Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

13.3. Visszaütő impulzív hatások oszcillátorokban

13.3. Visszaütő impulzív hatások oszcillátorokban

Az x'(t_i+0)=b_ix'(t_i–0)

x ' ? ( t i + 0 ) = b i ? x ' ? ( t i - 0 ) impulzus a pillanatszerű fékezésnél általánosabb lehetőségeket is magában rejt. Láttuk, hogy az

V(x,x^')=(x^2/2)+(x^'^2/2)
V ? ( x , x ' ) = x 2 2 + x ' 2 2

energia megváltozását a

V(x(t_i+0),x^'(t_i+0))–V(x(t_i–0),x^'(t_i–0))=(b_i^2–1)x^'^2(t_i–0)
V ? ( x ? ( t i + 0 ) , x ' ( t i + 0 ) ) - V ? ( x ? ( t i - 0 ) , x ' ( t i - 0 ) ) = ( b i 2 - 1 ) ? x ' 2 ( t i - 0 )

formula írja le, és megváltozása nem függ a b_i

b i konstansok előjelétől. Ebben a fejezetben arra mutatunk néhány példát, hogy a b_i?0 b i ? 0 esetben a rendszer viselkedése teljesen új, és nem analóg semmilyen közönséges rendszerrel. Tekintsük tehát az

x''+x=0, ha t?t_i, x(t_i+0)=x(t_i–0), x'(t_i+0)=b_ix'(t_i–0) x '' + x = 0 , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) , x ' ? ( t i + 0 ) = b i ? x ' ? ( t i - 0 ) (13.3.1)

rendszert, ahol b_i?0

b i ? 0 (i=1,2,...) ( i = 1 , 2 , ... ) és {t_i} { t i } monoton növő, végtelenbe tartó sorozat. Ennek jelentése lehet, hogy adott időpillanatokban a mozgó rugó útjába egy lemezt helyezünk el, amiről az visszapattan.

Az energia képlete alapján nyilvánvaló, hogy ha b_i///<///–1

b i ///</// - 1 , akkor a rendszer energiája nő (adott pillanatban visszaütés következik be), ha pedig –1///<///b_i?0 - 1 ///</// b i ? 0 , akkor a rendszer energiája csökken (adott pillanatban rugalmatlan visszapattanás történik).

A –1?b_i?0

- 1 ? b i ? 0 esetben az aszimptotikus stabilitási tulajdonságok hasonlóak, az oszcillációs tulajdonságok azonban másként alakulnak (a kísérletek után lásd a feladatokat). A b_i///<///–1 b i ///</// - 1 esetben az energia növekedése miatt az origó nem aszimptotikusan stabilis. Az oszcillációs tulajdonságok még furcsábban alakulnak.

Számos kérdés a megoldások viselkedésével, főként az oszcillációval kapcsolatosan még nem tisztázott. Ezért néhány ötletadó példát vázolunk. Az olvasóra bízzuk a formális következtetéseket.

A –1?b_n?0

- 1 ? b n ? 0 eset: aszimptotikus stabilitás

A fékezések nagyságára a 0?b_i?1

0 ? b i ? 1 esetben tett osztályozás, most nem teljesen megfelelő. Ennek ellenére lehetséges az alulfékezés, kis fékezés, nagy fékezés és túlfékezés fogalmak bevezetése. A pozitív fékezésnél megfogalmazott aszimptotikus stabilitási tételek változatlan formában érvényesek, csupán mindenütt |b_i| | b i | -t kell használni.

Példáink ugyanazok lesznek, mint a b_i?0

b i ? 0 esetben, csak a b_i b i konstansok előjelét változtatjuk meg. Látni fogjuk, hogy az attraktivitási tulajdonságok változatlansága mellett a megoldások és trajektóriák alakja teljesen más. Az alábbi példák az előző fejezetbeli 13.2.3. példa programjával készültek. Így csak a paramétereket tartalmazó sorokat tüntetjük fel.

xyvar={x,y};xydot={y,–x}; V[x_,y_]:=(x^2/2)+(y^2/2)

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x } ; V [ x_ , y_ ] := x 2 2 + y 2 2

ImpDamp[n_,tn_,xn_List]:=bn[[n]]*xn;

ImpDamp [ n_ , tn_ , xn_List ] := bn [ n ] * xn ;

x0tab={{0,1},{1,0}};

x0tab = { { 0 , 1 } , { 1 , 0 } } ;

Mindig ugyanazt a két lineárisan független kezdeti értéket tekintjük.

