Tóth János (2007)
Typotex Elektronikus Kiadó Kft.
Tagadást jelentő előtag. Például az aszimmetrikus alakzat nem rendelkezik szimmetriával, nem szimmetrikus.
A 10-es szám tizenhatos (hexadecimális) számrendszerben.
a alapú exponenciális függvény
Legyen
a
egy egytől különböző pozitív valós szám. Az
a
alapú exponenciális függvény
az az
f
függvény, amelyre
minden
esetén. Ezt élesen meg kell különböztetnünk attól, amit „az”
exponenciális függvénynek
hívunk. Az
és az
görbék illusztrálják a különbséget a között, amikor
, és amikor
. Lásd még
exponenciális növekedés
és
exponenciális bomlás.
Két úton tisztázhatjuk, hogy mit is értünk az
kifejezése.
A hatványozás azonosságai megadják
jelentését minden racionális
x
esetén. Irracionális
x
esetében tekintsünk egy racionálisokból álló sorozatot, amely az
x
értékhez tart. Például
esetén egy ilyen sorozat lehet
így minden
értelmes, mivel minden esetben a racionális a kitevő. Be lehet látni, hogy ez a sorozat konvergens, és a határértéke lesz definíciószerűen
. Ez a módszer tetszőleges valós
x
esetén alkalmazható.
Másik út: ha az
függvényt már definiáltuk, mondjuk az
exponenciális függvény
2. megközelítésével, akkor mondhatjuk, hogy az
függvény
inverz függvénye. így a következő definíciót mondhatjuk ki:
. Ez a módszer kevésbé kézenfekvő, mint 1., de kielégítőbb. Ebből a definícióból ugyanis következik, hogy
, mint ahogyan azt elvárjuk, továbbá az alábbiak:
, és
.
Ha
n
pozitív egész szám, akkor
, ahol
a
n-szer szerepel, és
azonos az
kifejezéssel.
.
Lásd logaritmus.
Számolótábla: a számokat rudakon lévő golyók képviselik.
A háromszögbe írt kör középpontja a szögfelezők metszéspontja.
(1802–1829) Norvég matematikus, aki 19 éves korában bebizonyította, hogy a négynél magasabb fokú általános polinomiális egyenlet algebrailag nem oldható meg. Más szavakkal: nem létezik a másodfokú egyenletre vonatkozó ismert képlethez hasonló az ilyen egyenletek gyökeire. Alapvető eredményeket ért el az algebrai függvények elméletében is. 26 éves korában szegénységben halt meg, néhány nappal azelőtt, mielőtt megkapta volna azt a levelet, amely berlini professzori kinevezését tartalmazta.
A
művelettel ellátott
G
csoport
Abel-féle, ha a művelet kommutatív, azaz minden
esetén
.
Az Abel-díjat évente a norvég király adományozza kiemelkedő matematikai teljesítményért. Eredeti (a XIX. század legvégéről származó) célkitűzése és az adományozott összeg (mintegy egymillió dollár) nagysága szerint is a Nobel-díj matematikai megfelelője. A díjazottak listáját a 10. Függelék tartalmazza.
Függvénysorok konvergenciájára vonatkozó kritérium, amely kimondja, hogy ha
konvergens sor, és
(
intervallum) monoton csökkenő, nemnegatív, korlátos függvénysorozat, azaz
és
minden
esetén, akkor a
függvénysor egyenletesen konvergens. Számsorokra vonatkozó fontos speciális esetet kapunk, ha a
függvénysorozat helyett numerikus sorozatot veszünk.
A matematikának az a területe, ahol a háromdimenziós alakzatokat síkra vetítik, hogy a térbeli problémákat grafikusan kezeljék.
A síkbeli Descrates-féle koordináta-rendszer első (x-) koordinátája.
Táblázatkezelő programokban előfordulhat olyan képlet több cellában is, amely másik cella vagy cellák tartalmát használja. Mivel ez utóbbi celláknak a viszonylagos helyzete mindannyiszor más lesz, valahányszor a képlet egy új helyen megjelenik, a táblázatkezelők szintaxisa megengedi, hogy abszolút címet használjunk, amelyik minden cella esetére az aktuális sort és oszlopot tartalmazza. Ha egy képletet átmásolunk egy másik cellába, akkor az abszolút címet tartalmazó hivatkozások változatlanok maradnak. Egy képleten belül az abszolút és a relatív cím keveréke is használható.
Az
a
valós szám
abszolút értékét
jelöli; ez maga a szám, ha
, és
, ha
. így
pozitív, kivéve, ha
. Érvényesek a következő tulajdonságok:
,
,
,
esetén
pontosan akkor áll fenn, ha
.
Lásd gyakoriság.
Lásd hiba.
A
sor
abszolút konvergens, ha a
sor konvergens. Ha például
, akkor az ebből képzett sor konvergens, de nem abszolút konvergens, míg ha
, akkor abszolút konvergens.
Lásd abszolút konvergens sor.
Az a folyamat, amelynek során olyan általános kijelentést fogalmazunk meg, amely összegzi, hogy mit figyeltünk meg speciális esetekben. Például azt mondhatjuk, hogy
, ha
, és
, ha
vagy
. A matematikai tételek lényegében állítások magas szintű absztrakciói.
A matematikának az a területe, amely olyan algebrai struktúrákkal foglalkozik, mint a csoportok, gyűrűk és testek, amelyekben elemek valamilyen speciális műveletekkel ellátott halmaza kielégít bizonyos axiómákat. Általában az a célunk, hogy az axiómákból kiindulva olyan általános eredményeket kapjunk, amelyek az adott algebrai struktúra összes speciális esetére alkalmazhatók. Egyes algebrai struktúrák elmélete igen fejlett; speciálisan például a vektorterek elmélete annyira kiterjedt, hogy a tanulmányozásukkal foglalkozó lineáris algebrát már szokásosan nem tekintjük absztrakt algebrának.
Angolszász területegység, 4840 négyzetyard, azaz 4046.86
. Egy
hektár
megközelítőleg 0.4 acre.
Egy kísérletből, felmérésből, vagy esettanulmányból származó megfigyelés. Gyakran az adatokat véletlenszerűen válogatjuk egy populációból. A számszerű adat diszkrét, ha a populáció véges vagy megszámlálhatóan végtelen, és folytonos, ha a populáció egy véges vagy végtelen intervallumot alkot. Az adat nominális, ha a megfigyelések nem számszerűek vagy kvantitatívak, hanem csak szemléltetőek. Például a származási hely, vagy valamely jármű típusa nominális adatok.
Az adatelemzésnek az a módszere, amely az adatok elemzését tűzi ki célul kezdetben, rendszerint számos, többnyire grafikus módszerrel, hogy betekintést próbáljon nyerni az adatok, és a mögöttük rejlő struktúra természetébe, abba, hogy melyek a fontos változók és melyek a kiugró adatok. Ennek eredménye befolyásolhatja azt, hogy milyen elemzési módszerek mellett döntünk. Ez a megközelítés először Tukey 1977-es munkájában mutatta meg fontosságát.
Ez általában a számtani középre utal. Vesd össze lokációs paraméter.
Érzékeny adatok esetében az adatok bizalmas kezelése könnyebben megvalósítható, mint a teljes anonimitás, de az érzékeny adatokra vonatkozó felmérések mégis megbízhatatlanok, mivel nehéz megbízni a válaszok igazságában.
Két szög összegének vagy különbségének trigonometrikus függvényei kifejezhetőek az egyes szögek szögfüggvényeinek valamilyen kifejezésével.
