Ugrás a tartalomhoz

OXFORD - Matematika : Kislexikon

Tóth János (2007)

Typotex Elektronikus Kiadó Kft.

E, É

E, É

e

A természetes logaritmus alapszáma. Számos módon definiálható. Az egyik eljárás szerint először definiáljuk -t, mint a logaritmusfüggvényt a 2. megközelítésben. Ezután definiáljuk -t, mint inverzfüggvényét (lásd exponenciális függvény, 2. megközelítés). Ezután az e számot függvényértékként definiáljuk. Ez ugyanaz, mintha azt mondanánk, hogy e az a szám, melyre

Ezek után meg kell mutatni, hogy az és az függvény egyenlő, és hogy az és a függvény is azonos.

Az e számnak fontos tulajdonságai vannak, amelyek az és az függvény bizonyos tulajdonságaiból vezethetők le. Például

Továbbá e a következő sor összege:

Egy másik, általunk nem javasolt megközelítésnél definiálhatjuk az e számot az egyik fenti értékkel. Ekkor -et -ként definiálhatnánk, -t pedig ennek inverz függvényeként, és ezen függvények fenti tulajdonságait kellene belátni. (A magyar szokásokhoz ez a megközelítés áll közelebb.)

e értéke (8 tizedes jegy pontossággal) 2.71828183. Viszonylag egyszerűen bizonyítható, hogy e irracionális szám. 1873-ban Hermite bebizonyította, hogy e transzcendens szám, bizonyítását nem sokkal ezután Hilbert egyszerűsítette.

e

Az excentricitás szokásos jele kúpszeleteknél.

E

A 14-es szám tizenhatos (hexadecimális) számrendszerben.

e a csoportelméletben

Egy csoport neutrális elemének elterjedt jelölése.

EAN

Az European Article Numbers elnevezés (európai cikkszám) rövidítése. A termékek vonalkódjának 1976-ban bevezetett szabványos rendszere, az UPC (Universal Product Code = egyetemes termékkód) változata. A sajátmárkás (nem a gyártó, hanem a forgalmazó márkaneve alatt futó) termékek gyakran nyolcjegyű európai cikkszámot használnak, míg számos élelmiszeripari termék tizenháromjegyűt alkalmaz. Mindegyikük ugyanazt az ellenőrzőbit-rendszert használja.

-éder

Poliédert jelölő utótag, például dodekaéder.

egész értékű programozás

A lineáris programozás leszűkítése olyan esetekre, ahol a változók értékei csak egészek lehetnek, mert például jelentésük valaminek a számossága.

egész rész

Az valós szám egész része az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb, mint x; jele: . így tehát .

egészrész

Bármely x valós számhoz egyértelműen létezik olyan n egész, melyre teljesül. Az n számot x egészrészének nevezzük, szokásos jelölése . Például és , de vegyük észre, hogy . A számítástechnikában több ehhez hasonló függvényt definiálnak, ezért óvatosan kell használnunk őket.

Az egészrészfüggvény grafikonja az alábbi ábrán látható.

egészrészfüggvény

Az hozzárendeléssel megadott függvény, ahol az x valós szám egészrészét jelöli.

egész szám

A számok egyike. Az egész számok halmazát rendszerint jelöli. A szokásos összeadással és szorzással együtt a integritási tartomány. Kronecker híres mondása fontosságukról: „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.” („Az egész számokat a Jóisten teremtette, minden egyéb az emberek alkotása.”)

egzakt differenciál

Lásd teljes differenciál.

egzakt differenciálegyenlet

Ha a sík valamely tartományán értelmezett, valós értékű függvényekből álló függvénypárhoz létezik olyan f , függvény, hogy teljesül, akkor azt mondjuk, hogy f függvény a függvénypár primitív függvénye. Ha az függvénypárnak létezik primitív függvénye, akkor a egyenletet egzakt differenciálegyenletnek nevezzük. Ennek az kezdeti feltételt kielégítő megoldásait az összefüggés adja. Ha az egyenlet nem egzakt, esetleg akkor is találhatunk olyan egyszerű alakú függvényt, amellyel az egyenletet végigszorozva az már egzakt lesz. Az ilyen függvény neve integráló tényező, vagy multiplikátor.

