Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

12.2. Korlátozott életterű populáció növekedése

12.2. Korlátozott életterű populáció növekedése

A logisztikus növekedés

A valóságban a populációk növekedésének korlátot szab az élelem hiánya, a szűk lakóterület stb. Amikor kevés egyed él, akkor a környezet nem korlátozza a szaporodást (Malthus-féle modell). Nagy egyedszám esetén a környezet korlátozott eltartóképessége miatt a növekedés lelassul. Tegyük fel, hogy az egyedek száma x(t)

x ? ( t ) nem haladhatja meg az A értéket, és a növekedés lényegében arányos az A–x A - x különbséggel. Egy ilyen növekedési folyamatot általában az

x^'=kx^?(A–x)^ß x ' = k ? x ? ? ( A - x ) ß (12.2.1)

egyenlet ír le (k///>///0, ?, ß?1)

( k ///>/// 0 , ? , ß ? 1 ) . Tekinstsük a legegyszerűbb ?=ß=1 ? = ß = 1 esetet:

x^'=kx(A–x). x ' = k ? x ? ( A - x ) . (12.2.2)

Az alkalmazás szempontjából csak a 0?x(t)

0 ? x ? ( t ) esetben van a megoldásoknak értelme. Két egyensúlyi helyzet van, az x=0 x = 0 instabilis, az x=A x = A aszimptotikusan stabilis. A megoldásokat a kísérleteknél ábrázoljuk. A (12.2.2) egyenlet megoldása ismert:

(Ae^(Akt)x0/A+e^(Akt)x0–x0) .
A ? ? A ? k ? t ? x0 A + ? A ? k ? t ? x0 - x0 .

Az előző fejezetben használt utasítások segítségével ábrázoljuk az iránymezőt és két megoldást. Legyen k=2, A=1

k = 2 , A = 1 és x(0)=x0=0.1, 1.3 x ( 0 ) = x0 = 0.1 , 1.3 .

xdot={kx(A–x)}; eparm={k›2,A›1};IC={{x0›0.1},{x0›1.3}}; t0=0;t1=3;

xdot = { k ? x ? ( A - x ) } ; eparm = { k 2 , A 1 } ; IC = { { x0 0.1 } , { x0 1.3 } } ; t0 = 0 ; t1 = 3 ;

A populáció szabályozása

Vizsgáljuk meg, mi történik betelepítés vagy lehalászás esetén. Az állandó sebességű, folytonos perturbációk esetén a folyamatot az

x^'=kx(A–x)+B0. x ' = k ? x ? ( A - x ) + B0 . (12.2.3)

egyenlet írja le. Az analóg impulzív rendszer egyenlő időközönként bekövetkező impulzusokkal az alábbi:

x^'=kx(A–x), t?iT, x(iT+0)=(x(iT–0)+B)_+ x ' = k ? x ? ( A - x ) , t ? i ? T , x ? ( i ? T + 0 ) = ( x ? ( i ? T - 0 ) + B ) + (12.2.4)

ahol B///>///0

B ///>/// 0 betelepítést, B///<///0 B ///</// 0 lehalászást jelent.

Csak a lehalászás egyszerűbb eseteit vizsgáljuk. A betelepítés elemzését és bonyolultabb beavatkozások matematikai és kísérleti vizsgálatát az olvasóra bízzuk.

Folyamatos lehalászás

Most tekintsük a (12.2.3) egyenlet által leírt egyenletes sebességű lehalászást, ahol k///>///0

k ///>/// 0 és B0///>///0 B0 ///>/// 0 . A lehetséges egyensúlyi helyzetek:

xvar={x}; xdot={kx(A–x)–B0};

xvar = { x } ; xdot = { k ? x ? ( A - x ) - B0 } ;

steady=x/.Solve[xdot==0,x]

steady = x /. Solve [ xdot == 0 , x ]

{(Ak–?(A^2k^2–4B0k)/2k),(Ak+?(A^2k^2–4B0k)/2k)}

{ A ? k - A 2 ? k 2 - 4 ? B0 ? k 2 ? k , A ? k + A 2 ? k 2 - 4 ? B0 ? k 2 ? k }

Ha A^2k^2–4B0 k///>///0

A 2 ? k 2 - 4 ? B0 ? k ///>/// 0 (gazdálkodó lehalászás), akkor két pozitív egyensúlyi helyzet van, amelyek közül a nagyobbik aszimptotikusan stabilis, a kisebbik instabilis. Ha A^2k^2–4B0 k///<///0 A 2 ? k 2 - 4 ? B0 ? k ///</// 0 (kipusztítás), akkor nincs egyensúlyi helyzet. A kettő közötti szinguláris A^2k^2–4B0 k=0 A 2 ? k 2 - 4 ? B0 ? k = 0 esetben egy egyensúlyi helyzet van. Az első két esetet vizsgáljuk meg.

