Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

14. fejezet - Ütközés, visszaverődés, irányváltozás

14. fejezet - Ütközés, visszaverődés, irányváltozás

14.1. Bevezető példák

A mechanikai, optikai ütközések, visszaverődések (visszaütések), valamely falon történő áthaladás során történő irányváltozások szinte mind leírhatók valamilyen impulzív rendszerrel. Az oszcillátorok vizsgálatánál már foglalkoztunk ilyen esetekkel. Ebben a fejezetben néhány további elemi problémát tekintünk, amelyek vizsgálata segít megérteni az impulzív rendszerek természetét. Ha egy mozgó test valamely felülettel találkozik, akkor ennek a találkozásnak a következménye, hogy a mozgó test sebessége egy pillanat alatt megváltozik. Oszcillátorok impulzív fékezése esetén láttuk, hogy ha a rezgő testet valamely ? pillanatban fékező impulzus érte, akkor a sebessége a

x'(?+0)=b_?x'(?–0)
x ' ? ( ? + 0 ) = b ? ? x ' ? ( ? - 0 )

képlet szerint változott, ahol b_??0.

b ? ? 0. Ha a ? pillanatban b_??0 b ? ? 0 , akkor a test visszapattan. Ezek az impulzusok úgy is felfoghatók, mintha a mozgó test az adott ? pillanatban valamilyen vékony filmréteggel találkozna és azon vagy áthalad (b_??0) ( b ? ? 0 ) vagy visszaütődik (b_??0) ( b ? ? 0 ) . Ha |b_?|///<///1 b ? | ///</// 1 , akkor a test energiát veszít (például rugalmatlan ütközés), ha |b_?|///>///1, b ? | ///>/// 1 , akkor pedig energiát nyer (például a labdába beleütünk). Az oszcillátorok korábban tekintett eseteinél az impulzusok mindig rögzített időpontban érkeztek. Ha azonban a rezgő test valamely rögzített (vagy mozgó) fallal találkozik, akkor az impulzusok bekövetkezésének pillanatait nem ismerjük, és a mozgás autonóm vagy általánosabb impulzív rendszerrel írható le. Az IDERKSolve használatát a falakba ütköző rugó mozgásán keresztül mutattuk be az 5.5. fejezetben.

Mozgó pont visszaütődése

Tekintsünk egy golyót, amely vízszintes egyenes vonalú pályán mozog súrlódás nélkül, két pont között. A két végpontban rugalmatlanul visszaütődik. Az energiaelnyelés mértéke a végpontokban legyen azonos. Tegyük fel, hogy a két végpont a valós számegyenes ±A

± A pontjai. Ha x(t) x ? ( t ) a mozgó pont helyzete a t pillanatban, akkor x(t) x ? ( t ) -re az alábbi impulzív rendszert írhatjuk fel.

x''(t)=0, ha |x(t)|?A, x'(?+0)=–bx'(?–0), ha |x(?)|=A, x '' ? ( t ) = 0 , ha | x ? ( t ) | ? A , x ' ? ( ? + 0 ) = - b ? x ' ? ( ? - 0 ) , ha | x ? ( ? ) | = A , (14.1.1)

ahol 0?b?1

0 ? b ? 1 . A b=1 b = 1 esetben rugalmas visszaverődés van, ha pedig b=0, b = 0 , akkor a mozgó pont ráragad a felületre. Megjegyezzük, hogy a felírt rendszer nem csak az |x(t)|?A | x ? ( t ) | ? A esetben használható. Ha azonban |x(t)|///>///A | x ? ( t ) | ///>/// A , akkor legfeljebb egy ütközés lehetséges. Az 5.5. fejezetben elmondottak szerint a rendszer felírása (átírva elsőrendű rendszerré) és megoldása az alábbiak szerint történhet (A=1, b=0.8 A = 1 , b = 0.8 ):

var={x,y}; xdot={y,0}; eqnparm={A›1., b›0.8};

var = { x , y } ; xdot = { y , 0 } ; eqnparm = { A 1. , b 0.8 } ;

