Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

13. fejezet - Oszcillátorok impulzív perturbációval

13. fejezet - Oszcillátorok impulzív perturbációval

13.1. Egy szabadsági fokú oszcillátorok egyenletei

Az impulzív rendszerek speciális tulajdonságaival kapcsolatosan és az egyes módszerek bemutatásánál már többször találkoztunk különböző oszcillátorokkal. Most röviden áttekintjük az egy szabadsági fokú oszcillátorok differenciálegyenleteivel kapcsolatos fogalmakat, ismereteket. A további fejezetekben ezek impulzív analógiáival találkozunk. Részletesebb tárgyalás található például a [8], [9] és [21] monográfiákban.

A harmonikus oszcillátor

Az egyik alapvető differenciálegyenlet, a harmonikus oszcillátor

x''+k^2x=0 x '' + k 2 ? x = 0 (13.1.1)

egyenlete, amelyből az y=x'

y = x ' helyettesítéssel az

x'=y, y'=–k^2x x ' = y , y ' = - k 2 ? x (13.1.2)

alakú rendszert kapjuk. Ez a rendszer rugók kis rezgéseit (ahol –k^2x

- k 2 ? x a rugalmassági erő), a matematikai inga kis lengéseit és elektromos oszcillátorok működését modellezi. A lineáris differenciálegyenletek elméletéből tudjuk, hogy a karakterisztikus egyenlet ?^2+k^2=0, ? 2 + k 2 = 0 , aminek gyökei ?_(1,2)=±ik ? 1 , 2 = ± ? ? k . Ezért az általános megoldás (a 2.2. fejezetben leírtak szerint kaphatjuk meg):

{x(t)›c_1cos(kt)+c_2sin(kt)},
{ x ? ( t ) c 1 ? cos ? ( k ? t ) + c 2 ? sin ? ( k ? t ) } ,

ami Asin(k(t–t_0))

A ? sin ? ( k ? ( t - t 0 ) ) alakba is írható. Az x(0)=x_0 x ? ( 0 ) = x 0 és x'(0)=y_0 x ' ? ( 0 ) = y 0 kezdeti értékekkel

{x(t)›(kx_0cos(kt)+y_0sin(kt)/k)}
{ x ? ( t ) k ? x 0 ? cos ? ( k ? t ) + y 0 ? sin ? ( k ? t ) k }

alakú. A rendszer teljes energiája,

V(x,y)=(k^2x^2/2)+(y^2/2),
V ? ( x , y ) = k 2 ? x 2 2 + y 2 2 ,

konstans a megoldások mentén (lásd a 10. fejezetet). Minden megoldás periodikus (2?/k)

2 ? ? k periódussal, a trajektóriák a fázissíkon origó középpontú körök.

Gerjesztett harmonikus oszcillátor

Ha a rugóra mozgás közben külső erő hat, akkor a rezgést az

x''+k^2x=f(t) x '' + k 2 ? x = f ? ( t ) (13.1.3)

egyenlet, vagy az

x'=y, y'=–k^2x+f(t) x ' = y , y ' = - k 2 ? x + f ? ( t ) (13.1.4)

rendszer írja le. Egy partikuláris megoldást a konstansvariációs módszerrel határozhatunk meg. Speciálisan, az x(0)=0

x ? ( 0 ) = 0 , x'(0)=0 x ' ? ( 0 ) = 0 kezdeti értékekből induló megoldás:

{x(t)›(1/k)((?_0^tcos(k?)f(?)d?)sin(kt)–cos(kt)?_0^tf(?)sin(k?)d?)}
{ x ? ( t ) 1 k ? ( ( ? 0 t cos ? ( k ? ? ) ? f ? ( ? ) ? ? ? ) ? sin ? ( k ? t ) - cos ? ( k ? t ) ? ? 0 t f ? ( ? ) ? sin ? ( k ? ? ) ? ? ? ) }

A legegyszerűbb az f(t)=f_0

f ? ( t ) = f 0 konstans külső hatás. Nyilvánvaló, hogy ekkor az (f_0/k^2) f 0 k 2 konstans megoldás, és az x(0)=0, x'(0)=0 x ? ( 0 ) = 0 , x ' ? ( 0 ) = 0 kezdeti értékekből induló megoldás:

{x(t)›(f_0–f_0cos(kt)/k^2)}.
{ x ? ( t ) f 0 - f 0 ? cos ? ( k ? t ) k 2 } .

