Tekintsünk egy populációt (állat, növény stb.), jelölje

x ? ( t ) a populáció egyedeinek számát. Tegyük fel, hogy a populációt egy egyed sem hagyja el, nincs halálozás, és a szaporodásnak a környezet sem szab határt. Az

[D]

x ? ( t ) értékei nyilván egész számok, de nagy elemszám esetén folytonosnak és differenciálhatónak tekinthetjük. Tegyük fel továbbá, hogy a szaporodás egy pillanat alatt végbemegy, nincs eltolódás a fogamzás és a szaporodás ideje között. Minden új egyed azonos időnként születik. Ekkor a születések időbeli eloszlása egyenletes. Ezért a népesség számának megváltozása

[D]

? t idő alatt

[D]

? x = ? ? x ? ? t , ahol ? statisztikusan meghatározott arányossági tényező (változási ráta). Ha

[D]

?t › 0 , az ismert

egyenletet kapjuk.

Ha az adott populációban van születés és halálozás, akkor

x ? ( t ) változására

[D]

? x = ? S - ? H , ahol

[D]

? S és

[D]

? H a

[D]

?t alatti születések és halálozások száma. Innen a ?t idő alatti átlagos változás

Ha a populáció elég nagy, és feltesszük, hogy

? S = ? ? x ? ? t ,

[D]

? H = ? ? x ? ? t , akkor

[D]

?t › 0 esetén kapjuk, hogy

ahonnan

A fenti érvelések alapján a Malthus modell szerint változó populáció változását ugyanaz a homogén lineáris

egyenlet írja le, amely a gyógyszerfelszívódásnál is fontos szerepet játszott. Ha

k ///>/// 0 , akkor

[D]

x exponenciálisan növekszik, ha

[D]

k ///</// 0 , akkor csökken. Az egyenlet megoldása

[D]

x ? ( t ) = x 0 ? ? k ? t , ahol

[D]

x 0 ? 0 az egyedek száma a kezdeti pillanatban. Negatív kezdeti értéknek itt nincs értelme.

Bár jól ismert az egyenlet megoldása, ábrázoljuk az iránymezőt és egy megoldást is az

x ' = x , x ? ( 0 ) = 0.1 esetben.

Adott populációk esetén a k változási rátát mérési adatok alapján görbeillesztéssel határozzák meg. Lásd a könyv bővített CD-változatának M2.5 fejezetét.

A populáció szabályozása

Ezt a populációt szabályozni kell. A

k ///>/// 0 esetben cél

[D]

x ? ( t ) adott korlát alatt tartása, azaz az egyedek számát egyenletesen vagy időnként csökkenteni kell. Ezt nevezzük lehalászásnak. A

[D]

k ///</// 0 esetben pedig

[D]

x ? ( t ) -nek adott minimális érték felett kellene maradnia, vagyis a csökkenést pótolni kell. Két kézenfekvő lehetőséggel, az állandó sebességű és impulzív szabályozással foglalkozunk. Előbb áttekintjük a különböző eseteket, majd a további pontokban kísérleteket végzünk.

Egyszerű szabályozás a folyamatos

B0 ( t , x ) sebességű betelepítés. Ha ez függ az x-től, akkor a szabályozás figyeli az egyedek számát, egyébként pedig rögzített szabály szerint történik. Ekkor a változás egyenlete:

Impulzív szabályozás esetén valamely

t i időpillanatokban

[D]

( i = 1 , 2 , ... ) növeljük meg az egyedek számát valamely

[D]

B i ( x ? ( t i - 0 ) ) ///>/// 0 értékkel. Ekkor az

impulzív rendszert kapjuk. Ilyen eset például az ivadékok rendszeres kihelyezése halastavakba.

Végezhetünk állapotfüggő szabályozást is. Ha az egyedek száma a kritikus

x min értéket eléri, akkor történjék betelepítés. Ekkor a rendszer az alábbi alakú:

Vegyük észre, hogy pontosan ugyanezeket a rendszereket kaptuk az egyszerű egyrekeszes gyógyszeradagolási modelleknél is.

