A kétoldalú felületek között vannak olyanok (

q = 0 típusúak), amelyeknek egyetlen határvonaluk sincs, míg az egyoldalú felületek mindegyikének van legalább egy határvonala. Ha azonban az egy határvonallal bíró (

[D]

q = 0 ) egyoldalú felületek határvonalát összeragasztjuk egy

[D]

L körlap

[D]

K határoló körvonalával, más szóval körlapot ragasztunk a felülethez, akkor már zárt egyoldalú felületet nyerünk. Csakhogy ez a beragasztás sohasem vihető véghez anélkül, hogy ne kapnánk kettős pontokat is.

A Möbius-szalagnak a 17. ábrán megadott átalakításához a határvonala mentén egy gúla palástját ragasztva hozzá, egyoldalú zárt

F 1 felületet nyerünk (lásd a 31. ábrát),

de a

C G ¯ szakasz pontjai

[D]

C és

[D]

G kivételével itt természetesen kettős pontok lesznek.

A 13. ábra Möbius-szalagjából egy kúppalást hozzáragasztásával szintén egyoldalú zárt

F 2 felületet kapunk, csakhogy itt a körgyűrű belső körén az átellenes pontpárok mindegyike egy pontnak számít (lásd a 32. ábrát)!

A Möbius-szalag körlappal történő beragasztását úgy is értelmezhetjük, hogy egy

f topologikus leképezést létesítünk az

[D]

L körlapot határoló

[D]

K körvonal és az

[D]

M Möbius-szalag

[D]

J határvonala között. Egy pontnak tekintjük a

[D]

[ P , f ( P ) ] párokat, ahol

[D]

P végigfut a

[D]

K körvonalon (lásd a 33. ábrát)!

Ezzel az azonosítással az

M Möbius-szalag és az

[D]

L körlap együtt ismét zárt (nem határolt) egyoldalú

[D]

F 3 felületet alkot.

Felvetődik a kérdés: vajon az így meghatározott alakzatok valóban felületek-e, és ha igen, akkor homeomorfak-e vagy sem?

Először meg kell mondanunk, hogy mit értsünk ezeken a furcsa alakzatokon egy elem környezetén.

Tekintsük az

F 3 alakzatot!

A tér pontjainak egy

N összességét

[D]

F 3 -mal összeférő halmaznak hívjuk, ha a

[D]

K körvonal minden

[D]

N -hez tartozó

[D]

P pontjával együtt

[D]

f ( P ) is

[D]

N -hez tartozik, és ezenkívül

[D]

f ( P )

[D]

N -hez tartozása maga után vonja azt, hogy

[D]

P is

[D]

N -hez tartozzék. Az

[D]

F 3 alakzat egy közönséges

[D]

Q pontjának valamely környezetét a

[D]

Q térbeli környezetét alkotó,

[D]

F 3 -mal összeférő

[D]

N halmazok jelölik ki úgy, hogy a környezet elemei az

[D]

N halmaz

[D]

M -hez és

[D]

L -hez tartozó, de

[D]

J -n és

[D]

K -n nem fekvő pontjaiból álljanak, valamint azokból a

[D]

[ P , f ( P ) ] pontpárokból, ahol

[D]

P az

[D]

N -hez és

[D]

K -hoz is hozzátartozik. Ha

[D]

[ P , f ( P ) ] az

[D]

F 3 valamely pontpárja, akkor környezetének képezésekor olyan

[D]

N összeférő halmazból kell kiindulnunk, amely

[D]

P -nek is és

[D]

f ( P ) -nek is környezete. Az eljárás további menete ugyanaz, mint előbb volt (lásd a 33. ábrát)!

Hasonlóan járhatunk el

F 2 esetében is, csak ott az összeférő halmazok azok az

[D]

N halmazok lesznek, amelyek a körgyűrű belső körvonalának minden

[D]

P pontjával együtt annak a körvonalon fekvő átellenesét is tartalmazzák.

Az

F 1 alakzatnál más utat kell követnünk.

