Impulzív jelenségek modelljei|Digitális Tankönyvtár

Főoldal > Tankönyvtár > Könyvek > Természettudományok > Matematika

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

Beágyazás

13.3. Visszaütő impulzív hatások oszcillátorokban

[D]

x ' ? ( t i + 0 ) = b i ? x ' ? ( t i - 0 ) impulzus a pillanatszerű fékezésnél általánosabb lehetőségeket is magában rejt. Láttuk, hogy az

[D]

V ? ( x , x ' ) = x 2 2 + x ' 2 2

energia megváltozását a

[D]

V ? ( x ? ( t i + 0 ) , x ' ( t i + 0 ) ) - V ? ( x ? ( t i - 0 ) , x ' ( t i - 0 ) ) = ( b i 2 - 1 ) ? x ' 2 ( t i - 0 )

formula írja le, és megváltozása nem függ a

[D]

b i konstansok előjelétől. Ebben a fejezetben arra mutatunk néhány példát, hogy a

[D]

b i ? 0 esetben a rendszer viselkedése teljesen új, és nem analóg semmilyen közönséges rendszerrel. Tekintsük tehát az

[D]

x '' + x = 0 , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) , x ' ? ( t i + 0 ) = b i ? x ' ? ( t i - 0 )

(13.3.1)

rendszert, ahol

[D]

b i ? 0

[D]

( i = 1 , 2 , ... ) és ${t_i}$

[D]

{ t i } monoton növő, végtelenbe tartó sorozat. Ennek jelentése lehet, hogy adott időpillanatokban a mozgó rugó útjába egy lemezt helyezünk el, amiről az visszapattan.

Az energia képlete alapján nyilvánvaló, hogy ha

[D]

b i ///</// - 1 , akkor a rendszer energiája nő (adott pillanatban visszaütés következik be), ha pedig

[D]

- 1 ///</// b i ? 0 , akkor a rendszer energiája csökken (adott pillanatban rugalmatlan visszapattanás történik).

[D]

- 1 ? b i ? 0 esetben az aszimptotikus stabilitási tulajdonságok hasonlóak, az oszcillációs tulajdonságok azonban másként alakulnak (a kísérletek után lásd a feladatokat). A

[D]

b i ///</// - 1 esetben az energia növekedése miatt az origó nem aszimptotikusan stabilis. Az oszcillációs tulajdonságok még furcsábban alakulnak.

Számos kérdés a megoldások viselkedésével, főként az oszcillációval kapcsolatosan még nem tisztázott. Ezért néhány ötletadó példát vázolunk. Az olvasóra bízzuk a formális következtetéseket.

[D]

- 1 ? b n ? 0 eset: aszimptotikus stabilitás

A fékezések nagyságára a

[D]

0 ? b i ? 1 esetben tett osztályozás, most nem teljesen megfelelő. Ennek ellenére lehetséges az alulfékezés, kis fékezés, nagy fékezés és túlfékezés fogalmak bevezetése. A pozitív fékezésnél megfogalmazott aszimptotikus stabilitási tételek változatlan formában érvényesek, csupán mindenütt

[D]

| b i | -t kell használni.

Példáink ugyanazok lesznek, mint a

[D]

b i ? 0 esetben, csak a

[D]

b i konstansok előjelét változtatjuk meg. Látni fogjuk, hogy az attraktivitási tulajdonságok változatlansága mellett a megoldások és trajektóriák alakja teljesen más. Az alábbi példák az előző fejezetbeli 13.2.3. példa programjával készültek. Így csak a paramétereket tartalmazó sorokat tüntetjük fel.

$xyvar={x,y};xydot={y,–x}; V[x_,y_]:=(x^2/2)+(y^2/2)$

[D]

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x } ; V [ x_ , y_ ] := x 2 2 + y 2 2

[D]

ImpDamp [ n_ , tn_ , xn_List ] := bn [ n ] * xn ;

[D]

x0tab = { { 0 , 1 } , { 1 , 0 } } ;

Mindig ugyanazt a két lineárisan független kezdeti értéket tekintjük.

13.3.1. Példa. Alulfékezés

[D]

? i = 1 ? | b i | ///>/// 0 feltétel mellett a megoldások menete lényegesen nem függ a

[D]

b i konstansok előjelétől. Erre az esetre a szimulációk elvégzését az olvasóra bízzuk.

13.3.2. Példa. Kis fékezés

Legyen

[D]

b i = - 0.8 és

[D]

t i = i .

[D]

T = N [ 1. ] ; Imax = 50 ; tn := Table [ n ? T , { n , 0 , Imax } ] ;

[D]

bn := Table [ { 1 , - 0.8 } , { n , 1 , Imax } ] ; t0 = 0 ; t1 = 20 ;

A megoldások koordinátái és az energia

A trajektóriák

13.3.3. Példa. Nagy fékezés

Legyen most

[D]

b i = - 0.05 és

[D]

t i = i .

[D]

T = N [ 1. ] ; Imax = 50 ; tn := Table [ n ? T , { n , 0 , Imax } ] ;

[D]

bn := Table [ { 1 , - 0.05 } , { n , 1 , Imax } ] ; t0 = 0 ; t1 = 10 ;

A megoldások koordinátái és az energia

A trajektóriák

13.3.4. Példa. Még nagyobb fékezés

Legyen most

[D]

b i = - 0.2 és

[D]

t i = i .

[D]

T = N [ 1. ] ; Imax = 500 ; tn := Table [ n , { n , 1 , Imax } ] ;

[D]

bn := Table [ { 1 , - 0.2 } , { n , 1 , Imax } ] ; t0 = 0 ; t1 = 10 ;

A megoldások és az energia ábrázolása

A trajektóriák

13.3.5. Példa. Túlfékezés

Emlékeztetőül, a túlfékezés elegendő feltétele a

[D]

| b i | ///</// b ///</// 1 esetben

[D]

? i = 1 ? ( t i + 1 - t i ) 2 ///</// ? . Legyen most

[D]

b i = - 0.8 és

[D]

t i = i 3 .

$Imax=1000; tn:=Table[ ^3?n,{n,0,Imax}];$

[D]

Imax = 1000 ; tn := Table [ n 3 , { n , 0 , Imax } ] ;

[D]

bn := Table [ { 1 , - 0.8 } , { n , 1 , Imax } ] ; t0 = 0 ; t1 = 5. ;

A megoldások koordinátái és az energia

A Hartman tétel alapján elvárjuk nullához tartó megoldás létezését is. Keressünk kísérletekkel ilyen megoldást.

A trajektóriák

Oszcilláció

Az aszimptotikus stabilitás vizsgálatánál azt láttuk, hogy a megoldások oszcillációját az impulzus nagysága nem igazán befolyásolta. Az impulzusok minden esetben azonos, egységnyi távolságra voltak. Könnyen téves következtetéseket vonhatunk le, ha ezt a körülményt figyelmen kívül hagyjuk. Meg kell vizsgálnunk, mi történik, ha az impulzusok közti távolságot változtatjuk.

A megoldások oszcillációval kapcsolatosan most két animációt készítünk. Először rögzített

[D]

t i + 1 - t i = T mellett változtatjuk a

[D]

b i = b értéket, majd ez utóbbit rögzítjük úgy hogy először az energia csökken, majd úgy, hogy növekszik. A sejtések alapján az olvasó feladata bebizonyítani a pontos állításokat erre az esetre. Általá-nos

[D]

b i ? 0 és

[D]

t i esetén az oszcilláció kérdése nem lezárt. A rendszer Mathematica-ban:

[D]

var = { x , y } ; xydot = { y , - x } ; tn := Table [ n ? T , { n , 1. , Imax } ] ;

$ImpDamp[n_,tn_,xn_List]:=MapThread[Times,{bn[[n]],xn}];$

[D]

ImpDamp [ n_ , tn_ , xn_List ] := MapThread [ Times , { bn [ n ] , xn } ] ;

[D]

t0 = 0. ; t1 = 15. ; x1 = y1 = - 2 ; x2 = y2 = 2. ;

Legyenek a kezdeti értékek:

[D]

x0tab = { { 1. , 0. } , { 0. , 1. } } ;

Animáció:

[D]
t i + 1 - t i = T = 1 ;

[D]
- 2 ///</// b i = b ? 0
[D]
E

[D]

Imax = 100 ; T = 1. ; bn = Table [ { 1. , b } , { n , 1. , Imax } ] ;

[D]

bmin = - 1.6 ; bmax = 0. ; bstep = 0.2 ;

Megoldás és ábrázolás

Minden képkocka a két lineárisan független megoldást együtt ábrázolja.

