Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

14.2. A pattogó labda mozgása

14.2. A pattogó labda mozgása

Ebben a fejezetben egy, már a kisgyerekek által is ismert, népszerű jelenséget vizsgálunk. Hogyan pattog a labda, illetve milyen módon kell pattogtatni, hogy mindig ugyanolyan magasra emelkedjen. Pontosabban, valamely pattogtatási módszer esetén van-e periodikus mozgás, és ez a mozgás stabilis-e?

A szabadon pattogó labda

Tekintsük a legegyszerűbb esetet. Engedjük el (esetleg valamilyen kezdősebességgel indítsuk) a labdát valamely h magasságban és hagyjuk magára. Legyen x(t)

x ? ( t ) a labda földtől mért magassága. Tudjuk, hogy a levegőben (a légellenállást elhanyagoljuk) a mozgást az x''=–g x '' = - g egyenlet írja le, ahol g a nehézségi gyorsulás. A földhöz érés ? pillanatában rugalmatlan ütközés következik be, amit az

x'(?+0)=–?x'(?–0)
x ' ? ( ? + 0 ) = - ? ? x ' ? ( ? - 0 )

egyenlet ír le, ahol 0???1

0 ? ? ? 1 . Ha ?=1, ? = 1 , akkor az ütközés rugalmas, ha ?=0, ? = 0 , akkor a labda a földhöz ragad az ütközés pillanatában. A rendszert elsőrendűvé írjuk át, ahol x(t) x ? ( t ) továbbra is a labda magasságát, v(t)=x'(t) v ? ( t ) = x ' ? ( t ) pedig a sebességét jelöli. Az alábbi példában végig g=1 g = 1 és ?=0.8 ? = 0.8 .

var={x,v}; eqnparm={g›1, ?›0.8};xvdot={v,–g}/.eqnparm;

var = { x , v } ; eqnparm = { g 1 , ? 0.8 } ; xvdot = { v , - g } /. eqnparm ;

Impulse={{x,{x,–?v},0}}/.eqnparm;

Impulse = { { x , { x , - ? ? v } , 0 } } /. eqnparm ;

t0=0; t1=12; dt=0.05; x0list={{1.,0}};

t0 = 0 ; t1 = 12 ; dt = 0.05 ; x0list = { { 1. , 0 } } ;

Oldjuk meg a rendszert, és ábrázoljuk a kapott megoldást:

sol=IDERKSolve[xvdot,Impulse,var,x0list,{t,t0,t1,dt}]; ListSolPlot[sol,{"x","x'"},PlotRange›All];

sol = IDERKSolve [ xvdot , Impulse , var , x0list , { t , t0 , t1 , dt } ] ; ListSolPlot [ sol , { x , x' } , PlotRange All ] ;

Látjuk (mindez persze jól ismert), hogy a labda sebessége minden ütközésnél ?-szorosára csökken. Emiatt az x=0

x = 0 egyensúlyi helyzet aszimptotikusan stabilis.

A mozgás elhalását pattogtatással tudjuk ellensúlyozni. Két alapvetően különböző stratégia lehetséges. Az egyik, amikor a labdát adott magasságban, a másik, amikor a labdát rögzített időpillanatokban ütjük vissza. Vizsgáljuk meg mindkét esetet.

Pattogtatás adott magasságban

Tegyük fel, hogy a labda felfelé mozog és x(t)///<///h

x ? ( t ) ///</// h . Amint a h magasságot eléri (valamely ? pillanatban), üssük vissza, azaz

x'(?+0)=–ßx'(?–0),
x ' ? ( ? + 0 ) = - ß ? x ' ? ( ? - 0 ) ,

ahol ß///>///1

ß ///>/// 1 , mivel a földdel való találkozásnál fellépő energiacsökkenést ellensúlyozni kell. Végezzünk néhány kísérletet, amelyekben animációt készítünk. Rögzítjük a visszapattanásokat jellemző ? és ß konstansokat, a labdát az 0///<///x=h_0///<///h 0 ///</// x = h 0 ///</// h egyensúlyi helyzetből indítjuk és a kezdősebességet változtatjuk. Csupán az Impulse változót kell bővítenünk az előző esethez képest. Az alábbi példában h=1, ß=1.3 h = 1 , ß = 1.3 , a kezdőmagasság h_0=0.5 h 0 = 0.5 .

eqnparm={g›1.,?›0.8,h0›0.5,h=1.;ß›1.3};

eqnparm = { g 1. , ? 0.8 , h0 0.5 , h = 1. ; ß 1.3 } ;

var={x,v};xvdot={v,–g}/.eqnparm;

var = { x , v } ; xvdot = { v , - g } /. ? eqnparm ;

Impulse={{x,{x,–?v},0},{x–h,{x,–ßv},0}}/.eqnparm;

Impulse = { { x , { x , - ? ? v } , 0 } , { x - h , { x , - ß ? v } , 0 } } /. ? eqnparm ;

t0=0;t1=8;dt=0.01;

t0 = 0 ; t1 = 8 ; dt = 0.01 ;

A rendszer megoldásait azonos kezdeti magasság és különböző kezdeti sebességek esetén határozzuk meg.

x0list=Table[{h0,v0},{v0,1.5,3.5,0.5}]/.eqnparm;

x0list = Table [ { h0 , v0 } , { v0 , 1.5 , 3.5 , 0.5 } ] /. eqnparm ;

sol=IDERKSolve[xvdot,Impulse,var,x0list,{t,t0,t1,dt}];

sol = IDERKSolve [ xvdot , Impulse , var , x0list , { t , t0 , t1 , dt } ] ;

Ábrázoljuk a megoldásokat E

E . Nyomtatásban csak az első és utolsó kocka látható.

ListSolPlot[sol,{"x","x'"},PlotRange›All];

ListSolPlot [ sol , { x , x' } , PlotRange All ] ;

Tanulságos még a trajektóriák ábrázolása is a fázistérben. Ennek elvégzését az olvasóra bízzuk. E

E

  • Következtetések

Az ábrák alapján azonnal levonhatunk néhány gyakorlati következtetést. Nevezetesen:

  • Kis kezdősebesség (kis energia) esetén a labda legfeljebb csak véges sokszor éri el a kívánt magasságot.

  • Nagy kezdősebesség (nagy energia) esetén a labda végtelen sokszor pattog, azaz oszcillál a két szélső helyzet között, a sebessége egyre nagyobb, a szélső helyzetek elérése közti idő pedig egyre csökken.

  • A kezdőértékektől való folytonos függés alapján sejtjük, hogy létezik periodikus megoldás, de a tapasztalatok alapján az nem stabilis.

A fenti állítások igazolása egyszerű számolást igényel. Lásd a fejezet végén a feladatokat.

Pattogtatás adott időpontokban

Az előző pontban láttuk, hogy a labda rögzített magasságban való megfelelő erejű visszaütése esetén periodikus mozgás csak szinguláris esetként fordulhat elő. Próbálkozzunk egy másik stratégiával. A labdát minden iT

i ? T pillanatban üssük vissza:

x'(iT+0)=–ß x'(iT–0),
x ' ? ( i ? T + 0 ) = - ß x ' ? ( i ? T - 0 ) ,

ahol ß///>///1

ß ///>/// 1 . Megjegyezzük, hogy az is előfordulhat, hogy ha a labda az ütés pillanatában éppen lefelé esik, akkor felfelé ütjük. Készítsünk néhány animációt. Az ? és ß konstansokat rögzítjük. Először adott T mellett az animációban a kezdeti energiát (pontosabban a sebességet), majd rögzített energia mellett a T-t változtatjuk. A paraméterek most is ?=0.8, ß=1.3, h=1, h_0=0.5 ? = 0.8 , ß = 1.3 , h = 1 , h 0 = 0.5 .

  • Animáció: a kezdősebesség változik E

    E

Clear[x,v,T,g,?,ß];

Clear [ x , v , T , g , ? , ß ] ;

eqnparm={g›1., ?›0.8,h0›0.5,T›1., ß›1.3};

eqnparm = { g 1. , ? 0.8 , h0 0.5 , T 1. , ß 1.3 } ;

var={x,v}; xdot:={v,–g}/.eqnparm;

var = { x , v } ; xdot := { v , - g } /. eqnparm ;

Impulse={{x,{x,–?v},0},{Sin[(?t/T)],{x,–ßv},1}}/.eqnparm;

Impulse = { { x , { x , - ? ? v } , 0 } , { Sin [ ? ? t T ] , { x , - ß ? v } , 1 } } /. eqnparm ;

t0=0; t1=10; dt=0.03;

t0 = 0 ; t1 = 10 ; dt = 0.03 ;

x0list=Table[{h0,v0},{v0,2.5,4,0.5}]/.eqnparm;

x0list = Table [ { h0 , v0 } , { v0 , 2.5 , 4 , 0.5 } ] /. eqnparm ;

Oldjuk meg a rendszert és ábrázoljuk a megoldásokat. Nyomtatásban csak az első és utolsó képkockát mutatjuk.

sol=IDERKSolve[xdot,Impulse,var,x0list,{t,t0,t1,dt}];

sol = IDERKSolve [ xdot , Impulse , var , x0list , { t , t0 , t1 , dt } ] ;

ListSolPlot[sol,{"x","x'"},PlotRange›{{t0,t1},{–5,5}}];

ListSolPlot [ sol , { x , x' } , PlotRange { { t0 , t1 } , { - 5 , 5 } } ] ;

  • Animáció: T változik E

    E

Clear[x,v,T,g,?,ß];

Clear [ x , v , T , g , ? , ß ] ;

eqnparm={g›1., ?›0.8,h0›0.5,v0›2., ß›1.3};

eqnparm = { g 1. , ? 0.8 , h0 0.5 , v0 2. , ß 1.3 } ;

var={x,v}; xdot={v,–g}/.eqnparm;

var = { x , v } ; xdot = { v , - g } /. eqnparm ;

Impulse={{x,{x,–?v},0},{Sin[(?t/T)],{x,–ßv},1}}/.eqnparm;

Impulse = { { x , { x , - ? ? v } , 0 } , { Sin [ ? ? t T ] , { x , - ß ? v } , 1 } } /. eqnparm ;

t0=0; t1=10; dt=0.03; x0list={{h0,v0}}/.eqnparm;

t0 = 0 ; t1 = 10 ; dt = 0.03 ; x0list = { { h0 , v0 } } /. eqnparm ;

Oldjuk meg a rendszert és ábrázoljuk a megoldást.

sol=Table[IDERKSolve[xdot,Impulse,var,x0list,{t,t0,t1,dt}][[1]],{T,0.3,1.7,0.4}];

sol = Table [ IDERKSolve [ xdot , Impulse , var , x0list , { t , t0 , t1 , dt } ] [ 1 ] , { T , 0.3 , 1.7 , 0.4 } ] ;

Ábrázoljuk a megoldásokat és deriváltjukat:

ListSolPlot[sol,{"x","x'"},PlotRange›{{t0,t1},{–5,5}}];

ListSolPlot [ sol , { x , x' } , PlotRange { { t0 , t1 } , { - 5 , 5 } } ] ;

  • Következtetések

Kísérleteink és az adott magasságban történő visszaütésnél szerzett tapasztalatok alapján megfogalmazhatunk néhány sejtést:

  • Kis kezdősebesség (kis energia) esetén labda x(t)

    x ? ( t ) távolsága a földtől nullához tart, elegendően nagy kezdő energia esetén pedig nem korlátos.

  • A kezdőértékektől való folytonos függés alapján sejtjük, hogy létezik periodikus megoldás (ami a T-vel való eltolástól eltekintve egyértelmű), ami a tapasztalatok alapján nem stabilis.

A számolások elemiek, a fentiek bizonyítását a feladatok között az olvasóra bízzuk.

Kísérletek, feladatok

14.2.1. Feladat.

Írjuk fel a pattogó, magára hagyott labda legmagasabb helyzeteinek változását, és mutassuk meg, hogy az x=0

x = 0 helyzet globálisan aszimptotikusan stabilis.

14.2.2. Feladat.

Az adott magasságban való visszaütés esetén adjunk feltételt periodikus megoldás létezésére. Mutassuk meg, hogy a periodikus megoldás instabilis.

vázlat.

Képezzük a K(x,v)

K ( x , v ) , a v sebesség változását az azonos típusú ütközések között leíró leképezést. Azaz, valamely megoldás esetén legyen t_1///<///s_1///<///t_2///<///s_2///<///... t 1 ///</// s 1 ///</// t 2 ///</// s 2 ///</// ... a visszapattanások pillanatainak sorozata, ahol az egyes t_i t i és s_i s i értékek nyilvánvalóan függnek a megoldás kezdeti értékétől, és legyen x(t_i)=0 x ? ( t i ) = 0 és x(s_i)=h x ? ( s i ) = h . A K leképezést a v(t_(i+1)+0)=K(v(t_i+0)) v ? ( t i + 1 + 0 ) = K ( v ? ( t i + 0 ) ) vagy a v(s_(i+1)+0)=K(v(s_i+0)) v ? ( s i + 1 + 0 ) = K ? ( v ? ( s i + 0 ) ) összefüggéssel definiálhatjuk. Az energia

V(t)=m(v^2(t)/2)+mgx(t)
V ? ( t ) = m ? v 2 ( t ) 2 + m ? g ? x ? ( t )

alakú, és az energia csupán a t_i

t i és s_i s i pillanatokban változik. A

V(t_i+0)=m(v^2(t_i+0)/2)=m(?^2v^2(t_i–0)/2), V(s_i+0)=m(v^2(s_i+0)/2)+mgh=m(ß^2v^2(s_i–0)/2)+mgh, V(t_(i+1)–0)=V(s_i+0), és V(s_(i+1)–0)=V(t_i+0)
V ? ( t i + 0 ) = m ? v 2 ( t i + 0 ) 2 = m ? ? 2 ? v 2 ( t i - 0 ) 2 , V ? ( s i + 0 ) = m ? v 2 ( s i + 0 ) 2 + m ? g ? h = m ? ß 2 ? v 2 ( s i - 0 ) 2 + m ? g ? h , V ? ( t i + 1 - 0 ) = V ? ( s i + 0 ) , és V ? ( s i + 1 - 0 ) = V ? ( t i + 0 )

összefüggések alapján a K leképezés könnyen felírható, amelyben változóként ?, ß és a v sebesség szerepelnek. Nyilvánvaló, hogy a periodikus megoldás létezésének szükséges és elegendő feltétele, hogy K-nek legyen v_0

v 0 fixpontja. Mutassuk meg, hogy ha létezik fixpont valamely rögzített ? és ß esetén, akkor ez instabilis a v változására nézve. Ehhez elegendő megmutatni, hogy (K(v)–v_0)^2 ( K ( v ) - v 0 ) 2 növekszik.

14.2.3. Feladat.

Az egyenlő T időközönként való visszaütés esetén adjunk feltételt a paramétekerekre, amely biztosítja, hogy a megoldás periodikus legyen. Mutassuk meg, hogy a periodikus megoldás instabilis.

Vázlat.

Képezzük az L: (x(?_i+0),v(?_i+0))›(x(?_(i+1)+0),v(?_(i+1)+0))

L : ( x ? ( ? i + 0 ) , v ? ( ? i + 0 ) ) ( x ? ( ? i + 1 + 0 ) , v ? ( ? i + 1 + 0 ) ) fázisleképezést, ahol ?_i=iT. ? i = i ? T . Vigyázat, előfordulhat, hogy ?_i ? i és ?_(i+1) ? i + 1 között a labda nem ér földet (lásd a következő feladatot)! Az egyszerűség kedvéért zárjuk ki ezt az esetet. Nyilvánvaló, hogy a rendszernek akkor és csakis akkor van periodikus megoldása, ha L-nek van fixpontja. Mutassuk meg, hogy L-nek pontosan egy fixpontja van és az instabilis.

14.2.4. Kísérlet.

Az egyenlő T időközönként való visszaütés esetén, ha T elegendően kicsi, akkor a labda nem ér le a földre, hanem felfelé ütjük. A labdarúgók ezt nevezik dekázásnak. Végezzünk kísérleteket erre a jelenségre is. Itt is azt tapasztalhatjuk, hogy a periodikus mozgás instabilis.

14.2.5. Kísérlet.

A fentiekben láttuk, hogy a vizsgált esetekben a periodikus mozgás igen érzékeny a perturbációkra. A labdával játszó kisgyerek keze érzékeli a problémát, és szükség esetén erősíti vagy gyengíti az ütést. Az előző feladatok eredményei alapján adjunk meg állapotfigyelő pattogtató impulzusokat.

14.2.6. Kísérlet.

Végezzünk kísérleteket arra az esetre, amikor a labda más, nem a Newton törvénynek megfelelő gravitációs térben mozog.