  • Gazdálkodó lehalászás

Egy konkrét esetet tekintünk. Különböző kezdeti értékek mellett oldjuk meg az egyenletet és ábrázoljuk a megoldásokat. A rendszer paraméterei:

parm={k›2,A›1, B0›0.25};

parm = { k 2 , A 1 , B0 0.25 } ;

t0=0; t1=5;x1=0; x2=1.5;

t0 = 0 ; t1 = 5 ; x1 = 0 ; x2 = 1.5 ;

x0tab={{1.2},{0.16},{0.146}};

x0tab = { { 1.2 } , { 0.16 } , { 0.146 } } ;

Az egyensúlyi helyzetek:

steady/.parm

steady /. parm

{0.146447,0.853553}

{ 0.146447 , 0.853553 }

A megoldások:

sol=ODESolve[xdot/.parm,xvar,x0tab,{t,t0,t1}];

sol = ODESolve [ xdot /. parm , xvar , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ;

plv01=PlotVectorField[Flatten[{1,xdot}]/.parm,{t,t0,t1},{x,x1,x2},HeadLength›0];

plv01 = PlotVectorField [ Flatten [ { 1 , xdot } ] /. ? parm , { t , t0 , t1 } , { x , x1 , x2 } , HeadLength 0 ] ;

pls01=Plot[Evaluate[sol],{t,t0,t1}];

pls01 = Plot [ Evaluate [ sol ] , { t , t0 , t1 } ] ;

Show[plv01,pls01,Axes›True,PlotRange›{x1,x2}];

Show [ plv01 , pls01 , Axes True , PlotRange { x1 , x2 } ] ;

Az ábrából látható, hogy ha a kezdőérték a két egyensúlyi helyzet között van, akkor a megoldás a nagyobbikhoz tart. Ha a kezdőérték ennél kisebb, akkor a populácó véges időn belül kihal. Bizonyítsuk be ezt a tényt a V(x)=(x–x^_)^2

V ? ( x ) = ( x - x _ ) 2 Ljapunov függvény felhasználásával, ahol x^_ x _ a tekintett egyensúlyi helyzet.

  • Kipusztítás

Tekintsük a fenti egyenletet olyan nagy mértékű lehalászással, amikor egyenletnek már nincs valós egyensúlyi helyzete.

parm={k›2,A›1, B0›0.75}; xvar={x}; xdot={kx(A–x)–B0};

parm = { k 2 , A 1 , B0 0.75 } ; xvar = { x } ; xdot = { k ? x ? ( A - x ) - B0 } ;

t0=0; t1=3;x1=0; x2=1.5;

t0 = 0 ; t1 = 3 ; x1 = 0 ; x2 = 1.5 ;

Az egyensúlyi helyzetek komplexek:

steady/.parm

steady /. parm

{(1/2)–0.353553 i,(1/2)+0.353553 i}

{ 1 2 - 0.353553 ? , 1 2 + 0.353553 ? }

Oldjuk meg az egyenletet a

x0tab={{1.},{1.5}};

x0tab = { { 1. } , { 1.5 } } ;

kezdeti értékekkel, majd ábrázoljuk a megoldásokat (a program az előzővel azonos):

Az ábrából látható, hogy bármely kezdőérték esetén a populáció véges időn belül kihal. Számoljuk ki a kihalás idejét (lásd a fejezet végén a feladatokat).

  • Animáció: a lehalászás mértékétől való függés E

    E

Készítsünk animációt. A rendszerben folytonosan változtatjuk a B0 lehalászási rátát. A fentiekben vizsgált példát tekintjük. A program teljessége kedvéért a rendszert definiáló adatokat megismételjük.

