Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

13.2. Harmonikus oszcillátorok impulzív fékezéssel

13.2. Harmonikus oszcillátorok impulzív fékezéssel

Az előző fejezetben foglalkoztunk fékezett oszcillátorok viselkedésével. Vázoltuk, hogy az egyensúlyi helyzet aszimptotikus stabilitása szempontjából kritikus, ha a fékezés a legnagyobb kitérések pillanataiban rövid ideig hat. Kérdés, mit mondhatunk, ha a hatás ténylegesen pillanatszerű, impulzív. Nézzük meg, hogy az x^('')+x=0

x '' + x = 0 egyenlet milyen impulzív perturbációja felel meg az

x^('')+a(t)x^'+x=0 x '' + a ? ( t ) ? x ' + x = 0 (13.2.1)

egyenletben (a(t)?0)

( a ? ( t ) ? 0 ) az a(t)x' a ? ( t ) ? x ' , időben folyamatosan ható fékező hatásnak. Ennek alapja, hogy az

V(x,x^')=(x^2/2)+(x^'^2/2)
V ? ( x , x ' ) = x 2 2 + x ' 2 2

teljes energia valamely (s_1,s_2)

( s 1 , s 2 ) intervallumon való megváltozása, a folyamatos fékezés és az intervallum végpontjaiban ható impulzusok hatása közel azonos legyen. Elvárjuk még, hogy a kapott impulzív rendszer megoldásai folytonosak legyenek.

Ismert az előző fejezetből, hogy az energia megváltozása a (13.2.1) egyenlet valamely x(t)

x ? ( t ) megoldása mentén

V(x(s_2),x^'(s_2))–V(x(s_1),x^'(s_1))=–?_(s_1)^(s_2)a(t)x^'^2(t)dt=–x^'^2(?)?_(s_1)^(s_2)a(t)dt, V ? ( x ? ( s 2 ) , x ' ( s 2 ) ) - V ? ( x ? ( s 1 ) , x ' ( s 1 ) ) = - ? s 1 s 2 a ? ( t ) ? x ' 2 ( t ) ? ? t = - x ' 2 ( ? ) ? ? s 1 s 2 a ? ( t ) ? ? t , (13.2.2)

ahol ??[s_1,s_2]

? ? [ s 1 , s 2 ] . Tegyük fel, hogy az impulzív rendszerben a hatás a s_2 s 2 pillanatra koncentrálódik. Ha t?s_2 t ? s 2 , akkor az impulzív rendszer esetén a mozgást az

x''+x=0
x '' + x = 0

egyenlet írja le, amelynek megoldásai mentén az energia konstans. Ha x(t)

x ? ( t ) az impulzív rendszer megoldása, akkor (figyelembe véve folytonosságát)

V(x(s_2),x^'(s_2))–V(x(s_1),x^'(s_1))=V(x(s_2+0),x^'(s_2+0))–V(x(s_2–0),x^'(s_2–0))=(1/2)(x^'^2(s_2+0)–x^'^2(s_2–0)).
V ? ( x ? ( s 2 ) , x ' ( s 2 ) ) - V ? ( x ? ( s 1 ) , x ' ( s 1 ) ) = V ? ( x ? ( s 2 + 0 ) , x ' ( s 2 + 0 ) ) - V ? ( x ? ( s 2 - 0 ) , x ' ( s 2 - 0 ) ) = 1 2 ? ( x ' 2 ( s 2 + 0 ) - x ' 2 ( s 2 - 0 ) ) .