Különös jelentőségük van a periodikus külső hatásoknak, amelyek a kényszerrezgéseket eredményezik. Tekintettel a lineáris rendszerekben a szuperpozíció elvére és a periodikus függvények Fourier-féle sorfejtésére, elegendő a konstans és a sin(?t)

sin ? ( ? ? t ) alakú külső hatásokkal foglalkoznunk. Ha k?? k ? ? , akkor létezik d_1sin(?t)+d_2cos(?t) d 1 ? sin ( ? ? t ) + d 2 ? cos ( ? ? t ) alakú periodikus megoldás. Az x(0)=0, x'(0)=0 x ? ( 0 ) = 0 , x ' ? ( 0 ) = 0 kezdeti feltételeknek eleget tevő megoldás:

{x(t)›(ksin(t?)–?sin(kt)/k^3–k?^2)}.
{ x ? ( t ) k ? sin ? ( t ? ? ) - ? ? sin ? ( k ? t ) k 3 - k ? ? 2 } .

Ez a kifejezés egy (k+?)

( k + ? ) és egy (k–?) ( k - ? ) frekvenciájú kifejezés szorzataként is felírható. Ha ??k ? ? k , akkor az utóbbi nagyon kicsi és a lebegés jelenségével találkozunk.

  • Rezonancia E

    E

Ha k=?

k = ? , azaz a gerjesztés frekvenciája azonos a homogén rendszer sajtátfrekvenciájával, akkor a megoldások nem korlátosak. Az x(0)=0 x ? ( 0 ) = 0 , x'(0)=0 x ' ? ( 0 ) = 0 kezdeti feltételeknek eleget tevő megoldás:

{x(t)›(sin(kt)–ktcos(kt)/2k^2)}.
{ x ? ( t ) sin ? ( k ? t ) - k ? t ? cos ? ( k ? t ) 2 ? k 2 } .

A formális vizsgálatok számos tankönyvben megtalálhatók (például [9]). Tanulságos lesz az alábbi animáció a lebegés jelenségének tanulmányozására (a ? konstanst változtatjuk k=1

k = 1 körül).

resonanceanim=Table[Plot[Evaluate[x[t]/.DSolve[{x^('')[t]+x[t]==Sin[?t],x[0]==0,x^'[0]==0}, x[t],t]],{t,0,60},PlotRange›{–20,20}],{?,0.7,1.3,0.05}];

resonanceanim = Table [ Plot [ Evaluate [ x [ t ] /. ? DSolve [ { x '' [ t ] + x [ t ] == Sin [ ? ? t ] , x [ 0 ] == 0 , x ' [ 0 ] == 0 } , x [ t ] , t ] ] , { t , 0 , 60 } , PlotRange { - 20 , 20 } ] , { ? , 0.7 , 1.3 , 0.05 } ] ;

  • A képkockák együtt:

Show[GraphicsArray[Partition[resonanceanim,3]]];

Show [ GraphicsArray [ Partition [ resonanceanim , 3 ] ] ] ;

Harmonikus oszcillátorok konstans fékezéssel

Ha a rugó súrlódó közegben mozog, akkor a legegyszerűbb esetben a mozgást az

x''+ax'+k^2x=0 x '' + a ? x ' + k 2 ? x = 0 (13.1.5)

egyenlet, vagy az y=x'

y = x ' helyettesítés után az

x'=y, y'=–ay–k^2x x ' = y , y ' = - a ? y - k 2 ? x (13.1.6)

rendszer írja le ha a?0

a ? 0 . A rendszer teljes energiájának deriváltja a megoldások mentén V'(x,y)=–ay^2 V ' ? ( x , y ) = - a ? y 2 (Ljapunov módszer, 10. fejezet). Az energia nemnövő a megoldások mentén, a csökkenés mértéke nulla, ha y=0. y = 0. A karakterisztikus egyenlet ?^2+a?+k^2=0, ? 2 + a ? ? + k 2 = 0 , aminek valós gyökei vannak, ha (a/k)?2. a k ? 2. A gyökök komplexek az ellenkező esetben, és tisztán képzetesek, ha a=0 a = 0 . Ezért az általános megoldás ezekben az esetekben különböző. Felírjuk a megoldások általános alakját és ábrázoljuk a trajektóriákat különböző paraméterek mellett. A Mathematica utasítások összeállítását és futtatását gyakorlásként az olvasóra hagyjuk (lásd a 2.2. fejezetet).

