Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

13.4. Impulzív gerjesztések

13.4. Impulzív gerjesztések

A lineáris differenciálegyenletekben megjelenő folyamatos külső hatást gyakran pillanatszerű, impulzív külső hatások szuperpozíciójával közelítik (lásd a Dirac-féle ? függvénnyel kapcsolatos meggondolásokat a 3.2. fejezetben). Most megvizsgáljuk, mi történik, ha a harmonikus oszcillátor konstans és periodikus külső gerjesztései helyett hasonló hatású impulzív gerjesztés hat. Egy a t_0

t 0 pillanatban ható külső impulzus az

x''+x=A_0?(t–t_0) x '' + x = A 0 ? ? ? ( t - t 0 ) (13.4.1)

általánosított egyenlettel, végtelen sok, a t_i

t i pillanatokban ható külső impulzus pedig az

x''+x=?_(i=1)^?A_i?(t–t_i) x '' + x = ? i = 1 ? A i ? ? ? ( t - t i ) (13.4.2)

egyenlettel, vagy másként megfogalmazva az

x''+x=0, ha t?t_i, x(t_i+0)=x(t_i–0), x'(t_i+0)=x'(t_i–0)+A_i, x '' + x = 0 , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) , x ' ? ( t i + 0 ) = x ' ? ( t i - 0 ) + A i , (13.4.3)

impulzív rendszerrel írható le. Nyilvánvaló, hogy a megoldások folytonosak és folytathatók a teljes számegyenesen. A rendszer általános megoldása az impulzív rendszerekre vonatkozó konstansvariációs módszerrel meghatározható (7.1. fejezet). Ismerve a harmonikus oszcillátor egyenletének alapmátrixát, a megoldásokra rekurzív formula könnyen felírható. Az

V(x,x^')=(x^2/2)+(x^'^2/2)
V ? ( x , x ' ) = x 2 2 + x ' 2 2

energia változását valamely t_i

t i pillanatban az alábbi kifejezés adja:

V(x(t_i+0),x^'(t_i+0))–V(x(t_i–0),x^'(t_i–0))= (1/2)((x'(t_i–0)+A_i)^2–x^'^2(t_i–0))=(A_i/2)(A_i–2x^'(t_i–0)).
V ? ( x ? ( t i + 0 ) , x ' ( t i + 0 ) ) - V ? ( x ? ( t i - 0 ) , x ' ( t i - 0 ) ) = 1 2 ? ( ( x ' ? ( t i - 0 ) + A i ) 2 - x ' 2 ( t i - 0 ) ) = A i 2 ? ( A i - 2 ? x ' ( t i - 0 ) ) .

A hatások egyenlőségének elve alapján azt várjuk, hogy valamely konstans sebességű folyamatos gerjesztésnek egy

x^'(iT+0)=x'(iT–0)+A
x ' ? ( i ? T + 0 ) = x ' ? ( i ? T - 0 ) + A

alakú impulzív hatás felel meg, ha T elegendően kicsi. A sin(?t)

sin ? ( ? ? t ) periodikus gerjesztésnek megfeleltethetjük a változó előjelű x'(iT+0)=x'(iT–0)+(–1)^nA x ' ? ( i ? T + 0 ) = x ' ? ( i ? T - 0 ) + ( - 1 ) n A impulzusokat, ahol T=(?/?) ? ? . Az alábbiakban néhány kísérletet végzünk ezekre az esetekre. Megvizsgáljuk a rezonancia eseteit is.

Kísérletek: konstans impulzív gerjesztés

A vizsgálatokhoz az IDESolve programot használjuk. Először tekintsük a konstans impulzusok esetét. Az első konfiguráció utáni esetekben csupán a futások eredményeit mutatjuk be. Minden példában a kitüntetett szerepű {0, 0}

{ 0 , 0 } kezdőpontból induló megoldást ábrázoljuk. Tanulságos még a trajektóriák (perodicitás!) és a {1,0} { 1 , 0 } és {0,1} { 0 , 1 } kezdőpontokból induló megoldások ábrázolása is. Ezeket az olvasó a CD változatban megtalálja, vagy maga is elvégezheti. Figyeljük meg a kapott ábrákat, és a következtetéseket azután vonjuk le.

xyvar={x,y};xydot={y,–x}; An:=Table[{0,A[i]},{i,1,Imax}];

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x } ; An := Table [ { 0 , A [ i ] } , { i , 1 , Imax } ] ;

ImpPlus[n_,tn_,xn_]:=An[[n]]+xn;