[D]

F 1 elemei az

[D]

F 1 -hez tartozó pontok a

[D]

C G ¯ szakasz belső pontjai nélkül, továbbá a

[D]

( P , K C M △ ) és

[D]

( P , L C N △ ) párok, ahol

[D]

P a

[D]

C G szakasz belső pontja. Ilyen módon a kettős pontokat mintegy felbontottuk két különálló elemre. Egy elem környezetének megállapításakor itt három típusú elemet kell megkülönböztetnünk. Ha

[D]

P nem tartozik a

[D]

C G ¯ szakaszhoz, akkor

[D]

F 1 -nek

[D]

X részhalmaza környezete

[D]

P -nek, ha van olyan

[D]

P középpontú golyó, amelynek

[D]

F 1 -hez tartozó közönséges pontjai

[D]

X -hez is hozzátartoznak. Ha

[D]

P ≡ C vagy

[D]

P ≡ G , akkor még azt is meg kell követelnünk, hogy azok a

[D]

( Q , K C M △ ) és

[D]

( Q , L C N △ ) párok, amelyeknél

[D]

Q a golyóhoz tartozik, szintén az

[D]

X halmaz elemei legyenek. Ha végül

[D]

( P , K C M △ ) típusú elemet veszünk, akkor a

[D]

P középpontú golyónak a

[D]

K C M △ -höz tartozó pontjaitól és azoktól a

[D]

( Q , K C M △ ) pároktól, ahol

[D]

Q a golyóhoz tartozik, kell megkövetelnünk, hogy

[D]

X elemei legyenek (lásd a 31. ábrát)! Ha

[D]

( P , L C N △ ) típusú elemről van szó, akkor ugyanúgy járunk el, csak

[D]

K C M △ helyébe mindenütt

[D]

L C N △ kerül.

Ilyen módon, bár az

F 2 és

[D]

F 3 alakzatokban pontokon kívül pontpárok is szerepelnek az elemek között,

[D]

F 1 -ben pedig kettős pont is van, mégis értelmezhető volt rajtuk a környezetfogalom, és így beszélhetünk ezeknek az alakzatoknak homeomorf vagy nem homeomorf voltáról is.

Belátható, hogy

F 1 ,

[D]

F 2 és

[D]

F 3 homeomorfak, továbbá az is, hogy

[D]

F 1 (és így

[D]

F 2 vagy

[D]

F 3 ) minden elemének – legyen az akár közönséges pont, akár pontpár, akár egy kettős pont egyik fele – van nyílt körlappal homeomorf környezete. Az is belátható, hogy

[D]

F 1 bármely két pontját össze lehet kötni egyszerű ívvel. Gyanítjuk tehát, hogy

[D]

F 1 -et,

[D]

F 2 -t és

[D]

F 3 -at is a zárt felületek közé sorolhatjuk, ha nem is homeomorfak valamely kétoldalú felülettel, sőt egyetlen olyan felülettel sem, amelyről az előző fejezetekben beszéltünk.

A mondottak bizonyítása érdekében még tovább kellene terjesztenünk a felület fogalmát úgy, hogy abba a régi felületek és az

F 1 ,

[D]

F 2 és

[D]

F 3 alakzatok egyaránt beleférjenek. Mi most itt nem térhetünk ki erre, mivel ez túlságosan messzire, az absztrakt topologikus terekhez vezetne. Pusztán annyit jegyzünk meg, hogy az egyoldalú, egyetlen határvonalú felületek mindegyike beragasztható egy körlappal ugyanúgy, ahogyan ezt a Möbius-szalagból képzett

[D]

F 3 felületnél láttuk. Ilyen módon nyerjük az egyoldalú zárt felületeket. Ezek a zárt felületek akkor és csak akkor lesznek homeomorfak, ha a beragasztandó egyoldalú határolt felületek homeomorfak voltak.

Befejezésül néhány példát mutatunk egyoldalú zárt felületekre.

Nincs szándékunkban tovább szaporítani a példákat. Azoknak, akik a témával behatóbban kívánnak foglalkozni, Kőnig Dénes: „Az analysis situs elemei” (Akadémiai Kiadó, 1918) vagy Boltjanszkij–Jefremovics magyar nyelven megjelent „Szemléletes topológia” (Tankönyvkiadó, 1965) című könyveit ajánlhatjuk.