A vezérlések elmélete kiterjedt. Itt csupán néhány egyszerű probléma impulzusokkal való leírására vállalkozunk.

Fűtésszabályozás

Tekintsük az egyszerű kettősfém (bimetál) szabályozást. A kettősfém lapocska két lényegesen különböző hőtágulású összepréselt fémlapból áll. Alaphelyzetében egyenes, a hőmérséklet változásakor elhajlik. A kettősfém lapocska egyik szélső alakját egy megengedhető alsó hőmérséklet esetén veszi fel, ekkor a hőforrást be kell kapcsolni. A hőmérséklet megengedhető maximális értékének a lapocska ellenkező irányú elhajlása felel meg. Ekkor a fűtést ki kell kapcsolni. Ez a jelenség is egy ütközési vagy visszaverődési problémának tekinthető, de ebben az esetben az impulzus hatásaként a hőmérséklet változását leíró differenciálegyenlet jobb oldala is megváltozik. Az impulzus bekövetkezésének pillanatában az egyenlet jobb oldala nem folytonos. Írjuk le ezt az egyszerű szabályozási modellt.

Legyen

T ? ( t ) a hőmérséklet valamely pillanatban Celsius fokban mérve. Ha

[D]

T ? ( t ) = T min , akkor a hőforrást be, és ha

[D]

T ? ( t ) = T max , akkor pedig ki kell kapcsolni. Ha a hőforrás nincs bekapcsolva, akkor a belső T és a külső

[D]

T k hőmérséklet kiegyenlítődik az

egyenlet szerint, ha be van kapcsolva, akkor hőmérséklet változását egyszerű esetben a

egyenlet írja le. A gyors felfűtés érdekében az A fűtési sebességet (a hőforrás teljesítményét) úgy célszerű megválasztani, hogy az egyenlet

A k + T k egyensúlyi helyzete nagyobb legyen a

[D]

T max értéknél. Vezessünk be egy w segédváltozót, amelyre

[D]

w = 1 , amikor a fűtés bekapcsolt illetve

[D]

w = 0 , amikor kikapcsolt állapotban van. Így a rendszer viselkedését az alábbi impulzív rendszer írja le:

A w kezdőértékének beállítása fontos, mert egyébként előfordulhat, hogy a hőforrás akkor is bekapcsolt állapotban van, amikor

T ? ( t ) ? T max , vagy nem kapcsol be, pedig

[D]

T ? ( t ) ? T min . Ha

[D]

T min ///</// T ? ( 0 ) ///</// T max , akkor a segédváltozó kezdőértékére nincs külön feltétel. Ezek a kiegészítő feltételek a gyakorlatban természetes módon teljesülnek, mivel a kezdeti hőmérséklet meghatározza a kettősfém lapocska állását és ezáltal a segédváltozó kezdeti értékét is. Az alábbi példában az eqnparm változó tartalmazza a rendszer paramétereit. A kezdőértékek:

[D]

T ? ( 0 ) = 15 , w ? ( 0 ) = 1 .

var = { T , w } ;

eqnparm = { Tk › 0 , k › 0.5 , A › 20 , Tmin › 20. , Tmax › 25. } ;

Tdot = { - k ? ( T - Tk ) + A ? w , 0 } /. ? eqnparm ;

Impulse = { { T - Tmax , { T , 0. } , 1 } , { T - Tmin , { T , 1. } , 1 } } /. ? eqnparm ;

t0 = 0 ; t1 = 5 ; dt = 0.01 ; T0list = { { 15. , 1. } } ;

Oldjuk meg a rendszert, és ábrázoljuk a megoldást:

sol = IDERKSolve [ Tdot , Impulse , var , T0list , { t , t0 , t1 , dt } ] ;

Map [ ListPlot [ Coordinate [ # , 2 ] , PlotJoined › True , GridLines -///>/// Automatic , PlotRange › { 0 , 30 } ] ///&/// , sol ] ;

Hűtésszabályozás

A kettősfém hűtés vezérlésére is használható. A modell hasonló a fűtési modellhez. Legyen

T ? ( t ) a hőmérséklet valamely pillanatban (C°-ban mérve), és legyen

[D]