A

k ///</// 0 esethez hasonló szabályozási stratégiákat követünk. A túlszaporodás elkerülésére csökkentsük az egyedek számát folyamatosan

[D]

B0 ( t , x ) sebességgel. A tavakban való folyamatos horgászat ilyen szabályozás. Ekkor a változás egyenlete:

Impulzív szabályozás esetén valamely

t n időpillanatokban

[D]

( n = 1 , 2 , ... ) csökkentsük az egyedek számát valamely

[D]

B n ( x ? ( t n - 0 ) ) ///>/// 0 értékkel. A halastavak időszakonkénti lehalászása felel meg ennek a modellnek. Ha

[D]

B n ( x ? ( t n - 0 ) ) ? x ? ( t n - 0 ) , akkor a populáció kihal. Ekkor az

impulzív rendszerhez jutunk, ahol

( . ) + valamely szám pozitív része. Emiatt a rendszer nemlineárissá válik.

Az állapot figyelése esetén akkor történik szabályozás, ha az egyedek száma elér egy kritikus

x max értéket. Ekkor a rendszer az alábbi alakú:

Egyenletes lehalászás

Most tekinstük az egyenletes sebességű lehalászást, amelyet az

inhomogén lineáris egyenlet ír le, ahol

k ///>/// 0 és

[D]

B0 ///>/// 0. Az

[D]

x ? ( 0 ) = x0 kezdőértékhez tartozó megoldás:

xdot = { k ? x - B0 } ;

thsol [ t_ ] = x [ t ] /. ? DSolve [ ODEICGen [ xdot , { x0 } , { 0 , t } , { x } ] , x [ t ] , t ] [ 1 ]

B0 - B0 ? ? k ? t + ? k ? t ? k ? x0 k

Az egyenlet egyensúlyi helyzete pedig:

Solve [ xdot == 0 , x ]

{ x › B0 k }

Ez az egyensúlyi helyzet instabilis (használjuk az

( x - B0 k ) 2 Ljapunov függvényt). Az

[D]

x0 ///>/// B0 k tulajdonságú megoldások exponenciálisan növekednek. Ha

[D]

x0 ///</// B0 k , akkor a megoldások exponenciálisan csökkennek, és a

pillanatban a populáció kihal. Ez a szabályozási mód nem működik elvárásainknak megfelelően. Azt sem várhatjuk, hogy az ezzel analóg impulzív rendszer rögzített pillanatokban ható impulzusokkal is hatékony legyen. Ábrázoljuk a fenti program segítségével az iránymezőt és néhány megoldást az alábbi paraméterekkel:

parm = ? { k › 1 , B0 › 1 } ; x0rul = { { x0 › 0.9 } , { x0 › 1.1 } } ;

plv0 = PlotVectorField [ { 1 , xdot [ 1 ] } /. ? parm , { t , 0 , 2 } , { x , 0 , 2 } ] ;

pls0 = Plot [ Evaluate [ thsol [ t ] /. ? parm /. ? x0rul ] , { t , 0 , 2 } ] ;

Show [ plv0 , pls0 , Axes › True , AspectRatio › 0.5 ] ;

Kvadratikus lehalászás: logisztikus növekedés

Láttuk, hogy a konstans sebességű lehalászás nem alkalmas a Malthus modell szerint változó populáció szabályozására. Ismerve a lineáris inhomogén egyenletek megoldásainak általános alakját, könnyű látni, hogy hasonló problémával találkoznánk, ha a szabályozás az idő függvénye lenne (ellenőrizzük kísérletekkel is). Ha a szabályozó függvény