  • (a/k)///>///2

    a k ///>/// 2

Két sajátirány van, és minden megoldás exponenciálisan csökken. A megoldások általános alakja:

{{x(t)›e^((1/2)(–a–?(a^2–4k^2))t)c_1+e^((1/2)(?(a^2–4k^2)–a)t)c_2}}.
{ { x ? ( t ) ? 1 2 ? ( - a - a 2 - 4 ? k 2 ) ? t ? c 1 + ? 1 2 ? ( a 2 - 4 ? k 2 - a ) ? t ? c 2 } } .

Ábrázoljunk néhány trajektóriát a k=1, a=3

k = 1 , a = 3 esetben.

  • (a/k)=2

    a k = 2

Az általános megoldás

{x(t)›e^(–(1/2)at)c_1+e^(–(1/2)at)tc_2}.
{ x ? ( t ) ? - 1 2 ? a ? t ? c 1 + ? - 1 2 ? a ? t ? t ? c 2 } .

Egy sajátirány van, minden megoldás exponenciálisan csökken. Ábrázoljunk néhány trajektóriát a k=1, a=2

k = 1 , a = 2 esetben. Csak a paramétereket és az eredményeket mutatjuk.

parm={k›1,a›2};

parm = { k 1 , a 2 } ;

  • (a/k)///<///2

    a k ///</// 2

Most a megoldóprogram is tanulságos. Vezessük be az ?µ=?(a^2–4k^2)

= a 2 - 4 ? k 2 jelölést:

thdampsold3[t_]=Simplify[DSolve[{x^('')[t]+ax^'[t]+k^2x[t]==0},x[t],t]/.?(a^2–4k^2)›iµ/.e^(u_)?ComplexExpand[e^u]]

thdampsold3 [ t_ ] = Simplify [ DSolve [ { x '' [ t ] + a ? x ' [ t ] + k 2 ? x [ t ] == 0 } , x [ t ] , t ] /. ? a 2 - 4 ? k 2 ? ? µ /. ? ? u_ ? ComplexExpand [ ? u ] ]

{x(t)›e^(–(1/2)(at))((c_1+c_2)cos((tµ/2))–i(c_1–c_2)sin((tµ/2)))}

{ x ? ( t ) ? - 1 2 ? ( a ? t ) ? ( ( c 1 + c 2 ) ? cos ? ( t ? µ 2 ) - ? ? ( c 1 - c 2 ) ? sin ? ( t ? µ 2 ) ) }

A komplex alak oka, hogy a Mathematica komplex számokkal dolgozik. Ha c_1

c 1 és c_2 c 2 komplex konjugáltak, akkor kapjuk a szokásos valós alakot:

e^(–(1/2)(at))(cos((tµ/2))c_1+sin((tµ/2))c_2).
? - 1 2 ? ( a ? t ) ? ( cos ? ( t ? µ 2 ) ? c 1 + sin ? ( t ? µ 2 ) ? c 2 ) .

A trajektóriákat már jól ismerjük (k=1, a=0.5)

( k = 1 , a = 0.5 ) .

Az x''+a(t)x'+x=0

x '' + a ? ( t ) ? x ' + x = 0 egyenlet

A konstans együtthatós fékezett oszcillátorok tulajdonságai teljesen ismertek. Egészen más a helyzet akkor, ha a fékezési együttható nem állandó. Tekintsük az alábbi egyenletet (k=1

k = 1 ):

x''+a(t)x'+x=0, x '' + a ? ( t ) ? x ' + x = 0 , (13.1.7)

ahol a(t)?0

a ? ( t ) ? 0 . A mai napig nem sikerült szükséges és elegendő feltételt adni a zérómegoldás aszimptotikus stabilitására. Az ez irányú kutatások vezettek az impulzív fékezés vizsgálatához (13.2. fejezet).