Ezt összevetve a (13.2.2) egyenlőséggel, kapjuk hogy egy analóg impulzív rendszer az alábbi alakú lehet:

x''+x=0, ha t?t_i, x(t_i+0)=x(t_i–0), x'(t_i+0)=b_ix'(t_i–0), x '' + x = 0 , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) , x ' ? ( t i + 0 ) = b i ? x ' ? ( t i - 0 ) , (13.2.3)

ahol b_i?0,

b i ? 0 , {t_i} { t i } monoton növő végtelenbe tartó sorozat. Nyilvánvaló, hogy az energia ugrása valamely t_i t i -ben

V(x(t_i+0),x^'(t_i+0))–V(x(t_i–0),x^'(t_i–0))=(b_i^2–1)x^'^2(t_i–0), V ? ( x ? ( t i + 0 ) , x ' ( t i + 0 ) ) - V ? ( x ? ( t i - 0 ) , x ' ( t i - 0 ) ) = ( b i 2 - 1 ) ? x ' 2 ( t i - 0 ) , (13.2.4)

ami formálisan valóban analóg a folyamatos fékezés eseteivel (s_1=t_(i–1), s_2=t_i)

( s 1 = t i - 1 , s 2 = t i ) .

Ha visszagondolunk arra, hogy az x''+x=0

x '' + x = 0 egyenlet megoldásai Asin(t–?) A ? sin ? ( t - ? ) alakúak, azonnal látjuk, hogy ha t_(i+1)–t_i=? t i + 1 - t i = ? , akkor mindig van olyan megoldás, amelynek energiája nem változik, ugyanakkor az ilyen rendszereknek átlagban egy

x''+ax'+x=0 (a///>///0)
x '' + a ? x ' + x = 0 ( a ///>/// 0 )

alakú konstans együtthatós egyenlet felelne meg, amiről viszont tudjuk, hogy a megoldásai exponenciálisan nullához tartanak. Mindez alátámasztja, hogy legfeljebb analógiáról, nem ekvivalenciáról lehet szó a két típusú rendszer között.

Az alábbiakban megvizsgáljuk az impulzívan fékezett oszcillátorok megoldásainak viselkedését néhány egyszerű esetben. Foglalkozunk kis és nagy fékezésekkel, a megoldások oszcillációjával. Az egyes problémák kísérleti vizsgálata mellett idézzük a legújabb elméleti eredményeket. Egyes egyszerűbb esetekben vázoljuk a megoldás módját is. A másodrendű rendszert elsőrendű síkbeli rendszerré írjuk át:

x'=y, y'=–x, ha t?t_i, x(t_i+0)=x(t_i–0), y(t_i+0)=b_iy(t_i–0), x ' = y , y ' = - x , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) , y ? ( t i + 0 ) = b i ? y ? ( t i - 0 ) , (13.2.5)

Az alábbi példák közös adatai:

xyvar={x,y}; xydot={y,–x}; V[x_,y_]:=(x^2/2)+(y^2/2);

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x } ; V [ x_ , y_ ] := x 2 2 + y 2 2 ;

x0tab=Table[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2?,(?/4)}];

x0tab = Table [ { Cos [ t ] , Sin [ t ] } , { t , 0 , 2 ? ? , ? 4 } ] ;

13.2.1. Példa. Egy tipikus eset

Tekintsük az alábbi rendszert:

x'=y, y'=–x, ha t?i, x(i+0)=x(i–0), y(i+0)=0.7y(i–0). x ' = y , y ' = - x , ha t ? i , x ? ( i + 0 ) = x ? ( i - 0 ) , y ? ( i + 0 ) = 0.7 ? y ? ( i - 0 ) . (13.2.6)

  • A rendszer és a technikai paraméterek:

T=N[1.];Imax=50;tn=Table[nT,{n,0,Imax}];

T = N [ 1. ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 0 , Imax } ] ;

bn=Table[{1,0.7},{n,1,Imax}];

bn = Table [ { 1 , 0.7 } , { n , 1 , Imax } ] ;

ImpDamp[n_,tn_,xn_List]:=bn[[n]]*xn;

ImpDamp [ n_ , tn_ , xn_List ] := bn [ n ] * xn ;

t0=0;t1=7;dt=T;x1=y1=–1;x2=y2=1;

t0 = 0 ; t1 = 7 ; dt = T ; x1 = y1 = - 1 ; x2 = y2 = 1 ;

A bn lista tartalmazza az impulzusokat. Minden esetben az első elem 1

1 , mert az x koordinátára nem hat impulzus. Határozzuk meg az egységkör pontjaiból induló megoldásokat.