Azt mondhatjuk, hogy az egyenlet azt fejezi ki, hogy az f függvény teljes differenciálja nulla.

egzisztenciális kvantor

Lásd kvantor.

egy

Az 1 szimbólummal jelölt legkisebb természetes szám. A valós és a komplex számok multiplikatív egységeleme.

egyállású szögek

Lásd párhuzamos szárú szögek.

egybevágó alakzatok

Két geometriai alakzat egybevágó, ha alakjukban és méretükben megegyeznek. Ez magában foglalja azt az esetet is, amikor az egyik a másik tükörképe, tehát az alábbi ábrán szereplő három háromszög egymással egybevágó.

egybevágósági transzformáció

Röviden egybevágóság, idegen szóval izometria; olyan transzformáció, amely megőrzi a pontok távolságát, azaz megvan az a tulajdonsága, hogy ha a P és Q pontok képe és , akkor az általuk meghatározott szakaszok hossza egyenlő: . Példa egybevágóságra az eltolás, forgatás, tükrözés. Megmutatható, hogy a sík bármely egybevágósági transzformációja előáll eltolások, forgatások és tengelyes tükrözések egymásutánjaként. Két alakzatról akkor mondjuk, hogy egybevágó, ha van olyan egybevágóság, amely egyiket a másikba viszi.

egyedeken belüli variáció

Olyan kísérleti terv, amelynél ugyanazokat az egyedeket (gyakran embereket) vizsgálják különböző kísérleti körülmények között, hogy kiküszöböljék az egyedeken belüli variáció hatását.

egy-egyértelmű megfeleltetés

Lásd bijektív leképezés.

egyelemű halmaz

Amelyiknek egyetlen eleme van.

egyenes

Lásd egyenes két dimenzióban, egyenes három dimenzióban.

egyenes a síkon és a térben

  1. (a síkon) A sík egy egyenesét Descartes-féle koordinátákban lineáris, azaz alakú egyenlet értelmezi, ahol az a és b állandók közül legalább az egyik nem nulla. Ez rövidítése annak, hogy az egyenes az halmazként definiálható. Egy egyenes a síkon számos hasznos alakban adható meg.

    1. Az alak azt mutatja, hogy az egyenes iránytangense vagy meredeksége m, tengelymetszete pedig b. Ez utóbbi kifejezés azt jelenti, hogy átmegy a ponton.

    2. Az ponton átmenő, m, iránytangensű egyenes egyenlete .

    3. Az és ponton átmenő egyenes egyenlete, feltéve, hogy , , ha pedig , akkor .

    4. Annak az egyenesnek az egyenlete, amely a tengelyeket a és pontban metszi, feltéve, hogy , .

  2. (a térben) A háromdimenziós térben egy egyenest két sík metszésvonalaként adhatunk meg. Egy egyenest tehát általában két lineáris egyenlet, határoz meg. (Ha ezek az egyenletek azonos vagy párhuzamos síkokat határoznak meg, akkor nem definiálnak egyenest.) Gyakran célszerűbb az egyenes paraméteres egyenletét használni, amely „szimmetrikus alakban” is írható. Lásd még egyenes vektoregyenlete.

egyenesek hajlásszöge a síkon

A sík koordinátageometriájában az és meredekségű egyenesek által bezárt szöget a következő képlet adja meg:

Ez kifejtéséből kapható meg. Azokban a speciális esetekben, amikor , vagy amikor vagy végtelen, a hajlásszöget a következőképpen értelmezzük: ha , akkor ; ha pontosan az egyik végtelen, akkor , ahol ; és ha és is végtelen, akkor .

egyenesek hajlásszöge a térben

Adott két egyenes a térben, legyen és az egyenesek irányvektora, ekkor a két egyenes által bezárt szög – még ha nem is metszik egymást – egyenlő az és vektorok által bezárt szöggel (lásd vektorok hajlásszöge). Itt az és vektorok irányítását úgy kell megválasztani, hogy az általuk bezárt szögre teljesüljön, hogy (radiánban), vagy (fokban). Ha az egyenesek irányvektorai és , akkor a két egyenes által bezárt szögre a következő összefüggés áll fenn:

egyenesen arányos

Lásd arányosság.

egyenes három dimenzióban

Hasonlóan a síkbeli esethez, a térbeli egyenes is többféleképpen megadható. A síkbeli egyenes egyenletének 4. és 7. alakja kivételével a többi egyenlet nem általánosítható három dimenzióra.

