Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás
Typotex
Tartalom
1. példa. Bebizonyítom, hogy
[D]
Az állítás igaz. A bizonyítás helyes.
2. példa. Bebizonyítom, hogy
[D]
Az állítás igaz. A bizonyítás azonban hibás. Huszonhat
hatvanötöd csakugyan egyenlő kétötöddel, de ez nem következik
abból, hogy a két
6-os számjegy törlése után
[D]
[D]
3. példa. Bebizonyítom, hogy
[D]
Az előbbi módszer most nyilvánvalóan tévútra vezetett.
[D]
[D]
Az állítás téves. A bizonyítás hibás. Most olyan példa volna soron, amelyben az állítás téves, a bizonyítás mégis helyes. Ilyen példát azonban nem tudunk, mert ilyen példa nem létezik. Hibás bizonyításból adódhat olyan eredmény is, ami igaz, olyan is, ami nem; de helyes bizonyítás nem vezethet téves eredményre, hacsak a kiindulópont is nem téves. Az alább következő példák nagyrészt abba a két típusba sorolhatók, amelyeket a 2. és 3. példa szemléltet; de a bennük található hiba nem lesz mindig olyan átlátszóan egyszerű, mint itt. Igaz, az olvasó ismereteitől is függ, hogy azonnal látja-e a hibát, vagy sem. Van, akit könnyű becsapni; van, akit nehéz. Becsapós bizonyításokkal éppen azért érdemes megismerkednie az olvasónak, hogy legközelebb már ne lehessen olyan könnyen félrevezetni. Jó bizonyításokat is azért mutatunk néhol a hibásak mellett, hogy különbséget tudjon tenni köztük. Az tudja meg, mit jelent valamit bebizonyítani, aki látja ezt a különbséget.
4. példa. Figyeljük meg ezt a két kivonást:
Az első kétségtelenül helyes. A másodikat is ugyanúgy
végeztük el, nem törődve a
[D]
Érthető, hogy mind a három eredmény ugyanaz, hiszen
ugyanazokat a számokat adtuk össze, csak a sorrendjük volt más-más.
De akkor a kivonással azt „bizonyítottuk be”, hogy
[D]
5. példa. Melyik több, 6 kilogramm vagy 6 tonna? A következő bizonyítás – minden tapasztalat ellenére – mintha azt mutatná, hogy egyenlők:
hiszen egyenlőket egyenlőkkel szorozva egyenlőket kapunk.
Az egyenlőség körül nincs is hiba, csak a szorzás körül. Ott
sem a számokban, csak a nevükben. Kilogrammszor kilogramm a
mindennapi életben nem szokott előfordulni, de a fizikában van
értelme, és akkor ez éppúgy négyzetkilogramm, ahogy kilométerszer
kilométer is négyzetkilométer, nem pedig kilométer. Például
[D]
[D]
6. példa. Egy embernek két szülője, négy nagyszülője, nyolc
dédszülője van, és így tovább. Ha egy nemzedékkel följebb megyünk,
mindig kétszer annyi; tíz generációval előbb több, mint ezerannyi
(mert
[D]
Két hiba is van. Egyik sem matematikai természetű, hanem
abból származik, hogy a matematikai modell nem jól illeszkedik a
valósághoz. „Kicsiben” még az is elképzelhető, hogy jól
illeszkedik: például, ha valaki egyetlen gyermeke szüleinek, szülei
is egykék, azok szülei is, és így tovább néhány nemzedéken át.