Clear[k,A,B0]

Clear [ k , A , B0 ]

parmanim={k›2,A›1}; xvar={x}; xdot={kx(A–x)–B0};

parmanim = { k 2 , A 1 } ; xvar = { x } ; xdot = { k ? x ? ( A - x ) - B0 } ;

t0=0; t1=3; x1=0; x2=1;

t0 = 0 ; t1 = 3 ; x1 = 0 ; x2 = 1 ;

B0min=0.1; B0max=0.6; B0step=0.05;

B0min = 0.1 ; B0max = 0.6 ; B0 ? step = 0.05 ;

x0tabanim={{.5}};

x0tabanim = { { .5 } } ;

SolAnim=Table[ODESolve[xdot/.parmanim,xvar,x0tabanim,{t,t0, t1}],{B0,B0min,B0max,B0step}];

SolAnim = Table [ ODESolve [ xdot /. parmanim , xvar , x0tabanim , { t , t0 , t1 } ] , { B0 , B0min , B0max , B0step } ] ;

PlotAnim=Table[Plot[SolAnim[[i]],{t,t0,t1},PlotRange›{All,{x1,x2}}, PlotStyle›{RGBColor[1–(0.8 i/Length[SolAnim]),0,0]},AspectRatio›Automatic],{i,1,Length[SolAnim]}];

PlotAnim = Table [ Plot [ SolAnim [ i ] , { t , t0 , t1 } , PlotRange { All , { x1 , x2 } } , PlotStyle { RGBColor [ 1 - 0.8 i Length [ SolAnim ] , 0 , 0 ] } , AspectRatio Automatic ] , { i , 1 , Length [ SolAnim ] } ] ;

  • Stroboszkópikus ábra:

Show[PlotAnim];

Show [ PlotAnim ] ;

Kísérletek, feladatok

12.2.1. Feladat.

Igazoljuk a (12.2.2) egyenlet egyensúlyi helyzeteinek stabilitására vonatkozó állításunkat.

12.2.2. Feladat.

Határozzuk meg (12.2.2) egyenlet általános megoldását a gazdálkodó és kipusztító esetekben. Határozzuk meg a kihaló megoldások kihalási idejét a kezdőértékek függvényében. Mutassuk meg, hogy ezek nem folytathatók a pozitív félegyenesen.

12.2.3. Feladat.

Vizsgáljuk meg a betelepítés hatását a populációra.

Impulzív lehalászás

A folyamatos konstans sebességű lehalászásnak analóg módon a (12.2.4) periodikus impulzív rendszer feleltethető meg. Itt is érvényes, hogy ha túl nagy mértékű a lehalászás, azaz B nagy és/vagy T kicsi, akkor bármely kezdőérték esetén kihalás következik be. A populáció akkor is kihal, ha a lehalaszásá nem túl nagy, de az x0 kezdőérték kicsi. Pontosabban, kihalás csak akkor következik be valamely t_i=iT

t i = i ? T pillanatban, ha x(t_i–0)?B. x ? ( t i - 0 ) ? B . Mivel a differencálegyenlet autonóm, és 0///<///x_0///<///A 0 ///</// x 0 ///</// A esetén a megoldások és a megoldások különbsége is monoton nő, ez csak akkor következhet be, ha x(t_i+0)=x(t_i–0)–B///<///x(t_(i–1)+0) x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) - B ///</// x ? ( t i - 1 + 0 ) . Nyilvánvaló, hogy ha x(t)///>///A, x ? ( t ) ///>/// A , akkor ez a tulajdonság teljesül, ami még nem jelent kihalást. Az ábrázolt példában van olyan x-intervallum, ahol x(t_i–0)–B///>///x(t_(i–1)+0) x ? ( t i - 0 ) - B ///>/// x ? ( t i - 1 + 0 ) . Ilyen esetekben elegendően nagy kezdőértékek mellett a populáció nem hal ki.

Az x(t_i–0)–B=x(t_(i–1)+0)

x ? ( t i - 0 ) - B = x ? ( t i - 1 + 0 ) feltétel szükséges és elegendő ahhoz, hogy egy megoldás periodikus legyen. Részletesen lásd a periodikus rendszerek (7.2. fejezet) ?_(t_i+0,t_(i+1)) ? t i + 0 , t i + 1 monodrómia-leképezését.

A periodicitás feltétele ellenőrizhető, mivel a perturbáció nélküli egyenlet megoldásait ismerjük. Ezért

x(t_i–0)=(Ae^(AkT)x(t_(i–1)+0)/A–x(t_(i–1)+0)+e^(AkT)x(t_(i–1)+0)).
x ? ( t i - 0 ) = A ? ? A ? k ? T ? x ? ( t i - 1 + 0 ) A - x ( t i - 1 + 0 ) + ? A ? k ? T ? x ? ( t i - 1 + 0 ) .