  1. Az és pontokon átmenő egyenes egyenletrendszere

    (Az egyenletrenedszer azt fejezi ki, hogy az pontot az ponttal összekötő vektor irányvektorának koordinátái arányosak az pontot az ponttal összekötő vektor irányvektorának koordinátáival.

  2. Az ponton átmenő irányvektorú egyenes egyenletrendszere

    abban az esetben, ha l,m,n egyike sem 0. Ha például , akkor az első tört nem szerepel, hanem helyette az egyenletnek kell fönnállnia.

  3. Ha az ponton átmenő egyenes irányvektora , akkor az egyenes egy tetszőleges pontjának helyvektora Ha a és b az egyenes A és B pontjának helyvektora, akkor az egyenes vektoregyenlete vagy . Ez utóbbi egyenlőség azért teljesül, mert az egy egyenesen lévő AB és AP vektor által bezárt szög zérus, tehát a vektoriális szorzat 0, ahol P az egyenes helyvektorú pontja.

egyenes két dimenzióban

Síkon az egyenes egyenlete megadható, ha ismerjük például az egyenes két pontját, vagy ismerjük egy pontját valamint egy irányvektorát, normálvektorát vagy a meredekségét. Ennek megfelelően a síkbeli egyenes egyenlete többféle alakban is felírható. Ezek a következők.

  1. Tengelymetszetes alak: az egyenlete annak az egyenesnek, melynek meredeksége m, és az y tengelyt a pontban metszi. Ha , akkor az egyenes vízszintes helyzetű, és egyenlete . Ha az egyenes függőleges helyzetű, akkor meredeksége nincs értelmezve. Ekkor egyenlete alakú (ebben az esetben az egyenes nem metszi az tengelyt). Ha m negatív, akkor az egyenes állása olyan, hogy balról jobbra lejt. Két pont által adott egyenes egyenletének ez az alakja megkapható úgy, hogy először meghatározzuk az egyenes meredekségét, majd az egyenletbe behelyettesítve az egyik pont koordinátáit, megkapjuk a c értéket.

  2. Normálvektoros megadás Az ponton átmenő, normálvektorú egyenes egyenlete: .

  3. Irányvektoros megadás Az ponton átmenő, irányvektorú egyenes egyenlete: .

  4. Egyéb alakok Az és pontokon átmenő egyenes egyenlete

  5. Az ponton átmenő, m meredekségű egyenes egyenlete . Ez éppen a fenti egyenlettel ekvivalens, ahol az egyenlet jobb oldala m-mel egyenlő.

  6. az egyenlete annak az egyenesnek, amely az tengelyt az pontban, az tengelyt a pontban metszi (feltéve, hogy ). A tengelymetszetek segítségével az egyenes grafikonja könnyen felrajzolható.

  7. Az ponton átmenő irányvektorú egyenes paraméteres egyenetrendszere: .

egyenes körkúp és körhenger

Lásd kúp és henger.

egyenespár belső szöge

Lásd transzverzális.

egyenes vektoregyenlete

Vegyünk fel a térben egy egyenest, és jelöljük ki egy A pontját. Legyen a az A pont helyvektora, továbbá egy olyan vektor, melynek iránya azonos az egyenesével. Ezekkel a jelölésekkel az egyenes egy tetszőleges P pontjának p helyvektora felírható a vektoregyenlet alakjában, ahol t a P ponttól függő valós számot jelöl. (A képlet igazolásához vegyük észre, hogy a vektor párhuzamos az u vektorral, ez pedig azt jelenti, hogy alkalmas t számmal a vektor felírható alakban.) Az egyenes vektoregyenletét más adatokból kiindulva is felírhatjuk: ha A és B jelöli az egyenes két különböző pontját és a, illetve b a megfelelő helyvektorokat, akkor az választással az előző képletből egyszerű átalakítással a vektoregyenletet nyerjük.