B0 ? x ? ( t ) alakú, akkor az egyenlet alakja

[D]

x ' = ( k - B0 ) ? x , ami szintén nem képes szabályozni. Most tekinstünk kvadratikus sebességű (vagy magasabb hatvány szerinti) lehalászást, amelyet az

egyenlet ír le

( k ///>/// 0 és B0 ///>/// 0 ) . Ez az egyenlet

alakban is írható. Ezzel olyan szabályozást definiálunk, amely matematikailag azonos a logisztikus szaporodási folyamatot leíró rendszerrel. Az ilyen rendszerekkel a következő pontban foglalkozunk. Írjuk fel az általános megoldást, és majd a következő pontban megkeressük az ezzel analóg impulzív szabályozást. Az előző megoldóprogram utasításait használjuk.

xdot = { k ? x - B0 ? x 2 } ;

? k ? t ? k ? x0 k + B0 ? ? k ? t ? x0 - B0 ? x0

Az egyenlet egyensúlyi helyzetei pedig:

Ábrázoljuk az iránymezőt és néhány megoldást az alábbi paraméterekkel:

parm = ? { k › 1 , B0 › 1 } ; x0rul = { { x0 › 0.2 } , { x0 › 1.2 } } ;

Láthatjuk, és a stabilitási kritériumokkal igazolhatjuk, hogy az

x = 0 egyensúlyi helyzet instabilis, az

[D]

x = k B0 pedig aszimptotikusan stabilis, és minden pozitív megoldás ehhez tart, ha

[D]

t › ? . Éppen ezt szerettük volna elérni a szabályozással.

Impulzív lehalászás: korlátos növekedés

Keressünk olyan impulzív rendszert, mely az előző pontban leírt szabályozó rendszerhez hasonló eredményt ad. A

k ? x - B0 ? x 2 sebesség két egymást követő impulzus között eredményezzen ugyanakkora változást a közönséges differenciálegyenlet megoldásainál, mint az impulzív rendszer. Ha

[D]

t i = i ? T és T elegendően kicsi, akkor az

közelítő egyenlőségnek kellene teljesülni a

B i impulzusra. Ha az impulzusok közt eltelt idő elegendően kicsi és állandó, akkor némi számolás és becslés után az alábbi rendszerhez jutunk:

valamilyen

B1 ? ( ? B0 ) konstanssal. Az impulzus alakjából azonnal látható, hogy nagy x értékek esetén negatív megoldást eredményezne, ami ebben a modellben a kihalást jelentené. Ez a példa is mutatja, hogy nemlineáris rendszerek esetén adott közönséges modellhez nem mindig egyszerű analóg impulzív rendszert találni.

Próbáljunk olyan impulzív szabályozást bevezetni, ami a logisztikus növekedéshez hasonló megoldásokat ad. Vegyük észre, hogy a közönséges (12.1.9) egyenletben kis x-ek esetén a kvadratikus szabályozás hatását nagy x-ek esetén fejti ki úgy, hogy minden pozitív megoldás korlátos marad és egy aszimptotikusan stabilis egyensúlyi helyzethez tart.

Tegyük fel, hogy egyenlő időközökben ugyanaz az impulzusfüggvény hat, vagyis

B i ( . ) = B ? ( . ) . Biztosan korlátos megoldásokat kapunk, ha a megoldások nagy értékeire teljesül az

feltétel, amit egy adott impulzus függvény esetén ellenőrizni tudunk, mivel

Az alábbiakban két speciális alakú impulzust tekintünk. A rendszer tulajdonságainak formális ellenőrzését az olvasóra bízzuk.

Alkalmazhatunk

alakú impulzust, ahol

0 ///</// ß ///</// 1 . Az olvasó ellenőrizheti és kísérleteink is megerősítik, hogy ez az impulzus teljesíti a megoldások korlátosságát biztosító feltételt. Ekkor kis egyedszám esetén is beleavatkozunk a folyamatba. Legyen

[D]

ß = 0.5 . Az egyenlet és a megoldás paraméterei:

eqnparm = { k › 1. } ; Imax = 50 ; Iparm = { T › N [ 1. ] , B0 › 0.5 } ;

xvar = { x } ; xdot = { k ? x } ;

tn = Table [ i ? T , { i , 0 , Imax } ] ;

Bn = Table [ { B0 } , { i , 0 , Imax } ] /. ? Iparm ;

