( I 1 ( t ) = I 0 ) az egyenletek alakja:

x_1'(t)=I_0–c_(12)x_1(t) x_2'(t)=–O_0x_2(t)+c_(12)x_1(t) . x 1 ' ? ( t ) = I 0 - c 12 ? x 1 ( t ) x 2 ' ? ( t ) = - O 0 ? x 2 ( t ) + c 12 ? x 1 ( t ) . (11.1.3)

Ha a beteg a gyógyszert injekció formájában kapja (minden egyes t_i

t i pillanatban I_i I i dózist), akkor a rendszert impulzív rendszerrel lehet leírni:

x_1'(t)=–c_(12)x_1(t), x_2'(t)=–O_0x_2(t)+c_(12)x_1(t), ha t?t_i, x_1(t_i+0)=x_1(t_i–0)+I_i . x 1 ' ? ( t ) = - c 12 ? x 1 ( t ) , x 2 ' ? ( t ) = - O 0 ? x 2 ( t ) + c 12 ? x 1 ( t ) , ha ? t ? t i , x 1 ( t i + 0 ) = x 1 ( t i - 0 ) + I i . (11.1.4)

N-rekeszes rendszerek

Ha a beteg a gyógyszert tabletta formájában kapja, akkor a tabletta önmaga is egy, a modern nyújtott hatású készítmények esetén több rekeszként veendő figyelembe. Továbbá, bizonyos esetekben a szervezet különböző részeit, a gyomrot, mint közvetítő rekeszt, a vesét, májat mint tárolókat és kiválasztó rekeszeket, és még számos más szervet külön rekesznek kell tekinteni a pontosabb, valósághű modellezés érdekében. N rekesz esetén az i-edik rekeszben az anyag mennyiségét x_i(t)

x i ( t ) , a bemeneti sebességet I_i(t), I i ( t ) , a kimeneti sebességet O_i(t) O i ( t ) , az i-ik rekeszből a j-ikbe való áramlás sebességét pedig c_(ij)x_i(t) c ij ? x i ( t ) jelöli.

Általánosítások

A fent vázolt modellekben nem foglalkoztunk azzal, hogy az áramlásnak időre van szüksége, illetve ezt az időt elhanyagoltuk. Realisztikusabb modellekben ezt is figyelembe kell venni. Ekkor az átáramlás sebessége a késleltetés miatt c_(ij)x_i(t–?_(ij)),

c ij ? x i ( t - ? ij ) , ahol ?_(ij) ? ij az i-edik és j-edik rekeszek közti áramláshoz szükséges idő. Ekkor a vizsgálat már a késleltetett differenciálegyenletek elméletét igényli. Ezekkel a könyv keretei között nem foglalkozunk. A rekeszrendszerek matematikai vizsgálatának nagy az irodalma. Néhányat az irodalomjegyzékben felsorolunk (Anderson [32], Győri [39-41]).