A GALTON-DESZKA ÉS A MARKOV-LÁNCOK
A Galton-deszkával a Markov-láncok fogalmát is
szemléltethetjük. Ha ui. az eredeti, szöges Galton-deszkát
használjuk (vagy az ékekből álló Galton-deszkán megkopnak az ékek),
akkor el kell ejtenünk azt a feltevésünket, hogy az egyes sorokon
való ütközéseknél létrejövő eltérítések függetlenek egymástól.
Ebben az esetben ezek ún. Markov-láncot alkotnak.
Az olyan kísérletsorozatokat, ahol az
(
n
+
1
)
-edik kísérlet eredménye csak az
n
-edik kísérlet eredményétől függ, azonban az első,
második, …,
(
n
−
1
)
-edik kísérlet eredményétől közvetlenül nem függ,
csak közvetve azáltal, hogy ezek befolyásolták az
n
-edik kísérlet eredményét, Markov-láncnak
nevezzük. Pontosabban, ha egy kísérlet lehetséges eredményei az
A
0
,
A
1
,
A
2
, …események, a kísérletsorozat akkor alkot
Markov-féle láncot, ha a mellett a feltevés mellett, hogy bizonyos
előző kísérletek megadott eredményre vezettek, annak a feltételes
valószínűsége, hogy az
n
+
1
-edik kísérlet eredménye mondjuk az
A
k
esemény, csak a legutolsó adott eredményű kísérlet
eredményétől függ. Valószínűségi változók sorozatára is
értelmezhetjük a fogalmat. Jellemezze az
n
-edik kísérlet eredményét a
ξ
n
valószínűségi változó, és legyen a
ξ
n
=
k
, ha az
n
-edik kísérlet eredménye az
A
k
esemény
(
n
=
1
,
2
,
…
;
k
=
0
,
1
,
2
,
…
)
. Feltételünket képlettel így adhatjuk meg:
A
P
(
ξ
n
+
1
=
k
∣
ξ
n
=
j
n
)
feltételes valószínűséget egylépéses
átmenet-valószínűségnek nevezzük, ugyanis az
A
j
-ből az
A
k
-ba való „átmenet” egy lépésben való létrejöttének
a valószínűségét adja meg. A rövidség kedvéért vezessük be erre a
P
j
k
n
jelölést. Az olyan Markov-láncokat, amelyeknél az
átmenet-valószínűség nem függ az
n
-től (ekkor tehát jelölhetjük
P
j
k
-val), homogén Markov-láncnak nevezzük. Ha a
kísérleteket időben egymás után végbemenőknek képzeljük, az
n
=
1
,
2
,
…
index jelenti az időpontokat, akkor tehát
ξ
n
az
n
időpontban végrehajtott kísérlet eredményét
jelenti. Az
A
0
,
A
1
,
A
2
, …eseményeket pedig állapotoknak szokás
nevezni.
A Galton-deszka esetében az időpontoknak a sorok felelnek
meg, az állapotoknak pedig a balra, ill. jobbra térés
(
A
0
,
A
1
)
. Legyen most
ξ
n
=
0
vagy 1 aszerint, hogy az
n
-edik éksoron ütközve balra vagy jobbra tér-e el
egy legurított golyó, akkor azt mondhatjuk, hogy a
ξ
n
valószínűségi változók sorozata Markov-láncot
(mégpedig homogén Markov-láncot) alkot. Itt az
átmenet-valószínűségeket tehát jelölhetjük
P
00
,
P
01
,
P
10
,
P
11
-el. Tehát pl.
P
10
a balra térés valószínűsége, feltéve hogy az előző
sorban jobbra térés történt. Feltehető, hogy
P
01
=
P
10
és
P
00
=
P
11
.
A
ξ
1
+
ξ
2
+
…
+
ξ
N
megadja, hogy az
N
éksorú Galton-deszkán legurítva egy golyót, az
hányadik tartályba jut. Érdekes megfigyelni, hogy a golyók a
tartályokban ebben az esetben is a Gauss-féle görbének megfelelően
oszlanak el, ami a Markov-láncok elméletéből jól ismert tétel
kísérleti alátámasztása. Ekkor azonban, attól függően, hogy
P
01
l
1
2
vagy
P
01
g
1
2
, a görbe lapultabb vagy „csúcsosabb” lesz, mint a
P
01
=
1
2
esetben.