Ebben a fejezetben egy, már a kisgyerekek által is ismert, népszerű jelenséget vizsgálunk. Hogyan pattog a labda, illetve milyen módon kell pattogtatni, hogy mindig ugyanolyan magasra emelkedjen. Pontosabban, valamely pattogtatási módszer esetén van-e periodikus mozgás, és ez a mozgás stabilis-e?

A szabadon pattogó labda

Tekintsük a legegyszerűbb esetet. Engedjük el (esetleg valamilyen kezdősebességgel indítsuk) a labdát valamely h magasságban és hagyjuk magára. Legyen

x ? ( t ) a labda földtől mért magassága. Tudjuk, hogy a levegőben (a légellenállást elhanyagoljuk) a mozgást az

[D]

x '' = - g egyenlet írja le, ahol g a nehézségi gyorsulás. A földhöz érés ? pillanatában rugalmatlan ütközés következik be, amit az

egyenlet ír le, ahol

0 ? ? ? 1 . Ha

[D]

? = 1 , akkor az ütközés rugalmas, ha

[D]

? = 0 , akkor a labda a földhöz ragad az ütközés pillanatában. A rendszert elsőrendűvé írjuk át, ahol

[D]

x ? ( t ) továbbra is a labda magasságát,

[D]

v ? ( t ) = x ' ? ( t ) pedig a sebességét jelöli. Az alábbi példában végig

[D]

g = 1 és

[D]

? = 0.8 .

var = { x , v } ; eqnparm = { g › 1 , ? › 0.8 } ; xvdot = { v , - g } /. eqnparm ;

Impulse = { { x , { x , - ? ? v } , 0 } } /. eqnparm ;

t0 = 0 ; t1 = 12 ; dt = 0.05 ; x0list = { { 1. , 0 } } ;

Oldjuk meg a rendszert, és ábrázoljuk a kapott megoldást:

sol = IDERKSolve [ xvdot , Impulse , var , x0list , { t , t0 , t1 , dt } ] ; ListSolPlot [ sol , { x , x' } , PlotRange › All ] ;

Látjuk (mindez persze jól ismert), hogy a labda sebessége minden ütközésnél ?-szorosára csökken. Emiatt az

x = 0 egyensúlyi helyzet aszimptotikusan stabilis.

A mozgás elhalását pattogtatással tudjuk ellensúlyozni. Két alapvetően különböző stratégia lehetséges. Az egyik, amikor a labdát adott magasságban, a másik, amikor a labdát rögzített időpillanatokban ütjük vissza. Vizsgáljuk meg mindkét esetet.

Pattogtatás adott magasságban

Tegyük fel, hogy a labda felfelé mozog és

x ? ( t ) ///</// h . Amint a h magasságot eléri (valamely ? pillanatban), üssük vissza, azaz

ahol

ß ///>/// 1 , mivel a földdel való találkozásnál fellépő energiacsökkenést ellensúlyozni kell. Végezzünk néhány kísérletet, amelyekben animációt készítünk. Rögzítjük a visszapattanásokat jellemző ? és ß konstansokat, a labdát az

[D]

0 ///</// x = h 0 ///</// h egyensúlyi helyzetből indítjuk és a kezdősebességet változtatjuk. Csupán az Impulse változót kell bővítenünk az előző esethez képest. Az alábbi példában

[D]

h = 1 , ß = 1.3 , a kezdőmagasság

[D]

h 0 = 0.5 .

eqnparm = { g › 1. , ? › 0.8 , h0 › 0.5 , h = 1. ; ß › 1.3 } ;

var = { x , v } ; xvdot = { v , - g } /. ? eqnparm ;

Impulse = { { x , { x , - ? ? v } , 0 } , { x - h , { x , - ß ? v } , 0 } } /. ? eqnparm ;

t0 = 0 ; t1 = 8 ; dt = 0.01 ;

A rendszer megoldásait azonos kezdeti magasság és különböző kezdeti sebességek esetén határozzuk meg.

x0list = Table [ { h0 , v0 } , { v0 , 1.5 , 3.5 , 0.5 } ] /. eqnparm ;

sol = IDERKSolve [ xvdot , Impulse , var , x0list , { t , t0 , t1 , dt } ] ;

Ábrázoljuk a megoldásokat

E . Nyomtatásban csak az első és utolsó kocka látható.

ListSolPlot [ sol , { x , x' } , PlotRange › All ] ;

Tanulságos még a trajektóriák ábrázolása is a fázistérben. Ennek elvégzését az olvasóra bízzuk.

E

Az ábrák alapján azonnal levonhatunk néhány gyakorlati következtetést. Nevezetesen:

A fenti állítások igazolása egyszerű számolást igényel. Lásd a fejezet végén a feladatokat.

Pattogtatás adott időpontokban

Az előző pontban láttuk, hogy a labda rögzített magasságban való megfelelő erejű visszaütése esetén periodikus mozgás csak szinguláris esetként fordulhat elő. Próbálkozzunk egy másik stratégiával. A labdát minden

i ? T pillanatban üssük vissza:

ahol

ß ///>/// 1 . Megjegyezzük, hogy az is előfordulhat, hogy ha a labda az ütés pillanatában éppen lefelé esik, akkor felfelé ütjük. Készítsünk néhány animációt. Az ? és ß konstansokat rögzítjük. Először adott T mellett az animációban a kezdeti energiát (pontosabban a sebességet), majd rögzített energia mellett a T-t változtatjuk. A paraméterek most is

[D]

? = 0.8 , ß = 1.3 , h = 1 , h 0 = 0.5 .

Clear [ x , v , T , g , ? , ß ] ;

eqnparm = { g › 1. , ? › 0.8 , h0 › 0.5 , T › 1. , ß › 1.3 } ;

var = { x , v } ; xdot := { v , - g } /. eqnparm ;

Impulse = { { x , { x , - ? ? v } , 0 } , { Sin [ ? ? t T ] , { x , - ß ? v } , 1 } } /. eqnparm ;

t0 = 0 ; t1 = 10 ; dt = 0.03 ;

x0list = Table [ { h0 , v0 } , { v0 , 2.5 , 4 , 0.5 } ] /. eqnparm ;

Oldjuk meg a rendszert és ábrázoljuk a megoldásokat. Nyomtatásban csak az első és utolsó képkockát mutatjuk.

sol = IDERKSolve [ xdot , Impulse , var , x0list , { t , t0 , t1 , dt } ] ;

ListSolPlot [ sol , { x , x' } , PlotRange › { { t0 , t1 } , { - 5 , 5 } } ] ;

Clear [ x , v , T , g , ? , ß ] ;

eqnparm = { g › 1. , ? › 0.8 , h0 › 0.5 , v0 › 2. , ß › 1.3 } ;

var = { x , v } ; xdot = { v , - g } /. eqnparm ;

Impulse = { { x , { x , - ? ? v } , 0 } , { Sin [ ? ? t T ] , { x , - ß ? v } , 1 } } /. eqnparm ;

t0 = 0 ; t1 = 10 ; dt = 0.03 ; x0list = { { h0 , v0 } } /. eqnparm ;

Oldjuk meg a rendszert és ábrázoljuk a megoldást.

sol = Table [ IDERKSolve [ xdot , Impulse , var , x0list , { t , t0 , t1 , dt } ] [ 1 ] , { T , 0.3 , 1.7 , 0.4 } ] ;

Ábrázoljuk a megoldásokat és deriváltjukat:

ListSolPlot [ sol , { x , x' } , PlotRange › { { t0 , t1 } , { - 5 , 5 } } ] ;

Kísérleteink és az adott magasságban történő visszaütésnél szerzett tapasztalatok alapján megfogalmazhatunk néhány sejtést:

A számolások elemiek, a fentiek bizonyítását a feladatok között az olvasóra bízzuk.