egyenes vetülete síkon

Adott az l egyenes és a p sík, akkor azok az N pontok a p síkban, amelyek az l egyenes valamely pontjának p-re vett vetületei, egyenest alkotnak: az l egyenes vetületét a p síkra.

egyenesvonalú mozgás

Mozgás egy egyenes vonalon, mindkét irányú elmozdulást megengedve.

egyenes vonalzó

Geometriai szerkesztéseknél egyenes szakasz rajzolásához használatos eszköz, távolságbeosztás nelkül.

egyenetlen felület

Lásd kontakt erő.

egyenlet

Igaz és hamis logikai értékeket felvevő függvény, amely igaz, ha két matematikai kifejezés (az egyenlet jobb oldala és bal oldala) értéke megegyezik. Ha ezen állítás az egyenletben szereplő összes változó minden értékére igaz, akkor ezt azonosságnak hívjuk, például . Ha az egyenlet csak a változók bizonyos értékeire igaz, akkor az egyenletet igazzá tevő változók az egyenlet megoldásai. Ebben az utóbbi esetben használhatjuk a nyitott mondat kifejezést is. Például csak akkor igaz, ha vagy , ezeket az egyenlet gyökeinek is nevezhetjük.

egyenletes eloszlás

Az intervallumon értelmezett egyenletes eloszlás az a folytonos eloszlás, amelynek f valószínűségi sűrűségfüggvényét az ( ) képlet adja meg. Az egyenletes eloszlás várható értéke , szórásnégyzete . Értelmezhető a diszkrét egyenletes eloszlás fogalma is: ez az az ( ) halmazon értelmezett egyenletes eloszlás, amelynek diszkrét valószínűségeloszlását a ( ) képlet adja. Például diszkrét egyenletes eloszlású a kockadobásnál az a valószínűségi változó, amelynek értéke az éppen dobott szám.

egyenletesen folytonos függvény

Az f valós függvényt a H halmazon egyenletesen folytonosnak mondunk, ha bármely számhoz létezik olyan szám, hogy tetszőleges esetén . Ha egy függvény egyenletesen folytonos a H halmazon, akkor ott folytonos is. (Ennek az állításnak a megfordítása nem igaz.) Például a pozitív számok halmazán értelmezett függvény egyenletesen folytonos, míg az függvény nem az.

Az egyenletes folytonosság fogalma értelmezhető általánosabban is, például metrikus térből metrikus térbe képező függvények esetén.

egyenletes gyorsulás

Lásd az egyenletes gyorsulás mozgásegyenletei.

egyenletes mozgás

Egy részecske akkor mozog egyenletesen, ha sebességének nagysága nem függ az eltelt időtől. Ekkor állandó, amiből következik, hogy . Három lehetőség van: vagy , vagy , vagy v és merőlegesek egymásra. A harmadik lehetőség megmutatja, hogy a sebességvektor nem szükségképpen állandó. Példa erre egy körpályán állandó sebességgel mozgó részecske, amelynek gyorsulása merőleges a sebességvektorára.

egyenlítő

Kör, mely két szimmetrikus részre oszt egy gömbfelületet, vagy más felületet.

egyenlő közű

Azonos távolságra lévő, magyarul is: ekvidisztáns. Az AB szakasz felezőmerőlegese az A és B ponttól ekvidisztáns pontok halmaza.

Egy rögzített ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban kör, a térben gömb.

