A kétoldalú felületek között vannak olyanok (
q
=
0
típusúak), amelyeknek egyetlen határvonaluk sincs,
míg az egyoldalú felületek mindegyikének van legalább egy
határvonala. Ha azonban az egy határvonallal bíró (
q
=
0
) egyoldalú felületek határvonalát összeragasztjuk
egy
L
körlap
K
határoló körvonalával, más szóval körlapot
ragasztunk a felülethez, akkor már zárt egyoldalú felületet
nyerünk. Csakhogy ez a beragasztás sohasem vihető véghez anélkül,
hogy ne kapnánk kettős pontokat is.
A Möbius-szalagnak a 17. ábrán megadott átalakításához a
határvonala mentén egy gúla palástját ragasztva hozzá, egyoldalú
zárt
F
1
felületet nyerünk (lásd a 31. ábrát),
de a
C
G
¯
szakasz pontjai
C
és
G
kivételével itt természetesen kettős pontok
lesznek.
A 13. ábra Möbius-szalagjából egy kúppalást
hozzáragasztásával szintén egyoldalú zárt
F
2
felületet kapunk, csakhogy itt a körgyűrű belső
körén az átellenes pontpárok mindegyike egy pontnak számít (lásd a
32. ábrát)!
A Möbius-szalag körlappal történő beragasztását úgy is
értelmezhetjük, hogy egy
f
topologikus leképezést létesítünk az
L
körlapot határoló
K
körvonal és az
M
Möbius-szalag
J
határvonala között. Egy pontnak tekintjük a
[
P
,
f
(
P
)
]
párokat, ahol
P
végigfut a
K
körvonalon (lásd a 33. ábrát)!
Ezzel az azonosítással az
M
Möbius-szalag és az
L
körlap együtt ismét zárt (nem határolt) egyoldalú
F
3
felületet alkot.
Felvetődik a kérdés: vajon az így meghatározott alakzatok
valóban felületek-e, és ha igen, akkor homeomorfak-e vagy
sem?
Először meg kell mondanunk, hogy mit értsünk ezeken a furcsa
alakzatokon egy elem környezetén.
Tekintsük az
F
3
alakzatot!
A tér pontjainak egy
N
összességét
F
3
-mal összeférő halmaznak hívjuk, ha a
K
körvonal minden
N
-hez tartozó
P
pontjával együtt
f
(
P
)
is
N
-hez tartozik, és ezenkívül
f
(
P
)
N
-hez tartozása maga után vonja azt, hogy
P
is
N
-hez tartozzék. Az
F
3
alakzat egy közönséges
Q
pontjának valamely környezetét a
Q
térbeli környezetét alkotó,
F
3
-mal összeférő
N
halmazok jelölik ki úgy, hogy a környezet elemei
az
N
halmaz
M
-hez és
L
-hez tartozó, de
J
-n és
K
-n nem fekvő pontjaiból álljanak, valamint azokból
a
[
P
,
f
(
P
)
]
pontpárokból, ahol
P
az
N
-hez és
K
-hoz is hozzátartozik. Ha
[
P
,
f
(
P
)
]
az
F
3
valamely pontpárja, akkor környezetének
képezésekor olyan
N
összeférő halmazból kell kiindulnunk, amely
P
-nek is és
f
(
P
)
-nek is környezete. Az eljárás további menete
ugyanaz, mint előbb volt (lásd a 33. ábrát)!
Hasonlóan járhatunk el
F
2
esetében is, csak ott az összeférő halmazok azok
az
N
halmazok lesznek, amelyek a körgyűrű belső
körvonalának minden
P
pontjával együtt annak a körvonalon fekvő
átellenesét is tartalmazzák.
Az
F
1
alakzatnál más utat kell követnünk.
F
1
elemei az
F
1
-hez tartozó pontok a
C
G
¯
szakasz belső pontjai nélkül, továbbá a
(
P
,
K
C
M
△
)
és
(
P
,
L
C
N
△
)
párok, ahol
P
a
C
G
szakasz belső pontja. Ilyen módon a kettős
pontokat mintegy felbontottuk két különálló elemre. Egy elem
környezetének megállapításakor itt három típusú elemet kell
megkülönböztetnünk. Ha
P
nem tartozik a
C
G
¯
szakaszhoz, akkor
F
1
-nek
X
részhalmaza környezete
P
-nek, ha van olyan
P
középpontú golyó, amelynek
F
1
-hez tartozó közönséges pontjai
X
-hez is hozzátartoznak. Ha
P
≡
C
vagy
P
≡
G
, akkor még azt is meg kell követelnünk, hogy azok
a
(
Q
,
K
C
M
△
)
és
(
Q
,
L
C
N
△
)
párok, amelyeknél
Q
a golyóhoz tartozik, szintén az
X
halmaz elemei legyenek. Ha végül
(
P
,
K
C
M
△
)
típusú elemet veszünk, akkor a
P
középpontú golyónak a
K
C
M
△
-höz tartozó pontjaitól és azoktól a
(
Q
,
K
C
M
△
)
pároktól, ahol
Q
a golyóhoz tartozik, kell megkövetelnünk, hogy
X
elemei legyenek (lásd a 31. ábrát)! Ha
(
P
,
L
C
N
△
)
típusú elemről van szó, akkor ugyanúgy járunk el,
csak
K
C
M
△
helyébe mindenütt
L
C
N
△
kerül.
Ilyen módon, bár az
F
2
és
F
3
alakzatokban pontokon kívül pontpárok is
szerepelnek az elemek között,
F
1
-ben pedig kettős pont is van, mégis értelmezhető
volt rajtuk a környezetfogalom, és így beszélhetünk ezeknek az
alakzatoknak homeomorf vagy nem homeomorf voltáról is.