[D]

pltanimb = Table [ Plot [ Evaluate [ Transpose [ IDESolve [ xydot , var , tn , ImpDamp , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ] [ 1 ] ] , { t , t0 , t1 } , PlotRange › { Min [ x1 , y1 ] , Max [ x2 , y2 ] } , PlotLabel › b= ///<//////>/// ToString [ b ] ] , { b , bmin , bmax , bstep } ] ;

A képkockák együtt:

[D]

Show [ GraphicsArray [ Partition [ pltanimb , 3 ] ] ] ;

Animáció:

[D]
? 9 ///</// t i + 1 - t i = T ///</// ? ;

[D]
b i = b = - 1.1
[D]
E

[D]

Imax = 100 ; Clear [ T ] ; tn = Table [ n ? T , { n , 1. , Imax } ] ;

[D]

bn = Table [ { 1. , - 1.1 } , { n , 1. , Imax } ] ;

[D]

Tmin = ? 9 ; Tmax = ? ; Tstep = ? 9 ;

Megoldás és ábrázolás

Minden képkocka a két lineárisan független megoldást együtt ábrázolja.

[D]

pltanimT = Table [ Plot [ Evaluate [ Transpose [ IDESolve [ xydot , var , tn , ImpDamp , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ] [ 1 ] ] , { t , t0 , t1 } , PlotRange › { Min [ x1 , y1 ] , Max [ x2 , y2 ] } , PlotLabel › StyleForm [ T= ///<//////>/// ToString [ TraditionalForm [ T ] ] , Text ] ] , { T , Tmin , Tmax , Tstep } ] ;

A képkockák együtt:

[D]

Show [ GraphicsArray [ Partition [ pltanimT , 3 ] ] ] ;

Animáció:

[D]
? 9 ///</// t i + 1 - t i = T ///</// ? ;

[D]
b i = b = - 0.8
[D]
E

[D]

Imax = 100 ; Clear [ T ] ; tn = Table [ n ? T , { n , 1. , Imax } ] ;

[D]

bn = Table [ { 1. , - 0.8 } , { n , 1. , Imax } ] ;

[D]

Tmin = ? 9 ; Tmax = ? ; Tstep = ? 9 ;

A képkockák együtt:

[D]

Show [ GraphicsArray [ Partition [ pltanimT , 3 ] ] ] ;

Kísérletek, feladatok

13.3.1. Feladat.

[D]

Vigyázat. A szimuláció csalhat. A szingularitásokat csak kis valószínűséggel tudjuk ábrázolni. Az előző fejezet 13.2.1. feladata és a fenti animációk tapasztalatai alapján adjunk oszcillációs kritériumokat a speciális

[D]

t i = i ? T , b i = b ///</// 0 esetben a monodrómia-mátrix sajátértékeinek vizsgálatával. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat:

Ha

[D]
- 1 ///</// b i = b ///</// 0 , és

[D]
? 2 ///</// T ? ? , akkor minden megoldás oszcillál valamely

[D]
[ ? , ? ) intervallumon egy

[D]
c ? x ? ( t ) alakú megoldáscsalád kivételével.
Ha

[D]
- 1 ///</// b i = b ///</// 0 , és

[D]
0 ///</// T ///</// ? 2 , akkor minden megoldás nemoszcilláló valamely

[D]
[ ? , ? ) intervallumon egy

[D]
c ? x ? ( t ) alakú megoldáscsalád kivételével.
Ha

[D]
b i = b ///</// - 1 , és

[D]
0 ///</// T ///</// ? 2 vagy

[D]
? 2 ///</// T ? ? , akkor minden megoldás nemoszcilláló valamely

[D]
[ ? , ? ) intervallumon egy

[D]
c ? x ? ( t ) alakú megoldáscsalád kivételével.
Ha

[D]
b i = - 1 , vagy

[D]
T = ? 2 , akkor a megoldások oszcillálók, nemoszcillálók vagy Z-típusúak a kezdő feltételtől függően. Egy függvény Z-típusú, ha végtelen sok zéróhelye van

[D]
[ 0 , ? ) -en, de nem vált előjelet.

13.3.2. Kísérlet.

Végezzünk kísérleteket a nemlineáris oszcillátorokra vonatkozóan. Hasonlítsuk össze a lineáris, szublineáris és szuperlineáris rendszerek viselkedését.