Ugrás a tartalomhoz

Numerikus módszerek 1.

Stoyan Gisbert (1942–), Takó Galina (195?–) (2005)

Typotex

2.2. Legjobb közelítés Banach- és Hilbert-terekben

2.2. Legjobb közelítés Banach- és Hilbert-terekben

Gauss ötlete tehát az volt, hogy az

téglalap alakú egyenletrendszer megoldása helyett (ami általában nem létezik) a függvény minimumát keressük, ld.  (2.5). Ezt a feladatot fogalmazzuk meg úgy, hogy a lényeg jobban látszódjék.

Legyen és , az mátrix képtere. A feladat most az, hogy meghatározzunk adott -hez a tér alterében egy olyan elemet, hogy minimális legyen.

Ami minket valójában érdekel, az paramétervektor, erre később visszatérünk. Ez a vektor az tér eleme és várható, hogy a legjobb közelítésének a meghatározása után ez a vektor is egyértelműen meghatározott, ha az által definiált leképezés -ből -be invertálható, tehát ha rangja teljes, egyenlő -nel. Most emlékezzünk a Banach-tér fogalmára, amelyet az 1.2. pontban vezettünk be.

Definíció.

Legyen Banach-tér és annak részhalmaza, továbbá legyen és a Banach-tér normája. Ekkor azt mondjuk, hogy az a elem legjobb közelítése -ban, ha

Fent említett feladatunk tehát a legjobb közelítés meghatározása. Ilyen feladatot érdemes Banach-térben megfogalmazni, ahogyan ezt a következő tétel mutatja.

2.1. Tétel (legjobb közelítés létezése).

Legyen Banach-tér és annak lineáris, végesdimenziójú altere. Ekkor minden -hez létezik legjobb közelítés -ban.

Bizonyítás.

Először megmutatjuk, hogy nem kell figyelembe vennünk az tér azon elemeit, amelyeknek normája elég nagy abban az értelemben, hogy . Ugyanis ekkor

azaz a elem jobb közelítése -nek, mint az ilyen . Továbbá, a folytonos függvénye az tér elemeinek:

Most a Weierstrass-féle tételre hivatkozva megkapjuk azt az eredményt, hogy a folytonos függvény a zárt, korlátos, végesdimenziójú

halmazon felveszi alsó korlátját.

Megjegyzés.

Ha , a legjobb közelítés csak maga lehet a norma tulajdonságai miatt.

4. ábra - Legjobb közelítés a maximumnormában: a) Legjobb közelítés a maximumnormában: a) egyértelműsége b) többértelműsége egyértelműsége b) Legjobb közelítés a maximumnormában: a) egyértelműsége b) többértelműsége többértelműsége

Legjobb közelítés a maximumnormában: a) egyértelműsége b) többértelműsége

A legjobb közelítés nem mindig egyértelmű, ugyanis legyen , a maximum norma és

Ekkor tetszőleges , elem a legjobb közelítése -nek. Az unicitás összefügg a norma szigorú konvexitásával.

Definíció.

Szigorúan konvexnek hívjuk az olyan Banach-teret, amelynek normája rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy

érvényes tetszőleges , esetén és egyenlőség csak akkor áll fenn, ha , vagy vagy .

A maximum normával ellátott tér nem rendelkezik ezzel a tulajdonsággal; az általános Banach-tér a háromszög egyenlőtlenség révén rendelkezik a következő konvexitási tulajdonsággal:

Viszont szigorúan konvex minden olyan tér, amelynek normája skalárszorzatból származtatható – mint pl. az euklideszi norma az -ben.

Definíció.

A Banach-tér rendelkezzen skalárszorzattal, tehát olyan leképezéssel, amely a minden elempárjához hozzárendel egy valós számot, , úgy hogy

a) ,

b) a leképezés lineáris:

c)

d) pontosan akkor, amikor .

Amennyiben a norma a skalárszorzatból származtatható,

a Banach-teret Hilbert-térnek hívjuk.

Megjegyzés.

A Hilbert- és Banach-terek részletesebb tárgyalása a funkcionálanalízishez tartozik; mi itt csak annyit mutatunk ezen terek elméletéről, amennyire szükségünk van a numerikus módszerek megalapozásához. A következő tételekben ezen terek dimenziója akár végtelen is lehet, de ebben a fejezetben csak a -re alkalmazzuk az elméletet. Az alábbiakban azt fogjuk látni, hogy a Hilbert-térnek egyrészt becslésekre jobban kihasználható konvexitási tulajdonsága van, másrészt létezik – ugyancsak a skalárszorzatnak köszönhetően – az ortogonalitás fogalma: ortogonális, ha .

2.2. Lemma.

Minden Hilbert-tér szigorúan konvex.

Bizonyítás.

Többet kaptunk az állításnál; a Hilbert-tér normája eleget tesz az

(2.7)

egyenlőtlenségnek -gyel. A (2.7) tulajdonságot egyenletes konvexitásnak hívjuk. Most folytathatjuk a legjobb közelítés vizsgálatát.

2.3. Tétel (legjobb közelítés unicitása).

Szigorúan konvex Banach-térben csak egy legjobb közelítés van.

Bizonyítás.

Legyen és a elemnek két legjobb közelítése, tehát

Legyen . Ekkor a szigorú konvexitás alapján ( , )

– ami ellentmondás.

Megjegyzés.

Ha nem szigorúan konvex a Banach-tér, akkor az altér megfelelő választása biztosíthatja az unicitást; így pl. egyértelműen meghatározott a maximum normában a folytonos függvények legjobb közelítése polinomok segítségével, amire 4.9-ben visszatérünk.

