Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

13.5. Impulzív relaxációs oszcillációk

13.5. Impulzív relaxációs oszcillációk

A Rayleigh és Van der Pol egyenletek

A szívműködés modellezésében, elektromos áramkörök vizsgálatában és matematikai szempontból egyaránt nagy jelentőségűek a Rayleigh egyenlet:

x''+A(x'^2–1)x'+kx=0 x '' + A ? ( x ' 2 - 1 ) ? x ' + k ? x = 0 (13.5.1)

és a Van der Pol egyenlet:

y''+?(y^2–1)y'+ky=0. y '' + ? ? ( y 2 - 1 ) ? y ' + k ? y = 0 . (13.5.2)

Ezen egyenletek az úgynevezett relaxációs oszcilláció jelenségét modellezik, ahol valamely folyamat hirtelen megváltozását elernyedésszerű visszatérés követi. A két egyenlet között a kapcsolat egyszerű. Ha x(t)

x ? ( t ) megoldása a Rayleigh egyenletnek, akkor y(t)=x'(t) y ? ( t ) = x ' ? ( t ) megoldása egy Van der Pol egyenletnek. Vegyük észre, hogy mindkettő csupán annyiban különbözik a fékezett oszcillátor

x''+ax'+kx=0
x '' + a ? x ' + k ? x = 0

egyenletétől, hogy a fékezési együttható nemlineáris. Sőt, a megoldások kis értékei esetén a „fékezés” negatív, ami növeli a rendszer energiáját (amihez valamilyen külső erőforrás kell), a nagy értékek esetén pedig az energia csökken. Ez a tulajdonság eredményezi az ismert pulzáló korlátos oszcilláló görbéket. Bebizonyítható, hogy mindkét rendszer trajektóriái a síkon egy periodikus trajektóriához, határciklushoz tartanak. A Rayleigh és Van der Pol egyenletek kvalitatív vizsgálatával kapcsolatosan lásd például a [15, 18, 21] műveket.

13.5.1. Példa. Rayleigh egyenlet: x''+(x'^2–1)x'+x=0

x '' + ( x ' 2 - 1 ) ? x ' + x = 0

Most ábrázoljuk a

x''+(x'^2–1)x'+x=0
x '' + ( x ' 2 - 1 ) ? x ' + x = 0

Rayleigh, majd a következő példában a transzformációval kapott

y''+(3y^2–1)y'+ky=0
y '' + ( 3 ? y 2 - 1 ) ? y ' + k ? y = 0

Van der Pol egyenlet néhány megoldását, azok trajektóriáját és az energia változását. Figyeljük meg a kapott görbéket és az energia ingadozását. Igazán lökésszerű változásokat a Van der Pol egyenlet esetén tapasztalunk.

xyvar={x,y};xydot={y,–x–(y^2–1)y}; t0=0;t1=15;

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x - ( y 2 - 1 ) ? y } ; t0 = 0 ; t1 = 15 ;

V[x_,y_]:=(x^2/2)+(y^2/2)

V [ x_ , y_ ] := x 2 2 + y 2 2

  • Megoldás

x0tab={{0,0.2}}; Traj[t_]=ODESolve[xydot,xyvar,x0tab,{t,t0,t1}];

x0tab = { { 0 , 0.2 } } ; Traj [ t_ ] = ODESolve [ xydot , xyvar , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ;

  • A trajektória

PhasePlotBW[Traj[t],{t,t0,t1},AxesLabel›{x,y},PlotPoints›100];

PhasePlotBW [ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , AxesLabel { x , y } , PlotPoints 100 ] ;

  • A megoldás koordnátái és az energia

SolPlot[({#1[[1]],#1[[2]],V[#1[[1]],#1[[2]]]}///&///)/@Traj[t],{t,t0,t1},{x,y,V},{{PlotRange›{–2,2}},{PlotRange›{–2,2}},{PlotRange›{0,1}}}];