Akkor csakugyan felfelé menve egy-egy következő nemzedékhez kétszer
annyian tartoznak, lefelé menve viszont feleannyian. Ez a kihaló
családfa-típus, illetve annak egy egyszerű fajtája. Az előbbi
gondolatmenet egyik hibája, hogy ebből a ritka típusból akart
egyetemesen érvényes modellt faragni. De van egy más hibája is: egy
ember
[D]
[D]
7. példa. Mint ismeretes,
[D]
Először induljunk ki egy olyan állításból, amit senki sem vonhat kétségbe:
A bal oldalon emeljük ki a közös
[D]
Az
[D]
Mindkét oldalt
[D]
Most még végigoszthatunk
[D]
[D]
8. példa. Jelentsen
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
(Ha
[D]
[D]
[D]
[D]
Vonjuk ki mindkét oldalból
[D]
Észrevehetjük, hogy a bal oldalon is van egy közös tényező (
[D]
[D]
Osszuk végig
[D]
A fent említett esetben, amikor
[D]
[D]
[D]
Hol van a hiba
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
9. példa. Lássuk csak kendőzetlenül is a 0-val való osztást! Induljunk ki abból, hogy
Ez eddig igaz is. Ezt így is írhatjuk:
ami még mindig igaz, hiszen
[D]
[D]
Persze azt is írhattuk volna, hogy
és így
például
amint a címben állítottuk. Erre még más csalfa
bizonyítást is adunk majd. Most azonban lássuk a
[D]
10. példa. Kétségtelenül igaz, hogy
hiszen mindkét oldalon
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Szerencsénk volt: mindkét oldalt ugyanannak a tagnak a hozzáadásával alakíthatjuk két tag négyzetévé, és ezután az egyenlőség érvényben marad:
vagyis
vagy másképp
és így,
[D]
A hibát könnyen megtalálja az, aki sorról sorra utánaszámol; mi az, ami még igaz, mi az, ami már nem.
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
11. példa. Húzzunk meg egy körben egy átmérőt (az
1. ábrán
[D]
[D]
[D]
Az
[D]
[D]
[D]
[D]
mert mind a kör sugarai.
mint csúcsszögek. Tehát két oldal és a közbezárt szög egyezése folytán
és így ezeknek a háromszögeknek a harmadik oldala is megegyezik:
Éppen ezt kellett bebizonyítanunk.
Helyesebben, kellett volna, de nem bizonyítottuk be. Az igaz ugyan, hogy a mondott módon keletkező húrok egyenlők, de a fenti bizonyítás hibás. A hiba nyilvánvaló abból, hogy nem használtunk ki egy lényeges feltételt: azt, hogy a két húr párhuzamos. Enélkül pedig az állítás nem is igaz. (2. ábra)
Kihasználtunk viszont egy olyan feltételt, amelyet nem
indokoltunk meg: azt, hogy
[D]
[D]
[D]
[D]
12. példa. Az előbbi bizonyítást módosítsuk úgy, hogy a
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
13. példa. Módosítsuk megint a
11. példában leírt bizonyítást! Következtessünk most
az
[D]
[D]
[D]
[D]
Helyes-e a bizonyítás ebben az esetben?
Az a kérdés, mely szögek egyezéséről van szó. Azt
felhasználhatjuk, hogy
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
14. példa. Bebizonyítjuk, hogy bármely háromszög magasságegyenesei egy pontban metszik egymást (3. jegyzet). Induljunk ki abból a tételből, hogy a háromszög oldalfelező merőlegesei egy ponton mennek át (3. ábra); ennek a bizonyítását ismertnek tekintjük.
Az oldalak felezőpontjai háromszöget határoznak meg (ábránkon
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
15. példa. Bebizonyítjuk, hogy bármely négyszög átlói felezik
egymást. Legyen
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
A háromszögek középvonalaira vonatkozó ismert tétel szerint
(lásd a 14. példát!)
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Nem helyes! – mondja az olvasó. Abból, hogy a paralelogrammák átlói felezik egymást, miért következnék, hogy bármely négyszög átlói felezik egymást? Ami igaz egy speciális esetben, nem feltétlenül igaz minden esetben.
Joggal tiltakozik az olvasó. De tiltakozott-e a 14. példában szereplő bizonyítás ellen is? Ott ugyanis lényegében ugyanezt a hibát követtük el, ha nem is ilyen átlátszó formában.
Ha bebizonyítunk valamit az olyan négyszögekre, amelyeket úgy kapunk, hogy négyszögek oldalait megfelezzük és a szomszédos oldalak felezőpontjait összekötjük; nem állíthatjuk, hogy azt minden négyszögre bebizonyítottuk. Csak akkor volna helyes ez a bizonyítás, ha azt is megmutatnánk, hogy bármely négyszög előállítható valamilyen négyszög szomszédos oldalfelező pontjainak összekötésével. Ez azonban nem is igaz; csak a paralelogrammák állíthatók elő így.