Tételeink szerint pl. Hilbert-térben a legjobb közelítés létezik és egyértelműen meghatározott. A Hilbert-térbeli legjobb közelítés tényleges meghatározásának alapja a következő ortogonalitási tulajdonság.

2.4. Tétel (legjobb közelítés jellemzése).

Hilbert-térben pontosan akkor a elem legjobb közelítése -ban, ha a közelítés hibája ortogonális -ra:

Bizonyítás.

Legyen a elem ortogonális felbontása, azaz és minden -re. Ekkor

Tehát a legkisebb érték, ezt esetén kapjuk meg. Ezért a elem legjobb közelítése és

Az állítás hiányzó része az ortogonális felbontás egyértelműségéből következik: Ha olyan, hogy minden -re, akkor

a elem ortogonális felbontása, így , , azaz a legjobb közelítése.

5. ábra - Legjobb közelítés az Legjobb közelítés az Hilbert-térben Hilbert-térben

Legjobb közelítés az Hilbert-térben

Legyen most a Hilbert-tér -dimenziójú altere és az bázisa,

Ekkor a legjobb közelítése is felírható a bázis segítségével:

Feladatunk tehát az számok meghatározása. A legjobb közelítés jellemzéséből adódik egy -dimenziójú egyenletrendszer,

(2.8)

Ezen egyenletrendszer mátrixa az úgynevezett Gram-féle mátrix, amely feltételeink mellett biztosan reguláris, hiszen tetszőleges esetén létezik az megoldás – és ez az számokkal egyértelműen meghatározott. Ennél több is igaz.

2.5. Lemma (Gram-féle mátrix tulajdonságai).

A Gram-féle mátrix

szimmetrikus (komplex Hilbert-térben: hermitikus); továbbá, pontosan akkor pozitív definit, ha a rendszer lineárisan független.

Bizonyítás.

a) szimmetrikus: (komplex Hilbert-térben: ).

b) pozitív definit, ha bázis:

Megjegyzés.

Tetszőleges rendszer esetén a Gram-féle mátrix szimmetrikus (ill. hermitikus) és pozitív szemidefinit.

Így a legjobb közelítés feladata tetszőleges Hilbert-tér végesdimenziójú alterében lineáris egyenletrendszerre vezet, amelynek mátrixa szimmetrikus és pozitív definit. Ezért ezt a rendszert,

(2.9)

pl. a Cholesky- vagy az -felbontás segítségével oldhatjuk meg. Erre nincs szükség, amikor a rendszer ortonormált, hiszen akkor és így

(2.10)

A fenti összefüggéseket másképpen is le tudjuk írni, ha bevezetjük a oszlopvektorokból összeállított

mátrixot. Ekkor ugyanis

(2.11)

A legjobb közelítést előállító (az utolsó képletben látható) operátor tulajdonságait a következő lemmában foglaljuk össze.

2.6. Lemma (legjobb közelítés operátora).

Legyen Hilbert-tér, a végesdimenziójú lineáris altere és az a leképezés, amely minden -hez hozzárendeli az legjobb közelítését -ban. Ekkor

a) lineáris operátor, pontosabban projekció (érvényes );

b) ha bázisa és , akkor .

Bizonyítás.

A 2.4. tétel szerint az adott elem ortogonális projekciója -ba, és mint olyan, additív és korlátos (normája 1), tehát lineáris leképezés. Az tulajdonság is abból következik, hogy ortogonális projekció; ezt a tulajdonságot közvetve már a 2.1. tételhez fűzött megjegyzésben is említettük.

Megjegyzés.

Numerikus szempontból fontos, hogy normája korlátos, mert emiatt a legjobb közelítésre való leképezés stabil és Lipschitz-folytonos. Ezt közvetlenül is beláthatjuk. Legyen ugyanis , . Ekkor a Pitagorasz-tétel alapján egyrészt

másrészt

Ortonormált rendszer esetén , a -méretű egységmátrix, és ekkor az projektor egyenlő -tal. Ilyenkor igaz egy, a skalárszorzatokra vonatkozó egyenlőtlenség, amit most levezetünk. Kiindulunk abból, hogy

(2.12)

Még egyszer hivatkozva a Pitagorasz-tételre,

így (2.11) és (2.12)-ből következik a

egyenlőtlenség, és innen

(2.13)

Ez az úgynevezett Bessel-egyenlőtlenség (ld. a 2. feladatot is; komplex térben itt helyett áll).

Ahogyan látni fogjuk, az ortonormált bázisrendszer előállítása drágább, mint az -felbontás – bár biztosabb, ha rosszul kondicionált a feladat.

Megjegyzés.

A (2.8), ill.  (2.9) egyenletrendszert úgy is értelmezhetjük, hogy ez az egyenlet közelítő megoldását adja a elem -beli legjobb közelítésének segítségével. Ezt a gondolatot, általánosabb leképezés esetén az

feladat megoldására alkalmazva, Ritz-módszernek hívjuk: az egyenlet helyett vizsgáljuk a függvényt a Hilbert-térben; ennek minimumhelyét approximáljuk úgy, hogy nem -ben, hanem csak az alterében keressük a minimumot. Az

feladat megoldása jellemezhető az

egyenletekkel.

Ezt a Ritz-módszert először a 3.9. pont 18. feladatában sajátérték feladat megoldásának során használjuk. Később a 11. fejezetben viszontlátjuk ezeket a képleteket „Ritz–Galjorkin-módszer” néven az alakú peremérték feladatok megoldása kapcsán. Akkor (2.8)-hoz képest a különbség lényegében csak az, hogy a (2.8) egyenletben az előtt álló egységoperátort az operátorral helyettesítjük.