Ezekkel tudjuk kezelni a szinuszok vagy koszinuszok összegét és különbségét az alábbi formában:
addíciós képletek hiperbolikus függvényekre
Lásd hiperbolikus függvények.
Ha egy
csoportban
a művelet jele
, neve összeadás, akkor a csoportot
additív csoportnak
nevezhetjük. A csoport műveletét rendszerint csak akkor szokás a
jellel jelölni, ha a csoport
kommutatív, így egy additív csoport rendszerint
Abel-csoport.
Az összeadás műveletének
egységeleme, általában 0 jelöli, így
.
Az
f
függvény additív, ha eleget tesz az
Cauchy-féle függvényegyenletnek.
Lásd inverz elem.
Végtelen sokszor ismételve. (A. m. „a végtelenségig”.)
Az adjungált rövidítése.
Az
A
négyzetes mátrix
adjungáltja,
, az
A
mátrix előjeles aldeterminánsaiból álló mátrix transzponáltja. Legyen az
mátrix
eleméhez tartozó
előjeles aldetermináns
. Ekkor az előjeles aldeterminánsok mátrixa
, és
. Például a
-as
A
-es esetben, ha
Az adjungált azért fontos, mert arra használható, hogy megtaláljuk egy
mátrix inverzét. Az előjeles aldeterminánsok tulajdonságaiból kimutatható, hogy
. Ebből következik, hogy amikor
, akkor
A
inverze
.
Az
komplex elemű négyzetes mátrix adjungáltja,
, az
A
mátrix elemeinek
konjugáltjából
álló mátrix
transzponáltja:
.
Levegőben mozgó testre (például a Föld légkörében szálló repülőgépre) a test felszíne körüli légáramlás következtében erő hat. Az erő a repülési pálya érintőjével párhuzamos aerodinamikai ellenállásnak és a repülési pályára merőleges emelőerőnek az összege.
Lásd apszis.
A geometriának az az ága, amely síkról síkra való párhuzamos vetítésnél (affin transzformációnál) megmaradó tulajdonságokkal foglalkozik. Ilyen transzformációknál bizonyos tulajdonságok nem maradnak meg, speciálisan Eukleidész harmadik és negyedik axiómája nem teljesül.
Olyan transzformáció, amely megőrzi a kollinearitást, ennélfogva egyenest egyenesbe visz, párhuzamos egyeneseket párhuzamosokba, és megtartja a távolságok arányát (három pont osztóviszonyát).
Bármely olyan helyzet, amely lényegében hasonlít a következőhöz: két rabot kérdeznek meg külön-külön egy bűntényről. Ha mindketten tagadnak, akkor nincs bizonyíték ahhoz, hogy felelősségre vonják őket, ezért szabadon fogják engedni őket. Ha az egyik vall a másikra, aki tagad, akkor az elsőt szabadon engedik, a másikat pedig keményen megbüntetik. Ha mindketten vallanak, akkor mindketten kapnak büntetést, enyhébbet, mint az a rab az előző esetben, aki tagadott. A „dilemma” a rab számára az, hogy a tagadás a lehető legjobb eredménnyel járhat és lehető legrosszabbal is, a másik rab vallomásától függően. Ennek egy példája a fegyverkezési verseny, ahol a legjobb esetben mindkét fél leszerel, de az egyoldalú leszerelés megsemmisüléssel végződhet.
Görbe egy szakasza olyan végponttal, amelyben egy másik szakasszal találkozik, és ahol a görbe deriváltjának szingularitása van. Lásd még hiperbola ága.
a hányados deriválási szabálya
Lásd deriválás.
Az az állítás, hogy minden kijelentés vagy igaz vagy hamis; más szóval, nem lehet, hogy se nem igaz, se nem hamis: nincs harmadik eset. (Latinul: tertium non datur.)
A paradoxon a következő állításban rejlik: „Ez az állítás hamis.” Gondoljuk meg ugyanis, hogy ha abból indulunk ki, hogy igaz, akkor hamis, ha pedig abból, hogy igaz, akkor szükségképpen hamisnak kell lennie.
(numerikus módszer) Amikor egy
iteratív (rekurzív) képletet használunk egy egyenlet megoldására,
Aitken módszere
a konvergenciát úgy gyorsítja, hogy a kezdeti értéket és a képlettel kiszámolt következő két értéket használja föl arra, hogy jobb közelítést számoljon, mint amilyet maga az iteratív képlet adna. Azután ezt a közelítést lehet fölhasználni új kezdőpontként, ahonnan megismételjük a folyamatot mindaddig, amíg el nem érjük a kívánt pontosságot. Bár ez a fajta eljárás számításigényes, a táblázatkezelők nagyon könnyen tudják kezelni.
Ha
a kezdeti érték, és
és
az első két közelítés és
és
az első két előremutató differencia, akkor legyen
. Általánosságban legyen
.
A következő, Neumann János nevéhez fűződő tétel, amely minimax tétel néven is ismert.
Tétel. Tegyük fel, hogy egy mátrixjátékban
jelöli a várható nyereséget, ahol
x
és
y
a két játékos kevert stratégiája. Ekkor
Az egyik játékos, S, maximin stratégiát alkalmazva elérheti, hogy várható nyeresége legalább akkora legyen, mint a tételbeli egyenlőség bal oldala. Hasonlóképpen, minimax stratégia alkalmazásával a másik játékos, O, azt érheti el, hogy a várható nyereség legfeljebb akkora legyen, mint az egyenlet jobb oldala. Az ilyen stratégiákat optimális stratégiáknak nevezzük. Mivel a tétel szerint a két oldal egyenlő, ezért ha S és O optimális stratégiát alkalmaz, a várható nyereség egy közös értékkel lesz egyenlő, amit a játék értékének nevezünk.
Tekintsük például azt a játékot, melynek mátrixa
Ha
, akkor meg lehet mutatni, hogy minden
y
esetén
. Hasonlóan, ha
, akkor minden
x
esetén
. Ebből következik, hogy a játék értéke 10/3, és
, illetve
a két játékos optimális stratégiája.
A paradoxon onnan ered, hogy megfigyeljük, hogyan megy végbe az utolérés. Akhillész előnyt ad a teknősbékának egy futóversenyben. Ahhoz, hogy utolérje őt, el kell érnie a teknős kezdeti helyzetét, azután azt a pontot, ahová közben a teknős elért, és így tovább, ad infinitum. A végkövetkeztetés, amely szerint nem tudja utolérni soha, mivel jól definiált, nullától különböző távolságok végtelen összegét kellene megtennie, hamis, innen a paradoxon.
Lásd útbejárási probléma.
Lásd előzmény, következmény, szükséges és elégséges feltétel.
Az egyik probléma, amit az ókori görög matematikusok próbáltak megoldani: körző és vonalzó segítségével megszerkesztendő egy olyan kocka éle, amelynek térfogata kétszerese egy adott kocka térfogatának. Ezzel ekvivalens probléma egy
hosszúságú szakasz szerkesztése, ha adott egy egységnyi hosszúságú szakasz. A fenti módszerrel csak olyan hosszak kaphatók meg, melyek egy adott osztályba tatozó számokkal egyenlők, ezen osztályba tartozó számok pedig összeadással, kivonással, osztással, és négyzetgyökvonással állnak elő. Mivel
nem tartozik ezen osztályba, a kocka megkettőzése lehetetlen.