T k a környezet hőmérséklete. Legyenek

[D]

T min ///</// T max . Ha

[D]

T ? ( t ) ? T max , akkor a hűtést be, ha és

[D]

T ? ( t ) ? T min , akkor pedig ki kell kapcsolni. Ha nincs hűtés, akkor az adott (hűtendő) tér és a környezet hőmérséklete kiegyenlítődik a

egyenlet által megadott módon. Ha a hűtés be van kapcsolva, akkor egyszerű esetben a

egyenlet írja le a hőmérséklet változását. A hűtési sebességet úgy célszerű megválasztani, hogy

A k + T k ///</// T min . Vezessünk be egy w segédváltozót, amelyre

[D]

w = 1 , amikor a hűtés bekacsolt állapotban van és

[D]

w = 0 , amikor ki van kapcsolva. Így a rendszer viselkedését az alábbi impulzív rendszer írja le:

Az alábbi példában a kezdőértékek:

T ? ( 0 ) = 0 , w ? ( 0 ) = 1 .

eqnparm = { Tk › 20. , k › 0.1 , A › 30 , Tmin › - 20. , Tmax › - 10. } ;

var = { T , w } ; Tdot = { - k ? ( T - Tk ) - A ? w , 0 } /. eqnparm ;

Impulse = { { T - Tmin , { T , 0. } , 1 } , { T - Tmax , { T , 1. } , 1 } } /. eqnparm ;

t0 = 0 ; t1 = 10 ; dt = 0.01 ; T0list = { { 0 , 1. } } ;

Oldjuk meg a rendszert, és ábrázoljuk az első megoldást.

sol = IDERKSolve [ Tdot , Impulse , var , T0list , { t , t0 , t1 , dt } ] ;

A megoldás grafikonja:

Map [ ListPlot [ Coordinate [ # , 2 ] , PlotJoined › True , GridLines -///>/// Automatic , PlotRange › { - 25 , 5 } ] ///&/// , sol ] ;

Időkapcsolók

Számos esetben, például szellőző rendszerekben az időkapcsolók alkalmazása szokásos. Most csak a kapcsolást végző w segédváltozó működését meghatározó rendszert írjuk le, ehhez tetszőleges állapotegyenlet kapcsolható. Tegyük fel, hogy adott

t i pillanatokban (

[D]

{ t i } monoton növő sorozat) a kapcsoló bekapcsol és adott

[D]

s i pillanatokban kikapcsol. Bekapcsoláskor a

[D]

w = 1 , kikapcsoláskor a

[D]

w = 0 állapotbeállítás történik. A

[D]

t i és

[D]

s i pillanatok között nem szükségszerű semmiféle kapcsolat, de célszerűen

[D]

t i ///</// s i ///</// t i + 1 ///</// s i + 1 ... Ezt a kapcsolót a

impulzív rendszer írja le. Legyen

t i = i ? T és

[D]

s i = t i + ?

[D]

( ? ///</// T ) :

var = { w } ; wdot = { 0 } ; eqnparm = { T › 2. , ? › 0.5 } ;

Impulse = { { Sin [ ? ? t T ] , { 1. } , 1 } , { Sin [ ? ? ( t - ? ) T ] , { 0. } , 1 } } /. ? eqnparm ;

t0 = 0 ; t1 = 9 ; dt = 0.05 ; w0list = { { 0 } } ;

Oldjuk meg a rendszert, és ábrázoljuk a megoldást.

sol = IDERKSolve [ wdot , Impulse , var , w0list , { t , t0 , t1 , dt } ] ;

A kapcsoló grafikonja:

( ListPlot [ Coordinate [ #1 , 2 ] , PlotJoined › True , PlotRange › { 0 , 1.1 } ] ///&/// ) /@ sol ;

Ez a rendszer megoldható az IDESolve programmal is. Ezt az olvasóra bízzuk. Megjegyezzük, hogy a kapcsolás értéke függhet a w vagy az adott rendszer más változóinak értékétől is akár az állapotkapcsolás, akár az időkapcsolás esetén. Egyszerű váltókapcsolót ír le az |w-1| impulzusfüggvény. Lehetőség van többállású (többfokozatú) kapcsolók definiálására is.