SolPlot [ ( { #1 [ 1 ] , #1 [ 2 ] , V [ #1 [ 1 ] , #1 [ 2 ] ] } ///&/// ) /@ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , { x , y , V } , { { PlotRange { - 2 , 2 } } , { PlotRange { - 2 , 2 } } , { PlotRange { 0 , 1 } } } ] ;

13.5.2. Példa. Van der Pol egyenlet: x''+(3x^2–1)x'+x=0

x '' + ( 3 ? x 2 - 1 ) ? x ' + x = 0

xyvar={x,y}; xydot={y,–x–(3x^2–1)y};

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x - ( 3 ? x 2 - 1 ) ? y } ;

t0=0; t1=15;x0tab={{0,0.2}};

t0 = 0 ; t1 = 15 ; x0tab = { { 0 , 0.2 } } ;

  • A trajektória

  • A megoldás koordinátái és az energia

Impulzív relaxációs oszcillációk, bevezetés

A Rayleigh és Van der Pol egyenletek hatásának lényege az energia lökésszerű növelése, majd lassú elvesztése. Kis impulzusok is elvégezhetik ugyanezt a feladatot. Az eddigiekben vizsgált lineáris y(t_i+0)=b_iy(t_i–0)

y ? ( t i + 0 ) = b i ? y ? ( t i - 0 ) impulzus helyett például

y(t_i+0)=b_i|y(t_i–0)|^ßsign(y(t_i–0)), (0///<///ß///<///1)
y ? ( t i + 0 ) = b i ? | y ? ( t i - 0 ) | ß sign ? ( y ? ( t i - 0 ) ) , ( 0 ///</// ß ///</// 1 )

alakú impulzust alkalmazva az

x'=y, y'=–x, ha t?t_i, x(t_i+0)=x(t_i–0), y(t_i+0)=b_i |y(t_i–0)|^ßsign(y(t_i–0)), 0///<///ß///<///1, 0?b_n?b///<///?. x ' = y , y ' = - x , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) , y ? ( t i + 0 ) = b i | y ? ( t i - 0 ) | ß sign ? ( y ? ( t i - 0 ) ) , 0 ///</// ß ///</// 1 , 0 ? b n ? b ///</// ? . (13.5.3)

impulzív rendszerhez jutunk. A (.)^ß

( . ) ß hatvány ugrásszerű növekedést eredményez a ß kis értékeire és lassú csökkenést a nagyokra. Tapasztalni fogjuk, hogy a t_i=iT, b_i=b///>///0 t i = i ? T , b i = b ///>/// 0 eset analóg az autonóm Rayleigh egyenlettel (lásd a feladatokat!). A paraméterek változásakor azonban olyan új jelenségekkel is találkozunk, amelyek matematikailag még nem bizonyítottak, illetve alkalmazásaik is nyitottak. Ezen rendszerek azt sugallják, hogy relaxációs oszcillációt apró impulzusokkal is lehet generálni. Ha ez a generátor meghibásodik, akkor a rendszer viselkedése drámai módon megváltozik. A legegyszerűbb hiba lehet, hogy az impulzusok egyre gyorsabban, illetve egyre nagyobb impulzusok követik egymást. Kérdés még, hogy az impulzusban szereplő ß kitevő mennyire befolyásolja a rendszer tulajdonságait. Az alapesetek vizsgálata után az olvasóra bízzuk további érdekes jelenségek felfedezését.

Szabályos oszcilláció

Először a (13.5.3) rendszerben legyen t_i=iT, b_i=b///>///0

t i = i ? T , b i = b ///>/// 0 . Majd néhány más konfiguráció esetén végzett szimuláció eredményeit is bemutatjuk, ahol csupán a paramétereket írjuk le és az ábrákat mutatjuk be, mivel az első eset programját használjuk.