13.3.1. Példa. Alulfékezés

A ?_(i=1)^?|b_i|///>///0

? i = 1 ? | b i | ///>/// 0 feltétel mellett a megoldások menete lényegesen nem függ a b_i b i konstansok előjelétől. Erre az esetre a szimulációk elvégzését az olvasóra bízzuk.

13.3.2. Példa. Kis fékezés

Legyen b_i=–0.8

b i = - 0.8 és t_i=i. t i = i .

T=N[1.];Imax=50; tn:=Table[nT,{n,0,Imax}];

T = N [ 1. ] ; Imax = 50 ; tn := Table [ n ? T , { n , 0 , Imax } ] ;

bn:=Table[{1,–0.8},{n,1,Imax}]; t0=0; t1=20;

bn := Table [ { 1 , - 0.8 } , { n , 1 , Imax } ] ; t0 = 0 ; t1 = 20 ;

  • A megoldások koordinátái és az energia

  • A trajektóriák

13.3.3. Példa. Nagy fékezés

Legyen most b_i=–0.05

b i = - 0.05 és t_i=i. t i = i .

T=N[1.];Imax=50; tn:=Table[nT,{n,0,Imax}];

T = N [ 1. ] ; Imax = 50 ; tn := Table [ n ? T , { n , 0 , Imax } ] ;

bn:=Table[{1,–0.05},{n,1,Imax}]; t0=0; t1=10;

bn := Table [ { 1 , - 0.05 } , { n , 1 , Imax } ] ; t0 = 0 ; t1 = 10 ;

  • A megoldások koordinátái és az energia

  • A trajektóriák

13.3.4. Példa. Még nagyobb fékezés

Legyen most b_i=–0.2

b i = - 0.2 és t_i=?i. t i = i .

T=N[1.];Imax=500; tn:=Table[?n,{n,1,Imax}];

T = N [ 1. ] ; Imax = 500 ; tn := Table [ n , { n , 1 , Imax } ] ;

bn:=Table[{1,–0.2},{n,1,Imax}]; t0=0; t1=10;

bn := Table [ { 1 , - 0.2 } , { n , 1 , Imax } ] ; t0 = 0 ; t1 = 10 ;

  • A megoldások és az energia ábrázolása

  • A trajektóriák

13.3.5. Példa. Túlfékezés

Emlékeztetőül, a túlfékezés elegendő feltétele a |b_i|///<///b///<///1

| b i | ///</// b ///</// 1 esetben ?_(i=1)^?(t_(i+1)–t_i)^2///<///?. ? i = 1 ? ( t i + 1 - t i ) 2 ///</// ? . Legyen most b_i=–0.8 b i = - 0.8 és t_i= ^3?i. t i = i 3 .

Imax=1000; tn:=Table[ ^3?n,{n,0,Imax}];

Imax = 1000 ; tn := Table [ n 3 , { n , 0 , Imax } ] ;

bn:=Table[{1,–0.8},{n,1,Imax}]; t0=0; t1=5.;

bn := Table [ { 1 , - 0.8 } , { n , 1 , Imax } ] ; t0 = 0 ; t1 = 5. ;

  • A megoldások koordinátái és az energia

A Hartman tétel alapján elvárjuk nullához tartó megoldás létezését is. Keressünk kísérletekkel ilyen megoldást.

  • A trajektóriák

Oszcilláció

Az aszimptotikus stabilitás vizsgálatánál azt láttuk, hogy a megoldások oszcillációját az impulzus nagysága nem igazán befolyásolta. Az impulzusok minden esetben azonos, egységnyi távolságra voltak. Könnyen téves következtetéseket vonhatunk le, ha ezt a körülményt figyelmen kívül hagyjuk. Meg kell vizsgálnunk, mi történik, ha az impulzusok közti távolságot változtatjuk.