A görög geométerek által kitűzött egyik probléma (a
a kocka megkettőzése
és
szögharmadolás
mellett), amelyet körzővel és vonalzóval végzett szerkesztéssel akartak megoldani: szerkesztendő adott körrel azonos területű négyzet. Ez egyenértékű a
hosszúság megszerkesztésével, ha adott az egység. Körzővel és vonalzóval végzett szerkesztéssel viszont csak olyan hosszúságok szerkeszthetők, amelyek algebrai számok (azok közül se mind, például a
kocka megkettőzéséhez
szükséges
szám nem). így tehát miután 1882-ben
Lindemann
bebizonyította, hogy
transzcendens szám, kiderült, hogy a kör nem négyszögesíthető. Vesd össze
Laczkovich.
Azt mondjuk, hogy egy olyan (leginkább
optimalizálási feladat
kényszerfeltételeként szereplő) egyenlőtlenség – mint például
–
aktív
a határ pontjaiban, azaz ahol egyenlőség áll, például a
és a
pontban.
Pontok, vonalak, felületdarabok kombinációja egy geometriai alakzatban.
Egy alakzat lehet tengelyesen szimmetrikus vagy tükörszimmetrikus egy egyenesre (a tengelyre) vagy egy síkra, vagy lehet forgási szimmetriája.
Lásd exponenciális függvény alapja, egyenlőszárú háromszög alapja, logaritmus alapja, természetes alapú logaritmus alapja, gúla alapja, számrendszer alapszáma.
Lásd SI egységrendszer.
Bármely E halmazt kinevezhetünk alaphalmaznak, s ezután csak E részhalmazai körében vizsgálódunk. Komplementerképzésről például mindaddig nincs értelme beszélni, amíg nem rögzítettünk egy alaphalmazt.
Amikor segédváltozókat vezetünk be egy lineáris programozási feladatban, akkor több egyenlet van, mint változó. Ha n-nel több változó van, mint egyenlet, akkor az alapmegoldást úgy kapjuk meg, hogy az n számú változó különböző kombinációit nullával tesszük egyenlővé, így csökkentve a változók számát annyira, ahány egyenletünk van. Ha valamelyik kiegészítő változó negatív, akkor a megoldás nem megengedett. Minden egyes megoldás esetén azt az n számú változót, amelyet nullává tettünk, nemalap-változónak nevezzük, a többieket pedig alapváltozóknak hívjuk.
Lásd egyenlőszárú háromszög.
Lásd logaritmus.
Lásd alapmegoldás.
Bármely végtelen
számosság; szokásosan az (indexszel ellátott)
(alef) héber betűvel jelöljük. Lásd még
transzfinit szám.
A legkisebb végtelen számosság. Bármely olyan halmaz számossága, amely
kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe
hozható a természetes számok halmazával. Az ilyen halmazokat
megszámlálhatóan végtelen
halmazoknak nevezzük, és számosságuk jelölésére az
szimbólumot használjuk. A számelmélet egyik látszólagos paradoxona, hogy a 0 és 1 közötti
racionális számok
halmaza, a racionális számok halmaza és a
természetes számok
halmaza egyenlő számosságú.
a legkisebb négyzetek módszere
A legkisebb négyzetek módszere
a statisztikában
paraméterek
becslésére használatos módszer, például
regressziónál. Segítségével becslést a paraméterekre oly módon kapunk, hogy a megfigyelt és a feltételezett értékek különbségeinek négyzetösszegét minimalizáljuk. Tegyük fel például, hogy lineáris regressziónál
, ahol
n
megfigyelt értékpárunk van,
. Ekkor a legkisebb négyzetek módszere alapján
és
becslése
az az
a
és
b
szám, amelyre a
összeg minimális.
a legnagyobb valószínűségen alapuló becslés
Egy ismeretlen paraméter becslése a legnagyobb valószínűség módszerével, hívták maximumlikelihood-becslésnek is. Lásd likelihoodfüggvény.
a legrövidebb útvonal módszere
A legrövidebb útvonal meghatározására szolgáló algoritmus. Az eljárás lényegében abban áll, hogy a pontokat megcímkézzük a kiindulási ponttól mért minimális távolságukkal a növekvő minimális távolság sorrendjében. Ennélfogva egyetlen fázisban sem kell több lehetséges utat figyelembevennünk a már megcímkézett pontok egyikéhez sem. Az eljárás véget ér, amint a végső pontot is megcímkéztük ilyen módon, még akkor is, ha maradt olyan pont, amelyet még nem címkéztünk meg – ezekre ugyanis a legrövidebb út hosszabb lenne, mint amit megkaptunk.
Lásd Diophantosz.
Lásd Hérón.
Lásd Meneláosz.
Lásd Papposz.
A matematikának az a területe, amelyik az aritmetika általános tulajdonságaival foglalkozik. A kapcsolatokat változókkal lehet kifejezni, amelyeket rendszerint az ismeretlen mennyiségeket képviselő
betűk jelölnek, s amelyek értékét vagy értékeit a keletkező egyenletek megoldásával lehet meghatározni. Lásd még:
absztrakt algebra
és
lineáris algebra.
Az
S
nem üres halmaz részhalmazaiból álló
halmazrendszert
-algebrának
nevezzük, ha
;
ha
, akkor
, (ahol
az
A
halmaz
komplementuma);
ha minden
n
természetes számra
, akkor
.
(Itt
az
S
halmaz
hatványhalmaza.)
A matematikának az a területe, amely a geometriát algebrai módszerekkel tanulmányozza.
Egy adott halmaz olyan kibővítése, amely már tartalmazza a halmazból vett együtthatókkal fölírt polinomok összes gyökét. A legszűkebb algebrailag zárt számhalmaz a komplex számok
halmaza, mivel már a nagyon egyszerű
egyenletnek van komplex megoldása, és mivel a komplex együtthatós polinomok gyökei már mind a komplex számok halmazába esnek.
Műveletekkel és relációkkal ellátott halmaz, másképp: relációkkal is ellátott algebrai struktúra.
Elemek műveletekkel ellátott, bizonyos axiómákat kielégítő halmaza. így a csoport, a gyűrű, a test algebrai struktúra. A definíciók célja, hogy felismerjük a matematikában különböző összefüggésekben megjelenő hasonlóságokat, majd axiómák segítségével összefoglaljuk ezeket.
Egész együtthatós
polinom
gyökeként adódó (általában komplex) szám. Az összes
racionális szám
algebrai, mivel például ha
a
és
egész szám, akkor
gyöke a
egyenletnek. Néhány irracionális szám is algebrai, például
gyöke az
egyenletnek. Az olyan
irracionális számokat, amelyek nem algebraiak (amilyen például a
szám),
transzcendens számoknak
nevezzük.
Pontosan leírt rutin eljárás, amely alkalmazható és szisztematikusan követhető a végső következtetésig.
A tudás gyakorlati alkalmazása, mint az alkalmazott matematikában.
A matematika azon területe, mely a természet és a társadalom törvényeit vizsgálja. Ide tartozik a valószínűségszámítás és a matematikai statisztika, a diszkrét matematika és a döntéselmélet, valamint az olyan elméleti matematika alkalmazásai, a valóságos világ problémáinak megoldásában, mint amilyen a mátrixok elmélete. Egyes országokban ide sorolják az elméleti mechanikát is. Bizonyos szerzők kerülik az „alkalmazott matematika” kifejezést, és inkább a „matematika alkalmazásairól” szeretnek beszélni.
al-Khwarizmi (Mohamed ibn Músa)
(IX. század) Bagdadi arab matematikus és csillagász, két jelentős művet írt az aritmetikáról és algebráról. Ezeken keresztül terjedt el Európában a hindu–arab számírás. Az „algoritmus” szó az ő nevéből származik, mely a hindu (eredetileg hindu, éppen azért nevezik arabnak, mert ő arab volt) számrendszerről szóló könyvének címében szerepel. Az „algebra” szó egy másik könyvének címéből ered, amely többek között másodfokú egyenletek megoldására is ad a teljesnégyzetté-alakításhoz hasonló módszert.