Az energia deriváltját a megoldások mentén az alábbiak szerint kaphatjuk meg:

xydot={y,–a[t]y–x}; V[x_,y_]:=(x^2/2)+(y^2/2)

xydot = { y , - a [ t ] ? y - x } ; V [ x_ , y_ ] := x 2 2 + y 2 2

Simplify[{?_x V[x,y],?_y V[x,y]}.xydot]

Simplify [ { ? x V [ x , y ] , ? y V [ x , y ] } . xydot ]

–y^2a[t]

- y 2 ? a [ t ]

Ezért az energia megváltozása

V(x(t),x^'(t))–V(x(t_0),x^'(t_0))=–?_(t_0)^ta(?)x^'^2(?)d?. V ? ( x ? ( t ) , x ' ( t ) ) - V ? ( x ? ( t 0 ) , x ' ( t 0 ) ) = - ? t 0 t a ? ( ? ) ? x ' 2 ( ? ) ? ? ? . (13.1.8)

Tekintsük át az aszimptotikus stabilitással kapcsolatos legfontosabb tulajdonságokat. Megjegyezzük, hogy minden megoldás vagy oszcillál, vagy monoton a [0,?] félegyenesen (bizonyítsuk be!). Ezután minden példában az alábbi paraméterekkel dolgozunk:

xyvar={x,y}; t0=0; t1=30; x0tab={{0,1},{1,0}};

xyvar = { x , y } ; t0 = 0 ; t1 = 30 ; x0tab = { { 0 , 1 } , { 1 , 0 } } ;

Általában egy, ahol szükséges két lineárisan független megoldást határozunk majd meg. A programokat csak a 13.1.1. példa tartalmazza.

  • Alulfékezés

Ha az a(t)

a ? ( t ) együttható túl kicsi, ?_(t_0)^ta(?)d?///<///?, ? t 0 t a ? ( ? ) ? ? ? ///</// ? , akkor az egyenlet megoldásai nem különböznek lényegesen a fékezés nélküli (13.1.1) egyenlet megoldásaitól. Ugyanakkor, mint látni fogjuk, az ?_(t_0)^ta(?)d?=? ? t 0 t a ? ( ? ) ? ? ? = ? feltétel messze nem elegendő a zérómegoldás aszimptotikus stabilitásához. A Hartman tétel (9.1.1. tétel) szerint ez a tulajdonság biztosítja, hogy legalább egy nullához tartó megoldás létezik.

13.1.1. Példa.

a[t_]:=(1/1+t^2);

a [ t_ ] := 1 1 + t 2 ;

Traj[t_]=ODESolve[xydot,xyvar,x0tab,{t,t0,t1}];

Traj [ t_ ] = ODESolve [ xydot , xyvar , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ;

plt1tab=SolPlot[Traj[t],{t,t0,t1},xyvar,AxesOrigin›{0,0},PlotRange›All,PlotPoints›40,GridLines›Automatic];

plt1tab = SolPlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , xyvar , AxesOrigin { 0 , 0 } , PlotRange All , PlotPoints 40 , GridLines Automatic ] ;

  • Túlfékezés

Ha, éppen ellenkezőleg, a fékezés túl gyorsan nő, minden megoldás monoton, a Hartman tétel szerint létezik nullához tartó megoldás, de nem mind jut el az egyensúlyi helyzetig. Ha a(t)?a_0(t)

a ? ( t ) ? a 0 ( t ) , ahol a_0(t) a 0 ( t ) monoton nemcsökkenő és

?_(t_0)^t(1/a_0(?))d?///<///?,
? t 0 t 1 a 0 ( ? ) ? ? ? ///</// ? ,

akkor biztosan túlfékezés van. Ez az eset nem fordulhat elő, ha a(t)

a ? ( t ) konstans!

13.1.2. Példa.

a[t_]=t^2; t0=0; t1=10;

a [ t_ ] = t 2 ; t0 = 0 ; t1 = 10 ;

  • Hatásos fékezés

A két fenti szélső eset között lehet a hatásos fékezés, amely garantálja a zérómegoldás aszimptotikus stabilitását. Egyszerű elegendő feltétel az alábbi:

a_0(t)?a(t)?(1/a_0(t)), ?_(t_0)^?a_0(?)d?=? ,
a 0 ( t ) ? a ? ( t ) ? 1 a 0 ( t ) , ? t 0 ? a 0 ( ? ) ? ? ? = ? ,

ahol a_0(t)

a 0 ( t ) pozitív, monoton nemnövő függvény. Ezen belül, ha a megoldások oszcillálnak, akkor kis fékezésről, ha monotonok, akkor nagy fékezésről beszélünk.

