Karsai János
Typotex
Tekintsünk egy populációt (állat, növény stb.), jelölje
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
![]() [D] | (12.1.1) |
egyenletet kapjuk.
Ha az adott populációban van születés és halálozás, akkor
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Ha a populáció elég nagy, és feltesszük, hogy
[D]
[D]
[D]
ahonnan
A fenti érvelések alapján a Malthus modell szerint változó populáció változását ugyanaz a homogén lineáris
![]() [D] | (12.1.2) |
egyenlet írja le, amely a gyógyszerfelszívódásnál is fontos szerepet játszott. Ha
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Bár jól ismert az egyenlet megoldása, ábrázoljuk az iránymezőt és egy megoldást is az
[D]
Adott populációk esetén a k változási rátát mérési adatok alapján görbeillesztéssel határozzák meg. Lásd a könyv bővített CD-változatának M2.5 fejezetét.
A populáció szabályozása
Ezt a populációt szabályozni kell. A
[D]
[D]
[D]
[D]
A
[D]
Egyszerű szabályozás a folyamatos
[D]
![]() [D] | (12.1.3) |
Impulzív szabályozás esetén valamely
[D]
[D]
[D]
![]() [D] | (12.1.4) |
impulzív rendszert kapjuk. Ilyen eset például az ivadékok rendszeres kihelyezése halastavakba.
Végezhetünk állapotfüggő szabályozást is. Ha az egyedek száma a kritikus
[D]
![]() [D] | (12.1.5) |
Vegyük észre, hogy pontosan ugyanezeket a rendszereket kaptuk az egyszerű egyrekeszes gyógyszeradagolási modelleknél is.
A
[D]
A
[D]
[D]
![]() [D] | (12.1.6) |
Impulzív szabályozás esetén valamely
[D]
[D]
[D]
[D]
![]() [D] | (12.1.7) |
impulzív rendszerhez jutunk, ahol
[D]
Az állapot figyelése esetén akkor történik szabályozás, ha az egyedek száma elér egy kritikus
[D]
![]() [D] | (12.1.8) |
Egyenletes lehalászás
Most tekinstük az egyenletes sebességű lehalászást, amelyet az
inhomogén lineáris egyenlet ír le, ahol
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Az egyenlet egyensúlyi helyzete pedig:
[D]
[D]
Ez az egyensúlyi helyzet instabilis (használjuk az
[D]
[D]
[D]
pillanatban a populáció kihal. Ez a szabályozási mód nem működik elvárásainknak megfelelően. Azt sem várhatjuk, hogy az ezzel analóg impulzív rendszer rögzített pillanatokban ható impulzusokkal is hatékony legyen. Ábrázoljuk a fenti program segítségével az iránymezőt és néhány megoldást az alábbi paraméterekkel:
[D]
[D]
[D]
[D]
Kvadratikus lehalászás: logisztikus növekedés
Láttuk, hogy a konstans sebességű lehalászás nem alkalmas a Malthus modell szerint változó populáció szabályozására. Ismerve a lineáris inhomogén egyenletek megoldásainak általános alakját, könnyű látni, hogy hasonló problémával találkoznánk, ha a szabályozás az idő függvénye lenne (ellenőrizzük kísérletekkel is). Ha a szabályozó függvény
[D]
[D]
egyenlet ír le
[D]
![]() [D] | (12.1.9) |
alakban is írható. Ezzel olyan szabályozást definiálunk, amely matematikailag azonos a logisztikus szaporodási folyamatot leíró rendszerrel. Az ilyen rendszerekkel a következő pontban foglalkozunk. Írjuk fel az általános megoldást, és majd a következő pontban megkeressük az ezzel analóg impulzív szabályozást. Az előző megoldóprogram utasításait használjuk.
[D]
[D]
Az egyenlet egyensúlyi helyzetei pedig:
Ábrázoljuk az iránymezőt és néhány megoldást az alábbi paraméterekkel:
[D]
Láthatjuk, és a stabilitási kritériumokkal igazolhatjuk, hogy az
[D]
[D]
[D]
Impulzív lehalászás: korlátos növekedés
Keressünk olyan impulzív rendszert, mely az előző pontban leírt szabályozó rendszerhez hasonló eredményt ad. A
[D]
[D]
közelítő egyenlőségnek kellene teljesülni a
[D]
valamilyen
[D]
Próbáljunk olyan impulzív szabályozást bevezetni, ami a logisztikus növekedéshez hasonló megoldásokat ad. Vegyük észre, hogy a közönséges (12.1.9) egyenletben kis x-ek esetén a kvadratikus szabályozás hatását nagy x-ek esetén fejti ki úgy, hogy minden pozitív megoldás korlátos marad és egy aszimptotikusan stabilis egyensúlyi helyzethez tart.
Tegyük fel, hogy egyenlő időközökben ugyanaz az impulzusfüggvény hat, vagyis
[D]
feltétel, amit egy adott impulzus függvény esetén ellenőrizni tudunk, mivel
Az alábbiakban két speciális alakú impulzust tekintünk. A rendszer tulajdonságainak formális ellenőrzését az olvasóra bízzuk.
[D]
Alkalmazhatunk
alakú impulzust, ahol
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Oldjuk meg a rendszert és ábrázoljuk a megoldásokat:
[D]
[D]
[D]
[D]
Az ábra alapján sejthető, hogy a megoldások egy periodikus megoldáshoz tartanak, ha
[D]
[D]
Alkalmazhatunk olyan impulzust is, amelynek hatása kis x értékekre elhanyagolható a szaporodás saját törvényei mellett, nagy x értékekre pedig erősen konkáv. Ilyen például a logaritmikus
alakú impulzus, ahol
[D]
[D]
Ábrázoljuk a megoldásokat:
Folyamatos figyelés, diszkrét szabályozás
Próbálkozzunk a legegyszerűbb technikával, a folyamatos állapotfigyeléssel. Ha az egyedek száma elér egy maximális megengedett értéket, akkor csökkentjük valamekkora
[D]
Ez az eljárás műszaki berendezéseknél könnyen automatizálható, az ökológiában azonban szervezeti hátteret kell kiépíteni. Sokkal egyszerűbben megvalósíthatók a rögzített algoritmusú, folyamatos figyelést nem igénylő eljárások. Írjuk le a rendszert számítógéppel.
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Nyilvánvaló, hogy a változás periodikus az első szabályozó pillanattól kezdve. Innen kezdve az egyedek átlagos száma
[D]
[D]
Az adott paraméterek mellett:
[D]
[D]
Feladatok
12.1.1. Feladat.
Bizonyítsuk be, hogy a rögzített pillanatokban végzett impulzív szabályozások esetén minden megoldás korlátos és aszimptotikusan T-periodikus. A periódussal való eltolástól eltekintve létezik pontosan egy aszimptotikusan stabilis pozitív periodikus megoldás. Határozzuk meg a periodikus megoldás átlagos értékét (lásd a 11.2. fejezetben az ismételt gyógyszeradagolásnál a periodikus megoldás létezésére vonatkozó gondolatmenetet).
12.1.2. Feladat.
Keressünk más hasonló hatású impulzusokat a Malthus modell szabályozására.