Ugrás a tartalomhoz

Matematika didaktikusan

Pálfalvi Józsefné dr. Csekő Sarolta

Typotex

A Pascal-háromszög szimmetriája

A Pascal-háromszög szimmetriája

A Pascal-háromszög a kombinációk vagyis kiválasztások számát adja meg. Halmaznyelven: az n

n elemű halmaz k k elemű részhalmazainak számát minden n n -re és k k -ra. Ennek a jele (nk) n k , vagyis „n n alatt k k ”. Például (52)=10 5 2 = 10 , mint az ábra mutatja:

Az ábra az öt elemből kiválasztható párok – az ötelemű halmaz kételemű részhalmazai – számát mutatja úgy, hogy a kiválasztott párokat összekötöttük. Minden lehetséges párt megkaptunk, mert minden lehetséges összekötő vonalat meghúztunk, az ötszög oldalait is és átlóit is.

Ha nem két-, hanem háromelemű halmazokat választunk ki az ötelemű halmazból, akkor összekötő vonalak helyett például bevonalkázhatjuk a kiválasztott pontok által határolt háromszöget. Egyetlen ábrán néhány háromszöggel ezt még megtehetnénk, de az összes lehetőséget még különböző fajtájú vagy színű vonalkázásokkal is nehéz lenne megkülönböztetni. Jobb külön-külön lerajzolni az egyes kiválasztásokat. Ezt akkor is megtehetjük, ha párokat vagy egyelemű halmazokat választunk ki. Ábránk a négy- és ötelemű halmazok kiválasztását is mutatja.

Ez a szemléltetés nem mutatja közvetlenül, miért van ugyananynyi kételemű részhalmaz, mint háromelemű és egyelemű, mint négyelemű. Az utóbbinak könnyebb észrevenni a magyarázatát: a fölső sor mindegyik ötszögét összepárosíthatjuk a negyedik sornak egy olyan ötszögével, amelyben azt a csúcsot hagytuk ki, amit fönt megjelöltünk. Ugyanígy összepárosíthatjuk a második és a harmadik sor ötszögeit is: a másodikban az összekötő vonal két csúcs megjelölését (kiválasztását) jelenti, a harmadik sorban egy háromszög bevonalkázásakor nemcsak ennek a csúcsait választottuk ki, hanem a többi két csúcsot is. A kihagyás is kiválasztást jelent. Ez a mondat azonban csak annak mond valamit, akinek már valami tapasztalata, élménye fűződik hozzá.

Mi a párja a bevonalkázott ötszögnek – vagyis mind az öt csúcs kiválasztásának? Az az egyetlen eset, amikor semelyiket sem választjuk ki. Rajzban:

Ezek a rajzok a Pascal-háromszög 5-ös sorának a szimmetriáját mutatják, de ugyanilyen megfontolások igazolják a többi sor szimmetriáját is. A szimmetria kiemelésére az egyébként indokolt táblázatalakot módosítani szokás:

Ez volna a táblázatalak: de ez jobban kiemeli a szimmetriát:

Az első oszlopban levő 1-ek indokolására nem elég az, hogy „csak így lesz szimmetrikus a táblázat”, de ez az esztétikai igényünk, hogy teljesebb legyen a szabályosság, mégis ösztönözhet arra, hogy gondoljuk át ezt az esetet és jussunk el a logikai megkülönböztetésig lehetetlen feladat közt (ha lehetetlen, akkor 0-féle mód van az elvégzésére, például 2 elem közül 3-nak a kiválasztása) és a közt, hogy nem csinálunk semmit (egy elemet sem választunk ki). Semmit sem csinálni, egyet sem választani, ez nem lehetetlen feladat, hanem pontosan egy lehetőség. Akkor is, ha van eleme a halmaznak, akkor is, ha nincs, vagyis ha 0 elem közül választunk ki 0 elemet, üres halmaznak választjuk ki az üres részhalmazát. Minden halmaznak részhalmaza az üres halmaz és részhalmaza maga a halmaz is. Az üres halmaznak is részhalmaza az üres halmaz és részhalmaza önmaga, de ez a két részhalmaza ugyanaz; aki megértette, hogy minden számnak osztója 1 és önmaga, de az 1 esetében ez ugyanazt jelenti, annak ez a gondolat nem új. Az ilyen nagyon általános formában való fogalmazás („Minden halmaznak…”) mégis nehéz lehet a diákoknak, különösen, ha a halmazról alkotott fogalmuk túlságosan sekélyes (például azt hiszik, hogy a halmaz, az valamiféle karika). A halmaz sokféle megjelenítése segít elmélyíteni a fogalmat. Az ötszög, amelynek egyik csúcsát sem jelölték meg, egy kicsit más oldalról világítja meg az ötelemű halmaz üres részhalmazának fogalmát, mint az, hogy öt tárgy van előttem és mutatom, hogy most egyet sem választok. Megint más megjelenítés az, hogy kétféle színű építőkövekből – lehetnek azok fehér papírral bevont és be nem vont gyufaskatulyák is – tornyokat építünk, mindegyiket öt darabból, minden lehetséges módon.

