Andrásfai Béla, Bakos Tibor, Bognár Jánosné, Bognár Mátyás, Gallai Tibor, Hódi Endre, Laczkovich Miklós, Molnár Ferenc, Reimann István, Rényi Alfréd, Révész Pál, Rónyai Lajos, Surányi János, Vadkerty Tibor, Varga Tamás
Typotex
A térképek színezésénél a méretek természetesen nem játszanak
szerepet. Ha pl. egy jól színezett térképet gumilapra rajzolunk, a
gumit szakítás nélkül tetszés szerint nyújthatjuk, közben térképünk
jól színezett marad, és továbbra is ugyanazok az országok lesznek
egymással szomszédosak, mint eredetileg. Nem teszünk különbséget
gömbre és síkra rajzolható térkép között, hiszen az említett
nyújtást megengedve, minden síkra rajzolható térkép gömbre is
rajzolható, és bármely gömbre rajzolt térkép síkra teríthető. Az
utóbbinál nehézséget okozhat, ha a gömbfelületet az országok
teljesen lefedik. Ekkor ideiglenesen kiemelünk egy
[D]
[D]
Egy térképen csúcspontnak olyan pontot nevezünk, amelyből
legalább háromfelé indul határvonal. A határvonalnak azt a
szakaszát, amelynek végpontjai csúcspontok, de belsejében nem
tartalmaz csúcspontot, élnek nevezzük. A határvonalak nem mindig
rakhatók össze élekből. A 4. ábra térképén pl. egyetlen élt sem
tartalmaz
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
[D]
Pl. a kocka felülete megengedett nyújtással gömbbé fújható fel; ezen a gömbön a lapok (az elemi felületek) száma 6, a csúcspontok száma 8 és az élek száma 12; tehát ekkor valóban
Az összefüggés bizonyításához képzeljük el, hogy gömbünk egy
égitest, minden élre egy gátat építünk az él teljes hosszában (így
bármelyik csúcspontból bármelyikbe eljuthatunk a gátakon haladva),
és egyetlen elemi felületet víz borít. Szeretnénk az égitest összes
elemi felületét egy-egy gát megnyitásával sorjában elárasztani
vízzel. Olyan gátat felesleges nyitnunk, amelynek már mindkét
oldalát víz mossa, és azzal sem tudnánk újabb elemi felületet
vízzel elárasztani, ha olyan gátat nyitnánk, amelynek mindkét
oldala száraz. Tehát minden lépésben olyan gátat nyitunk, amelynek
egyik oldala száraz, a másik pedig már elárasztott. Így egy-egy gát
megnyitása egy-egy elemi felületet áraszt el vízzel, tehát
[D]
Vizsgáljuk most az érintetlen gátak rendszerét! Azt állítjuk, hogy még ezen haladva is eljuthatunk bármelyik csúcspontból bármelyikbe. Hiszen két olyan csúcspont között, amelyek közé eső gátat megnyitottuk, az ezáltal elárasztott elemi felület határának megmaradt részén az összeköttetés még fennáll.
Érintetlen gátakon haladva bármelyik csúcspontból bármelyik másikba csak egy úton juthatunk el, ha közben nem szabad visszafordulni. Ha ugyanis két út volna két csúcspont között, ezeken haladva körsétát tehetnénk. Ez olyan zárt gátvonalat jelentene, amelyen víz nem folyhatott át, tehát létezne el nem árasztott elemi felület.
Most jelöljünk ki egy csúcspontot, legyen ez
[D]
[D]
[D]
[D]
Az érintetlen gátak száma tehát egyenlő az őrök számával. Az
őrök száma pedig
[D]
[D]
ez pedig az Euler-féle összefüggést bizonyítja.