Traj[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpDamp,x0tab,{t,t0,t1}];

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpDamp , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ;

  • A megoldások koordinátái és az energia E

    E

Csak két lineárisan független megoldást ábrázolunk:

SolPlot[Traj[t]/.{u_,v_}›{u,v,V[u,v]},{t,t0,t1},{x,y,V},{{PlotRange›{x1,x2}},{PlotRange›{y1,y2}},{PlotRange›{0,0.5}}}];

SolPlot [ Traj [ t ] /. { u_ , v_ } { u , v , V [ u , v ] } , { t , t0 , t1 } , { x , y , V } , { { PlotRange { x1 , x2 } } , { PlotRange { y1 , y2 } } , { PlotRange { 0 , 0.5 } } } ] ;

  • Fáziskép animáció 3D-ben E

    E

Mivel a fékezett oszcillátorok esetén az egyensúlyi helyzet stabilitása lényeges probléma, a 3D ábrázolásokat célszerű kiegészíteni adott ? időpillanatokban az energia szintvonalaival.

pV3d=PlotContourLine3D[V[x,y],{x,x0,x1},{y,y0,y1},{t,t0,t1,dt},Contours›{0.1,0.2,0.5}];

pV3d = PlotContourLine3D [ V [ x , y ] , { x , x0 , x1 } , { y , y0 , y1 } , { t , t0 , t1 , dt } , Contours { 0.1 , 0.2 , 0.5 } ] ;

tnn=Prepend[Select[tn,Function[u,t0?u?t1]],t0];

tnn = Prepend [ Select [ tn , Function [ u , t0 ? u ? t1 ] ] , t0 ] ;

phv=PhaseVolImpBW[Traj[t],{t,tnn},{Thickness[0.015]}];

phv = PhaseVolImpBW [ Traj [ t ] , { t , tnn } , { Thickness [ 0.015 ] } ] ;

Show[pV3d,phv,PlotRange›All,Axes›True];

Show [ pV3d , phv , PlotRange All , Axes True ] ;

13.2.2. Példa. A kritikus t_(i+1)–t_i??

t i + 1 - t i ? ? eset

Láttuk, hogy ha a megoldás deriváltja zéró az impulzusok pillanataiban, akkor az energia nem csökken. Ezért ha t_(i+1)–t_i??

t i + 1 - t i ? ? , akkor mindig van periodikus megoldás. Ugyanakkor van nullához tartó megoldás is! Ábrázoljuk az egységkör pontjaiból induló megoldásokat. A megoldó és ábrázoló utasítások a fentiekkel azonosak.

  • A rendszer és a technikai paraméterek

T=N[?];Imax=50; tn=Table[nT,{n,0,Imax}];

T = N [ ? ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 0 , Imax } ] ;

bn=Table[{1,0.7},{n,1,Imax}];

bn = Table [ { 1 , 0.7 } , { n , 1 , Imax } ] ;

ImpDamp[n_,tn_,xn_List]:=bn[[n]]*xn;

ImpDamp [ n_ , tn_ , xn_List ] := bn [ n ] * xn ;

t0=0; t1=12;dt=T;x1=y1=–1;x2=y2=1;

t0 = 0 ; t1 = 12 ; dt = T ; x1 = y1 = - 1 ; x2 = y2 = 1 ;

  • A megoldások koordinátái és az energia E

    E

Csak két lineárisan független megoldást ábrázolunk:

Jól látható, hogy az első megoldás energiája nem változik, ugyanakkor a másodiké nullához tart.

  • Fáziskép animáció 3D-ben E

    E

Az egyensúlyi helyzet aszimptotikus stabilitása

Idézzük fel a jellemző eseteket, amelyek a (13.2.1) egyenlet esetén jelentkeztek.

  • Alulfékezés: minden megoldás oszcillál és nem tart nullához, ha t›?.

    t ? .

  • Kis fékezés: minden megoldás oszcillál és nullához tart, ha t›?

    t ? .