Kísérletek, feladatok

14.2.1. Feladat.

Írjuk fel a pattogó, magára hagyott labda legmagasabb helyzeteinek változását, és mutassuk meg, hogy az

x = 0 helyzet globálisan aszimptotikusan stabilis.

14.2.2. Feladat.

Az adott magasságban való visszaütés esetén adjunk feltételt periodikus megoldás létezésére. Mutassuk meg, hogy a periodikus megoldás instabilis.

vázlat.

Képezzük a

K ( x , v ) , a v sebesség változását az azonos típusú ütközések között leíró leképezést. Azaz, valamely megoldás esetén legyen

[D]

t 1 ///</// s 1 ///</// t 2 ///</// s 2 ///</// ... a visszapattanások pillanatainak sorozata, ahol az egyes

[D]

t i és

[D]

s i értékek nyilvánvalóan függnek a megoldás kezdeti értékétől, és legyen

[D]

x ? ( t i ) = 0 és

[D]

x ? ( s i ) = h . A K leképezést a

[D]

v ? ( t i + 1 + 0 ) = K ( v ? ( t i + 0 ) ) vagy a

[D]

v ? ( s i + 1 + 0 ) = K ? ( v ? ( s i + 0 ) ) összefüggéssel definiálhatjuk. Az energia

alakú, és az energia csupán a

t i és

[D]

s i pillanatokban változik. A

összefüggések alapján a K leképezés könnyen felírható, amelyben változóként ?, ß és a v sebesség szerepelnek. Nyilvánvaló, hogy a periodikus megoldás létezésének szükséges és elegendő feltétele, hogy K-nek legyen

v 0 fixpontja. Mutassuk meg, hogy ha létezik fixpont valamely rögzített ? és ß esetén, akkor ez instabilis a v változására nézve. Ehhez elegendő megmutatni, hogy

[D]

( K ( v ) - v 0 ) 2 növekszik.

14.2.3. Feladat.

Az egyenlő T időközönként való visszaütés esetén adjunk feltételt a paramétekerekre, amely biztosítja, hogy a megoldás periodikus legyen. Mutassuk meg, hogy a periodikus megoldás instabilis.

Vázlat.

Képezzük az

L : ( x ? ( ? i + 0 ) , v ? ( ? i + 0 ) ) › ( x ? ( ? i + 1 + 0 ) , v ? ( ? i + 1 + 0 ) ) fázisleképezést, ahol

[D]

? i = i ? T . Vigyázat, előfordulhat, hogy

[D]

? i és

[D]

? i + 1 között a labda nem ér földet (lásd a következő feladatot)! Az egyszerűség kedvéért zárjuk ki ezt az esetet. Nyilvánvaló, hogy a rendszernek akkor és csakis akkor van periodikus megoldása, ha L-nek van fixpontja. Mutassuk meg, hogy L-nek pontosan egy fixpontja van és az instabilis.

14.2.4. Kísérlet.

Az egyenlő T időközönként való visszaütés esetén, ha T elegendően kicsi, akkor a labda nem ér le a földre, hanem felfelé ütjük. A labdarúgók ezt nevezik dekázásnak. Végezzünk kísérleteket erre a jelenségre is. Itt is azt tapasztalhatjuk, hogy a periodikus mozgás instabilis.

14.2.5. Kísérlet.

A fentiekben láttuk, hogy a vizsgált esetekben a periodikus mozgás igen érzékeny a perturbációkra. A labdával játszó kisgyerek keze érzékeli a problémát, és szükség esetén erősíti vagy gyengíti az ütést. Az előző feladatok eredményei alapján adjunk meg állapotfigyelő pattogtató impulzusokat.

14.2.6. Kísérlet.

Végezzünk kísérleteket arra az esetre, amikor a labda más, nem a Newton törvénynek megfelelő gravitációs térben mozog.