Lásd az A betűnél.
(fizikai törvényekben) Olyan mennyiségek értéke, amilyen például a fénysebesség, állandó, ha rögzítettük a mértékegységeket. Bizonyos esetekben a mértékegységeket úgy rögzítik, hogy egyes állandók az egyszerűség kedvéért eggyel legyenek egyenlők. Newton második törvénye szerint egy test gyorsításához szükséges erő arányos a tömeg és a gyorsulás szorzatával. Az erő
Newton
nevét viselő mértékegységét úgy állapították meg, hogy ez a törvény
SI egységrendszerben
erre egyszerűsödjön: erő = tömeg
gyorsulás.
állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet
Az egyszerűség kedvéért tekintsük a következő másodrendű differenciálegyenletet:
ahol a,b és c adott konstansok, f pedig valamely nyílt intervallumon értelmezett folytonos függvény. (A magasabbrendű differenciálegyenletek hasonlóan kezelhetők.) Tegyük fel, hogy f nem az azonosan nulla függvény. Ekkor az
egyenlet az (1) inhomogén egyenletnek megfelelő homogén egyenlet. Ezekkel kapcsolatban a következő tétel teljesül:
Tétel. Ha
G
a (2) homogén egyenlet
általános megoldása
és
az (1) inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása, akkor
az (1) inhomogén egyenlet általános megoldása. Ezáltal az (1) egyenlet megoldása visszavezethető a
G
és
függvény meghatározására.
A (2) homogén egyenlet általános megoldása meghatározható úgy, hogy megoldásait
alakban keressük. Ebből az
karakterisztikus egyenletet
kapjuk. Ha az egyenlet két különböző valós gyöke
és
, akkor a homogén egyenlet általános megoldása
; ha az egyenlet kétszeres valós gyöke
m, akkor
; ha az egyenlet két komplex gyöke
, akkor
.
Az (1) inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása (bizonyos feltételek teljesülése esetén) egyszerűbb esetekben úgy található meg, hogy a megoldást
f
-hez hasonló alakban keressük. Azaz, ha például
, akkor keressük a partikuláris megoldást
alakban. Ha
f
polinom, akkor keressük a partikuláris megoldást
f
-fel azonos fokszámú polinom alakjában. Ha
vagy
, akkor legyen
alakú. Mindegyik esetben az ismeretlen együtthatók értékét úgy kaphatjuk, hogy a feltételezett partikuláris megoldást az (1) inhomogén egyenletbe behelyettesítjük. Ha
f
két tag összege, a megfelelő partikuláris megoldások együtthatói behelyettesítéssel külön-külön meghatározhatók.
Ezen eljárás alkalmazásával például az
egyenlet általános megoldása
.
Bizonyos számok például
,
vagy az „aranymetszés”
, amelyek gyakran előfordulnak a matematikában és a természetben. Mivel ezek puszta számok, értékük független a mérésekben használt skáláktól.
Lásd polinom.
Lásd sztochasztikus folyamat, differenciálegyenlet.
A matematikai logikában egy
állítás
vagy
ítélet
alapvető tulajdonsága, hogy értelmes, és vagy igaz, vagy hamis (kizárva azt a lehetőséget, hogy mindkettő egyszerre). Például annak az állításnak, hogy „Van olyan valós
x
szám, amelyre
” van értelme, és igaz, míg annak az állításnak, hogy „Ha
x
és
y
pozitív egész szám, akkor
pozitív egész szám” ugyan szintén van értelme, de hamis, „2 nagyobb” pedig nem állítás, ugyanis nincs értelme.
A matematikában olyan kijrelentés, amely vagy bizonyítást igényel vagy már bizonyítva van.
Lásd háromszögmátrix.
Lásd integrálási határok.
Az
valós számsorozat alsó határértékének értelmezéséhez képezzük a
számok limeszét:
illetve legyen
amennyiben a sorozat alulról nem korlátos. Ez a szám a sorozat összes konvergens részsorozatának határértékéből álló halmaz legkisebb eleme.
Lásd korlát.
Kerülendő elnevezése az olyan háromszögnek, amelynek mindhárom oldala különböző hosszúságú.
általánosított sajátvektor és sajátérték
Legyen
A
és
B
négyzetes mátrix. A nullától különböző
x
vektort az
párhoz tartozó
általánosított sajátvektornak
nevezzük, ha léteznek olyan
számok, amelyekkel
teljesül. A
számot
általánosított sajátértéknek
nevezzük, és értékét
-nek vesszük, ha
(előjelét ekkor
előjele adja).
Az
A
négyzetes mátrix
általánosított sajátvektorának
nevezzük a nullától különböző
x
vektort, ha valamilyen pozitív egész
k
számra és
komplex számra
teljesül. A
szám ekkor
k
multiplicitású sajátérték. A közönséges
sajátvektorhoz
és
sajátértékhez
jutunk
esetén.
általánosított valószínűséghányados-próba
Az általánosított valószínűséghányados-próba a következő statisztikán alapul: vegyük a megfigyelt értékek legnagyobb valószínűségét a nullhipotézishez és az ellenhipotézishez tartozó paraméterértékek mellett, és ezeket osszuk el egymással.
Az olyan n különböző tetszőleges állandót tartalmazó függvényt, amely kielégít egy n-edrendű differenciálegyenletet, és amely megadja az egyenlet összes megoldását az állandók alkalmas megválasztása esetén, általános megoldásnak nevezzük. Az inhomogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldása a megfelelő homogén differenciálegyenlet általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának az összege.
Lásd relativitáselmélet.
Egy V vektortér, például az n-dimenziós tér olyan részhalmaza, amely V műveleteivel maga is vektorteret alkot. Például a közönséges 3-dimenziós tér vektortérnek tekinthető a valós számok felett, amelynek 2-dimenziós altere minden olyan sík, amely az origón átmegy; 1-dimenziós alteret pedig az origón átmenő egyenesek alkotnak. (Az origón át nem menő egyenesek nem alkotnak alteret, mert ezek nem tartalmazzák a nullvektort. Egy origó közepű körlap – vagy bármely más korlátos alakzat – szintén nem lehet altér, mert ez nem lenne zárt a számmal való szorzásra.) A legfeljebb ötödfokú valós együtthatós egyváltozós polinomok vektorterében alteret alkotnak például a legfeljebb harmadfokú polinomok.
Lásd hipotézisvizsgálat.
Lásd tört.
Egy egyenletrendszer alulhatározott, ha több ismeretlent tartalmaz, mint egyenletet. Megjegyezzük, hogy az így értelmezett alulhatározottságnak és az egyenletrendszer megoldásszámának semmi köze sincs egymáshoz, amint azt az alábbi három példa mutatja. Az
egy egyenletből álló rendszer nyilván alulhatározott, és végtelen sok megoldása van. Az
alulhatározott rendszernek a valós számok körében pontosan egy
megoldása van, míg az
egyenletnek nincs valós megoldása.
Lásd bal oldali.
Az amplitúdó rövidítése és jelölése.
Tegyük fel, hogy
, ahol
A
(
),
és
állandó. Ez a képlet például egy egyenes vonal mentén mozgó részecske
t
pillanatbeli
kitérését
adhatja meg. A részecske tehát az
O
origó körül rezeg. Az
A
állandó az
amplitúdó, amely megadja a legnagyobb távolságot, ameddig a részecske az origótól mindkét irányban eljut.