13.5.3. Példa. A T=0.2, b=1, ß=0.6

T = 0.2 , b = 1 , ß = 0.6 eset

  • A rendszer és a technikai paraméterek

xyvar={x,y};xydot={y,–x}; T=0.2; b=1.; beta={1,0.6};

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x } ; T = 0.2 ; b = 1. ; beta = { 1 , 0.6 } ;

A Mathematica nem csak {x,y}^?

{ x , y } ? alakú, hanem {x,y}^({?,ß}) { x , y } { ? , ß } alakú vektor kitevőjű hatványt is képes kiértékelni koordinátánként. Az impulzusfüggvény megadásánál ezt a módszert alkalmazzuk.

Imax=500;

Imax = 500 ;

tn:=Table[nT,{n,0,Imax}];

tn := Table [ n ? T , { n , 0 , Imax } ] ;

bn:=Table[{1,b},{n,1,Imax}];

bn := Table [ { 1 , b } , { n , 1 , Imax } ] ;

ImpMultBeta[n_,tn_List,xn_List]:=bn[[n]]*Abs[xn]^(beta)Sign[xn];

ImpMultBeta [ n_ , tn_List , xn_List ] := bn [ n ] * Abs [ xn ] beta ? Sign [ xn ] ;

A bn lista tartalmazza az impulzusokat. Minden esetben az első elem 1, mert az x koordinátára nem hat impulzus.

  • A megoldás:

t0=0;t1=15.;x1=y1=–2;x2=y2=2;

t0 = 0 ; t1 = 15. ; x1 = y1 = - 2 ; x2 = y2 = 2 ;

x0tab={{0,0.2}};

x0tab = { { 0 , 0.2 } } ;

Traj[t_]=IDESolve[xydot,xyvar,tn,ImpMultBeta,x0tab,{t,t0,t1}];

Traj [ t_ ] = IDESolve [ xydot , xyvar , tn , ImpMultBeta , x0tab , { t , t0 , t1 } ] ;

  • A trajektória

Bár a rendszer nemautonóm, a megoldások trajektóriáit ábrázolhatjuk az {x,y}

{ x , y } fázissíkon, ami sokat segít a rendszer tanulmányozása során.

PhasePlotBW[{Traj[t][[1]]},{t,t0,t1},PlotPoints›80, PlotRange›All];

PhasePlotBW [ { Traj [ t ] [ 1 ] } , { t , t0 , t1 } , PlotPoints 80 , PlotRange All ] ;

  • A megoldás koordinátái és az energia

SolPlot[(Append[#1,V[#1[[1]],#1[[2]]]]///&///)/@Traj[t],{t,t0,t1},{x,y,V},PlotRange›All];

SolPlot [ ( Append [ #1 , V [ #1 [ 1 ] , #1 [ 2 ] ] ] ///&/// ) /@ Traj [ t ] , { t , t0 , t1 } , { x , y , V } , PlotRange All ] ;

13.5.4. Példa. T=0.4, b=1, ß=0.6

T = 0.4 , b = 1 , ß = 0.6

T=0.4; b=1.; beta={1,0.6}; x0tab={{0,0.2}};

T = 0.4 ; b = 1. ; beta = { 1 , 0.6 } ; x0tab = { { 0 , 0.2 } } ;

  • A trajektória

  • A megoldás koordinátái és az energia

13.5.5. Példa. T=0.2, b=2, ß=0.6

T = 0.2 , b = 2 , ß = 0.6

T=0.2; b=2.; beta={1,0.6};

T = 0.2 ; b = 2. ; beta = { 1 , 0.6 } ;

  • A trajektória

  • A megoldás koordinátái és az energia

13.5.6. Példa. T=0.1, b=1, ß=0.6

T = 0.1 , b = 1 , ß = 0.6

T=0.1; b=1.; beta={1,0.6}; x0tab={{0,0.5},{0,2}};

T = 0.1 ; b = 1. ; beta = { 1 , 0.6 } ; x0tab = { { 0 , 0.5 } , { 0 , 2 } } ;

  • Trajektória

  • A megoldás koordinátái és az energia

  • Következtetések

Az eredmények alapján azonnal megfogalmazhatunk néhány sejtést. A rendszer alakjából látható, hogy a b konstans változtatása a megoldások alakját és az oszcilláció „periódusát” nem befolyásolja lényegesen, a megoldások amplitúdójára hat. A T idő és a ß kitevő növelése csökkenti az energianövelő és elnyelő szakaszok közti különbséget, míg a fordított változtatás a „lüktetést” markánsabbá teszi.

