Ugrás a tartalomhoz

Impulzív jelenségek modelljei

Karsai János

Typotex

Előszó

Előszó

„Nem törődve senkivel,
Vállunkon a bot,
Megyünk, megyünk egyenest,
Ezer hegy van ott.”

(Lin-csi mester)

A mindennapi tapasztalatok alapján megszoktuk, hogy a természetben lejátszódó folyamatok időben és térben folytonosan változnak. Gyakran előfordul azonban, hogy valamely hatás egészen rövid idő vagy akár egy pillanat alatt zajlik le. Ebben az utóbbi esetben impulzusról beszélünk. Többek között ilyen jelenségekkel találkozunk diszkrét, szakaszos vezérléseknél, az ismételt gyógyszeradagolás modelljeiben, illetve populációdinamikai és epidemiológiai problémákban. A bonyolult matematikai formalizmusok miatt a kísérleti vizsgálat kiemelten hasznos és informatív, és gyakran meggyőzőbb, mint a szigorú matematikai módszerek.

A nagyteljesítményű, realisztikus grafikus képességekkel rendelkező számítógépek megjelenésével a kísérletező módszerek előtérbe kerültek; a számítógépes vizualizáció és a szimuláció mára a tudományos kutatás és az oktatás szerves részévé vált. Ezek az eszközök sokat segítenek még az absztrakt matematikai problémák megértésében és értelmezésében is. Ezért az alkalmazásokban felmerülő, gyakran igen bonyolult jelenségek, például az impulzusok tanulmányozásában a számítógéppel segített modellezés szerepe egyre növekszik.

A fentieket messzemenően szem előtt tartva nem klasszikus elméleti tankönyvet szándékoztunk írni. Példákon, kísérleteken keresztül szeretnénk megismertetni az olvasót az impulzív hatásokat is megengedő differenciálegyenletekkel, számítógépes vizsgálatuk alapvető módszereivel, és ezen keresztül a számítógéppel segített modellezés néhány lépésével. Mindvégig hangsúlyozzuk a számítógéppel segített kísérletezés és a vizuális gondolkodás fontosságát a formális módszerek mellett.

A munka felépítése és tárgyalásmódja is ezt az elvet követi. Az elméleti fogalmak, fontosabb módszerek és technikai eszközök áttekintését követően a Mathematica rendszer segítségével (Wolfram Research) kísérleteket, szimulációkat végzünk érdekes rendszerekre (figyelve a módszerek hiányosságaira és veszélyeire!). A kísérletek alapján következtetünk az adott rendszer tulajdonságaira, illetve fogalmazunk meg sejtéseket viselkedésére vonatkozóan. Nem fárasztjuk az olvasót a részletes formális megoldásokkal, bizonyításokkal. A tételek és kísérleti tapasztalatok pontos igazolását feladatként fogalmazzuk meg, és további jelenségek kísérleti vizsgálatára teszünk javaslatot. A feladatok között néhány megoldatlan problémára is felhívjuk a figyelmet. A könyv egyben programgyűjtemény is, aminek segítségével az olvasó maga is végezhet kísérleteket. Külön foglalkozunk a fontosabb módszerek közönséges differenciálegyenletekre való közvetlen alkalmazásával is.

A könyv számára az impulzív rendszereket megoldó és a megjelenítést segítő programcsomagokat fejlesztettünk ki a Mathematica-n belül. Valószínűleg a matematikai elmélet újszerűsége és a felmerülő technikai problémák okozzák, hogy ilyen programcsomagok eddig egyetlen számítógépalgebrai rendszerben sem készültek.

A könyv három fő részből áll. Az előkészítő rész néhány, a számítógépes megjelenítéssel kapcsolatos lehetőséget és a közönséges differenciálegyenletek számítógépes vizsgálatának alaplépéseit tartalmazza. Ezután foglalkozunk impulzív rendszerekkel, azok tulajdonságaival, néhány fontos kvalitatív eljárással és az azokat segítő számítógépes módszerekkel. Végül néhány alkalmazást tekintünk, impulzív és nem impulzív hatásokat vetünk össze.

A könyvhöz elektronikus melléklet készült, ami a http://silver.szote.u-szeged.hu/impulse weblapról letölthető. Ez tartalmazza a fontosabb ábrák színes változatait, a nyomtatásban nem megjeleníthető számítógépes animációkat és a könyv számára fejlesztett programcsomagokat. Tartalmaz továbbá egy Mathematica bevezetőt azok számára, akik még nem járatosak a számítógépes matematikai rendszerek, a szimulációs és vizualizációs módszerek használatában. Az „olvasáshoz” elegendő a MathReader, amely a Wolfram Research weblapjáról (http://www.wolfram.com) szabadon letölthető.

A Typotex Kiadótól CD-n megrendelhető a teljes interaktív változat is. Ez egy Mathematica jegyzettömb-gyűjtemény, amely tartalmazza az összes technikai részletet és a programcsomagokat és több kiegészítő fejezetet is. A kidolgozott kísérletek eredeti formában vagy módosítva a Mathematica-ban ismételten elvégezhetők, ezek alapján újak készíthetők.

Reméljük, hogy a könyv és a programcsomagok hasznosak lesznek mindazok számára, akik szeretnének megismerkedni az impulzív rendszerekkel, alkalmazásaikkal és számítógépes vizsgálatuk módszereivel, akik elméleti vagy alkalmazott kutatásaikat, vagy akik „csupán” differenciál- és differenciaegyenletekkel kapcsolatos tanulmányaikat szeretnék számítógépes kísérletekkel támogatni. Reméljük, hogy a más számítógép-algebrai rendszert, például Maple-t használók is hasznosnak találják majd.

A számítógépes projektek nagy része a Szegedi Tudományegyetem Orvosi Informatikai Intézete és a Technische Fachhochschule Berlin hallgatói számára tartott Számítógéppel segített matematikai modellezés és Computeralgebra I-II. kurzusok számára készültek. Szeretném megköszönni kollégáimnak és diákjaimnak a buzdítást, az együttműködést, az ötleteket és javaslatokat, Makay Géza lektori munkáját, a támogatók és a kiadó bátorságát, amellyel segítették az anyag elkészültét és kiadását.

Karsai János