  • Nagy fékezés: minden megoldás monoton és nullához tart, ha t›?

    t ? .

  • Túlfékezés: minden megoldás monoton és nem nullához tart, ha t›?.

    t ? .

Az energia (13.2.4) képletét iteratív módon alkalmazva az alábbi állításokhoz jutunk (lásd Karsai–Graef dolgozatait [35–38]).

Ha ?_(i=1)^?b_i///>///0,

? i = 1 ? b i ///>/// 0 , akkor a (13.2.5) rendszer minden megoldása oszcillál és az energia nem tart nullához, ha t›?. t ? . Innen adódik, hogy a

?_(i=1)^?b_i=0 ? i = 1 ? b i = 0 (13.2.7)

feltétel teljesülése szükséges (de messze nem elegendő) az aszimptotikus stabilitáshoz. Mint ahogyan a (13.2.1) egyenlet esetén sincs, a (13.2.5) impulzív rendszerre sem létezik még szükséges és elegendő feltétel erre vonatkozóan.

Láttuk, hogy ha t_(i+1)–t_i=?

t i + 1 - t i = ? , akkor léteznek periodikus megoldások, de nem lezárt még a lim_(i›?) lim i ? (t_(i+1)–t_i)=? ( t i + 1 - t i ) = ? eset. Igaz az alábbi tétel.

13.2.1. Tétel.

Ha természetes számok valamely {i_k}

{ i k } részsorozata esetén 0///<///t_(i_k+1)–t_(i_k)///<///? 0 ///</// t i k + 1 - t i k ///</// ? és teljesül a

?_(k=1)^?(t_(i_k+1)–t_(i_k))^2min(1–b_(i_k)^2,1–b_(i_k+1)^2)=?
? k = 1 ? ? ( t i k + 1 - t i k ) 2 ? min ? ( 1 - b i k 2 , 1 - b i k + 1 2 ) = ?

feltétel, akkor a (13.2.5) rendszer minden megoldása nullához tart, ha t›?.

A feltétel nem szükséges és elegendő, bár igen éles. Az impulzusok idejére vonatkozó feltétel garantálja, hogy bármely két egymás után következő impulzus legalább egyike ne a megoldások szélsőértékhelyeiben hasson (ahol hatástalan lenne). A másik feltétel pedig a (13.2.7) szükséges feltétel enyhén szigorított változata, amelyben a (t_(i_k+1)–t_(i_k))^2

( t i k + 1 - t i k ) 2 kifejezés a túlfékezés elkerülését garantálja. Igaz az alábbi állítás is:

13.2.2. Tétel.

Ha ?_(i=1)^?(t_(i+1)–t_i)^2///<///?

? i = 1 ? ( t i + 1 - t i ) 2 ///</// ? és b_i///<///b///<///1 b i ///</// b ///</// 1 , akkor a rendszer túlfékezett, vagyis a rendszernek létezik nullához nem tartó megoldása.

Megjegyezzük, hogy a 0///<///b_i=b///<///1

0 ///</// b i = b ///</// 1 és 0///<///?///<///t_(i+1)–t_i///<///?///<///? 0 ///</// ? ///</// t i + 1 - t i ///</// ? ///</// ? esetben a fékezés hatásos, nem fordulhat elő se alul-, se túlfékezés. Attraktivitási kritériumaink nem választják szét a kis és nagy fékezés eseteit (nem is mindig lehet). Ehhez oszcillációs kritériumok szükségesek, amelyekkel később foglalkozunk.