Gyorsuló impulzusok

Ebben a pontban gyorsuló impulzusokkal végzett szimulációk eredményeit mutatjuk be. Az impulzusok időpontja t_i=(ci)^?

t i = ( c ? i ) ? , ahol 0///<///?///<///1 0 ///</// ? ///</// 1 . Nyilvánvaló, hogy minél kisebb a ? kitevő, annál gyorsabban csökken a t_(i+1)–t_i t i + 1 - t i távolság. Könnyű látni, hogy (i+1)^?–i^?///<///(?/i^(1–?)) ( i + 1 ) ? - i ? ///</// ? i 1 - ? . Látni fogjuk, hogy a ?=0.5 ? = 0.5 kitevőnek speciális jelentősége van. Ha ?///<///0.5 ? ///</// 0.5 , akkor a megoldások x koordinátája monoton, ha x///>///0.5, x ///>/// 0.5 , akkor a megoldások oszcillálnak. Minden esetben az y koordináta korlátos, az x koordináta nem az. A futásidő néhány esetben igen nagy, ezért csak az {1,0} { 1 , 0 } kezdőpontból induló megoldást ábrázoljuk. A megoldó és ábrázoló utasítások már jól ismertek, csak a rendszereket írjuk le a Mathematica-ban. Az energiát most nem ábrázoljuk.

13.5.7. Példa. t_n=n^(0.6), b=1,ß=0.4

t n = n 0.6 , b = 1 , ß = 0.4

xyvar={x,y};xydot={y,–x}; x0tab={{1,0}};

xyvar = { x , y } ; xydot = { y , - x } ; x0tab = { { 1 , 0 } } ;

?=0.6; b=1.; beta={1,0.4}; Imax=2000;

? = 0.6 ; b = 1. ; beta = { 1 , 0.4 } ; Imax = 2000 ;

tn=Table[n^?,{n,0,Imax}];bn=Table[{1,b},{n,1,Imax}];

tn = Table [ n ? , { n , 0 , Imax } ] ; bn = Table [ { 1 , b } , { n , 1 , Imax } ] ;

ImpMultBeta[n_,tn_List,xn_List]:=bn[[n]]*Abs[xn]^(beta)Sign[xn];

ImpMultBeta [ n_ , tn_List , xn_List ] := bn [ n ] * Abs [ xn ] beta ? Sign [ xn ] ;

t0=0;t1=30.; x1=y1=–2;x2=y2=2;

t0 = 0 ; t1 = 30. ; x1 = y1 = - 2 ; x2 = y2 = 2 ;

  • A trajektória

  • A megoldás koordinátái

13.5.8. Példa. t_n=(2n)^(0.5), b=1,ß=0.4

t n = ( 2 ? n ) 0.5 , b = 1 , ß = 0.4

b=1.; beta={1,0.4}; ?=0.5; tn=Table[(2n)^?,{n,0,Imax}]; x0tab={{1,0}}; t0=0; t1=40.; x1=y1=–12; x2=y2=3;

b = 1. ; beta = { 1 , 0.4 } ; ? = 0.5 ; tn = Table [ ( 2 ? n ) ? , { n , 0 , Imax } ] ; x0tab = { { 1 , 0 } } ; t0 = 0 ; t1 = 40. ; x1 = y1 = - 12 ; x2 = y2 = 3 ;