13.1.3. Példa. Kis fékezés

a[t_]:=(1/1+t);

a [ t_ ] := 1 1 + t ;

13.1.4. Példa. Nagy fékezés

a[t_]:=t; t0=0; t1=10;

a [ t_ ] := t ; t0 = 0 ; t1 = 10 ;

Szakaszos fékezés

Ha a (13.1.7) egyenletben a fékezési együttható csak egészen rövid szakaszokon pozitív és mindenütt másutt azonosan nulla, akkor szakaszos fékezésről beszélünk. Ha a pozitív szakaszok éppen valamely megoldás deriváltjának zéróhelye körül helyezkednek el, akkor a derivált csökkenése elhanyagolhatóvá válhat, és ekkor az adott megoldás nem tart nullához. Ez nem fordulhat elő, ha a hatásos szakaszok elegendően hosszúak. Pontosabban, a zérómegoldás globálisan aszimptotikusan stabilis, ha létezik olyan {t_n}

{ t n } sorozat, ?///>///0 ? ///>/// 0 úgy, hogy a(t)?a_n a ? ( t ) ? a n , ha t?[t_n,t_n+?] t ? [ t n , ? t n + ? ] és ?_(n=1)^?a_n=?. ? n = 1 ? a n = ? .

Emlékezve a Dirac-féle ? függvény közelítéseire, ha a hatásos szakaszok hossza igen rövid és a_n›?

a n ? , akkor majdnem pillanatszerű, azaz majdnem impulzív hatástól van szó. Szélső esetben kapjuk az impulzívan fékezett oszcillátorokat (13.2. fejezet).

13.1.5. Példa.

a[t_]=IntegerPart[1.1Sin[t]^2]; t0=0; t1=30;

a [ t_ ] = IntegerPart [ 1.1 Sin [ t ] 2 ] ; t0 = 0 ; t1 = 30 ;

Az a(t)

a ? ( t ) fékezés grafikonja:

Plot[a[t],{t,t0,t1},PlotPoints›100];

Plot [ a [ t ] , { t , t0 , t1 } , PlotPoints 100 ] ;

A megoldások és deriváltjaik:

Figyeljük meg az első megoldást. A fékezés éppen a szélsőértékhelyek közelében hat (illetve alig hat!).

Nemlineáris oszcillátorok

A valós jelenségek általában nem lineárisak. Jól ismert a valódi inga egyenlete

x''+k^2sin(x)=0.
x '' + k 2 ? sin ( x ) = 0 .

Ennek linearizáltja a harmonikus oszcillátor, amely csak kis kitérések esetén közelíti megfelelő pontossággal a valódi mozgást. A sin(x)

sin ? ( x ) harmadfokú Taylor polinomjával (x–(x^3/6)) ( x - x 3 6 ) ismét csak nemlineáris egyenletet kapunk. Lényeges nemlinearitások (a lineáris rész teljesen hiányzik) is megjelenhetnek rugalmassági erőként. Általában a perturbáció nélküli nemlineáris oszcillátorok egyenlete

x''+f(x)=0, x '' + f ? ( x ) = 0 , (13.1.9)

ahol f:R›R

f : R R folytonos és kielégíti az xf(x)///>///0 (x///>///0) x ? f ? ( x ) ///>/// 0 ? ( x ///>/// 0 ) feltételt az origó valamely környezetében. Az egyszerűség kedvéért feltételezhetjük, hogy f páratlan. Ilyenek az f(x)=sin(x) f ? ( x ) = sin ? ( x ) és az f(x)=sign(x)|x^?| f ? ( x ) = sign ? ( x ) | x ? | (?///>///0) ( ? ///>/// 0 ) alakú nemlineáris rugalmassági erők. Az ?///>///1 ? ///>/// 1 esetet szuperlineáris, az 0///<///?///<///1 0 ///</// ? ///</// 1 esetet szublineáris esetnek nevezzük. Ezekben az esetekben az energia az alábbi alakú:

V(x,x')=(x'^2/2)+?_0^xf(u)du=(x'^2/2)+F(x) .
V ? ( x , x ' ) = x ' 2 2 + ? 0 x f ? ( u ) ? ? u = x ' 2 2 + F ? ( x ) .