A tornyokat aszerint csoportosítottuk, hogy hány világos színű emeletük van, 5-től 0-ig (illetve hány sötét színű, 0-tól 5-ig). Az egy-egy csoportba tartozók száma sorra 1, 5, 10, 10, 5, 1. Megint a Pascal-háromszög 5-ös sora. Mit választottunk itt ki? Azokat az emeleteket, amelyek világos színt kapnak, vagy amelyek sötétet. Vagy ha más színeket használunk, akkor például pirosat, illetve kéket. A szimmetria még jobban látszik itt. (Mellesleg az is, hogy az ismétlés nélküli kombinációk az ismétléses permutációk speciális eseteinek tekinthetők: kétféle elemből van összesen n

n , az egyik féléből k k , a másik féléből n–k n - k . A lehetőségek száma n!:k!(n–k)! n ! : k ! ( n - k ) ! . Ezek természetesen nem az általános iskolások várható ismeretanyagához és kifejezésmódjához mért megjegyzések.)

A Pascal-háromszög néhány más tulajdonsága

Az alábbi tulajdonságok közt vannak nagyon ismertek és fontosak és vannak kevésbé ismertek, inkább érdekesek, mint fontosak. A határt nehéz megvonni. A kevésbé fontos tulajdonságokat is jól felhasználhatjuk az érdeklődőbb tanulók külön foglalkoztatásában. Kis segítséggel felfedezhetik egyiket a másik után, kereshetnek újakat, megpróbálkozhatnak a bizonyításukkal is (bár ehhez általában több algebrai ismeret és a binomiális együtthatóknak faktoriálisokkal való kifejezése – az a bizonyos (nk)=n!:k!(n–k)!

n k = n ! : k ! ( n - k ) ! – is szükséges).

a) Az összeadási tulajdonságot jól ismerik a tanulók, de azt már kevesebben, hogy mi a magyarázata. Fel lehet fogni a Pascal-háromszöget úgy is, hogy az összeadási tulajdonsággal definiáljuk: leírunk egy 1-est, mellé 0-kat írunk (vagy képzelünk) mindkét oldalon, és kétkét szomszédos szám összegét a kettő alá középre írjuk. Ez a Pascal-háromszög képzésének szabálya. Rekurzív definíciónak is mondhatnánk (bár nem szívesen használunk ilyen nagy szavakat egy intuitív fogalomra, amelyben számok mellett jeleik síkbeli elrendezéséről is szó van: számtan és geometria szokatlan keveréke). Ekkor azonban az szorul bizonyításra, hogy a Pascal-háromszög számai mit jelentenek (kiválasztások számát). Induljunk ki hát inkább abból, hogy a kiválasztások számát táblázatba foglaljuk (n

n elemű halmaz k k elemű részhalmazainak száma valamilyen n n -ig és k k -ig), és a táblázat kitöltése közben megfigyelhető összeadási tulajdonságnak keressük a magyarázatát, mégpedig nem is csak a táblázatbeli értékekre, hanem minden esetre érvényesen. Miért van például az ötelemű halmaznak annyi kételemű részhalmaza, mint ahány egyelemű és kételemű részhalmaza együttesen van a négyelemű halmaznak?

Toronyépítéssel: miért lehet éppen annyi ötszintű tornyot építeni két sötéttel, mint ahány négyszintűt egy és két sötéttel együttesen? (Lásd az ábrákat!) A megépített tornyok összehasonlításával, párokba állításával könnyebben rá lehet jönni erre, mint ilyen támasz nélkül (de aki enélkül is rá tud jönni, annak az az értékesebb megoldási mód, amely csak a képzeletét foglalkoztatja, a kezeit nem). A párba állítás azt jelenti: megkeressük minden ötszintes toronynak a négyszintes párját. Kiindulhatunk a fordított irányból is. A fontos az, hogy végül egy-egyértelmű legyen a párosítás: mert ez mutatja, hogy. ugyanannyi négyszintes van (egy vagy két sötét szinttel), mint ahány ötszintes (mindegyik éppen két sötéttel). Az is fontos továbbá, hogy kiderüljön: nemcsak ezekkel a számokkal igaz a megfigyelt tulajdonság, hanem bármely (nk)