Impulse={{Abs[x]–A,{x,–by},0}}/.eqnparm;

Impulse = { { Abs [ x ] - A , { x , - b ? y } , 0 } } /. eqnparm ;

t0=0; t1=12; dt=0.05; x0list={{0.4,1.}};

t0 = 0 ; t1 = 12 ; dt = 0.05 ; x0list = { { 0.4 , 1. } } ;

Oldjuk meg a rendszert és ábrázoljuk az első megoldást:

sol=IDERKSolve[xdot,Impulse,var,x0list,{t,t0,t1,dt}];

sol = IDERKSolve [ xdot , Impulse , var , x0list , { t , t0 , t1 , dt } ] ;

A megoldás grafikonja:

ListSolPlot[sol,{x,x'},PlotRange›All];

ListSolPlot [ sol , { x , x ' } , PlotRange All ] ;

A biliárdgolyó mozgása

Tekintsük most a fenti példát úgy, hogy a golyó a síkon mindkét, x és y irányban mozog, és a visszaverődés egy téglalap oldalairól történik (biliárdasztal fala). A két végpontban rugalmatlan ütközés következtében visszaütődik. Az energiaelnyelés mértéke mindegyik falnál legyen azonos. A falak legyenek az |x|=A

| x | = A és |y|=B | y | = B helyeken. Ha {x(t),y(t)} { x ? ( t ) , y ? ( t ) } a mozgó pont helyzete a t pillanatban, akkor az alábbi impulzív rendszert írhatjuk fel.

x''(t)=0, y''(t)=0 ha |x(t)|?A és |y(t)|?B, x'(?+0)=–bx'(?–0), ha |x(?)|=A, y'(?+0)=–by'(?–0), ha |y(?)|=B,
x '' ? ( t ) = 0 , y '' ? ( t ) = 0 ? ha | x ? ( t ) | ? A és | y ? ( t ) | ? B , x ' ? ( ? + 0 ) = - b ? x ' ? ( ? - 0 ) , ha | x ? ( ? ) | = A , y ' ? ( ? + 0 ) = - b ? y ' ? ( ? - 0 ) , ha | y ? ( ? ) | = B ,

ahol 0?b?1

0 ? b ? 1 . A rendszert az alábbiak szerint adhatjuk meg (A=1, B=0.5) ( A = 1 , B = 0.5 ) :

var={x,v,y,w};xydot={v,0,w,0};

var = { x , v , y , w } ; xydot = { v , 0 , w , 0 } ;

eqnparm={A›1.,B›0.5,b›1};

eqnparm = { A 1. , B 0.5 , b 1 } ;

Impulse={{Abs[x]–A,{x,–bv,y,w},0},{Abs[y]–B,{x,v,y,–bw},0}}/.eqnparm;

Impulse = { { Abs [ x ] - A , { x , - b ? v , y , w } , 0 } , { Abs [ y ] - B , { x , v , y , - b ? w } , 0 } } /. ? eqnparm ;

t0=0;t1=10;dt=0.001; x0list={{0,N[?2],0,1}};

t0 = 0 ; t1 = 10 ; dt = 0.001 ; x0list = { { 0 , N [ 2 ] , 0 , 1 } } ;

Oldjuk meg a rendszert:

sol=IDERKSolve[xydot,Impulse,var,x0list,{t,t0,t1,dt}];

sol = IDERKSolve [ xydot , Impulse , var , x0list , { t , t0 , t1 , dt } ] ;

A golyó mozgása a biliárdasztalon az alábbi pályát írja le:

ListPlot[Coordinate[sol[[1]],{2,4}],PlotJoined›True,GridLines›Automatic,PlotRange›All,AspectRatio›Automatic];

