3. A PÁRONKÉNT SZOMSZÉDOS ORSZÁGOK MAXIMÁLIS SZÁMA
3. A PÁRONKÉNT SZOMSZÉDOS ORSZÁGOK MAXIMÁLIS SZÁMA
A 2. ábra szerint lehetséges a gömbön olyan normál térkép,
amelynek van négy, páronként szomszédos országa. Olyan normál
térkép viszont nem lehetséges, amelyen négynél több, páronként
szomszédos ország van.
Ennek az állításnak az igazolásához tételezzük fel az
ellenkezőjét; azt, hogy a gömb egy normál térképén az
P5 pontok. Kössük össze mindegyiket mindegyikkel
egy-egy, a gömbön haladó vonallal a következőképpen: két pontot
összekötő vonal csupán abban a két országban haladjon, amelyek
belsejében kijelölt pontokat köt össze, és az öt ország
mindegyikében a befutó négy vonalnak csak a kijelölt
P1-gyel összekötő olyan vonal, amely a többi vonal
valamelyikét ne metszené.
Ezzel ellentmondásra jutottunk, tehát kiinduló
feltételezésünk nem lehet igaz, azaz nem lehet a gömbre olyan
normál térképet rajzolni, amelyen van öt, páronként szomszédos
ország. Ezt akartuk bizonyítani.