Ennek deriváltja a megoldások mentén azonosan nulla. Az origónak abban a környezetében, ahol az xf(x)///>///0

x ? f ? ( x ) ///>/// 0 feltétel teljesül, a megoldások periodikusak, de a nemlinearitás miatt a periódus nem állandó. A periódus az energiából adható meg. Legyen x(t) x ? ( t ) olyan megoldás, amelyre V(x(t),x'(t))=v_0 V ? ( x ? ( t ) , x ' ? ( t ) ) = v 0 . Ekkor

v_0=(x'^2(t)/2)+F(x(t)),
v 0 = x ' 2 ? ( t ) 2 + F ? ( x ? ( t ) ) ,

ahonnan x'(t)=?(2(v_0–F(x(t))))

x ' ? ( t ) = 2 ? ( v 0 - F ? ( x ? ( t ) ) ) , ha x'(t)?0 x ' ? ( t ) ? 0 és f páratlan, akkor innen a ? periódusra

?(v_0)=4?_0^(F^(–1(v_0)))(1/?(2(v_0–F(u))))du.
? ( v 0 ) = 4 ? 0 F - 1 ? ( v 0 ) 1 2 ? ( v 0 - F ? ( u ) ) ? ? u .

Ez a függvény csak a lineáris esetben konstans. Monoton növő a szublineáris (például f(x)= ^3?x

f ? ( x ) = x 3 ), és csökkenő a szuperlineáris (f(x)=x^3 f ? ( x ) = x 3 ) esetben. Konkrét esetekkel kapcsolatosan lásd a feladatokat. Ez okozza, hogy a fázisépek az idő haladtával összecsavarodnak, ahogyan láttuk a fázistérfogat-kísérleteknél a 9.2. fejezetben.

Az alábbiakban néhány szimulációt végzünk, amelyekben megmutatjuk a megoldásokat a trajektóriákat és az energia változását. Figyeljük meg a ? változását.

xyvar={x,y}; xydot:={y,–Abs[x]^?Sign[x]};

xyvar = { x , y } ; xydot := { y , - Abs [ x ] ? ? Sign [ x ] } ;

t0=0; t1=20;

t0 = 0 ; t1 = 20 ;

13.1.6. Példa. Szublineáris eset: f(x)=x^(1/3)

f ? ( x ) = x 1 / 3

?=(1/3); x0tab={{0,0.3},{0,1.}};

? = 1 3 ; x0tab = { { 0 , 0.3 } , { 0 , 1. } } ;

  • A megoldások:

  • Szuperlineáris eset: f(x)=x^3

    f ? ( x ) = x 3

?=3; x0tab={{0,0.3},{0,1.}};

? = 3 ; x0tab = { { 0 , 0.3 } , { 0 , 1. } } ;

  • A megoldások:

További kísérletek, feladatok

13.1.1. Kísérlet.

Vizsgáljuk meg a fékezés és gerjesztés együttes hatását, speciálisan tekintsük a fékezéses rezonancia esetét. Ellenőrizzük szimulációkkal. „Ellenőrizzük” szimulációkkal a szuperpozíció elvét.

Vizsgáljuk meg az x''+ax'+x=0 és x''+ax'+x=f(t)

x '' + a ? x ' + x = 0 ? és ? ? x '' + a ? x ' + x = f ? ( t ) egyenletek megoldásainak és az energia változásának tulajdonságait, ha a///<///0 a ///</// 0 .

13.1.2. Kísérlet.

Végezzünk kísérleteket a (13.1.7) egyenlet olyan fékezéseire, amelyek nem sorolhatók egyetlen fenti osztályba sem, mint például az a(t)=(1/1+t)+tsin(t)^2

a ? ( t ) = 1 1 + t + t ? sin ? ( t ) 2 fékezés.

13.1.3. Kísérlet.

Végezzünk kísérleteket a fékezéses és gerjesztett nemlineáris rezgésekkel.

13.1.4. Kísérlet.

Mi történik, ha a fékezés nemlineáris, például a(t)|x'|sign(x')

a ? ( t ) | x ' | sign ? ( x ' ) alakú, vagy nem is fékezés, mint például sin(t)x' sin ? ( t ) ? x ' , x'(1–(x')^2) x ' ? ( 1 - ( x ' ) 2 ) . Ezzel kapcsolatosan lásd a 13.5. fejezetet.