A kifejezés alkalmazható
csillapított rezgések
esetén is a megfelelő együttható megnevezésére, bár ilyenkor ez nem állandó. Például
esetén azt mondják, hogy a rezgések amplitúdója
, amely nullához tart, amint
t
tart a végtelenhez.
Legyen
(
) független, azonos eloszlású,
várható értékű, véges szórásnégyzetű valószínűségi változók sorozata. Ekkor az
átlagokból képzett sorozat
esetén 1 valószínűséggel a
számhoz tart, vagyis bármely
és
pozitív számhoz van olyan
index, hogy minden
esetén
.
(valószínűségszámítás) Néhány olyan tétel összefoglaló elnevezése, melyek az azonos eloszlású független
valószínűségi változókból képzett
kifejezés viselkedését nagy
n-ek esetén leírják. Például a
egyenlőség azt jelenti, hogy független, azonos eloszlású valószínűségi változók átlaga 1 valószínűséggel a populáció várható értékéhez konvergál. Lásd még
a nagy számok gyenge törvénye.
Egy komplex változós, komplex értékű függvény az értelmezési tartományának egy pontjában analitikus, ha az adott pont valamely környezetében konvergens hatványsorba fejthető. A függvény analitikus, ha az értelmezési tartományának minden pontjában analitikus.
A matematikának az a területe, amely a koordinátageometriát vizsgálja.
A matematikának az a területe, amely olyan témákat foglal magába, amelyek határfolyamatok használatát igénylik. így a differenciálszámítás és az integrálszámítás minden bizonnyal ide tartozik. Ezeken kívül vannak még más témák is, amelyekben ilyen fajta „végtelen” folyamatok szerepelnek, például a végtelen sorok összegzése. A binomiális tétel, ami algebrai tétel, akkor vezet az analízishez, amikor a kitevő nem pozitív egész szám. A szinusz és a koszinusz vizsgálata, ami trigonometriaként kezdődik, analízissé válik, amikor levezetjük e függvények hatványsorát. Az „analízis” kifejezést arra is szokták használni, amikor a kalkulus témáinak és a valós számok rendszerének szigorú megalapozását adják.
Folytonos mennyiség mérésére (esetenként: manipulálására, szimulálására) szolgáló (mérő)eszköz, mely a mérési eredményt folytonos skálán mutatja. Ilyenek például egy óra mutatói (feltéve, hogy a másodpercmutató simán jár).
Állandó tömegű részecskék mozgására vonatkozó három törvény, melyeket Newton Principia című művében fogalmazott meg. A következő formában mondhatók ki:
Ha egy részecskére zérus eredő erő hat, akkor nyugalomban van, vagy állandó sebességgel mozog.
Egy részecske impulzusának változási üteme egyenlő a részecskére ható eredő erővel.
Ha egy részecske erőt fejt ki egy másik részecskére, akkor az utóbbi részecske ugyanakkora nagyságú, ellentétes irányú erőt fejt ki az előbbi részecskére.
Az első törvény szerint egy részecske sebességének megváltoztatásához erő kifejtésére van szükség. A részecskének a második törvényben szereplő
p
impulzusát a
képlet adja meg, ahol
m
a részecske tömege,
v
pedig a részecske sebessége. így állandó tömeg esetén
, ahol
a
a részecske gyorsulása. A második törvényt ezért gyakorta
alakban írják fel, ahol
F
a részecskére ható eredő erő. A harmadik törvényt néha a „hatás-ellenhatás” vagy „akció-reakció” elvének nevezik.
Az emberek gyakran különbözőképpen válaszolnak személyes kérdésekre attól függően, hogy mit gondolnak arról, mennyire maradnak névtelenül. Mivel nagyon fontos, hogy igaz válaszokat kapunk, egy felmérésnél igen fontos az anonimitás, vagy legalább is az, hogy az adatokat szigorúan bizalmasan kezeljék.
Lásd varianciaanalízis.
Előtag, jelentése ellentétes, ellen-.
Lásd primitív függvény.
Irányított egyenesekből vagy vektorokból álló pár, amelyek párhuzamosak, de ellentétes az irányításuk.
Szokásosan egy olyan konvex poliéder, melynek két szemközti „alaplapja” egybevágó szabályos sokszög, amelyek párhuzamos síkokban fekszenek úgy, hogy az egyik alaplap minden egyes csúcsa a másik alaplap két csúcsával egy élen keresztül össze van kötve, a többi oldala pedig egyenlőszárú háromszög. Ezt a kifejezést használják az ehhez hasonló olyan poliéderre is, melynek alapjai nem szabályos sokszögek, oldallapjai pedig bár háromszögek, de nem egyenlő szárúak. Ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy az első definíció, az egyenes szabályos antiprizma definícióját adja. Ha az alaplapok szabályosak és a háromszögek egyenlő oldalúak, akkor az antiprizma félig szabályos test.
Lásd ferdén szimmetrikus mátrix.
Az
S
halmazon értelmezett
kétváltozós reláció
antiszimmetrikus, ha bármely
esetén
és
maga után vonja, hogy
. Például, a
reláció az
egész számok
halmazán antiszimmetrikus. (V. ö.
aszimmetrikus reláció.)
Lásd apszis.
(I. e. 262–i. e. 190) Görök matematikus, akinek a A kúpszeletek című könyve egészen a modern időkig a legfontosabb munka volt az ellipszisről, a paraboláról és a hiperboláról. őtőle származik az az ötlet is, hogy a bolygók mozgása epiciklikusokkal írható le. Eukleidésszel és Arkhimédésszel együtt a görög matematika aranykoraként ismert i. e. harmadik századot lefedő időszak kiemelkedő matematikusai voltak.
Adott a síkban két pont,
A
és
B,
illetve egy
k
pozitív valós állandó. Akkor azon
P
pontok halmaza a síkban, melyekre
teljesül, az
Apollóniosz-kör. A
értékre egyenest kapunk, így ezt az értéket vagy ki kell zárnunk, vagy ebben az összefüggésben az egyenest a kör speciális esetének kell tekintenünk. Az ábrán
.
Olyan igazság, amely nem ismerhető meg tapasztalás nélkül, azaz nem vezethető le elfogadott definíciókból a logika segítségével. Például a newtoni mozgástörvények a testek megfigyelt viselkedését írják le, nem pedig elvekből vezetik le azokat, ahhoz hasonlóan, ahogyan például a kockadobás lehetséges eredményeinek valószínűségei levezethetők.
Lásd apriori eloszlás.
Lásd apriori valószínűség.
A
numerikus analízisnek
az a területe, amely azzal foglalkozik, hogy hogyan lehet az
F
függvényhez egy egyszerűbben számolható
f
függvényt találni, amelynek megközelítőleg azonosak az értékei az adott
F
függvényéivel
valamely adott részhalmazán. így a jobban kezelhető
f
függvényen hajtjuk végre az elemzést tudván, hogy az eltérés kicsi lesz.
Tapasztalatok nélkül megismerhető, azaz olyan igazság, mely logikailag levezethető előre lefektetett definíciókból. Például az egyes pontszámok valószínűsége egy szabályos kockával végzett dobások esetén kiszámolható a kimenetelek egyenlő valószínűségének elvéből.
Egy paraméterhez társított eloszlás azelőtt, hogy bizonyos adatokkal rendelkeznénk. Az aposzteriori valószínűség pedig a paraméterhez az adatok megszerzése után hozzárendelt valószínűség. Ezután apriori eloszlásnak tekinthető, amíg további adatokhoz nem jutunk.