n k szám egyenlő (n–1k–1) n - 1 k - 1 és (n–1k) n - 1 k összegével. A párosítás szempontja például az lehet, hogy mindegyik 5 szintes (n n szintes) toronynak levesszük a legfölső emeletét. Így 4 szintes (n–1 n - 1 szintes) tornyokat kapunk. Mégpedig részben olyanokat, amelyekben eggyel kevesebb sötét emelet van (ha sötétet vettünk le, az volt fölül), részben olyanokat, amelyekben ugyanannyi (ha világos volt a legfölső emelet). Kiindulhatunk a négyszintesekből is: amelyikben egy sötét szint van, arra egy másik sötétet teszünk, így már kettő lesz, amelyikben kettő, arra világosat teszünk, hogy kettő maradjon. Akármelyik irányban nézzük, könnyű átgondolni, hogy csupa különböző tornyot kapunk, csupa olyan tulajdonságút, amilyent kell, és mindegyiket megkapjuk. (Ez az utóbbi abból következik, hogy mindkét irányban elindulva a mondott tulajdonságú toronyhoz jutunk: egy sem maradhat ki odaérkezéskor, mert hiszen a fordított irányban abból kiindulva nem érnénk célhoz.)

Egy-egy ilyen bizonyítást – éppúgy, mint más matematikai gondolatokat – tapasztalatai alapján egy hetedikes sőt fiatalabb gyerek is átlát, de a bizonyítás mélységéig, szabatos megfogalmazásáig csak lassanként jut el. Nem az 5-ről és 2-ről n

n -re és k k -ra való általánosítás a nehéz itt, hanem annak végiggondolása, ami pedig a kölcsönösen egyértelmű párosításban benne van, hogy bármelyik irányban indulnak el, egy toronyból egy tornyot kapnak, sem többet, sem kevesebbet, és pontosan olyan tulajdonságút, amilyent a feladat kíván.

b) Sorok összege: 1=1

1 = 1 , 1+1=2 1 + 1 = 2 , 1+2+1=4 1 + 2 + 1 = 4 , 1+3+3+1=8 1 + 3 + 3 + 1 = 8 stb. A számok jelentése alapján érthető: ha a halmaznak n n (pl. 3) eleme van, és nem azt kérdezem, hogy hányféleképpen lehet kiválasztani közülük k k (például 2) elemet, hanem azt, hogy darabszámtól függetlenül hányféle kiválasztás lehetséges, beleértve azt is, hogy egyet sem választok ki és azt is, hogy minden elemet kiválasztok, akkor sorra veszem az elemeket, és megkérdezem mindegyikről, kiválasszam-e vagy nem. Az első elemre vonatkozóan két lehetőség van. A másodiknál megint kettő, akármi volt a döntés az elsőnél. Ez már kétszer két vagyis négy eset. A harmadik elem megint megduplázza a döntések – vagyis az esetek – számát és így tovább.

Ezt is jobban át lehet gondolni tevékenységhez kapcsolódva, például toronyépítéssel. A kérdés itt az: kétféle színű építőköveink vannak, színeiktől eltekintve egyformák hány 5 szintes tornyot építhetünk összesen. A legalsó szint lehet világos vagy sötét. Egyszintes épületből tehát kétfélét építhetünk. Ezeket tovább építhetjük kétszintesekké, mégpedig a világosat is kétféleképpen (vagy világosat teszünk rá, vagy sötétet), a sötétet is kétféleképpen. A harmadik szint megint megduplázza a lehetséges – egymástól különböző – tornyok számát. Stb.

Ábránkon látható, hogy háromszintes tornyokból kétféle színnel 8 különbözőt lehet építeni, kétszintesből négyet, egyszintesből kettőt. Nullaszintesből természetesen csak egyet lehet építeni, ábránkon ez is látszik – mármint az üres helye. Nem építeni az is egy lehetőség, de a színek közt akkor nem válogathatunk.

c) Nemcsak 2 hatványait kaphatjuk meg a sorok összegezésével, hanem – ha ferde sorokat nézünk – a Fibonacci-sorozat számait is:

d)Harisnyatulajdonság” – ez az összeadási tulajdonságnak rokona, és belőle származtatható is. Ezt megint a Pascal-háromszög szimmetrikus alakján mutatjuk meg:

Ez is megadja a Pascal-háromszög minden számát nála följebb levő, L betű szárában elhelyezkedő számok összegeként.

e) Egy másik harisnyatulajdonság. A harisnya szára itt vízszintes, de megint ki kell érnie az 1-ig, a harisnya feje viszont ferde:

3=6–4+1 vagy: 3+4=6+1, 10=20–15+6–1 vagy: 10+15+1=20+6, 21=56–70+56–28+8–1 vagy: 21+70+28+1=56+56+8
3 = 6 - 4 + 1 vagy: 3 + 4 = 6 + 1 , 10 = 20 - 15 + 6 - 1 vagy: 10 + 15 + 1 = 20 + 6 , 21 = 56 - 70 + 56 - 28 + 8 - 1 vagy: 21 + 70 + 28 + 1 = 56 + 56 + 8

f) A négyzetszámok kétféleképpen is ott rejtőznek a Pascal-háromszögben,

itt két-két szám összegeként: itt négy-négy szám összegeként: