A Galton-deszkával a Markov-láncok fogalmát is szemléltethetjük. Ha ui. az eredeti, szöges Galton-deszkát használjuk (vagy az ékekből álló Galton-deszkán megkopnak az ékek), akkor el kell ejtenünk azt a feltevésünket, hogy az egyes sorokon való ütközéseknél létrejövő eltérítések függetlenek egymástól. Ebben az esetben ezek ún. Markov-láncot alkotnak.

Az olyan kísérletsorozatokat, ahol az

( n + 1 ) -edik kísérlet eredménye csak az

[D]

n -edik kísérlet eredményétől függ, azonban az első, második, …,

[D]

( n − 1 ) -edik kísérlet eredményétől közvetlenül nem függ, csak közvetve azáltal, hogy ezek befolyásolták az

[D]

n -edik kísérlet eredményét, Markov-láncnak nevezzük. Pontosabban, ha egy kísérlet lehetséges eredményei az

[D]

A 0 ,

[D]

A 1 ,

[D]

A 2 , …események, a kísérletsorozat akkor alkot Markov-féle láncot, ha a mellett a feltevés mellett, hogy bizonyos előző kísérletek megadott eredményre vezettek, annak a feltételes valószínűsége, hogy az

[D]

n + 1 -edik kísérlet eredménye mondjuk az

[D]

A k esemény, csak a legutolsó adott eredményű kísérlet eredményétől függ. Valószínűségi változók sorozatára is értelmezhetjük a fogalmat. Jellemezze az

[D]

n -edik kísérlet eredményét a

[D]

ξ n valószínűségi változó, és legyen a

[D]

ξ n = k , ha az

[D]

n -edik kísérlet eredménye az

[D]

A k esemény

[D]

( n = 1 , 2 , … ; k = 0 , 1 , 2 , … ) . Feltételünket képlettel így adhatjuk meg:

A

P ( ξ n + 1 = k ∣ ξ n = j n ) feltételes valószínűséget egylépéses átmenet-valószínűségnek nevezzük, ugyanis az

[D]

A j -ből az

[D]

A k -ba való „átmenet” egy lépésben való létrejöttének a valószínűségét adja meg. A rövidség kedvéért vezessük be erre a

[D]

P j k n jelölést. Az olyan Markov-láncokat, amelyeknél az átmenet-valószínűség nem függ az

[D]

n -től (ekkor tehát jelölhetjük

[D]

P j k -val), homogén Markov-láncnak nevezzük. Ha a kísérleteket időben egymás után végbemenőknek képzeljük, az

[D]

n = 1 , 2 , … index jelenti az időpontokat, akkor tehát

[D]

ξ n az

[D]

n időpontban végrehajtott kísérlet eredményét jelenti. Az

[D]

A 0 ,

[D]

A 1 ,

[D]

A 2 , …eseményeket pedig állapotoknak szokás nevezni.

A Galton-deszka esetében az időpontoknak a sorok felelnek meg, az állapotoknak pedig a balra, ill. jobbra térés

( A 0 , A 1 ) . Legyen most

[D]

ξ n = 0 vagy 1 aszerint, hogy az

[D]

n -edik éksoron ütközve balra vagy jobbra tér-e el egy legurított golyó, akkor azt mondhatjuk, hogy a

[D]

ξ n valószínűségi változók sorozata Markov-láncot (mégpedig homogén Markov-láncot) alkot. Itt az átmenet-valószínűségeket tehát jelölhetjük

[D]

P 00 ,

[D]

P 01 ,

[D]

P 10 ,

[D]

P 11 -el. Tehát pl.

[D]

P 10 a balra térés valószínűsége, feltéve hogy az előző sorban jobbra térés történt. Feltehető, hogy

[D]

P 01 = P 10 és

[D]

P 00 = P 11 .

A

ξ 1 + ξ 2 + … + ξ N megadja, hogy az

[D]

N éksorú Galton-deszkán legurítva egy golyót, az hányadik tartályba jut. Érdekes megfigyelni, hogy a golyók a tartályokban ebben az esetben is a Gauss-féle görbének megfelelően oszlanak el, ami a Markov-láncok elméletéből jól ismert tétel kísérleti alátámasztása. Ekkor azonban, attól függően, hogy

[D]

P 01 l 1 2 vagy

[D]

P 01 g 1 2 , a görbe lapultabb vagy „csúcsosabb” lesz, mint a

[D]

P 01 = 1 2 esetben.