EGY JÁTÉK A GALTON-DESZKÁVAL.
A GALTON-DESZKA ÉS A BINOMIÁLIS ELOSZLÁS
Álljon most a Galton-deszka
N
éksorból, és az utolsó éksor ékei közti csatornák
alatt, az
N
+
1
-edik éksor helyén álljanak tartályok. Mivel az
első sorban 1 ék, a második sorban 2 ék, végül az
N
-edik sorban
N
ék (és
N
+
1
csatorna) van, az
(
N
+
1
)
-edik sor ékei helyét betöltő tartálysor
N
+
1
tartályból áll. Számozzuk meg ezeket balról
jobbra, mégpedig a későbbiek kedvéért
0-val kezdjük a számozást. Tehát a tartályok
sorszámai rendre
0,
1,
2, …,
N
.
Képzeljük el, hogy két játékos,
A
és
B
, a következő játékot játssza:
A
fogad, hogy egy legurított golyó a
k
-adik tartályba fog esni
(
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
N
)
. Ha eltalálta, kap
B
-től
x
k
fillért; ha nem találta el, vagyis ha a golyó az
l
-edik
(
l
≠
k
)
tartályba esik, akkor
A
fizet
B
-nek
y
l
(
x
k
)
fillért. (A
B
-nek fizetendő összeg általában függjön az
x
k
-tól!) A következő játszmában
A
és
B
szerepet cserélnek. Kérdés, hogyan kell az
y
l
(
x
k
)
értékeket megválasztanunk, hogy a játék méltányos
legyen, azaz hogy az
A
(
B
)
játékos átlagos nyereménye (pontosabban:
A
nyereményének várható értéke minden tipp esetén) 0
fillér legyen.
Ahhoz, hogy ezt meg tudjuk határozni, elsősorban az érdekel
bennünket, hogy egy legurított golyó melyik tartályba jut, és
milyen „biztonsággal” lehet ezt megjósolni; vagyis ismernünk kell,
hogy az eseteknek kb. hányad részében, pontosabban mekkora
valószínűséggel esik egy golyó egy megadott, mondjuk
k
-adik tartályba. Ez a valószínűség a tartály
sorszámán kívül nyilván függ a Galton-deszka éksorainak számától
is.
N
éksor esetén jelöljük ezt a valószínűséget
P
N
(
k
)
-val!
P
N
(
k
)
tehát annak a valószínűségét jelenti, hogy egy
N
éksorból álló Galton-deszkán egy legurított golyó
a
k
-adik tartályba kerül
(
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
N
)
.
Egy adott golyónak minden sorban két lehetősége van a
továbbjutásra: jobbra vagy balra tér el, így a deszkán való
lehetséges lefutásainak a száma (a lehetséges utak száma)
Mivel feltettük, hogy a Galton-deszka szabályos, és az
egyes éksorokon való eltérítések függetlenek egymástól, így minden
egyes útnak
1
2
N
a valószínűsége. Ebből azonban még korántsem
következik, hogy minden tartályba ugyanolyan valószínűséggel eshet
egy golyó, hiszen több különböző (kedvező) úton is eljuthat
ugyanabba a tartályba. Ha pl. mind az
N
sorban balra tér el a golyó, akkor nyilván a
0-adik tartályba jut; ha közben valahol egyszer jobbra tért el,
akkor az első tartályba, ha közben (bármelyik) két sornál jobbra
tért el, akkor a második tartályba és így tovább, általában a
balról számított
k
-adik tartályba azokon az utakon juthat a golyó,
amelyeken összesen
k
-szor tért el jobbra és
(
N
−
k
)
-szor balra. Az
N
éksor közül az a
k
sor, ahol jobbra tért el,
N
(
N
−
1
)
(
N
−
2
)
⋅
…
⋅
(
N
−
k
+
1
)
1
⋅
2
⋅
3
…
k
=
N
k
-féleképpen választható ki, így a
k
-adik tartályba vezető utak száma
N
k
, amiből következik, hogy
Ha pl.
N
=
8
, akkor az egyes tartályokba való jutás
valószínűségei rendre a következők:
1
256
,
8
256
,
28
256
,
56
256
,
70
256
,
56
256
,
28
256
,
8
256
,
1
256
.