Ezért a megoldás periodicitásának feltétele

x(t_i–0)–B=(Ae^(AkT)x(t_(i–1)+0)/A–x(t_(i–1)+0)+e^(AkT)x(t_(i–1)+0))–B=x(t_(i–1)+0),
x ? ( t i - 0 ) - B = A ? ? A ? k ? T ? x ? ( t i - 1 + 0 ) A - x ( t i - 1 + 0 ) + ? A ? k ? T ? x ? ( t i - 1 + 0 ) - B = x ? ( t i - 1 + 0 ) ,

a z=x(t_(i–1)+0)

z = x ? ( t i - 1 + 0 ) jelöléssel az

(Ae^(AkT)z/A–z+e^(AkT)z)–B=z A ? ? A ? k ? T ? z A - z + ? A ? k ? T ? z - B = z (12.2.5)

másodfokú egyenlet megoldásait keressük. A folytonos lehalászás modelljével analóg módon a periodikus megoldások száma 0, 1 vagy 2. Azt várhatjuk, hogy ha kettő periodikus megoldás van, az egyik aszimptotikusan stabilis, a másik instabilis. Vigyázat! Ez utóbbit a szimulációk során csak a kezdeti érték pontos ismeretében lehet ábrázolni. A (12.2.5) egyenlet megoldásai rendszerparaméterektől való függésének a vizsgálatát az olvasóra hagyjuk. Az alábbi vizsgálatok közös paraméterei:

xvar={x}; xdot:={kx(A–x)}; Clear[Imp,T,I0]; Imax=50; tn:=Table[iT,{i,0,Imax}]; Bn:=Table[{B},{i,0,Imax}]; Imp[n_,tn_List,x_List]:=x–Bn[[n]]/.Iparm;

xvar = { x } ; xdot := { k ? x ? ( A - x ) } ; Clear [ Imp , T , I0 ] ; Imax = 50 ; tn := Table [ i ? T , { i , 0 , Imax } ] ; Bn := Table [ { B } , { i , 0 , Imax } ] ; Imp [ n_ , tn_List , x_List ] := x - Bn [ n ] /. Iparm ;

  • Gazdálkodó impulzív lehalászás

Most egy „gazdálkodó” rendszert tekintünk. A kihalási x(t_i–0)–B///<///x(t_(i–1)+0)

x ? ( t i - 0 ) - B ///</// x ? ( t i - 1 + 0 ) feltétel csak elegendően kicsi x(t_(i–1)+0) x ? ( t i - 1 + 0 ) értékek esetén teljesül. A rendszernek két periodikus „egyensúlya” van. Legyen T=1, B=0.2. T = 1 , B = 0.2 .

Az egyenlet és a megoldás paraméterei:

parm={k›2,A›1};Iparm={T›N[1.],B›0.2};

parm = { k 2 , A 1 } ; Iparm = { T N [ 1. ] , B 0.2 } ;

t0=0;t1=6;x1=0;x2=1.5;

t0 = 0 ; t1 = 6 ; x1 = 0 ; x2 = 1.5 ;

Oldjuk meg a rendszert a 0.05 és 1.5 kezdeti értékekből, majd ábrázoljuk a megoldásokat:

x0tab={{0.05},{1.5}};

x0tab = { { 0.05 } , { 1.5 } } ;

Sol=IDESolve[xdot/.parm,xvar,tn/.Iparm,Imp,x0tab, {t,t0,t1}];

Sol = IDESolve [ xdot /. ? parm , xvar , tn /. ? Iparm , Imp , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ;

plv=PlotVectorField[Flatten[{1,xdot}]/.parm, {t,t0,t1},{x,x1,x2},HeadLength›0];

plv = PlotVectorField [ Flatten [ { 1 , xdot } ] /. ? parm , { t , t0 , t1 } , { x , x1 , x2 } , HeadLength 0 ] ;

pls=Plot[Evaluate[Sol],{t,t0,t1}];

pls = Plot [ Evaluate [ Sol ] , { t , t0 , t1 } ] ;

Show[plv,pls,Axes›True];

Show [ plv , pls , Axes True ] ;

  • Impulzív kipusztítás

Ha minden kezdeti feltétel mellett az x(t_i–0)–B///<///x(t_(i–1)+0)

x ? ( t i - 0 ) - B ///</// x ? ( t i - 1 + 0 ) egyenlőtlenség teljesül, a (12.2.5) egyenletnek nincs valós megoldása, akkor túlhalászásról, kipusztításról beszélünk, mert ekkor a populáció mindig kihal. Erre látunk példákat az alábbiakban.

