Karsai János
Typotex
Az előző pontban vizsgált egyrekeszes modellek ugyan nem foglalkoznak a gyógyszert befogadó szervezet inhomogenitásával, de elég jól megközelítik az infúzó és injekció ismételt beadása esetén a gyógyszer mennyiségének valódi változását. Tabletták, kapszulák beadásánál ez a modell már nem alkalmazható. Ugyanis általában a bevett gyógyszer (1. rekesz) a gyomorba (nyelv alá, ..., valamilyen közbülső rekeszbe) kerülve (2. rekesz) fokozatosan oldódik ki. Onnan szívódik fel a vérbe (3. rekesz) és úgy kerül a szervezet többi részébe (újabb rekeszek). Egyszerűsítésként a szervezet bizonyos rekeszei összevonhatók. Megjegyezzük, hogy absztrakt esetekben a folyamatot leíró görbék alakjának meghatározásához az összevonás megtehető, konkrét gyógyszerek esetén azonban nem csupán a görbe alakja, hanem azok pontos viselkedése is lényeges, ezért ekkor az egyszerűsítésekkel óvatosan kell bánni. A tablettát jelentő rekesszel viszont a szervezet semmiképpen sem vonható össze. A tabletta bevételekor a neki megfelelő rekesz kezdeti értéket, impulzust kap, ami folyamatosan kiürül.
Tekintsük először a rendszer struktúráját, majd az egyes adagolási módokkal foglalkozunk.
Az első rekeszbe mint közvetítő rekeszbe kerül a gyógyszer, vagy a rekesz maga a bevett gyógyszer, aminek sebességét az
[D]
[D]
[D]
[D]
A rendszer alakja általános értelemben vett differenciálegyenletként írható fel. Ha a bemenet impulzív, akkor az egyenletben a Dirac-féle ? függvény szerepel, amit impulzív rendszerré írhatunk át.
![]() [D] | (11.3.1) |
Részletesen a lineáris kinetika szerinti kioldódás és kiürülés eseteivel fogalkozunk. Más kinetikák vizsgálatát az olvasóra bízzuk (lásd a feladatokat az előző fejezetben). Lineáris kinetikák esetén az alábbi speciális eseteket vizsgáljuk.
A rendszer egy dózis beadása esetén (nincs bemeneti függvény, a dózist az
[D]
![]() [D] | (11.3.2) |
A rendszerbe állandó I0 sebességgel kerül hatóanyag:
![]() [D] | (11.3.3) |
A rendszerbe minden
[D]
[D]
![]() [D] | (11.3.4) |
Egy dózis bevitele
Tekintsük most a gyógyszer mennyiségének változását egy
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Az FGen
és ODEICGen
függvények a DSolve
paramétereit állítják elő a var
és xydot
változókból.
A grafikonon jól fogjuk látni, hogy a hatóanyag fokozatosan kerül át az első rekeszből a másodikba, majd onnan kiürül. A gyógyszer mennyisége mindkét rekeszben exponenciálisan csökken.
[D]
[D]
Ha
[D]
koordináták menete hasonló az előző ábrán látottakkal. A megoldást és az ábrázolást az olvasóra bízzuk.
Folyamatos bevitel
Tekintsük most az infúziós jellegű folyamatos gyógyszerbevitelt. A bevitt anyag mennyiségének megfelelő szinten tartásához kórházi körülmények között a legmegfelelőbb az infúzió. Tegyük fel, hogy az infúzió áramlási sebessége állandó, I0. Ekkor a változást a (11.3.3) kezdetiérték-probléma írja le, ha nem adunk kezdő dózist. A megoldások formális ismerete most is hasznos lesz.
[D]
A rendszer egyensúlyi helyzete:
[D]
[D]
Mivel a homogén rendszer zérómegoldása globálisan aszimptotikusan stabilis, ez az egyensúlyi helyzet is az. A paraméterek és a terápiás szint ismeretében az I0 beviteli sebesség meghatározható. A rendszer megoldását az alábbiak szerint kapjuk
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Formálisan eltérő, de lényegében hasonló a görbék alakja a
[D]
A számítógépes megoldást és ábrázolást az olvasóra hagyjuk.
Tablettás adagolás
Most a gyógyszert adagokban, tablettánként juttassuk be az első rekeszbe. Vizsgáljuk meg a (11.3.4) impulzív rendszer tulajdonságait. Most az egyenlő időközönkénti
[D]
[D]
![]() [D] | (11.3.5) |
A differenciálegyenletben legyen most is
[D]
[D]
Az egységnyi adagok időegységenként követik egymást:
[D]
[D]
[D]
[D]
Egyéb adatok:
[D]
Oldjuk meg a rendszert és ábrázoljuk a megoldások koordinátáit:
[D]
[D]
[D]
Látható, hogy két impulzus között a megoldás a homogén (11.3.2) rendszer megoldása. Globálisan a megoldások átlagban megfelelnek a (11.3.3) inhomogén rendszer megoldásainak. Matematikailag ez éppen a folyamatos hatások pontszerű hatásokkal való közelítésének módszerét illusztrálja. A továbbiakban megvizsgáljuk az adagolás paramétereinek hatását a megoldások viselkedésére.
[D]
Nyomtatásban az első és utolsó képkockákat láthatjuk.
[D]
Most az első dózist a t0 pillanatban adjuk be, azaz az animáció során az
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Nyomtatásban az első (nincs ismételt dózis) és utolsó képkockákat láthatjuk.
[D]
A periodikus megoldás létezéséről
Az egyrekeszes modellel kapcsolatos észrevételeink most is helytállóak. A rendszernek nincs konstans egyensúlyi állapota, de a rendszer periodikus, a megoldások korlátosak (ellenőrizendő!), ezért létezik egy globálisan aszimptotikusan stabilis periodikus megoldás. A periodikus megoldás
[D]
[D]
[D]
[D]
Kísérletek, feladatok
Vizsgáljuk meg ugyanazokat a problémákat, amelyeket már az egyrekeszes modell esetén is tekintettünk.
11.3.1. Feladat.
A gyakorlatban az adagolás ritkán egyenletes, esetleg a beteg elfelejti bevenni a gyógyszert, vagy véletlenszerűen duplán veszi be. Végezzünk kísérleteket ezekre az esetekre is. Ha például a beteg reggel hatkor, délben, és este kap gyógyszert, akkor
[D]
A véletlenszerű változás leírására használjuk a Random
függvényt. Például
[D]
11.3.2. Feladat.
Vizsgáljuk meg a rendszer viselkedését, ha az első rekeszből való felszívódás vagy a második fő rekeszből való kiürülés nem elsőrendű kinetika szerint történik. Próbáljuk ellenőrizni a kísérletek eredményét számításokkal is. Emlékeztetőül, valamely az u függvényre gyakorolt hatás nulladrendű, ha u deriváltjában
[D]
alakban jelenik meg, ahol figyelembe vesszük, hogy az anyag véges időn belül elfogy. Vegyes kinetika esetén a deriváltban megjelenő alak
[D]
ahol K a két törvény érvényességét elválasztó küszöbérték, ami kísérleti úton ismert.
11.3.3. Feladat.
Határozzuk meg a (11.3.5) rendszerben az impulzusok paramétereit úgy, hogy
[D]