Megjegyezzük, hogy az (1) formulát más úton is beláthatjuk,
mégpedig az éksorok számára,
N
-re vonatkozó teljes indukcióval.
N
=
1
-re ugyanis nyilván igaz (1), hiszen
P
1
(
0
)
=
1
2
=
1
0
2
1
és
P
1
(
1
)
=
1
2
=
1
1
2
1
. Ha már ismerjük egy
N
éksorú Galton-deszkára, hogy egy legurított golyó
mekkora valószínűséggel esik az egyes tartályokba, akkor ebből
könnyen megkaphatjuk egy
N
+
1
éksorból álló Galton-deszka esetére is a megfelelő
valószínűségeket. Az
N
+
1
éksorú Galton-deszka
k
-adik
(
k
=
1
,
2
,
…
,
N
)
tartályába ugyanis kétféleképpen juthat egy golyó:
vagy az
N
-edik sor
(
k
−
1
)
-edik csatornáján halad keresztül és azután jobbra
tér el, vagy a
k
-adik csatornán és azután balra tér el. Mivel az
(
N
+
1
)
-edik sor 0-adik, ill.
(
N
+
1
)
-edik tartályába csak egyféleképpen juthat egy
golyó az
N
-edik sorból, ez összhangban lesz a
P
N
(
−
1
)
=
P
N
(
N
+
1
)
=
0
értelmezéssel. Így
Ezzel egyben egyszerű számolási eljárást kaptunk a
P
N
+
1
(
k
)
valószínűségek kiszámítására a
P
N
(
k
)
valószínűségek ismeretében.
Vizsgáljuk meg kissé közelebbről ezeket a valószínűségeket!
Az, hogy egy golyó a
k
-adik tartályba
P
N
(
k
)
valószínűséggel juthat, azt jelenti, hogy a
leengedett golyóknak kb.
P
N
(
k
)
-ad része
(
100
⋅
P
N
(
k
)
%
-a
)
kerül a
k
-adik tartályba. Ha nagyszámú, mondjuk
R
darab golyót gurítunk le a Galton-deszkán és
r
k
-val jelöljük ezek közül a
k
-adik tartályba eső golyók számát (amely szám a
golyók átmérőjével mint egységgel mérve, egyben azt a magasságot is
megadja, ameddig a
k
-adik tartály meg lesz töltve), akkor az
r
k
R
hányados, vagyis annak az eseménynek a relatív
gyakorisága, hogy egy legurított golyó a
k
-adik tartályba jut, az esetek legnagyobb részében
(nagyon sokszor legurítva
R
számú golyót, ezek közül „legtöbbször”) csak
kevéssel fog eltérni a szóban forgó esemény valószínűségétől, a
P
N
(
k
)
-tól, így
r
k
csak kevéssel fog eltérni az
R
⋅
P
N
(
k
)
-tól. Tehát a golyók a tartályokat az odaesés
valószínűségével arányos magasságig fogják megtölteni. Mivel a
P
N
(
k
)
valószínűségek ún. binomiális eloszlást alkotnak[]
(
p
=
1
2
)
, jól tanulmányozhatjuk a Galton-deszka
segítségével a binomiális eloszlás képét. Megfigyelhetjük, hogy a
középső tartályokba jut a legtöbb golyó, a deszka szélei felé
haladva pedig egyre kevesebb; s hogy a Galton-deszka
szimmetriatengelyére szimmetrikus tartályokba (
k
-adik és
(
N
−
k
)
-adikba) kb. ugyanannyi golyó kerül
(
hiszen
N
k
=
N
N
−
k
)
. Már aránylag kevés golyó legurítása esetén is
észrevehető az a tény, hogy páros
N
esetén éppen az
N
2
-edik sorszámú középső tartályba, páratlan
N
esetén pedig az
N
−
1
2
-edik és
N
+
1
2
-edik sorszámú két középső tartályba esik a
legtöbb golyó (legvalószínűbb tartályok).
