Karsai János
Typotex
Tartalom
Az impulzív rendszerek speciális tulajdonságaival kapcsolatosan és az egyes módszerek bemutatásánál már többször találkoztunk különböző oszcillátorokkal. Most röviden áttekintjük az egy szabadsági fokú oszcillátorok differenciálegyenleteivel kapcsolatos fogalmakat, ismereteket. A további fejezetekben ezek impulzív analógiáival találkozunk. Részletesebb tárgyalás található például a [8], [9] és [21] monográfiákban.
A harmonikus oszcillátor
Az egyik alapvető differenciálegyenlet, a harmonikus oszcillátor
![]() [D] | (13.1.1) |
egyenlete, amelyből az
[D]
![]() [D] | (13.1.2) |
alakú rendszert kapjuk. Ez a rendszer rugók kis rezgéseit (ahol
[D]
[D]
[D]
ami
[D]
[D]
[D]
alakú. A rendszer teljes energiája,
konstans a megoldások mentén (lásd a 10. fejezetet). Minden megoldás periodikus
[D]
Gerjesztett harmonikus oszcillátor
Ha a rugóra mozgás közben külső erő hat, akkor a rezgést az
![]() [D] | (13.1.3) |
egyenlet, vagy az
![]() [D] | (13.1.4) |
rendszer írja le. Egy partikuláris megoldást a konstansvariációs módszerrel határozhatunk meg. Speciálisan, az
[D]
[D]
A legegyszerűbb az
[D]
[D]
[D]
Különös jelentőségük van a periodikus külső hatásoknak, amelyek a kényszerrezgéseket eredményezik. Tekintettel a lineáris rendszerekben a szuperpozíció elvére és a periodikus függvények Fourier-féle sorfejtésére, elegendő a konstans és a
[D]
[D]
[D]
[D]
Ez a kifejezés egy
[D]
[D]
[D]
Ha
[D]
[D]
[D]
A formális vizsgálatok számos tankönyvben megtalálhatók (például [9]). Tanulságos lesz az alábbi animáció a lebegés jelenségének tanulmányozására (a ? konstanst változtatjuk
[D]
[D]
A képkockák együtt:
[D]
Harmonikus oszcillátorok konstans fékezéssel
Ha a rugó súrlódó közegben mozog, akkor a legegyszerűbb esetben a mozgást az
![]() [D] | (13.1.5) |
egyenlet, vagy az
[D]
![]() [D] | (13.1.6) |
rendszer írja le ha
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Két sajátirány van, és minden megoldás exponenciálisan csökken. A megoldások általános alakja:
Ábrázoljunk néhány trajektóriát a
[D]
[D]
Az általános megoldás
Egy sajátirány van, minden megoldás exponenciálisan csökken. Ábrázoljunk néhány trajektóriát a
[D]
[D]
[D]
Most a megoldóprogram is tanulságos. Vezessük be az
[D]
[D]
[D]
A komplex alak oka, hogy a Mathematica komplex számokkal dolgozik. Ha
[D]
[D]
A trajektóriákat már jól ismerjük
[D]
Az
[D]
A konstans együtthatós fékezett oszcillátorok tulajdonságai teljesen ismertek. Egészen más a helyzet akkor, ha a fékezési együttható nem állandó. Tekintsük az alábbi egyenletet (
[D]
![]() [D] | (13.1.7) |
ahol
[D]
Az energia deriváltját a megoldások mentén az alábbiak szerint kaphatjuk meg:
[D]
[D]
[D]
![]() [D] | (13.1.8) |
Tekintsük át az aszimptotikus stabilitással kapcsolatos legfontosabb tulajdonságokat. Megjegyezzük, hogy minden megoldás vagy oszcillál, vagy monoton a [0,?] félegyenesen (bizonyítsuk be!). Ezután minden példában az alábbi paraméterekkel dolgozunk:
[D]
Általában egy, ahol szükséges két lineárisan független megoldást határozunk majd meg. A programokat csak a 13.1.1. példa tartalmazza.
Alulfékezés
Ha az
[D]
[D]
[D]
13.1.1. Példa.
[D]
[D]
[D]
Túlfékezés
Ha, éppen ellenkezőleg, a fékezés túl gyorsan nő, minden megoldás monoton, a Hartman tétel szerint létezik nullához tartó megoldás, de nem mind jut el az egyensúlyi helyzetig. Ha
[D]
[D]
akkor biztosan túlfékezés van. Ez az eset nem fordulhat elő, ha
[D]
13.1.2. Példa.
[D]
Hatásos fékezés
A két fenti szélső eset között lehet a hatásos fékezés, amely garantálja a zérómegoldás aszimptotikus stabilitását. Egyszerű elegendő feltétel az alábbi:
ahol
[D]
13.1.3. Példa. Kis fékezés
[D]
13.1.4. Példa. Nagy fékezés
[D]
Szakaszos fékezés
Ha a (13.1.7) egyenletben a fékezési együttható csak egészen rövid szakaszokon pozitív és mindenütt másutt azonosan nulla, akkor szakaszos fékezésről beszélünk. Ha a pozitív szakaszok éppen valamely megoldás deriváltjának zéróhelye körül helyezkednek el, akkor a derivált csökkenése elhanyagolhatóvá válhat, és ekkor az adott megoldás nem tart nullához. Ez nem fordulhat elő, ha a hatásos szakaszok elegendően hosszúak. Pontosabban, a zérómegoldás globálisan aszimptotikusan stabilis, ha létezik olyan
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Emlékezve a Dirac-féle ? függvény közelítéseire, ha a hatásos szakaszok hossza igen rövid és
[D]
13.1.5. Példa.
[D]
Az
[D]
[D]
A megoldások és deriváltjaik:
Figyeljük meg az első megoldást. A fékezés éppen a szélsőértékhelyek közelében hat (illetve alig hat!).
Nemlineáris oszcillátorok
A valós jelenségek általában nem lineárisak. Jól ismert a valódi inga egyenlete
Ennek linearizáltja a harmonikus oszcillátor, amely csak kis kitérések esetén közelíti megfelelő pontossággal a valódi mozgást. A
[D]
[D]
![]() [D] | (13.1.9) |
ahol
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Ennek deriváltja a megoldások mentén azonosan nulla. Az origónak abban a környezetében, ahol az
[D]
[D]
[D]
ahonnan
[D]
[D]
Ez a függvény csak a lineáris esetben konstans. Monoton növő a szublineáris (például
[D]
[D]
Az alábbiakban néhány szimulációt végzünk, amelyekben megmutatjuk a megoldásokat a trajektóriákat és az energia változását. Figyeljük meg a ? változását.
[D]
[D]
13.1.6. Példa.
Szublineáris eset:
[D]
[D]
A megoldások:
Szuperlineáris eset:
[D]
[D]
A megoldások:
További kísérletek, feladatok
13.1.1. Kísérlet.
Vizsgáljuk meg a fékezés és gerjesztés együttes hatását, speciálisan tekintsük a fékezéses rezonancia esetét. Ellenőrizzük szimulációkkal. „Ellenőrizzük” szimulációkkal a szuperpozíció elvét.
Vizsgáljuk meg az
[D]
[D]
13.1.2. Kísérlet.
Végezzünk kísérleteket a (13.1.7) egyenlet olyan fékezéseire, amelyek nem sorolhatók egyetlen fenti osztályba sem, mint például az
[D]
13.1.3. Kísérlet.
Végezzünk kísérleteket a fékezéses és gerjesztett nemlineáris rezgésekkel.
13.1.4. Kísérlet.
Mi történik, ha a fékezés nemlineáris, például
[D]
[D]
[D]