Az egyenlet és a megoldás paraméterei:

parm={k›2.,A›1.}; Iparm={T-///>///0.1,B-///>///0.1};

parm = { k 2. , A 1. } ; Iparm = { T -///>/// 0.1 , B -///>/// 0.1 } ;

t0=0; t1=2;x1=0; x2=1.5;

t0 = 0 ; t1 = 2 ; x1 = 0 ; x2 = 1.5 ;

Oldjuk meg a rendszert az alábbi kezdeti értékekből, majd ábrázoljuk a megoldásokat (az utasítások azonosak a fenti eset használtakkal):

x0tab={{1.},{1.5}};

x0tab = { { 1. } , { 1.5 } } ;

Vegyük észre, hogy a megoldások alakja átlagban teljesen azonos a folyamatos kipusztító lehalászás esetén kapott görbékkel.

  • Animáció: a lehalászott mennyiség változik E

    E

Láttuk, hogy a gazdálkodásra a lehalászások gyakorisága és nagysága egyaránt hatással van. Változtassuk most a lehalászott mennyiség B nagyságát 0.05 és 0.4 között.

parm={k›2.,A›1.}; Iparm={T›0.5};

parm = { k 2. , A 1. } ; Iparm = { T 0.5 } ;

t0=0;t1=2.5;x1=0;x2=1.3; x0anim={{0.5}};

t0 = 0 ; t1 = 2.5 ; x1 = 0 ; x2 = 1.3 ; x0anim = { { 0.5 } } ;

B1=0.05;B2=0.4;Bstep=0.05;

B1 = 0.05 ; B2 = 0.4 ; Bstep = 0.05 ;

Impulseanim=Table[Plot[Evaluate[IDESolve[xdot/.parm,xvar,tn/.Iparm,Imp,x0anim,{t,t0,t1}]], {t,t0,t1},PlotStyle›{{RGBColor[(B–B1/B2–B1),0,0]}},PlotRange›{x1,x2}],{B,B1,B2,Bstep}];

Impulseanim = Table [ Plot [ Evaluate [ IDESolve [ xdot /. ? parm , xvar , tn /. ? Iparm , Imp , x0anim , { t , t0 , t1 } ] ] , { t , t0 , t1 } , PlotStyle { { RGBColor [ B - B1 B2 - B1 , 0 , 0 ] } } , PlotRange { x1 , x2 } ] , { B , B1 , B2 , Bstep } ] ;

  • Stroboszkópikus ábra:

Show[Evaluate[Impulseanim]];

Show [ Evaluate [ Impulseanim ] ] ;

Az 1D impulzív rendszerekre adott kísérleti séma alapján az olvasó hasonló animációt készíthet, melyben a T érték változik.

Kísérletek, feladatok

12.2.4. Feladat.

Igazoljuk a kísérletek alapján megfogalmazott állításokat.

  • A (12.2.4) egyenlet ismeretében adjunk kritériumot arra, hogy impulzív lehalászás esetén a t_i=iT

    t i = i ? T és B_i=B B i = B esetben ne legyen, illetve legyen egy, vagy kettő periodikus megoldás (a periódussal való eltolástól eltekintve). Vizsgáljuk meg a periodikus megoldások stabilitási tulajdonságait.

  • A gazdálkodó lehalászás esetére adjunk meg kihalási küszöbértéket.

  • Adjunk kritériumot az impulzív kipusztításra az általános, nem feltétlenül egyenlő időközönként bekövetkező impulzusok esetére is.

12.2.5. Kísérlet.

Végezzünk további kísérleteket. Változtassuk meg a rendszert valós körülményeket elképzelve, és ehhez igazítsuk a lehalászás mértékét.

  • Vegyük figyelembe az évszakok hatását. Télen a k növekedési ráta és az A eltartóképesség is alacsonyabb. Ennek megfelelően alakítsunk ki folytonos és impulzív szabályozási stratégiát.

  • Vizsgáljuk meg, mi történik folyamatosan javuló vagy romló életkörülmények esetén. Ne foglalkozzunk most azzal, hogy a változást mi okozza, ne vegyünk figyelembe más fajokat.

12.2.6. Kísérlet.

A valóságban a lehalászott mennyiség és az időpontok sem egyenletesek.

  • Végezzünk kísérleteket egy adott várható érték körül szabályos eloszlás szerint változó paraméterek esetén.

  • Vizsgáljunk nem szabályos eseteket. Valamilyen hirtelen divat a gazdálkodást kipusztítássá változtathatja.