A térképek színezésénél a méretek természetesen nem játszanak szerepet. Ha pl. egy jól színezett térképet gumilapra rajzolunk, a gumit szakítás nélkül tetszés szerint nyújthatjuk, közben térképünk jól színezett marad, és továbbra is ugyanazok az országok lesznek egymással szomszédosak, mint eredetileg. Nem teszünk különbséget gömbre és síkra rajzolható térkép között, hiszen az említett nyújtást megengedve, minden síkra rajzolható térkép gömbre is rajzolható, és bármely gömbre rajzolt térkép síkra teríthető. Az utóbbinál nehézséget okozhat, ha a gömbfelületet az országok teljesen lefedik. Ekkor ideiglenesen kiemelünk egy

L országot, a megmaradt térképet kiterítjük a síkra, és a sík le nem fedett részét tekintjük az

[D]

L országnak (3. ábra).

Egy térképen csúcspontnak olyan pontot nevezünk, amelyből legalább háromfelé indul határvonal. A határvonalnak azt a szakaszát, amelynek végpontjai csúcspontok, de belsejében nem tartalmaz csúcspontot, élnek nevezzük. A határvonalak nem mindig rakhatók össze élekből. A 4. ábra térképén pl. egyetlen élt sem tartalmaz

L 1 és

[D]

L 2 határvonala,

[D]

L 3 határvonala egy,

[D]

L 4 határvonala pedig két élből áll. Elemi felületnek mondunk egy országot akkor, ha az az említett nyújtással körlappá alakítható. Ha a gömbfelületet teljesen lefedjük elemi felületekkel, átfedés nélkül, akkor az elemi felületek

[D]

l , a csúcspontok

[D]

c és az élek

[D]

é száma között fennáll a következő, ún. Euler-féle összefüggés:

Pl. a kocka felülete megengedett nyújtással gömbbé fújható fel; ezen a gömbön a lapok (az elemi felületek) száma 6, a csúcspontok száma 8 és az élek száma 12; tehát ekkor valóban

Az összefüggés bizonyításához képzeljük el, hogy gömbünk egy égitest, minden élre egy gátat építünk az él teljes hosszában (így bármelyik csúcspontból bármelyikbe eljuthatunk a gátakon haladva), és egyetlen elemi felületet víz borít. Szeretnénk az égitest összes elemi felületét egy-egy gát megnyitásával sorjában elárasztani vízzel. Olyan gátat felesleges nyitnunk, amelynek már mindkét oldalát víz mossa, és azzal sem tudnánk újabb elemi felületet vízzel elárasztani, ha olyan gátat nyitnánk, amelynek mindkét oldala száraz. Tehát minden lépésben olyan gátat nyitunk, amelynek egyik oldala száraz, a másik pedig már elárasztott. Így egy-egy gát megnyitása egy-egy elemi felületet áraszt el vízzel, tehát

l − 1 gátat kell megnyitnunk.

Vizsgáljuk most az érintetlen gátak rendszerét! Azt állítjuk, hogy még ezen haladva is eljuthatunk bármelyik csúcspontból bármelyikbe. Hiszen két olyan csúcspont között, amelyek közé eső gátat megnyitottuk, az ezáltal elárasztott elemi felület határának megmaradt részén az összeköttetés még fennáll.

Érintetlen gátakon haladva bármelyik csúcspontból bármelyik másikba csak egy úton juthatunk el, ha közben nem szabad visszafordulni. Ha ugyanis két út volna két csúcspont között, ezeken haladva körsétát tehetnénk. Ez olyan zárt gátvonalat jelentene, amelyen víz nem folyhatott át, tehát létezne el nem árasztott elemi felület.

Most jelöljünk ki egy csúcspontot, legyen ez

A . Minden más csúcspontba állítsunk egy-egy őrt! Induljanak el az őrök az egyetlen lehetséges úton

[D]

A felé, de álljanak meg, mielőtt újabb csúcspontba érnének. Így minden érintetlen gáton pontosan egy őr fog állni. Ugyanis két őr ugyanarra a gátra csak szembe haladva juthatna, így útjukat

[D]

A -ig folytatva, e két út együttvéve körsétát tenne lehetővé. Ha pedig egy gátra egyetlen őr sem jutna, akkor ez a gát és a végpontjairól

[D]

A felé induló utak együttvéve ismét körsétát tennének lehetővé.

Az érintetlen gátak száma tehát egyenlő az őrök számával. Az őrök száma pedig

c − 1 , mert

[D]

A kivételével minden csúcspontban állt egy őr. A megnyitott és az érintetlen gátak együttes száma okoskodásunk szerint

ez pedig az Euler-féle összefüggést bizonyítja.