Tekintsünk néhány példát. A 13.2.2. példa kritikus esetét elkerülendő, minden példában t_(i+1)–t_i?T///<///?

t i + 1 - t i ? T ///</// ? . A futásidők rövidítése érdekében csak a {0,1} { 0 , 1 } és {1,0} { 1 , 0 } kezdeti feltételekből induló megoldásokat ábrázoljuk. Tanulságos lesz a megoldások koordinátáinak és a trajektóriáknak az ábrázolása is. A Mathematica utasítások azonosak, ezért ezeket csak az első esetben adjuk meg. A további példáknál, ahogyan eddig is tettük, csak a rendszert azonosító utasításokat részletezzük. Minden esetben az alábbi definíciók megegyeznek:

xyvar={x,y};xydot:={y,–x};

xyvar = { x , y } ; xydot := { y , - x } ;

ImpDamp[n_,tn_,xn_]:=bn[[n]]*xn;

ImpDamp [ n_ , tn_ , xn_ ] := bn [ n ] * xn ;

V[x_,y_]:=(x^2/2)+(y^2/2);

V [ x_ , y_ ] := x 2 2 + y 2 2 ;

t0=0;t1=20; x0tab={{0,1},{1,0}};

t0 = 0 ; t1 = 20 ; x0tab = { { 0 , 1 } , { 1 , 0 } } ;

13.2.3. Példa. Alulfékezés

Ellenőrizhető, hogy a b_i=1–(1/i)

b i = 1 - 1 i (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) esetben a rendszer alulfékezett. Ezt támasztják alá a megoldások grafikonjai is.

  • A rendszer és a technikai paraméterek

T=N[1.];Imax=50; tn:=Table[nT,{n,0,Imax}];

T = N [ 1. ] ; Imax = 50 ; tn := Table [ n ? T , { n , 0 , Imax } ] ;

bn:=Table[{1,1–(1/n^2)},{n,1,Imax}];

bn := Table [ { 1 , 1 - 1 n 2 } , { n , 1 , Imax } ] ;

Oldjuk meg a rendszert:

Traj[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpDamp,x0tab,{t,t0,t1}];

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpDamp , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ;

  • A megoldások koordinátái és az energia

SolPlot[(Append[#1,V[#1[[1]],#1[[2]]]]///&///)/@Traj[t], {t,t0,t1},{x,y,V},{{PlotRange›{–1,1}},{PlotRange›{–1,1}},{PlotRange›{0,0.6}}}];

SolPlot [ ( Append [ #1 , V [ #1 [ 1 ] , #1 [ 2 ] ] ] ///&/// ) /@ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , { x , y , V } , { { PlotRange { - 1 , 1 } } , { PlotRange { - 1 , 1 } } , { PlotRange { 0 , 0.6 } } } ] ;

  • A trajektóriák

p0=PhasePlotBW[Traj[t],{t,t0,t1},AxesLabel›{x,y}];

p0 = PhasePlotBW [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel { x , y } ] ;

13.2.4. Példa. Kis fékezés

Legyen b_i=0.7

b i = 0.7 és t_i=i t i = i , ami a (13.2.1) egyenletben valamely a(t)=a///<///2 a ? ( t ) = a ///</// 2 kis fékezésnek felel meg. Ezt az esetet a 13.2.1. példában mutattuk be.

13.2.5. Példa. Nagy fékezés

Legyen most b_i=0.4

b i = 0.4 és t_i=i t i = i ((13.2.1) egyenletben a(t)=a///>///2 a ? ( t ) = a ///>/// 2 eset analógiája).

  • A rendszer és a technikai paraméterek

T=N[1.];Imax=50;tn=Table[nT,{n,0,Imax}];

T = N [ 1. ] ; Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 0 , Imax } ] ;

bn=Table[{1,0.05},{n,1,Imax}]; t0=0;t1=10;

bn = Table [ { 1 , 0.05 } , { n , 1 , Imax } ] ; t0 = 0 ; t1 = 10 ;

  • A megoldások koordinátái és az energia

  • A trajektóriák

13.2.6. Példa. Még nagyobb fékezés

Legyen most b_i=–0.2

b i = - 0.2 és t_i=?i. t i = i . Keressünk analóg (13.2.1) alakú egyenletet!