ImpPlus [ n_ , tn_ , xn_ ] := An [ n ] + xn ;

Imax=100;tn:=Table[iT,{i,1,Imax}];

Imax = 100 ; tn := Table [ i ? T , { i , 1 , Imax } ] ;

t0=0;t1=15; x0tab={{0,0}};

t0 = 0 ; t1 = 15 ; x0tab = { { 0 , 0 } } ;

13.4.1. Példa. T=0.3; A_i=0.5

T = 0.3 ; A i = 0.5

Clear[T,A]; T=0.3; A[i_]=.5;

Clear [ T , A ] ; T = 0.3 ; A [ i_ ] = .5 ;

Traj[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpPlus,x0tab,{t,t0,t1}];

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpPlus , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ;

plt1tab=SolPlot[Traj[t],{t,t0,t1},xyvar, AxesOrigin›{0,0},PlotRange›All,PlotPoints›40, GridLines›Automatic];

plt1tab = SolPlot [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , xyvar , AxesOrigin { 0 , 0 } , PlotRange All , PlotPoints 40 , GridLines Automatic ] ;

13.4.2. Példa. T=(?/2); A_i=0.5

T = ? 2 ; A i = 0.5

T=N[(?/2)] A[i_]=.5;

T = N [ ? 2 ] A [ i_ ] = .5 ;

13.4.3. Példa. T=?; A_i=0.5

T = ? ; A i = 0.5

T=N[?]; A[i_]=.5;

T = N [ ? ] ; A [ i_ ] = .5 ;

13.4.4. Példa. T=2?; A_i=0.5,

T = 2 ? ? ; A i = 0.5 , rezonancia

T=N[2?];A[i_]=.5;

T = N [ 2 ? ? ] ; A [ i_ ] = .5 ;

  • Következtetések

Különösen a kis t_(i+1)–t_i=T

t i + 1 - t i = T esetekben nyilvánvaló az analógia az impulzív és a konstans nagyságú külső hatások között. Konstans külső erő esetén a homogén egyenlet egyensúlyi helyzete az origóból elmozdul, és egy periodikus megoldás lép a helyébe. Ha a T konstans nagy, akkor az impulzív rendszer inkább valamely f(t)=(c+sin(?t))f_0 f ? ( t ) = ( c + sin ? ( ? ? t ) ) ? f 0 hatásnak feleltethető meg. Érdekes jelenséget tapasztalunk, ha x'(t_i+0)=0 x ' ? ( t i + 0 ) = 0 és x'(t_i+0)=x'(t_i–0)+A_i=0 x ' ? ( t i + 0 ) = x ' ? ( t i - 0 ) + A i = 0 . Ekkor a (t_i,t_(i+1)) ( t i , t i + 1 ) intervallumon a megoldás azonosan nulla. Ha T és ? nem összemérhető, akkor ez csak „ritkán” jelentkezik, periodikus viselkedést eredményez azonban, ha összemérhetők.

Kísérletek: alternáló impulzív gerjesztés

Várható, hogy a sin(?t)

sin ? ( ? ? t ) alakú külső hatásokhoz hasonlóan hatnak az alternáló impulzusok. A konstans gerjesztésre adott példák programjait használjuk, ezért csupán a futások eredményeit mutatjuk be. Most is a {0, 0} { 0 , 0 } kezdőpontból induló megoldást és trajektóriáját ábrázoljuk.

13.4.5. Példa. T=0.3

T = 0.3 ; A_i=(–1)^i A i = ( - 1 ) i

T=N[0.3]; A[i_]=(–1)^i;

T = N [ 0.3 ] ; A [ i_ ] = ( - 1 ) i ;

13.4.6. Példa. T=1

T = 1 ; A_i=(–1)^i A i = ( - 1 ) i

T=N[1.]; A[i_]=(–1)^i;

T = N [ 1. ] ; A [ i_ ] = ( - 1 ) i ;

13.4.7. Példa. T=(?/2)

T = ? 2 ; A_i=(–1)^i A i = ( - 1 ) i

T=N[(?/2)]; A[i_]=(–1)^i;

T = N [ ? 2 ] ; A [ i_ ] = ( - 1 ) i ;

A megoldás egy szakasza egybeesik az t tengellyel.