Belátható, hogy
F
1
,
F
2
és
F
3
homeomorfak, továbbá az is, hogy
F
1
(és így
F
2
vagy
F
3
) minden elemének – legyen az akár közönséges
pont, akár pontpár, akár egy kettős pont egyik fele – van nyílt
körlappal homeomorf környezete. Az is belátható, hogy
F
1
bármely két pontját össze lehet kötni egyszerű
ívvel. Gyanítjuk tehát, hogy
F
1
-et,
F
2
-t és
F
3
-at is a zárt felületek közé sorolhatjuk, ha nem
is homeomorfak valamely kétoldalú felülettel, sőt egyetlen olyan
felülettel sem, amelyről az előző fejezetekben beszéltünk.
A mondottak bizonyítása érdekében még tovább kellene
terjesztenünk a felület fogalmát úgy, hogy abba a régi felületek és
az
F
1
,
F
2
és
F
3
alakzatok egyaránt beleférjenek. Mi most itt nem
térhetünk ki erre, mivel ez túlságosan messzire, az absztrakt
topologikus terekhez vezetne. Pusztán annyit jegyzünk meg, hogy az
egyoldalú, egyetlen határvonalú felületek mindegyike beragasztható
egy körlappal ugyanúgy, ahogyan ezt a Möbius-szalagból képzett
F
3
felületnél láttuk. Ilyen módon nyerjük az
egyoldalú zárt felületeket. Ezek a zárt felületek akkor és csak
akkor lesznek homeomorfak, ha a beragasztandó egyoldalú határolt
felületek homeomorfak voltak.
Befejezésül néhány példát mutatunk egyoldalú zárt
felületekre.
A projektív sík.
Egészítsük ki a sík minden egyenesét a közönséges pontokon
kívül egy úgynevezett végtelen távoli ponttal úgy, hogy a
párhuzamos egyenesekhez ugyanaz a végtelen távoli pont tartozzék, a
nem párhuzamosokhoz pedig különböző végtelen távoli pontok
tartozzanak! A végtelen távoli pontokkal ilyen módon kiegészített
síkot projektív síknak hívjuk.
Belátjuk, hogy ez a projektív sík homeomorf a Möbius-szalag
körlappal való beragasztása révén nyert egyoldalú zárt
F
3
felülettel.
Állítsunk a síkra egy félgömböt úgy, hogy a sík a félgömböt
éppen peremétől legtávolabb eső pontjában érintse (lásd a 34.
ábrát)!
A gömb
O
középpontjából történő vetítés a közönséges sík és
a nyílt félgömb között homeomorf leképezést létesít. Végtelen
távoli pont megfelelőjét úgy kapjuk meg, hogy
O
-ból párhuzamost húzunk a végtelen távoli pontot
tartalmazó valamelyik egyenessel. Ez a vetítősugár a félgömb
peremén egy átellenes pontpárt fog kimetszeni. A projektív sík
tehát homeomorf a félgömbből a határkör átellenes pontpárjainak
összeragasztása után nyert felülettel, vagyis
F
2
-vel és így
F
3
-mal is.
A Klein-féle cső.
Tekintsük a 35. ábra egy határvonalú, egyoldalú felületét!
Ragasszuk be a körvonalat egy körlappal! Ekkor egy önmagát metsző,
egyoldalú zárt felületet nyerünk (lásd a 36. ábrát)!
Ez a Klein-féle cső. A Klein-féle cső homeomorf a két
(egyszer) csavart szalaggal ellátott körlap
(
p
=
2
,
q
=
0
)
körlappal való beragasztásával.
Hogy erről meggyőződhessünk, a 35. ábrán látható felületről
azt kell kimutatnunk, hogy homeomorf a két (egyszer) csavart
szalaggal ellátott körlappal.
Vágjuk szét a felületet a
J
körvonal mentén, és húzzuk ki a cső elvékonyodó
részét a lyukból (lásd a 37. ábrát)!
Jelöljük meg azonos betűkkel a szétvágott pontokat! Kissé
átalakítva a 37. ábrát, a 38. ábra alakzatához jutunk.
Vágjuk szét ezt az ábrát az
A
′
E
,
B
′
F
,
G
A
és
H
B
szakaszok mentén, és a szétvágott pontokat újra
jelöljük azonos betűkkel! Terítsük ki a síkba az így nyert
alakzatokat (lásd a 39. ábrát)!
Toljuk el a 39. ábra alsó kis téglalapját a nagy fölé, a
felsőt pedig a nagy téglalap alá (lásd a 40. ábrát)!
A szétvágott pontok kerültek egymás fölé, és így ezeket
összeragaszthatjuk (lásd a 41. ábrát)! A
G
A
E
′
szakaszt kihúzzuk szalagszerűen és megcsavarjuk.
Ugyanezt tesszük a
H
B
F
′
szakasszal is (lásd a 42. ábrát)!
Ismét egymás mellé kerültek a szétvágott pontok. Az azonos
jelzésű pontok összeragasztása és az ábra némi kiigazítása után két
(egyszer) csavart szalaggal ellátott körlapot kapunk (lásd a 43.
ábrát)!
A lyukas Klein-féle cső tehát csakugyan homeomorf ezzel az
alakzattal, maga a Klein-féle cső pedig a 43. ábra felületének
körlappal történő beragasztottjával lesz homeomorf.
Nincs szándékunkban tovább szaporítani a példákat. Azoknak,
akik a témával behatóbban kívánnak foglalkozni, Kőnig Dénes: „Az
analysis situs elemei” (Akadémiai Kiadó, 1918) vagy
Boltjanszkij–Jefremovics magyar nyelven megjelent „Szemléletes
topológia” (Tankönyvkiadó, 1965) című könyveit ajánlhatjuk.