Hogy az olvasó a későbbi konkrét számpéldák eredményeit
könnyebben követhesse, illetve ellenőrizhesse, megemlítjük azt a
fontos tételt, hogy a binomiális eloszlás tagjai bizonyos
feltételek mellett a
ϕ
(
x
)
=
1
2
π
e
−
x
2
2
ún. Gauss-féle függvény (haranggörbe) segítségével
közelíthetők meg (utóbbi értékei táblázatokból kikereshetők; ilyen
táblázat található pl. a [2], [3] könyvekben), mégpedig a mi
esetünkben és jelöléseinkkel, ha
N
elég nagy és
k
közel van az
N
2
-höz, valamint
∣
2
k
−
N
∣
N
=
x
egy
N
-től nem függő korlát alatt marad, akkor
N
k
1
2
N
közelítőleg
2
ϕ
(
x
)
N
-nel lesz egyenlő.
Ezek után könnyen megvizsgálhatjuk azt a kérdést, hogy a
tartályok befogadóképességének és az egyszerre legurítható golyók
számának milyen kapcsolatban kell állniuk? (Ezzel arra a kérdésre
kapunk választ, hogy meddig játszhat egymással
A
és
B
a tartályok kiürítése nélkül.)
Ha egy-egy tartályban mondjuk
S
golyó fér el, akkor nyilván legfeljebb annyi
golyót szabad leengednünk (
R
max
), amennyiből a középső, legvalószínűbb tartályba
(tartályokba) legfeljebb
S
golyó jut. Ha tehát a Galton-deszka
N
=
2
M
éksorból áll, akkor
r
M
≈
R
max
P
2
M
(
M
)
≤
S
, azaz
R
max
≤
S
P
2
M
(
M
)
-nek kell teljesülni. Ha pl. 100 golyó fér egy
tartályba és a Galton-deszka 8 éksorból áll, akkor legfeljebb 366
golyót lehet egyszerre legurítani, 16 éksor esetén 509 golyót, 36
éksor esetén 757 golyót.
Megvizsgálhatjuk azt a kérdést is, hogy hány golyót kell
legurítanunk ahhoz, hogy nagy valószínűséggel ne maradjanak üres
tartályok (a széleken). Ha ui. az éksorok száma elég nagy, és
összesen nem túl sok golyót gurítunk le, akkor néhány szélső
tartályba nagy valószínűséggel egyáltalán nem gurul golyó. Ha pl.
N
=
25
, akkor annak valószínűsége, hogy egy golyó a
szélső 4-4 tartály valamelyikébe jusson,
Akkor annak a valószínűsége, hogy 100 legurított golyó
közül egy se kerüljön az említett tartályokba,
vagyis 98 % valószínűséggel csak a középső 18 rekeszbe
jut egyáltalán golyó. Vagy pl.
N
=
16
esetén, ha legfeljebb kb. 44 golyót gurítunk le,
99% valószínűséggel üres lesz legalább a két szélső tartály.
Térjünk most vissza a már említett játékhoz! Mivel azt
akarjuk, hogy
A
átlagos nyereménye (bármelyik tartályra is fogad)
0 legyen, így az
y
l
(
x
k
)
számokra az
egyenlőségnek kell fennállni. Ha semmi további kikötést
nem teszünk, akkor az
y
l
(
x
k
)
számokat még nagyon sokféle módon választhatjuk
(pontosabban: egy kivételével a többit tetszőlegesen). Ha azonban
még azt is megköveteljük, hogy – szemléletesen szólva – akárhova is
esik a golyó (a
k
-adik tartályon kívül), átlagosan mindig
ugyanannyit kapjon
B
, vagyis az
y
l
(
x
k
)
P
N
(
l
)
(amit jelöljünk
c
N
(
x
k
)
-val) ne függjön
l
-től, csak
x
k
-tól (és természetesen
N
-től), akkor ebből (2) alapján következik, hogy
Az
x
k
egész számok választására is igen sokféle
lehetőségünk van (választhatjuk akár valamennyit egyenlőnek is, bár
ez nem célszerű), mindenesetre úgy érdemes megadnunk őket, hogy az
y
l
(
x
k
)
számok is egészek legyenek. Egy lehetséges
választást pl. az alább táblázatban találunk
(
N
=
8
)
:
A számpélda és játék további elemzését, valamint lehetséges
módosításait az olvasóra bízzuk.