A megoldások oszcillációval kapcsolatosan most két animációt készítünk. Először rögzített t_(i+1)–t_i=T

t i + 1 - t i = T mellett változtatjuk a b_i=b b i = b értéket, majd ez utóbbit rögzítjük úgy hogy először az energia csökken, majd úgy, hogy növekszik. A sejtések alapján az olvasó feladata bebizonyítani a pontos állításokat erre az esetre. Általá-nos b_i?0 b i ? 0 és t_i t i esetén az oszcilláció kérdése nem lezárt. A rendszer Mathematica-ban:

var={x,y};xydot={y,–x};tn:=Table[nT,{n,1.,Imax}];

var = { x , y } ; xydot = { y , - x } ; tn := Table [ n ? T , { n , 1. , Imax } ] ;

ImpDamp[n_,tn_,xn_List]:=MapThread[Times,{bn[[n]],xn}];

ImpDamp [ n_ , tn_ , xn_List ] := MapThread [ Times , { bn [ n ] , xn } ] ;

t0=0.;t1=15.;x1=y1=–2;x2=y2=2.;

t0 = 0. ; t1 = 15. ; x1 = y1 = - 2 ; x2 = y2 = 2. ;

Legyenek a kezdeti értékek:

x0tab={{1.,0.},{0.,1.}};

x0tab = { { 1. , 0. } , { 0. , 1. } } ;

  • Animáció: t_(i+1)–t_i=T=1

    t i + 1 - t i = T = 1 ; –2///<///b_i=b?0 - 2 ///</// b i = b ? 0 E E

Imax=100;T=1.; bn=Table[{1.,b},{n,1.,Imax}];

Imax = 100 ; T = 1. ; bn = Table [ { 1. , b } , { n , 1. , Imax } ] ;

bmin=–1.6;bmax=0.; bstep=0.2;

bmin = - 1.6 ; bmax = 0. ; bstep = 0.2 ;

  • Megoldás és ábrázolás

Minden képkocka a két lineárisan független megoldást együtt ábrázolja.

pltanimb=Table[Plot[Evaluate[Transpose[IDESolve[xydot,var,tn, ImpDamp,x0tab,{t,t0,t1}]][[1]]],{t,t0,t1}, PlotRange›{Min[x1,y1],Max[x2,y2]},PlotLabel›"b="///<//////>///ToString[b]],{b,bmin,bmax,bstep}];

pltanimb = Table [ Plot [ Evaluate [ Transpose [ IDESolve [ xydot , var , tn , ImpDamp , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ] [ 1 ] ] , { t , t0 , t1 } , PlotRange { Min [ x1 , y1 ] , Max [ x2 , y2 ] } , PlotLabel b= ///<//////>/// ToString [ b ] ] , { b , bmin , bmax , bstep } ] ;

  • A képkockák együtt:

Show[GraphicsArray[Partition[pltanimb,3]]];

Show [ GraphicsArray [ Partition [ pltanimb , 3 ] ] ] ;

  • Animáció: (?/9)///<///t_(i+1)–t_i=T///<///?

    ? 9 ///</// t i + 1 - t i = T ///</// ? ; b_i=b=–1.1 b i = b = - 1.1 E E

Imax=100;Clear[T];tn=Table[nT,{n,1.,Imax}];

Imax = 100 ; Clear [ T ] ; tn = Table [ n ? T , { n , 1. , Imax } ] ;

bn=Table[{1.,–1.1},{n,1.,Imax}];

bn = Table [ { 1. , - 1.1 } , { n , 1. , Imax } ] ;

Tmin=(?/9);Tmax=?;Tstep=(?/9);

Tmin = ? 9 ; Tmax = ? ; Tstep = ? 9 ;

  • Megoldás és ábrázolás

Minden képkocka a két lineárisan független megoldást együtt ábrázolja.