Egy eseményhez rendelt valószínűség, mielőtt még bizonyos adatokkal rendelkeznénk. Az aposzteriori valószínűség pedig az eseményhez az adatok megszerzése után hozzárendelt valószínűség. Az aposzteriori valószínűség a Bayes-tétel segítségével számítható ki. Ezután apriori valószínűségnek tekinthető, amíg további adatokhoz nem jutunk.
A pálya olyan pontja, ahol a test a rádiuszvektorra merőleges irányban mozog. Az olyan ellipszispálya, melynek egyik fókuszpontjában található a vonzócentrum, két apszissal rendelkezik: ezek azok a pontok, ahol a test a legközelebb, illetve a legtávolabb van a vonzócentrumtól. Ha a vonzócentrum a Nap, akkor ezt a két pontot perihéliumnak és aféliumnak nevezik. Ha a vonzócentrum a Föld, akkor a pontok neve perigeum és apogeum.
Lásd számjegy.
Két szám vagy mennyiség hányadosa, amely megadja viszonylagos méretüket. Az
x
mennyiség
y-hoz viszonyított arányát
-nak írjuk, és változatlan marad, ha mindkét mennyiséget ugyanazzal a mennyiséggel szorozzuk vagy osztjuk. Tehát
ugyanannyi, mint
és
. Ha az arány
alakban van kifejezve,
egységaránynak
vagy (ha a nevező egész szám)
törzstörnek
nevezzük. Ezzel az alakkal sokkal könnyebb az arányok összehasonlítása.
Azt mondjuk, hogy egy szakaszt az
aranymetszés
arányában osztunk két részre, ha az egész szakasz hossza úgy aránylik a nagyobbik szakaszhoz, mint a nagyobbik szakasz a kisebbikhez. Tehát ha a kisebbik rész hosszát egységnyinek tekintjük, és a nagyobbik hosszát
-val jelöljük, akkor
. Innen azt kapjuk, hogy
, ahonnan
. A
számot az aranymetszés arányának nevezzük. Történetileg fontos szerepe van az aranymetszésnek, például úgy tekintették (és pszichológiai vizsgálatokkal is alátámasztották), hogy az a téglalap, melynek oldalaira fennáll ez az arány, különlegesen kellemes alakú. Megvan az a tulajdonsága, hogy levágva belőle egy négyzetet, olyan téglalapot kapunk, melyek oldalaira szintén ez szintén teljesül.
(vektorokra)
Legyen
A
és
B
két pont, amelyet az
a
és a
b
helyvektor
definiál,
P
pedig az
A
és
B
ponton átmenő egyenesnek az a pontja, amelyre
, ahol
. Akkor
P
helyzetvektora az a
p
vektor, amelyet
arányos osztással
határozunk meg:
Megválaszthatjuk
m
és
n
értékét úgy, hogy
legyen, ekkor – továbbra is az eredeti jelöléseket megtartva –
, és így azt kapjuk, hogy
.
(a síkon)
Ha az
A
és
B
pont Descartes-féle koordinátái
és
,
P
pedig az
A
és
B
pontokon átmenő egyenesnek az a pontja, amelyre
, ahol
, akkor
P
koordinátáit
arányos osztással
így határozhatjuk meg:
Ha a
P
pont az egyenesnek olyan pontja, amelyre
, akkor koordinátái
.
(a háromdimenziós térben)
Végül, ha
A
és
B
két pont a háromdimenziós térben, amelynek Descartes-koordinátái
és
,
P
pedig az
A
és
B
pontokon átmenő egyenesnek az a pontja, amelyre
, ahol
, akkor
P
koordinátáit
arányos osztással
határozhatjuk meg:
Ha a
P
pont az egyenesnek olyan pontja, amelyre
, akkor koordinátái
.
Ha az
x
és
y
mennyiséget az
egyenlet kapcsolja össze, ahol
k
egy állandó, akkor azt mondjuk, hogy
y
(egyenesen)
arányos
x-szel, amit így is írhatunk:
. A
k
állandó az
arányossági tényező. Azt is mondjuk, hogy
y
x-szel
arányosan változik. Ha ábrázoljuk az
párokat, origón átmenő egyenest kapunk.
Ha
, akkor
y
fordítottan arányos
x-szel. Ezt úgy írjuk, hogy
, és azt mondjuk, hogy
y
fordítottan változik
x-szel.
Lásd arányosság.
Lásd intervallumskála.
Olyan skála, amelynek van nullapontja és amelynek segítségével arányokat hasonlíthatunk össze. Tehát a tárgyak hossza egy arányskálán változik, és egy oldal lehet kétszer olyan hosszú, mint amilyen széles, de a hőmérsékleti skála nem ilyen, mert a nulla önkényesen választható meg és a „kétszer olyan meleg” nem értelmes kijelentés. Míg az idő nem arányskálán mérhető, az adott feladat elvégzéséhez szükséges időtartam hossza igen.
arccos, arccsc, arcctg, arcsec, arcsin, arctg
Lásd trigonometrikus függvények inverze.
arch, arcsh, arcth, arsch, arsh, arth
Lásd hiperbolikus függvények inverze.
Lásd hiperbolikus függvények inverzei.
Egy komplex szám argumentumának rövidítése és jelölése.
(1768–1822) Svájci születésű matematikus, Gausshoz hasonlóan kitalált egy módszert a komplex számok geometriai ábrázolására. Ez magyarázza az Argand-diagramm elnevezést.
Lásd komplex számsík.
Tegyük fel, hogy a nullától különböző
z
komplex számot
a
P
pont ábrázolja a
komplex síkon. A
z
komplex szám
argumentuma
(jelölésben
) az a
szög (radiánban), amit az
OP
egyenes zár be a pozitív valós tengellyel, és ami akkor pozitív, ha a valós tengelytől az
óramutató járásával ellentétes irányban
mérjük. Éppúgy, mint a
polárkoordinátás
megadásnál, a
szöget vehetjük a
imntervallumból. Szokásos az is, hogy a a
szöget úgy választják meg, hogy
. Néha pedig
jelenti
bármelyikét, ahol
n
tetszőleges természetes szám. Ebben az esetben azt a speciális értéket, amelyik a fenti két intervallum közül a megállapodás szerint kitüntetettbe, tehát
-be vagy
-be esik,
főértékének
nevezzük.
(I. e. 270 körül) Görög csillagász, aki arról híres, hogy ő volt az első, aki azt állította, hogy a Föld forog és kering a Nap körül. A csillagászatot matematikailag közelítette meg, és geometriai módszereket használt ahhoz, hogy kiszámolja a Nap és a Hold egymáshoz viszonyított méretét, valamint azok egymáshoz viszonyított távolságát a Földtől.
(I. e. 384–i. e. 322) Görög filozófus, aki a formális logikán való munkálkodásán keresztül járult hozzá a matematikához.
A matematikának az a területe, amely a numerikus számításokkal foglalkozik, azon belül is csak az összeadás, kivonás, szorzás, osztás és egyszerű hatványozás elemi műveleteivel.
(i. e. 287 – i. e. 212) Görög matematikus, akit minden idők egyik legnagyobb matematikusának tartanak. Nagy mértékben hozzájárult a geometriához, felfedezte, hogyan lehet meghatározni például a gömb felszínét és térfogatát, és a parabola íve alatti területet. A hidrosztatikával és egyensúllyal kapcsolatos munkája is alapvető volt. A legfigyelemreméltóbb munkáját, A módszer címűt 1906-ban újra megtalálták. Vagy kiáltotta, vagy nem, hogy „Heuréka!” és meztelenül végigfutva az utcákon, de minden bizonnyal egy római katona ölte meg Szirakúza ostrománál, véget vetve ezzel a matematika egy korszakának.