Ha valamit bebizonyítunk az olyan háromszögekre, amelyeket úgy kapunk, hogy háromszögek oldalfelező pontjait kötjük össze; akkor sem állíthatjuk, hogy azt minden háromszögre bebizonyítottuk. Csak akkor volna helyes ez a bizonyítás, ha azt is megmutatnánk, hogy bármely háromszög előállítható valamely háromszög oldalfelező pontjainak összekötésével. Ez történetesen igaz ugyan – nem úgy, mint a négyszögekre vonatkozó hasonló állítás –, de nem bizonyítottuk be, sőt nem is utaltunk arra, hogy ez még bizonyításra szorul. Rosszhiszeműen elhallgattunk egy lényeges lépést, s így a háromszögek magasságegyeneseinek metszésére vonatkozó bizonyításunk nem fogadható el.
16. példa. Alakítsuk át a 14. példában szereplő bizonyítást:
induljunk ki a belső
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Kiderült, hogy az
[D]
[D]
Be akarjuk bizonyítani, hogy az
[D]
Az előbbiekből következik (tekintetbe véve a középvonalakra
vonatkozó, többször említett tételt is), hogy ezek a
magasságegyenesek a
[D]
Jó ez a bizonyítás? Kifogástalan. Az
[D]
[D]
[D]
17. példa. Egy „bizonyítást” már láttunk arra, hogy
[D]
Többet bizonyítunk be, mint amit ígérünk: azt, hogy bármely két egyenesszakasz egyenlő hosszú.
A bizonyításokban ismertnek tekintjük a háromszögekre vonatkozó következő egybevágósági tételeket:
Két háromszög egybevágó, ha megegyeznek
(1) mindhárom oldalukban; (2) két oldalukban és a közbezárt szögükben; (3) két oldalukban és a nagyobbikkal szemben fekvő szögükben; (4) egy oldalukban és két megfelelő helyzetű szögükben.
(A megfelelő helyzetű szögeket így értjük: vagy mindkettő az egyező oldalakon van; vagy az egyik rajtuk, a másik velük szemben és akkor az egyező oldalakon lévő szögek egyenlők, s persze a velük szemben lévők is.)
Ábráink mutatják ezt a négy esetet (7–11. ábra):
Azt a két tetszőleges szakaszt, amelyeknek az egyenlőségét be
akarjuk bizonyítani, helyezzük el úgy, hogy egy háromszög két
oldalát alkossák (a 12. ábrán
[D]
[D]
Húzzuk meg a háromszögben az
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Az
[D]
mert megegyeznek két oldalukban (
[D]
[D]
[D]
mert megegyeznek egy oldalukban (
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
mert megegyeznek két oldalukban (
[D]
[D]
[D]
[D]
Ennek a két háromszögnek az egybevágóságából következik, hogy
[D]
[D]
[D]
Ábránkon
[D]
A bizonyítás ebben az esetben is szóról szóra ugyanaz.
Az sem változtat a bizonyítás lényegén, ha a metszéspont annyira kinn van, hogy még a merőlegesek talppontjai is az oldalak meghosszabbítására esnek (14. ábra).
A változás csak annyi, hogy akkor végül egyenlő szakaszok
kivonásával (nem pedig összeadásával) kapjuk azt, hogy
[D]
Az a határeset is elképzelhető, hogy a metszéspont a háromszög kerületén van. A bizonyítás ekkor még egyszerűbb (az első lépés kimarad, a további gondolatmenet változatlan).
Részletesen végigvizsgáltuk az eseteket, csak egyet felejtettünk ki: azt, amikor a metszéspont kívül van ugyan a háromszögön, de a belőle húzott merőlegesek nem egyformán viselkednek: az egyiknek a talppontja valamelyik oldalra, a másiké egy oldal meghosszabbítására esik.
Ez a feledékenység megbosszulta magát: ugyanis éppen ez az az
eset, amely mindig megvalósul, ha egyáltalán van metszéspontja
[D]
[D]
18. példa. Végül még egy „bizonyítás” következik arra, hogy
[D]
Előkészítésül lássunk egy új tételt a háromszögek egybevágóságára: két háromszög egybevágó, ha megegyeznek két oldalukban és az egyikkel szemközti szögükben.
