Karsai János
Typotex
Ebben a fejezetben egy, már a kisgyerekek által is ismert, népszerű jelenséget vizsgálunk. Hogyan pattog a labda, illetve milyen módon kell pattogtatni, hogy mindig ugyanolyan magasra emelkedjen. Pontosabban, valamely pattogtatási módszer esetén van-e periodikus mozgás, és ez a mozgás stabilis-e?
A szabadon pattogó labda
Tekintsük a legegyszerűbb esetet. Engedjük el (esetleg valamilyen kezdősebességgel indítsuk) a labdát valamely h magasságban és hagyjuk magára. Legyen
[D]
[D]
egyenlet ír le, ahol
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Oldjuk meg a rendszert, és ábrázoljuk a kapott megoldást:
[D]
Látjuk (mindez persze jól ismert), hogy a labda sebessége minden ütközésnél ?-szorosára csökken. Emiatt az
[D]
A mozgás elhalását pattogtatással tudjuk ellensúlyozni. Két alapvetően különböző stratégia lehetséges. Az egyik, amikor a labdát adott magasságban, a másik, amikor a labdát rögzített időpillanatokban ütjük vissza. Vizsgáljuk meg mindkét esetet.
Pattogtatás adott magasságban
Tegyük fel, hogy a labda felfelé mozog és
[D]
ahol
[D]
[D]Impulse
változót kell bővítenünk az előző esethez képest. Az alábbi példában
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
A rendszer megoldásait azonos kezdeti magasság és különböző kezdeti sebességek esetén határozzuk meg.
[D]
[D]
Ábrázoljuk a megoldásokat
[D]
[D]
Tanulságos még a trajektóriák ábrázolása is a fázistérben. Ennek elvégzését az olvasóra bízzuk.
[D]
Következtetések
Az ábrák alapján azonnal levonhatunk néhány gyakorlati következtetést. Nevezetesen:
Kis kezdősebesség (kis energia) esetén a labda legfeljebb csak véges sokszor éri el a kívánt magasságot.
Nagy kezdősebesség (nagy energia) esetén a labda végtelen sokszor pattog, azaz oszcillál a két szélső helyzet között, a sebessége egyre nagyobb, a szélső helyzetek elérése közti idő pedig egyre csökken.
A kezdőértékektől való folytonos függés alapján sejtjük, hogy létezik periodikus megoldás, de a tapasztalatok alapján az nem stabilis.
A fenti állítások igazolása egyszerű számolást igényel. Lásd a fejezet végén a feladatokat.
Pattogtatás adott időpontokban
Az előző pontban láttuk, hogy a labda rögzített magasságban való megfelelő erejű visszaütése esetén periodikus mozgás csak szinguláris esetként fordulhat elő. Próbálkozzunk egy másik stratégiával. A labdát minden
[D]
ahol
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Oldjuk meg a rendszert és ábrázoljuk a megoldásokat. Nyomtatásban csak az első és utolsó képkockát mutatjuk.
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Oldjuk meg a rendszert és ábrázoljuk a megoldást.
[D]
Ábrázoljuk a megoldásokat és deriváltjukat:
[D]
Következtetések
Kísérleteink és az adott magasságban történő visszaütésnél szerzett tapasztalatok alapján megfogalmazhatunk néhány sejtést:
Kis kezdősebesség (kis energia) esetén labda
[D]
A kezdőértékektől való folytonos függés alapján sejtjük, hogy létezik periodikus megoldás (ami a T-vel való eltolástól eltekintve egyértelmű), ami a tapasztalatok alapján nem stabilis.
A számolások elemiek, a fentiek bizonyítását a feladatok között az olvasóra bízzuk.
Kísérletek, feladatok
14.2.1. Feladat.
Írjuk fel a pattogó, magára hagyott labda legmagasabb helyzeteinek változását, és mutassuk meg, hogy az
[D]
14.2.2. Feladat.
Az adott magasságban való visszaütés esetén adjunk feltételt periodikus megoldás létezésére. Mutassuk meg, hogy a periodikus megoldás instabilis.
vázlat.
Képezzük a
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
alakú, és az energia csupán a
[D]
[D]
összefüggések alapján a K leképezés könnyen felírható, amelyben változóként ?, ß és a v sebesség szerepelnek. Nyilvánvaló, hogy a periodikus megoldás létezésének szükséges és elegendő feltétele, hogy K-nek legyen
[D]
[D]
14.2.3. Feladat.
Az egyenlő T időközönként való visszaütés esetén adjunk feltételt a paramétekerekre, amely biztosítja, hogy a megoldás periodikus legyen. Mutassuk meg, hogy a periodikus megoldás instabilis.
Vázlat.
Képezzük az
[D]
[D]
[D]
[D]
14.2.4. Kísérlet.
Az egyenlő T időközönként való visszaütés esetén, ha T elegendően kicsi, akkor a labda nem ér le a földre, hanem felfelé ütjük. A labdarúgók ezt nevezik dekázásnak. Végezzünk kísérleteket erre a jelenségre is. Itt is azt tapasztalhatjuk, hogy a periodikus mozgás instabilis.
14.2.5. Kísérlet.
A fentiekben láttuk, hogy a vizsgált esetekben a periodikus mozgás igen érzékeny a perturbációkra. A labdával játszó kisgyerek keze érzékeli a problémát, és szükség esetén erősíti vagy gyengíti az ütést. Az előző feladatok eredményei alapján adjunk meg állapotfigyelő pattogtató impulzusokat.
14.2.6. Kísérlet.
Végezzünk kísérleteket arra az esetre, amikor a labda más, nem a Newton törvénynek megfelelő gravitációs térben mozog.