Az a görbe, amelynek
polárkoordinátás
egyenlete
, ahol
konstans. Az ábrán
és így
.
Lásd félig szabályos test.
Vegyünk egy kört. A belé írt és a köré írt n-oldalú sokszögek területe vagy kerülete két sorozatot ad, az első összes tagja alábecsüli a kör területét, a második sorozat összes tagja pedig felülbecsüli. Ez lehetővé teszi, hogy a sokszögekből eredő számolásokkal felső és alsó határokat adjunk meg a kör területére.
(kb. 476–550) Indiai matematikus, az egyik legrégebbi indiai matematikai írás szerzője. Az
Āryabhatı̄ya
versben foglalja össze a számításokra és mérésekre vonatkozó különféle szabályokat. Foglalkozik például egyes síkbeli alakzatok területével, a
szám értékével és a
számtani sor
összegzésével. Tartalmaz egy szinusztáblázattal egyenértékű táblázatot is, amely a görögök által használt egész húrral ellentétben a fél húron alapul.
Az „American Standard Code for Information Interchange” kifejezés (információcserére szolgáló szabványos amerikai kód) rövidítése. Olyan bináris kód, amelyet a karakterek megjelenítésére használnak például képernyőkön, nyomtatókon, stb.
A szó hétköznapi értelmében statisztikáról beszélünk, amikor valamely területről kvantitatív adatokat gyűjtünk, rendszerint azzal a céllal, hogy összehasonlítsák bizonyos testületek teljesítményét, vagy hogy tájékoztassák a nyilvánosságot, amely adatokat azután különféle statisztika módszerekkel lehet tanulmányozni. Vesd össze statisztika.
Az elemi számelmélet keretein belül bebizonyítható az alábbi tétel.
Tétel. Bármely 1-nél nagyobb pozitív egész szám a sorrendtől eltekintve egyértelműen írható fel prímszámok szorzataként.
A tetszőleges
egész szám tehát egyértelműen felírható
alakban, ahol
prímszám és
pozitív egészek. Ezt a felírást az
n
szám
prímtényezős alakjának
(vagy felbontásának) hívjuk. Például
.
Egy síkbeli alakzat aszimmetrikus, ha sem egyenesre nézve, sem pontra nézve nem szimmetrikus.
Az
S
halmazon értelmezett
kétváltozós reláció
aszimmetrikus, ha bármely
esetén
teljesülése maga után vonja, hogy
. Például az egész számok halmazán értelmezett
rendezési reláció aszimmetrikus. (Vesd össze az
antiszimmetrikus reláció
definíciójával.)
Az l egyenes egy görbének aszimptotája, ha a görbének a koordináta-rendszer kezdőpontjától távolodó P pontja egyre közelebb kerül az l egyeneshez, és a görbe P-beli meredeksége szintén egyre közelebb kerül az l egyeneséhez. A pont az egyenest közelítheti az egyik oldalról is, de az is előfordulhat, hogy a görbe az egyenest újra és újra átmetszi. Vegyük a következő példákat
Az (i) példában szereplő függvénynek az
és
egyenletű egyenes függőleges, az
egyenes pedig vízszintes aszimptotája. A (ii) példában szereplő függvénynek nincs függőleges aszimptotája, viszont az
egyenes vízszintes aszimptotája. Végül vizsgáljuk meg az utolsó példát, amit felírhatunk az
alakban is. Ekkor látható, hogy az
egy
ferde aszimptota: se nem függőleges, se nem vízszintes.
aszimptotikusan egyenértékű függények
Egy függvénypárt
aszimptotikusan egyenértékűnek
mondunk, ha végtelenül közel kerülnek egymáshoz, amikor argumentumuk tart egy bizonyos értékhez, gyakran végtelenhez. Pontosabban, az
f
függvény aszimptotikusan egyenlő a
g
függvénnyel az
helyen, ha
, jelben:
.
Az
(esetleg: divergens) függvénysort az
f
függvény
aszimptotikus sorának
hívjuk, ha
bármely
esetén.
Az
S
halmazon értelmezett
kétváltozós művelet
asszociatív, ha minden
-re
teljesül.
Olyan
hipociklois, amelyben a gördülő kör sugara negyede a rögzített kör sugarának.
Paraméteres alakja
, ahol
a rögzített kör sugara.
a szűk keresztmetszet problémája
Feltételes optimalizálási problémák olyan osztálya, amely hálózati folyamokra vonatkozó megszorításokat tartalmaz.
Lásd teljes indukció.
A gömb egy átmérőjének két végpontja.
Derékszögű háromszögben a derékszöggel szemközti oldal.
(1929–) Brit matematikus, aki jelentősen hozzájárult a topológiához, a geometriához, az analízishez, az algebrai varietások transzcendens elméletéhez, a differenciáloperátorokhoz és a kvantumtér-elmélethez. 1966-ban elnyerte a Fields-érmet, és 2004-ben az Abel-díjat.
Az
számok
átlaga
Leggyakrabban ezt használják átlagként.
Számtani középnek
is nevezik, hogy megkülönböztessék az alábbi közepektől. Ha minden
számhoz tartozik egy
(általában nemnegatív) súly, akkor e számok súlyozott közepe vagy
súlyozott átlaga
(feltéve, hogy a nevező nem nulla). Az
nemnegatív számok
mértani közepe
. Az
a
és
b
nemnegatív számok
m-mel jelölt számtani közepe
-vel egyenlő, és
számtani sorozatot alkot. E két szám mértani közepe pedig
, és
a,g,b
mértani sorozatot alkot. Például 3 és 12 számtani közepe
, mértani közepe 6. Egy elemi algebrai tétel szerint az
nemnegatív számok számtani közepe mindig nagyobb vagy egyenlő, mint a mértani közepük, azaz
Az
pozitív számok
harmonikus közepe
az a
h
szám, melyre
az
számok számtani közepe, azaz
Az
pozitív számok harmonikus közepe mindig kisebb vagy egyenlő, mint a mértani közepük (illetve a számtani közepük). E három mennyiség között az egyenlőség pedig pontosan akkor áll fenn, ha az összes szám egyenlő egymással.
A statisztikában az
megfigyelések
átlagát mintaátlagnak nevezzük. A mintaátlag használható a várható érték becslésére.
Hamis érvelés, mely szerint egy esemény nagyobb valószínűséggel fordul elő egy olyan megfigyeléssorozat után, ahol nem vagy ritkán szerepelt. Például, ha egy pénzérmét hatszor feldobva ötször dobtunk fejet és csak egyszer írást, akkor az ’átlagok törvénye’ azt sugallná, hogy a következő dobás nagyobb valószínűséggel lesz írás, mint fej.
Az
minta esetén, ha a
mintaátlag
, az
átlagos abszolút eltérés
Ez jellemzi a szóródást, de ritkán használják.
Lásd átlagos abszolút eltérés.
Az
minta esetén, ha a
mintaátlag
, az
átlagos négyzetes eltérés
a minta második centrális momentuma, azaz
ami nem más, mint az empirikus szórásnégyzet, vagyis a szórásnégyzet becslése a minta alapján.
A
paraméter
X
becslésének
átlagos négyzetes hibája
Ha
X
torzítatlan becslés, akkor ez éppen
X
szórásnégyzetével egyenlő (lásd
várható érték,
szórásnégyzet).