  • A rendszer és a technikai paraméterek

T=N[1.];Imax=500; tn:=Table[?n,{n,1,Imax}];

T = N [ 1. ] ; Imax = 500 ; tn := Table [ n , { n , 1 , Imax } ] ;

bn:=Table[{1,0.2},{n,1,Imax}]; t0=0; t1=10;

bn := Table [ { 1 , 0.2 } , { n , 1 , Imax } ] ; t0 = 0 ; t1 = 10 ;

  • A megoldások és az energia ábrázolása

  • A trajektóriák

13.2.7. Példa. Túlfékezés

Láttuk, hogy túlfékezés akkor fordulhat elő, amikor

?_(i=1)^?(t_(i+1)–t_i)^2///<///?.
? i = 1 ? ( t i + 1 - t i ) 2 ///</// ? .

Legyen b_i=0.8

b i = 0.8 és t_i= ^3?i t i = i 3 . Megjegyezzük, hogy a megoldás kiszámításának időigénye tetemes lehet.

  • A rendszer és a technikai paraméterek

Imax=1000; tn=Table[ ^3?n,{n,0,Imax}];

Imax = 1000 ; tn = Table [ n 3 , { n , 0 , Imax } ] ;

bn=Table[{1,0.8},{n,1,Imax}]; t0=0;t1=5;

bn = Table [ { 1 , 0.8 } , { n , 1 , Imax } ] ; t0 = 0 ; t1 = 5 ;

  • A megoldások koordinátái és az energia

Az első megoldás „beragad”, a másik pedig nullához tart.

  • A trajektóriák

Megoldások oszcillációja

Tudjuk, hogy a konstans fékezést leíró

x''+ax'+x=0, (a///>///0) x '' + a ? x ' + x = 0 , ( a ///>/// 0 ) (13.2.8)

egyenlet megoldásai (lásd az előző fejezetet) oszcillálnak, ha a///<///2

a ///</// 2 és monotonok, ha a?2 a ? 2 . Ha a fékezési együttható függ az időtől, akkor monotonitást általában egyenletesen nagy (nem ingadozó) fékezés esetén lehet biztosítani. Hasonló a helyzet az impulzív fékezés esetén is. Mint már láttuk, az impulzív fékezés „nagy”, ha t_(i+1)–t_i t i + 1 - t i és b_i b i elegendően kicsi.

Az oszcillációval kapcsolatosan a legújabb kutatások eredményeiből idézünk (az általános eredményeket lásd Graef-Karsai dolgozataiban [35-38]). Külön kísérleteket itt nem végzünk, elegendő utalnunk a kis és nagy fékezés illetve a túlfékezés eseteire adott példákra.

13.2.3. Tétel.

A (13.2.5) rendszer minden megoldása nemoszcilláló, ha az alábbi feltételek valamelyike teljesül.

a)  b_i?b///<///1

b i ? b ///</// 1 és sin(t_(i+1)–t_i)?(1–b/1+b) ( t i + 1 - t i ) ? 1 - b 1 + b ;

b)  b_(i+1)?b_i///<///1

b i + 1 ? b i ///</// 1 és sin(t_(i+1)–t_i)?(1–b_i/1+b_i) sin ? ( t i + 1 - t i ) ? 1 - b i 1 + b i ;

c)  lim_(i›?)b_i=1

lim i ? ? b i = 1 és sin(t_(i+1)–t_i)?(1–b_i/?(2+2b_i^2)) sin ? ( t i + 1 - t i ) ? 1 - b i 2 + 2 ? b i 2 ;

A fenti feltételekből látható, hogy nagy fékezés csak akkor lehetséges, ha az impulzusok hatása nagy (gyakori és nagy impulzusok). Oszcillációt pedig az alábbi állítás biztosít.

13.2.4. Tétel.

A (13.2.5) rendszer minden megoldása oszcilláló, ha b?b_i?1

b ? b i ? 1 és ?_(i=1)^?µ_i=? ? i = 1 ? µ i = ? , ahol

µ_i=(t_(i+1)–t_i–arcsin((1–b/1+b)))_+.
µ i = ( t i + 1 - t i - arcsin ? ( 1 - b 1 + b ) ) + .

Speciálisan, ha t_(i+1)–t_i?T///>///0

t i + 1 - t i ? T ///>/// 0 és sin(T)///>///(1–b/1+b) sin ? ( T ) ///>/// 1 - b 1 + b , akkor minden megoldás oszcillál [0,?)-en.

A fenti tételek feltételei a t_i=iT, b_i=b

t i = i ? T , b i = b esetben szükséges és elegendő feltételt adnak a megoldások oszcillációjára, azaz ebben az esetben a (13.2.5) rendszer minden megoldása akkor és csakis akkor oszcillál [0,?)-en, ha

sin(T)?(1–b/1+b).
sin ? ( T ) ? 1 - b 1 + b .

Ez a feltétel a [0,?)×[0,1]

[ 0 , ? ) × [ 0 , 1 ] halmazt oszcillációs és nemoszcillációs tartományra osztja:

Clear[T,b]; OscillCond=Solve[Sin[T]==(1–b)/(1+b),b]

Clear [ T , b ] ; OscillCond = Solve [ Sin [ T ] ? ( 1 - b ) / ( 1 + b ) , b ]

{{b›(1–sin(T)/sin(T)+1)}}

{ { b 1 - sin ? ( T ) sin ? ( T ) + 1 } }

Plot[b/.OscillCond,{T,0,?},GridLines›Automatic];

Plot [ b /. OscillCond , { T , 0 , ? } , GridLines Automatic ] ;

Most az energiák változása egyezésének elve ((13.2.2)–(13.2.4)) alapján konstruáljunk az x^('')+ax^'+x=0

x '' + a ? x ' + x = 0 egyenlethez (13.2.5) alakú analóg impulzív rendszert elegendően kicsiny T lépésköz esetén. Az

analogeqn=1–b^2==2aT;

analogeqn = 1 - b 2 == 2 ? a ? T ;

egyenlőséget kapjuk, amiből:

analogb=Solve[analogeqn,b][[2]]

analogb = Solve [ analogeqn , b ] [ 2 ]

{b›1. ?(1.–2. a)}

{ b 1. 1. ? - 2. a }

Erre alkalmazva a fenti szükséges és elegendő feltételt, és a T›0

T 0 határátmenetet végrehajtva, a-ra az ismert küszöbértéket kapjuk:

Limit[Solve[Sin[T]==(1–b/1+b)/.analogb,a],T›0]

Limit [ Solve [ Sin [ T ] == 1 - b 1 + b /. ? analogb , a ] , T 0 ]

{{a›2}}

{ { a 2 } }

  • Animáció: Az oszcilláció megszűnése E

    E

Érdekes látni, hogyan változnak át az oszcilláló megoldások nemoszcillálóvá a paraméterek megfelelő változtatásával. Tekintsük a t_i=iT, b_i=b

t i = i ? T , b i = b esetet és legyen

T=0.5;

T = 0.5 ;

Ekkor a fenti számítások alapján a b küszöbértéke

bsep=b/.OscillCond[[1]]

bsep = b /. ? OscillCond [ 1 ]

0.351876

0.351876

Az animáció során T-t rögzítve változtassuk b-t a küszöbérték körül.

xyvar={x,y};xydot={y,–1.x};

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - 1. ? x } ;

Imax=50;tn=Table[nT,{n,1.,Imax}];

Imax = 50 ; tn = Table [ n ? T , { n , 1. , Imax } ] ;

bn=Table[{1.,b},{n,1.,Imax}];

bn = Table [ { 1. , b } , { n , 1. , Imax } ] ;

ImpDamp[n_,tn_,xn_]:=bn[[n]]*xn;

ImpDamp [ n_ , tn_ , xn_ ] := bn [ n ] * xn ;

t0=0.;t1=10.;x1=–1;x2=1.;y1=–1;y2=1.;

t0 = 0. ; t1 = 10. ; x1 = - 1 ; x2 = 1. ; y1 = - 1 ; y2 = 1. ;

bmin=bsep–0.2;bmax=bsep+0.3;bstep=0.1;

bmin = bsep - 0.2 ; bmax = bsep + 0.3 ; bstep = 0.1 ;