Imp [ n_ , tn_List , x_List ] := Bn [ n ] ? x ;

Oldjuk meg a rendszert és ábrázoljuk a megoldásokat:

x0tab = { { 0.01 } , { 0.5 } , { 2.5 } } ;

t0 = 0 ; t1 = 30 ; x1 = 0 ; x2 = 3 ;

Sol = IDESolve [ xdot /. eqnparm , xvar , tn /. Iparm , Imp , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ;

PlotSol = Plot [ Evaluate [ Sol ] , { t , t0 , t1 } ] ;

Az ábra alapján sejthető, hogy a megoldások egy periodikus megoldáshoz tartanak, ha

t › ? (lásd a fejezet végén a feladatokat).

Alkalmazhatunk olyan impulzust is, amelynek hatása kis x értékekre elhanyagolható a szaporodás saját törvényei mellett, nagy x értékekre pedig erősen konkáv. Ilyen például a logaritmikus

alakú impulzus, ahol

1 ///</// ? . Ez az impulzus is teljesíti a megoldások korlátosságát biztosító feltételt (bizonyítandó). Oldjuk meg a rendszert az előző eset kezdeti értékeivel. A paraméterek, a megoldó és ábrázoló utasítás azonosak az előzővel, csak az impulzusfüggvény alakja más:

Imp [ n_ , tn_List , x_List ] := Bn [ n ] ? Log [ 2 , x + 1 ] ;

Ábrázoljuk a megoldásokat:

Folyamatos figyelés, diszkrét szabályozás

Próbálkozzunk a legegyszerűbb technikával, a folyamatos állapotfigyeléssel. Ha az egyedek száma elér egy maximális megengedett értéket, akkor csökkentjük valamekkora

0 ///</// B ///</// x max mennyiséggel. A rendszer alakja:

Ez az eljárás műszaki berendezéseknél könnyen automatizálható, az ökológiában azonban szervezeti hátteret kell kiépíteni. Sokkal egyszerűbben megvalósíthatók a rögzített algoritmusú, folyamatos figyelést nem igénylő eljárások. Írjuk le a rendszert számítógéppel.

var = { x } ; xdot = { k ? x } ; parm = { k › 1. , xmax › 2. , B › 1. } ;

Impulse = { { x - xmax , { x - B } , 0 } } ;

t0 = 0 ; t1 = 5 ; dt = 0.01 ; x0list = { { 0.5 } } ;

sol = IDERKSolve [ xdot /. ? parm , Impulse /. ? parm , var , x0list , { t , t0 , t1 , dt } ] ;

plv1 = PlotVectorField [ Flatten [ { 1 , xdot } ] /. ? parm , { t , t0 , t1 } , { x , 0 , 2.2 } ] ;

pls1 = ListPlot1 [ sol , PlotJoined › True ] ;

Show [ plv1 , pls1 , Axes › True ] ;

Nyilvánvaló, hogy a változás periodikus az első szabályozó pillanattól kezdve. Innen kezdve az egyedek átlagos száma

atlag = Simplify [ k Log [ xmax ] - Log [ xmax - B ] ? ? Log [ xmax - B ] k Log [ xmax ] k ? k ? t ? ? t ]

B Log [ xmax ] - Log [ - B + xmax ]

Az adott paraméterek mellett:

atlag /. parm

1.4427

Feladatok

12.1.1. Feladat.

Bizonyítsuk be, hogy a rögzített pillanatokban végzett impulzív szabályozások esetén minden megoldás korlátos és aszimptotikusan T-periodikus. A periódussal való eltolástól eltekintve létezik pontosan egy aszimptotikusan stabilis pozitív periodikus megoldás. Határozzuk meg a periodikus megoldás átlagos értékét (lásd a 11.2. fejezetben az ismételt gyógyszeradagolásnál a periodikus megoldás létezésére vonatkozó gondolatmenetet).

12.1.2. Feladat.

Keressünk más hasonló hatású impulzusokat a Malthus modell szabályozására.