Ez a tétel a fent (3) alatt ismertetett egybevágósági tétel kiterjesztése. Ott azt a megszorítást tettük, hogy az egyező szögek a nagyobbik oldallal legyenek szemközt; most elejtjük ezt a megszorítást.
Illesszük össze a két háromszöget úgy, ahogy a 15. ábra mutatja! A vastagon kihúzott, egyformán jelölt szakaszok, illetve szögek egyenlők.
Kössük össze az egymásnak megfelelő
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Így hát az
[D]
[D]
Most az egyíves szögekből ki kellett vonni a kétíves
szögeket. Más esetben az
[D]
[D]
Arra a megállapításra jutottunk tehát, hogy minden megszorítástól mentesen igaz: ha két háromszög megegyezik két oldalában és valamelyikkel szemközti szögében, akkor egybevágóak.
Ennek alapján könnyű bebizonyítani, hogy bármely két szakasz
egyenlő. Illesszük a két szakaszt egymás mellé úgy, hogy egy
egyenesre essenek és egyetlen közös pontjuk legyen (a 19. ábrán
[D]
Szerkesszünk egy olyan egyenlő szárú háromszöget, amelynek az
alapja a két szakasz egyesítéséből származó
[D]
[D]
[D]
Hasonlítsuk össze a keletkező két részháromszöget!
Megegyeznek két oldalukban (
[D]
[D]
[D]
[D]
Ha azonban tételünkből ilyesmi következik, akkor tételünkkel
– és így a bizonyításával is – valami baj van. Hol a hiba? Addig
minden rendben van, hogy
[D]
[D]
Hogyan, hát lehetséges, hogy egy háromszögben két szög egyenlő, és a velük szemközti oldalak mégsem egyenlők?
„Közönséges” háromszögben ez nem lehetséges, de egyenesbe
lapuló, „elfajuló” háromszögben igen: a 21. ábra alapján
elképzelhetjük, hogy két egyenlő
[D]
Itt van a rés okoskodásunkban, ezért nem érvényes az az
állítólagos „új matematikai tétel”, hogy két oldalukban és
valamelyikkel szemközti szögükben megegyező háromszögek mindig
egybevágóak. Lehetnek egybevágóak, de lehetnek különbözőek is. Ha
megegyeznek ezekben az adataikban, és mégsem egybevágóak, az csak
úgy lehetséges, hogy a mondott módon illesztve őket össze, a
harmadik oldalpár (amelyekről nem tettük fel, hogy egyenlőek,
ábráinkon
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
1. Miért helyesek az ilyen átalakítások:
és miért hibásak az ilyenek:
még ha az eredményük néha véletlenül jó is? A rajzok mutatják két példán, miért helyesek az előbbiek:
Az első esetben az egészet
[D]
[D]
A következő sorban nem ezt tettük! Ott az egyező számjegyek
elhagyása nem osztás, hanem valami más:
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
2. A hiba gyökere itt is ugyanaz, mint a 2. és 3. példában: a többjegyű számok másként viselkednek, mint a számjegyeikből alkotott szorzatok vagy összegek. Ott kétjegyű számokat akartunk úgy kezelni, mintha szorzatok lettek volna (egyszerűsíteni egy-egy számjegy kihúzásával), itt az összegekkel akartunk úgy számolni, mintha többjegyű számok lettek volna. Pedig hiába jó például ez a kivonás:
Nem lehet alkalmazni a módszerét ebben az esetben:
Fenn úgy tudjuk elvenni a 4-et, hogy az 5 tízesből egyet felváltunk és a 12-ből veszünk el 4-et. Lenn ilyenről szó sem lehet: nincs 5 tízes, csak 5 egység, nincs mit felváltani.
3. Magasságegyeneseknek nevezzük a háromszög csúcsain áthaladó, a szemközti oldalakra merőleges egyeneseket. Magasságvonalaknak is szokás nevezni ezeket, de a „magasságvonal” elnevezést azokra a szakaszaikra is szokták használni, amelyek a csúcsoktól a szemközti oldalakig vagy meghosszabbításukig terjednek.
4. Honnan tudjuk, hogy
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
5. Ha ugyanis a háromszögben
[D]
[D]
[D]
[D]