13.3. Visszaütő impulzív hatások oszcillátorokban
Az
x
'
?
(
t
i
+
0
)
=
b
i
?
x
'
?
(
t
i
-
0
)
impulzus a pillanatszerű fékezésnél általánosabb lehetőségeket is magában rejt. Láttuk, hogy az
energia megváltozását a
formula írja le, és megváltozása nem függ a
b
i
konstansok előjelétől. Ebben a fejezetben arra mutatunk néhány példát, hogy a
b
i
?
0
esetben a rendszer viselkedése teljesen új, és nem analóg semmilyen közönséges rendszerrel. Tekintsük tehát az
rendszert, ahol
b
i
?
0
(
i
=
1
,
2
,
...
)
és
{
t
i
}
monoton növő, végtelenbe tartó sorozat. Ennek jelentése lehet, hogy adott időpillanatokban a mozgó rugó útjába egy lemezt helyezünk el, amiről az visszapattan.
Az energia képlete alapján nyilvánvaló, hogy ha
b
i
///<///
-
1
, akkor a rendszer energiája nő (adott pillanatban visszaütés következik be), ha pedig
-
1
///<///
b
i
?
0
, akkor a rendszer energiája csökken (adott pillanatban rugalmatlan visszapattanás történik).
A
-
1
?
b
i
?
0
esetben az aszimptotikus stabilitási tulajdonságok hasonlóak, az oszcillációs tulajdonságok azonban másként alakulnak (a kísérletek után lásd a feladatokat). A
b
i
///<///
-
1
esetben az energia növekedése miatt az origó nem aszimptotikusan stabilis. Az oszcillációs tulajdonságok még furcsábban alakulnak.
Számos kérdés a megoldások viselkedésével, főként az oszcillációval kapcsolatosan még nem tisztázott. Ezért néhány ötletadó példát vázolunk. Az olvasóra bízzuk a formális következtetéseket.
A
-
1
?
b
n
?
0
eset: aszimptotikus stabilitás
A fékezések nagyságára a
0
?
b
i
?
1
esetben tett osztályozás, most nem teljesen megfelelő. Ennek ellenére lehetséges az alulfékezés, kis fékezés, nagy fékezés és túlfékezés fogalmak bevezetése. A pozitív fékezésnél megfogalmazott aszimptotikus stabilitási tételek változatlan formában érvényesek, csupán mindenütt
|
b
i
|
-t kell használni.
Példáink ugyanazok lesznek, mint a
b
i
?
0
esetben, csak a
b
i
konstansok előjelét változtatjuk meg. Látni fogjuk, hogy az attraktivitási tulajdonságok változatlansága mellett a megoldások és trajektóriák alakja teljesen más. Az alábbi példák az előző fejezetbeli 13.2.3. példa programjával készültek. Így csak a paramétereket tartalmazó sorokat tüntetjük fel.
xyvar
=
{
x
,
y
}
;
xydot
=
{
y
,
-
x
}
;
V
[
x_
,
y_
]
:=
x
2
2
+
y
2
2
ImpDamp
[
n_
,
tn_
,
xn_List
]
:=
bn
[
n
]
*
xn
;
x0tab
=
{
{
0
,
1
}
,
{
1
,
0
}
}
;
Mindig ugyanazt a két lineárisan független kezdeti értéket tekintjük.
13.3.1. Példa.
Alulfékezés
A
?
i
=
1
?
|
b
i
|
///>///
0
feltétel mellett a megoldások menete lényegesen nem függ a
b
i
konstansok előjelétől. Erre az esetre a szimulációk elvégzését az olvasóra bízzuk.
13.3.2. Példa.
Kis fékezés
Legyen
b
i
=
-
0.8
és
t
i
=
i
.
T
=
N
[
1.
]
;
Imax
=
50
;
tn
:=
Table
[
n
?
T
,
{
n
,
0
,
Imax
}
]
;
bn
:=
Table
[
{
1
,
-
0.8
}
,
{
n
,
1
,
Imax
}
]
;
t0
=
0
;
t1
=
20
;
13.3.3. Példa.
Nagy fékezés
Legyen most
b
i
=
-
0.05
és
t
i
=
i
.
T
=
N
[
1.
]
;
Imax
=
50
;
tn
:=
Table
[
n
?
T
,
{
n
,
0
,
Imax
}
]
;
bn
:=
Table
[
{
1
,
-
0.05
}
,
{
n
,
1
,
Imax
}
]
;
t0
=
0
;
t1
=
10
;
13.3.4. Példa.
Még nagyobb fékezés
Legyen most
b
i
=
-
0.2
és
t
i
=
i
.
T
=
N
[
1.
]
;
Imax
=
500
;
tn
:=
Table
[
n
,
{
n
,
1
,
Imax
}
]
;
bn
:=
Table
[
{
1
,
-
0.2
}
,
{
n
,
1
,
Imax
}
]
;
t0
=
0
;
t1
=
10
;
13.3.5. Példa.
Túlfékezés
Emlékeztetőül, a túlfékezés elegendő feltétele a
|
b
i
|
///<///
b
///<///
1
esetben
?
i
=
1
?
(
t
i
+
1
-
t
i
)
2
///<///
?
.
Legyen most
b
i
=
-
0.8
és
t
i
=
i
3
.
Imax
=
1000
;
tn
:=
Table
[
n
3
,
{
n
,
0
,
Imax
}
]
;
bn
:=
Table
[
{
1
,
-
0.8
}
,
{
n
,
1
,
Imax
}
]
;
t0
=
0
;
t1
=
5.
;
A Hartman tétel alapján elvárjuk nullához tartó megoldás létezését is. Keressünk kísérletekkel ilyen megoldást.
Oszcilláció
Az aszimptotikus stabilitás vizsgálatánál azt láttuk, hogy a megoldások oszcillációját az impulzus nagysága nem igazán befolyásolta. Az impulzusok minden esetben azonos, egységnyi távolságra voltak. Könnyen téves következtetéseket vonhatunk le, ha ezt a körülményt figyelmen kívül hagyjuk. Meg kell vizsgálnunk, mi történik, ha az impulzusok közti távolságot változtatjuk.
A megoldások oszcillációval kapcsolatosan most két animációt készítünk. Először rögzített
t
i
+
1
-
t
i
=
T
mellett változtatjuk a
b
i
=
b
értéket, majd ez utóbbit rögzítjük úgy hogy először az energia csökken, majd úgy, hogy növekszik. A sejtések alapján az olvasó feladata bebizonyítani a pontos állításokat erre az esetre. Általá-nos
b
i
?
0
és
t
i
esetén az oszcilláció kérdése nem lezárt. A rendszer Mathematica-ban:
var
=
{
x
,
y
}
;
xydot
=
{
y
,
-
x
}
;
tn
:=
Table
[
n
?
T
,
{
n
,
1.
,
Imax
}
]
;
ImpDamp
[
n_
,
tn_
,
xn_List
]
:=
MapThread
[
Times
,
{
bn
[
n
]
,
xn
}
]
;
t0
=
0.
;
t1
=
15.
;
x1
=
y1
=
-
2
;
x2
=
y2
=
2.
;
Legyenek a kezdeti értékek:
x0tab
=
{
{
1.
,
0.
}
,
{
0.
,
1.
}
}
;
Imax
=
100
;
T
=
1.
;
bn
=
Table
[
{
1.
,
b
}
,
{
n
,
1.
,
Imax
}
]
;
bmin
=
-
1.6
;
bmax
=
0.
;
bstep
=
0.2
;
Minden képkocka a két lineárisan független megoldást együtt ábrázolja.
pltanimb
=
Table
[
Plot
[
Evaluate
[
Transpose
[
IDESolve
[
xydot
,
var
,
tn
,
ImpDamp
,
x0tab
,
{
t
,
t0
,
t1
}
]
]
[
1
]
]
,
{
t
,
t0
,
t1
}
,
PlotRange
›
{
Min
[
x1
,
y1
]
,
Max
[
x2
,
y2
]
}
,
PlotLabel
›
b=
///<//////>///
ToString
[
b
]
]
,
{
b
,
bmin
,
bmax
,
bstep
}
]
;
Show
[
GraphicsArray
[
Partition
[
pltanimb
,
3
]
]
]
;
Imax
=
100
;
Clear
[
T
]
;
tn
=
Table
[
n
?
T
,
{
n
,
1.
,
Imax
}
]
;
bn
=
Table
[
{
1.
,
-
1.1
}
,
{
n
,
1.
,
Imax
}
]
;
Tmin
=
?
9
;
Tmax
=
?
;
Tstep
=
?
9
;
Minden képkocka a két lineárisan független megoldást együtt ábrázolja.
pltanimT
=
Table
[
Plot
[
Evaluate
[
Transpose
[
IDESolve
[
xydot
,
var
,
tn
,
ImpDamp
,
x0tab
,
{
t
,
t0
,
t1
}
]
]
[
1
]
]
,
{
t
,
t0
,
t1
}
,
PlotRange
›
{
Min
[
x1
,
y1
]
,
Max
[
x2
,
y2
]
}
,
PlotLabel
›
StyleForm
[
T=
///<//////>///
ToString
[
TraditionalForm
[
T
]
]
,
Text
]
]
,
{
T
,
Tmin
,
Tmax
,
Tstep
}
]
;
A képkockák együtt:
Show
[
GraphicsArray
[
Partition
[
pltanimT
,
3
]
]
]
;
Imax
=
100
;
Clear
[
T
]
;
tn
=
Table
[
n
?
T
,
{
n
,
1.
,
Imax
}
]
;
bn
=
Table
[
{
1.
,
-
0.8
}
,
{
n
,
1.
,
Imax
}
]
;
Tmin
=
?
9
;
Tmax
=
?
;
Tstep
=
?
9
;
Show
[
GraphicsArray
[
Partition
[
pltanimT
,
3
]
]
]
;
Kísérletek, feladatok
13.3.1. Feladat.
E
Vigyázat. A szimuláció csalhat. A szingularitásokat csak kis valószínűséggel tudjuk ábrázolni. Az előző fejezet 13.2.1. feladata és a fenti animációk tapasztalatai alapján adjunk oszcillációs kritériumokat a speciális
t
i
=
i
?
T
,
b
i
=
b
///<///
0
esetben a monodrómia-mátrix sajátértékeinek vizsgálatával. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat:
Ha
-
1
///<///
b
i
=
b
///<///
0
, és
?
2
///<///
T
?
?
, akkor minden megoldás oszcillál valamely
[
?
,
?
)
intervallumon egy
c
?
x
?
(
t
)
alakú megoldáscsalád kivételével.
Ha
-
1
///<///
b
i
=
b
///<///
0
, és
0
///<///
T
///<///
?
2
, akkor minden megoldás nemoszcilláló valamely
[
?
,
?
)
intervallumon egy
c
?
x
?
(
t
)
alakú megoldáscsalád kivételével.
Ha
b
i
=
b
///<///
-
1
, és
0
///<///
T
///<///
?
2
vagy
?
2
///<///
T
?
?
, akkor minden megoldás nemoszcilláló valamely
[
?
,
?
)
intervallumon egy
c
?
x
?
(
t
)
alakú megoldáscsalád kivételével.
Ha
b
i
=
-
1
, vagy
T
=
?
2
, akkor a megoldások oszcillálók, nemoszcillálók vagy Z-típusúak a kezdő feltételtől függően. Egy függvény Z-típusú, ha végtelen sok zéróhelye van
[
0
,
?
)
-en, de nem vált előjelet.
13.3.2. Kísérlet.
Végezzünk kísérleteket a nemlineáris oszcillátorokra vonatkozóan. Hasonlítsuk össze a lineáris, szublineáris és szuperlineáris rendszerek viselkedését.