  • A trajektória

  • A megoldás koordinátái

13.5.9. Példa. t_n=n^(0.5), b=1,ß=0.4

t n = n 0.5 , b = 1 , ß = 0.4

b=1.; beta={1,0.4}; ?=0.5; tn=Table[(n)^?,{n,0,Imax}]; x0tab={{1,0}}; t0=0; t1=15.; x1=y1=–9; x2=y2=2;

b = 1. ; beta = { 1 , 0.4 } ; ? = 0.5 ; tn = Table [ ( n ) ? , { n , 0 , Imax } ] ; x0tab = { { 1 , 0 } } ; t0 = 0 ; t1 = 15. ; x1 = y1 = - 9 ; x2 = y2 = 2 ;

  • A trajektória

  • A megoldás koordinátái

13.5.10. Példa. t_n=(2n)^(0.45), b=1,ß=0.4

t n = ( 2 ? n ) 0.45 , b = 1 , ß = 0.4

b=1.; beta={1,0.4}; ?=0.45; tn=Table[(2n)^?,{n,0,Imax}]; x0tab={{1,0}}; t0=0;t1=20.;x1=y1=–12;x2=y2=3;

b = 1. ; beta = { 1 , 0.4 } ; ? = 0.45 ; tn = Table [ ( 2 ? n ) ? , { n , 0 , Imax } ] ; x0tab = { { 1 , 0 } } ; t0 = 0 ; t1 = 20. ; x1 = y1 = - 12 ; x2 = y2 = 3 ;

  • A trajektória

  • A megoldás koordinátái

További kísérletek, feladatok

13.5.1. Feladat.

Írjuk fel az energia ugrásának képletét a (13.5.3) rendszerre. Ennek alapján a t_i=iT, b_i=b///>///0

t i = i ? T , b i = b ///>/// 0 esetben az energiák változása egyenlőségének elve alapján adjunk megfeleltetést a (13.5.1) Rayleigh egyenlet és a (13.5.3) rendszer között.

13.5.2. Feladat.

Alkalmazva az energiafüggvényt mutassuk meg, hogy ha t_(i+1)–t_i

t i + 1 - t i alulról korlátos, b_i b i felülről korlátos, akkor (13.5.3) minden megoldása korlátos [0,?)-en.

13.5.3. Feladat.

Vizsgáljuk meg, hogy a t_i=iT, b_i=b///>///0

t i = i ? T , b i = b ///>/// 0 esetben létezik-e pontosan egy periodikus megoldás (T-vel való eltolástól eltekintve). Függ-e ez attól, hogy (T/?) T ? racionális?

13.5.4. Kísérlet.

Vizsgáljunk relaxációs oszcillátorokat nemlineáris rugalmassági erővel:

x''+f(x)=0, ha t?t_i, x(t_i+0)=x(t_i–0), y(t_i+0)=b_i|y(t_i–0)|^ßsign(y(t_i–0)), ahol 0///<///ß///<///1, x '' + f ? ( x ) = 0 , ha t ? t i , x ? ( t i + 0 ) = x ? ( t i - 0 ) , y ? ( t i + 0 ) = b i | y ? ( t i - 0 ) | ß sign ? ( y ? ( t i - 0 ) ) , ahol 0 ///</// ß ///</// 1 , (13.5.4)

ahol f:R›R

f : R R folytonos és kielégíti az xf(x)///>///0 (x///>///0) x ? f ? ( x ) ///>/// 0 ? ( x ///>/// 0 ) feltételt az origó valamely környezetében (lásd az impulzív fékezésekkel kapcsolatos feladatokat a 13.2. fejezetben).

13.5.5. Feladat.

Használjuk fel a fékezés nélküli egyenlet megoldásainak periodicitására és a periódus hosszára vonatkozó korábbi észrevételeket. Mit tudunk ez alapján mondani a t_i=iT

t i = i ? T esetben a szuperlineáris és szublineáris rendszerek periodikus megoldásainak a számáról és tulajdonságairól?

13.5.6. Kísérlet.

Végezzünk kísérleteket, ahol az impulzusban a b_i

b i konstans változik.