pltanimT=Table[Plot[Evaluate[Transpose[IDESolve[xydot,var,tn,ImpDamp,x0tab,{t,t0,t1}]][[1]]], {t,t0,t1},PlotRange›{Min[x1,y1],Max[x2,y2]}, PlotLabel›StyleForm["T="///<//////>///ToString[TraditionalForm[T]],"Text"]], {T,Tmin,Tmax,Tstep}];

pltanimT = Table [ Plot [ Evaluate [ Transpose [ IDESolve [ xydot , var , tn , ImpDamp , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ] [ 1 ] ] , { t , t0 , t1 } , PlotRange { Min [ x1 , y1 ] , Max [ x2 , y2 ] } , PlotLabel StyleForm [ T= ///<//////>/// ToString [ TraditionalForm [ T ] ] , Text ] ] , { T , Tmin , Tmax , Tstep } ] ;

A képkockák együtt:

Show[GraphicsArray[Partition[pltanimT,3]]];

Show [ GraphicsArray [ Partition [ pltanimT , 3 ] ] ] ;

  • Animáció: (?/9)///<///t_(i+1)–t_i=T///<///?

    ? 9 ///</// t i + 1 - t i = T ///</// ? ; b_i=b=–0.8 b i = b = - 0.8 E E

Imax=100;Clear[T];tn=Table[nT,{n,1.,Imax}];

Imax = 100 ; Clear [ T ] ; tn = Table [ n ? T , { n , 1. , Imax } ] ;

bn=Table[{1.,–0.8},{n,1.,Imax}];

bn = Table [ { 1. , - 0.8 } , { n , 1. , Imax } ] ;

Tmin=(?/9);Tmax=?;Tstep=(?/9);

Tmin = ? 9 ; Tmax = ? ; Tstep = ? 9 ;

  • A képkockák együtt:

Show[GraphicsArray[Partition[pltanimT,3]]];

Show [ GraphicsArray [ Partition [ pltanimT , 3 ] ] ] ;

Kísérletek, feladatok

13.3.1. Feladat. E

E

Vigyázat. A szimuláció csalhat. A szingularitásokat csak kis valószínűséggel tudjuk ábrázolni. Az előző fejezet 13.2.1. feladata és a fenti animációk tapasztalatai alapján adjunk oszcillációs kritériumokat a speciális t_i=iT, b_i=b///<///0

t i = i ? T , b i = b ///</// 0 esetben a monodrómia-mátrix sajátértékeinek vizsgálatával. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat:

  • Ha –1///<///b_i=b///<///0

    - 1 ///</// b i = b ///</// 0 , és (?/2)///<///T?? ? 2 ///</// T ? ? , akkor minden megoldás oszcillál valamely [?,?) [ ? , ? ) intervallumon egy cx(t) c ? x ? ( t ) alakú megoldáscsalád kivételével.

  • Ha –1///<///b_i=b///<///0

    - 1 ///</// b i = b ///</// 0 , és 0///<///T///<///(?/2) 0 ///</// T ///</// ? 2 , akkor minden megoldás nemoszcilláló valamely [?,?) [ ? , ? ) intervallumon egy cx(t) c ? x ? ( t ) alakú megoldáscsalád kivételével.

  • Ha b_i=b///<///–1

    b i = b ///</// - 1 , és 0///<///T///<///(?/2) 0 ///</// T ///</// ? 2 vagy (?/2)///<///T?? ? 2 ///</// T ? ? , akkor minden megoldás nemoszcilláló valamely [?,?) [ ? , ? ) intervallumon egy cx(t) c ? x ? ( t ) alakú megoldáscsalád kivételével.

  • Ha b_i=–1

    b i = - 1 , vagy T=(?/2) T = ? 2 , akkor a megoldások oszcillálók, nemoszcillálók vagy Z-típusúak a kezdő feltételtől függően. Egy függvény Z-típusú, ha végtelen sok zéróhelye van [0,?) [ 0 , ? ) -en, de nem vált előjelet.

13.3.2. Kísérlet.

Végezzünk kísérleteket a nemlineáris oszcillátorokra vonatkozóan. Hasonlítsuk össze a lineáris, szublineáris és szuperlineáris rendszerek viselkedését.