  • Megoldás és ábrázolás E

    E

Minden képkockában az első ábra a megoldás x(t)

x ? ( t ) , a második pedig az y(t)=x'(t) y ? ( t ) = x ' ? ( t ) koordinátájának grafikonját tartalmazza.

x0tab={{1.,0.}}; pltanimb=Table[First[SolPlot[IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpDamp,x0tab,{t,t0,t1}], {t,t0,t1},xyvar,{{PlotRange›{x1,x2}},{PlotRange›{y1,y2}}}]],{b,bmax,bmin,–bstep}];

x0tab = { { 1. , 0. } } ; pltanimb = Table [ First [ SolPlot [ IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpDamp , x0tab , { t , t0 , t1 } ] , { t , t0 , t1 } , xyvar , { { PlotRange { x1 , x2 } } , { PlotRange { y1 , y2 } } } ] ] , { b , bmax , bmin , - bstep } ] ;

Show[GraphicsArray[Partition[pltanimb,2]]];

Show [ GraphicsArray [ Partition [ pltanimb , 2 ] ] ] ;

Kísérletek, feladatok

13.2.1. Feladat.

Határozzuk meg a (13.2.5) rendszer megoldásait explicit formában valamely (t_i,t_(i+1)]

( t i , t i + 1 ] intervallumon. Ez alapján a speciális t_i=iT, b_i=b t i = i ? T , b i = b esetben írjuk fel az

(x(t_(i+1)+0) / y(t_(i+1)+0))=M . (x(t_i+0) / y(t_i+0))
( x ? ( t i + 1 + 0 ) y ? ( t i + 1 + 0 ) ) = M . ( x ? ( t i + 0 ) y ? ( t i + 0 ) )

fázisleképezés M mátrixát. Felhasználva az M tulajdonságait és hogy

(x(t_(k+1)+0) / y(t_(k+1)+0))=M^k . (x(t_1+0) / y(t_1+0)),
( x ? ( t k + 1 + 0 ) y ? ( t k + 1 + 0 ) ) = M k . ( x ? ( t 1 + 0 ) y ? ( t 1 + 0 ) ) ,

a sajátértékek vizsgálatával adjunk kritériumot a zérómegoldás aszimptotikus stabilitására. Bizonyítsuk be az oszcillációra vonatkozó szükséges és elegendő feltételt.

13.2.2. Kísérlet.

Vizsgáljuk meg a nemlineáris impulzívan fékezett oszcillátorokat:

x''+f(x)=0, ha t?t_i, x(t_i+0)=x(t_i–0), x'(t_i+0)=b_ix'(t_i–0), x '' + f ? ( x ) = 0 , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) , x ' ? ( t i + 0 ) = b i ? x ' ? ( t i - 0 ) , (13.2.9)

ahol f:R›R

f : R R folytonos és kielégíti az xf(x)///>///0 x ? f ? ( x ) ///>/// 0 (x///>///0) ( x ///>/// 0 ) feltételt az origó valamely környezetében. Ilyen az f(x)=sin(x) f ? ( x ) = sin ? ( x ) a valódi inga egyenletében. Foglalkozzunk külön az f(x)=sign(x)|x^?| f ? ( x ) = sign ? ( x ) | x ? | (?///>///0) ( ? ///>/// 0 ) nemlineris rugalmassági erők esetével. Hasonlítsuk össze a tapasztalatokat a megfelelő nem impulzívan fékezett rendszereknél a 13.1. fejezetben tapasztaltakkal.

13.2.3. Feladat.

Használjuk fel a nemlineáris fékezés nélküli egyenlet (13.1. fejezet) megoldásainak periodicitására és a periódus hosszára vonatkozó korábbi észrevételeket. Mutassuk meg, hogy ha t_i=iT

t i = i ? T , akkor a szuperlineáris rendszer zérómegoldása nem lehet globálisan aszimtotikusan stabilis, a szublineáris rendszer esetén pedig nem lehet aszimptotikusan stabilis.