A teljes kitérésvektor osztva az eltelt idővel.
Az az állandó sebességérték, amivel változtatva a mennyiséget egy intervallumon belül a ténylegesen megfigyelt megváltozást kapnánk. Például, egy kocsi pillanatnyi sebessége az utazás során változhat, viszont az átlagsebesség a megtett út és az eltelt idő hányadosával egyenlő.
A teljes megtett távolság osztva az eltelt idővel.
A sokszög két olyan csúcsát összekötő egyenesszakasz, amelyeket oldalél nem köt össze.
Konvex sokszög minden átlója a sokszögön belül halad.
Lásd Markov-lánc.
Kör vagy szimmetrikus kúpszelet átmérője minden középponton átmenő egyenes. A kifejezést alkalmazhatjuk a gömbre és szimmetrikus másodrendű felületekre is.
A kör és a gömb esetében az átmérőegyenesek körbe, illetve gömbbe eső szakaszai mind egyenlő hosszúak, ezt a hosszat szintén szokás a kör vagy a gömb átmérőjének hívni, és ez egyenlő a sugár kétszeresével.
Egy halmaz elemeinek olyan elhelyezése, ahol az elemek együttesen ugyanazokat a helyeket foglalják el, de az egyes elemek nem szükségszerűen ugyanazon a helyen vannak.
Lásd egyszerű gép.
SI mértékegységek
előtagjaként a
számmal való szorzást jelöli.
Egy mennyiség mértékegységét vagy alakját megváltoztatja. Például
ugyanaz, mint
radián.
Ha
megfigyelések sorozata, akkor az
párok
korrelációs együtthatója
az
eggyel késleltetett autokorrelációs együtható, míg az
pároké a
k-val késleltetett autokorrelációs együtható. Azok a
k
értékek, amelyekre a korrelációs együttható nem elhanyagolhatóan kicsiny, fontos információt nyújthatnak az idősor alapvető szerkezetéről.
Hasonló az autokorrelációhoz, de a sorozat és eltoltja közötti kovarianciát méri.
Az
f
függvény a
halmazon
automorf
a transzformációk egy
G
csoportjával szemben, ha
f analitikus D-n, kivéve esetleg a pólusokat;
minden
transzformációra igaz, hogy ha
, akkor
; végül pedig
, azaz
f
minden transzformációval szemben
invariáns.
Egy halmaz elemeit önmagára képező kölcsönösen egyértelmű leképezés, vagyis amelynek értelmezési tartománya és értékkészlete ugyanaz. Például, az
függvény automorfizmus az
halmazon, de az
függvény nem az.
Olyan
differenciálegyenlet, amelyikben a független változó nem fordul elő explicit módon. Például a
egyenlet autonóm, viszont a
egyenlet nem az.
a várható nyereség maximalizálása
Ha egy döntési fán ismert az összes kifizetés, és ismert az összes kimenetel valószínűsége, akkor határozzuk meg a fajlagos várható nyereséget a véletlen csomópontokban a kifizetésekből kiindulva. Minden döntési csomópontban a játékos eldönti, hogy melyik döntés maximalizálja a fajlagos várható nyereséget.
A hasznossági függvény bevezetése továbbfejleszti ezt a fajta problémát azáltal, hogy felismeri, hogy ugyanazt a pénzösszeget különböző anyagi helyzetben lévő személyek különbözőképpen értékelik.
Egy statikai rendszer pontosan akkor van egyensúlyban, ha az adott helyzethez tartozó bármely virtuális munka zérus.
Olyan állítás, melynek igazságát nyilvánvalónak tekintjük vagy feltételezzük. A matematika egyes területeinek leírásakor kiválasztják axiómák egy halmazát és feltárják, hogy ezekből milyen eredmények vezethetők le, megadva a kapott tételek bizonyítását.
A halmazelmélet felépítése, amely (szemben a naiv halmazelmélettel) csak olyan tényeket használ föl a halmaz és az elem fogalmából, amelyeket axiómák meghatározott listájából kiindulva bizonyítani lehet elkerülve a XIX. és a XX. század fordulója körül felmerült paradoxonokat, amilyen például a Russell-paradoxon.
Minden olyan logikai rendszer, amely explicite kimondott axiómákból, és azokból levezetett tételekből áll.
Az algebra alaptételének nevezzük a következő fontos matematikai tételt, amely a polinomok gyökeivel kapcsolatos:
Tétel. Minden
polinomiális egyenletnek, ahol az
-k valós vagy komplex számok és
, van komplex gyöke.
Ebből következik, hogy ha
, akkor léteznek olyan (nem feltétlenül különböző)
komplex számok, melyekre
teljesül. így az
egyenletnek legfeljebb
n
különböző gyöke lehet.
Lásd a számelmélet alaptétele.
az egyenletes gyorsulás mozgásegyenletei
Egyenes vonal mentén állandó a gyorsulással mozgó részecske mozgását leíró egyenletek. (Ezt a mozgást nevezik egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgásnak.) Legyen u a kezdősebesség, v a végsebesség, t az eltelt idő és s a kiindulási ponttól való kitérés! Ekkor
Ezek az egyenletek alkalmazhatók egy olyan részecskére, mely a földfelszín közelében a
gravitáció
hatására zuhanó mozgást végez. Ha a pozitívnak tekintett irány lefelé mutat, akkor
. Ha egy részecskét függőlegesen felfelé hajítunk el a talajról, akkor érdemes lehet a felfelé mutató irányt tekinteni pozitívnak, és ekkor
.
Lásd energiamegmaradás.
Lásd impulzusmegmaradás.
Valószínűségi változók egy halmaza azonos eloszlású, ha egyforma az eloszlásuk.
Olyan egyenlet, amelynek két oldala a bennük előforduló változók minden értékére megegyezik. Példa azonosságra
vagy
. Ilyen esetekben néha az = jel helyett a
szimbólum is használatos.
Egy egyenlőség két oldalán álló kifejezések mechanikus átalakítása az alapműveletek (vagy akár derivlálás) segítségével az azonosság megállapítása végett.
(gráfelmélet) Az utazó ügynök problémája hasonló a
minimális súlyozott feszítő fa
keresésének feladatához, de itt az ügynök az út végén vissza szeretne térni a kiindulási pontjához, tehát lényegében egy zárt
séta
megtalálása a cél, amely minden ponton áthalad, és minimalizálja a megtett út hosszát. A gyakorlatban előfordulhatnak olyan furcsa esetek is, amikor a leghatékonyabb bejárás tartalmaz például egy
utazást is, ez a helyzet olyankor, ha
B-ből nehezebb bárhová máshová eljutni. Az utazó ügynök problémája lényegesen leegyszerűsödik, ha kikötjük, hogy minden pontot pontosan egyszer látogassunk meg – ilyenkor a probléma egy minimális összhosszú
Hamilton-kör
megtalálásával egyenértékű. Az utazó ügynök problémájának megoldására nem ismert általános algoritmus, de könnyű találni egy felső korlátot – bármelyik olyan utazás összhossza, amelyik a feltételeket teljesíti, felső korlát szerepét játszhatja. A legkisebb felső korlát például a követkeő érveléssel kapható meg: Ha találtunk egy minimális összefüggő utat
ponthoz, és ha ehhez hozzávesszük a legrövidebb utat azok közül, amelyek az
n-edik pontból valamelyik két
-edikhez vezetnek, akkor az összhossz olyan alsó korlátot ad, amelyik pontosan akkor lesz a minimális távolság, ha az így megszerkesztett gráf
Hamilton-kör.