ListPlot [ Coordinate [ sol [ 1 ] , { 2 , 4 } ] , PlotJoined True , GridLines Automatic , PlotRange All , AspectRatio Automatic ] ;

Az x és y koordináták és deriváltjaik grafikonja:

cimke={"x","x'","y","y'"};

cimke = { x , x' , y , y' } ;

(Show[GraphicsArray[Partition[Table[ListPlot[Coordinate[#1,{1,i+1}],PlotLabel›cimke[[i]],PlotJoined›True],{i,1,4}],2]]]///&///)/@sol;

( Show [ GraphicsArray [ Partition [ Table [ ListPlot [ Coordinate [ #1 , { 1 , i + 1 } ] , PlotLabel cimke [ i ] , PlotJoined True ] , { i , 1 , 4 } ] , 2 ] ] ] ///&/// ) /@ sol ;

Áthaladás felületen

Tekintsük végül azt az esetet, amikor a mozgó pont áthalad valamely felületen. Tegyük fel, hogy a felületen való áthaladáskor a felületre merőleges komponens lefékeződik, de nem történik visszaverődés. A felülettel párhuzamos komponens változatlan sebességgel halad. Most tegyük fel, hogy minden fékező felület merőleges az x koordinátára. Nyilvánvaló, hogy elegendő csupán erre a komponensre felírni a mozgásegyenletet. Tegyük fel, hogy a fékező felületek egyenlő T távolságra vannak.

Ekkor az alábbi impulzív rendszert kapjuk:

x''(t)=0, ha sin((?/T)x(t))?0, x'(?+0)=bx'(?–0), ha sin((?/T)x(t))=0, x '' ? ( t ) = 0 , ha ? sin ? ( ? T ? x ? ( t ) ) ? 0 , x ' ? ( ? + 0 ) = b ? x ' ? ( ? - 0 ) , ha ? sin ? ( ? T ? x ? ( t ) ) = 0 , (14.1.2)

ahol 0?b?1

0 ? b ? 1 . A rendszert az alábbiak szerint oldhatjuk meg:

Clear[T,b]; var={x,y};xydot={y,0.};eqnparm={T›1.,b›0.7};

Clear [ T , b ] ; var = { x , y } ; xydot = { y , 0. } ; eqnparm = { T 1. , b 0.7 } ;

Impulse={{Sin[((2?)x/T)]+0,{x,by},1}}/.eqnparm;

Impulse = { { Sin [ ( 2 ? ? ) ? x T ] + 0 , { x , b ? y } , 1 } } /. ? eqnparm ;

t0=0;t1=10;dt=0.05; x0list={{0.5,2.}};

t0 = 0 ; t1 = 10 ; dt = 0.05 ; x0list = { { 0.5 , 2. } } ;

sol=IDERKSolve[xydot,Impulse,var,x0list,{t,t0,t1,dt}];

sol = IDERKSolve [ xydot , Impulse , var , x0list , { t , t0 , t1 , dt } ] ;

A megoldás és deriváltjának grafikonja:

ListSolPlot[sol,{"x","x'"},PlotRange›All];

ListSolPlot [ sol , { x , x' } , PlotRange All ] ;

További kísérletek, feladatok

14.1.1. Feladat.

Oldjuk meg a mozgást modellező impulzív rendszert, ha a biliárdasztal síkja, ezen belül az y koordináta függőleges, és nehézségi erő hat.

14.1.2. Feladat.

Vizsgáljuk meg a mozgást a nehézségi erő figyelmen kívül hagyásával, illetve nehézségi erő hatása alatt is, ha a síkban a pont valamely görbéről (paraméteres differenciálható görbe) ütődik vissza. Tekintsük például a kör alakú biliárdasztal és a spirál alakú görbe esetét.

14.1.3. Feladat.

Mi történik, ha a biliárdasztal falai mozognak, például kis rezgéseket végeznek?

14.1.4. Feladat.

Írjuk fel a fénytörés jelenségét impulzív rendszerrel.