A 2. ábra szerint lehetséges a gömbön olyan normál térkép, amelynek van négy, páronként szomszédos országa. Olyan normál térkép viszont nem lehetséges, amelyen négynél több, páronként szomszédos ország van.

Ennek az állításnak az igazolásához tételezzük fel az ellenkezőjét; azt, hogy a gömb egy normál térképén az

L 1 ,

[D]

L 2 ,

[D]

L 3 ,

[D]

L 4 és

[D]

L 5 országok páronként szomszédosak. Jelöljünk ki mindegyikük belsejében egy-egy pontot! Ezek a

[D]

P 1 ,

[D]

P 2 ,

[D]

P 3 ,

[D]

P 4 és

[D]

P 5 pontok. Kössük össze mindegyiket mindegyikkel egy-egy, a gömbön haladó vonallal a következőképpen: két pontot összekötő vonal csupán abban a két országban haladjon, amelyek belsejében kijelölt pontokat köt össze, és az öt ország mindegyikében a befutó négy vonalnak csak a kijelölt

[D]

P i pont legyen közös pontja. Ekkor a

[D]

P i pontokat összekötő vonalak nem metszik egymást. (Az 5. ábrán négy országhoz végrehajtottuk az utasítást. A

[D]

P i pontokat összekötő vonalak szaggatottak.) A

[D]

P 1 ,

[D]

P 2 és

[D]

P 3 pontokat egymás közt összekötő vonalak a gömböt két elemi felületre bontják. A

[D]

P 4 -et

[D]

P 5 -tel összekötő vonal a többit nem metszi, tehát

[D]

P 4 és

[D]

P 5 a két elemi felület egyikében van. Legyen ez

[D]

E . Vegyük fel

[D]

E -ben a

[D]

P 4 pontot, és húzzuk meg a

[D]

P 1 ,

[D]

P 2 és

[D]

P 3 pontokat

[D]

P 4 -gyel összekötő vonalakat! Ezek

[D]

E -t három elemi felületre – az

[D]

E 1 -re,

[D]

E 2 -re és

[D]

E 3 -ra – bontják, és

[D]

P 5 valamelyikben – mondjuk

[D]

E 1 -ben – benne van. (6. ábra). De ekkor nem létezhet a

[D]

P 5 -öt

[D]

P 1 -gyel összekötő olyan vonal, amely a többi vonal valamelyikét ne metszené.

Ezzel ellentmondásra jutottunk, tehát kiinduló feltételezésünk nem lehet igaz, azaz nem lehet a gömbre olyan normál térképet rajzolni, amelyen van öt, páronként szomszédos ország. Ezt akartuk bizonyítani.