13.4.8. Példa. T=?

T = ? ; A_i=(–1)^i A i = ( - 1 ) i , rezonancia

T=N[?]; A[i_]=(–1)^i;

T = N [ ? ] ; A [ i_ ] = ( - 1 ) i ;

  • Következtetések

A kísérletek lényegében alátámasztják a folytonos periodikus gerjesztésnél tapasztaltakat, hogy ha a gerjesztés frekvenciája különbözik a homogén egyenlet sajátfrekvenciájától, akkor a rendszernek van periodikus megoldása. A 13.4.6. példa ennek látszólag ellentmond. Mivel T kicsi, úgy tűnik a gerjesztés hatása átlagban nulla. Az ilyen esetek érdekes kaotikus viselkedést eredményezhetnek. Ezekkel itt nem foglalkozunk. Ha a két frekvencia összemérhető, akkor bizonyos megoldások periodikusan azonosan nullává válhatnak valamely (t_i,t_(i+1))

( t i , t i + 1 ) intervallumokon. Ha T=(?/?) ? ? , akkor a rezonancia jelensége lép fel, ami nem korlátos megoldást eredményez.

A lebegés jelensége

Most megvizsgáljuk, hogyan jelentkezik impulzív rendszereknél a rezonancia-közeli lebegés. Animációt készítünk, amelyben a ? körül változtatjuk a T értékét egészen kis lépésekben.

xyvar={x,y}; xydot={y,–x}; Clear[T];

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x } ; Clear [ T ] ;

Tmin=0.7 ?;Tmax=1.3 ?;Tstep=0.1 ?;

Tmin = 0.7 ? ; Tmax = 1.3 ? ; Tstep = 0.1 ? ;

tn=Table[iT,{i,1,Imax}];

tn = Table [ i ? T , { i , 1 , Imax } ] ;

A[i_]=(–1)^i; Imax=100; An=Table[{0,A[i]},{i,1,Imax}];

A [ i_ ] = ( - 1 ) i ; Imax = 100 ; An = Table [ { 0 , A [ i ] } , { i , 1 , Imax } ] ;

ImpPlus[n_,tn_List,xn_List]:=MapThread[Plus,{An[[n]],xn}];

ImpPlus [ n_ , tn_List , xn_List ] := MapThread [ Plus , { An [ n ] , xn } ] ;

t0=0;t1=60; x0tab={{0,0}};

t0 = 0 ; t1 = 60 ; x0tab = { { 0 , 0 } } ;

  • A képkockák E

    E

resonanceanim=Table[SolPlot[Evaluate[IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpPlus,x0tab,{t,t0,t1}]], {t,t0,t1},xyvar,Ticks›{Range[–40,60,20],Range[–40,40,10]},PlotRange›{–15,15}, PlotPoints›40],{T,Tmin,Tmax,Tstep}];

resonanceanim = Table [ SolPlot [ Evaluate [ IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpPlus , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ] , { t , t0 , t1 } , xyvar , Ticks { Range [ - 40 , 60 , 20 ] , Range [ - 40 , 40 , 10 ] } , PlotRange { - 15 , 15 } , PlotPoints 40 ] , { T , Tmin , Tmax , Tstep } ] ;

  • A képkockák együtt

Show[GraphicsArray[Partition[Flatten[resonanceanim],2]]];

Show [ GraphicsArray [ Partition [ Flatten [ resonanceanim ] , 2 ] ] ] ;

További kísérletek, feladatok

13.4.1. Kísérlet.

Végezzünk kísérleteket impulzívan fékezett oszcillátorok gerjesztéseire. Ekkor az impulzust ( x'(t_i+0)=B_ix'(t_i–0)+A_i

x ' ? ( t i + 0 ) = B i ? x ' ? ( t i - 0 ) + A i ) az

Imp[n_,tn_List,xn_List]:=MapThread[Plus,{An[[n]],MapThread[Times,{Bn[[n]],xn}]}];

Imp [ n_ , tn_List , xn_List ] := MapThread [ Plus , { An [ n ] , MapThread [ Times , { Bn [ n ] , xn } ] } ] ;

függvény írja le.

13.4.2. Feladat.

Írjuk fel a vizsgált inhomogén lineáris impulzív rendszer általános megoldását rekurzív formában.

13.4.3. Kísérlet.

Vizsgáljuk meg a nemlineáris x''+f(x)=0

x '' + f ? ( x ) = 0 rendszerek viselkedését impulzív gerjesztés esetén, különös tekintettel a rezonanciára. Létezik-e rezonancia a szuper- és szublineáris esetekben? Ha igen, milyen értelemben? Ne feledjük, ha f(x) f ? ( x ) páratlan hatvány, akkor bármilyen periódusidejű megoldás létezik.