Az AB szakasztól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban két párhuzamos szakasz és két félkör.

egyenlő oldalú

Egy sokszög egyenlő oldalú, ha minden oldala egyenlő hosszú. Egy egyenlő oldalú háromszög mindhárom szöge is egyenlő, ennélfogva mindegyik . Háromnál több oldal esetén az oldalak egyenlőségéből nem következik, hogy a sokszög szabályos sokszög.

egyenlőség

Lásd függvények egyenlősége, halmazok egyenlősége, komplex számok egyenlősége, mátrixok egyenlősége, vektorok egyenlősége.

egyenlőségjel

A „=” szimbólum annak jelölésére, hogy a két oldalon álló kifejezések értéke azonos.

egyenlőszárú háromszög

Olyan háromszög, melynek két oldala egyenlő hosszú. Ebből az is következik, hogy a háromszög harmadik oldalán, az alapon fekvő két szög megegyezik.

egyenlőszárú háromszög alapja

Lásd egyenlőszárú háromszög.

egyenlő szárú trapéz

Olyan trapéz, melynek két nem párhuzamos oldala egyenlő hosszú.

egyenlőtlenség

Az alábbi szimbólumok a következőket jelentik:

Az egyenlőtlenség a következő alakú állítások egyike: vagy , ahol a és b valamilyen mennyiséget vagy kifejezést jelöl.

Ha adott egy egy ismeretlent tartalmazó egyenlőtlenség, akkor a feladat általában az, hogy meghatározzuk az ismeretlen azon értékét vagy értékeit, amelyekre az egyenlőtlenség teljesül. A megoldásokból álló megoldáshalmaz gyakran egy intervellum vagy intervallumok uniója. Például az

egyenlőtlenség megoldáshalmaza .

egyenlő valószínűségű

Olyan események, amelyek valószínűsége egyenlő. Hibátlan érme dobása esetén a két kimenetel egyenlő valószínűségű. Szabályos kocka dobásánál az az esemény, hogy „páros számot dobunk”, és az az esemény, hogy „páratlan számot dobunk”, egyenlő valószínűségű.

egyenlővé tenni

Egyenletet létrehozni két kifejezés vagy egy kifejezés és egy érték egyenlőségjellel való összekapcsolásával.

egyensúly

Egy részecske egyensúlyban van, ha nyugalomban van, és a rá ható erők összege mindenkor zérus. Ezek a feltételek egyenértékűek azzal, hogy és mindenkor zérus, ahol r a részecske helyvektora.

Képzeljünk el egy merev testet, amelyre egy erőrendszer hat! Jelölje F az erők összegét, M pedig az origóra vonatkoztatott forgatónyomatékok összegét! A merev test egyensúlyban van, ha nyugalomban van, és F, illetve M mindenkor zérus.

Egy test egyensúlyi helyzete olyan helyzet, melyben a test egyensúlyban lehet. A test stabilis egyensúlyban van, ha helyzetének kismértékű megváltoztatása után visszatér az egyensúlyi helyzetbe. Instabilis egyensúlyról akkor beszélnek, ha a helyzet kismértékű megváltoztatása után a test tovább távolodik az egyensúlyi helyzettől. Az egyensúly semleges, ha a helyzet kismértékű megváltoztatása után a test nem tér vissza az egyensúlyi helyzetbe, de nem is távolodik attól. (Matematikában az analóg fogalmakra némileg eltérő módon az aszimptotikusan stabilis, instabilis és stabilis kifejezéseket használják.)

egyensúlyi eloszlás

Valamely sztochasztikus folyamat olyan eloszlása, amely az idő folyamán változatlan marad. Ez fontos fogalom a statisztikus fizikában is és a Markov-láncoknál is. Létezése nincs eleve garantálva. Tekintsük például azt az egyszerű kétállapotú, diszkrét idejű Markov-láncot, amelynek átmenetvalószínűségi mátrixa , azaz amelynél az 1 állapot 0.25 valószínűséggel megmarad, 0.75 valószínűséggel a 2 állapottá változik, míg a 2 állapot 0.50 valószínűséggel marad meg, vagy változik meg. Ekkor az egyensúlyi állapot az az eloszlás, amelynél az 1 állapot valószínűsége 0.4, a 2 állapoté pedig 0.6.

egyes

Az 1 szám vagy számjegy.

egyesítés

Legyen A és B egy univerzális alaphalmaz két részhalmaza. Ezek egyesítése vagy uniója az a halmaz, amelynek elemei pontosan azok az elemek, melyek A vagy B legalább egyikéhez hozzátartoznak. Az egyesítés szó mind a kétváltozós kétváltozós műveletet, mind az eredményül kapott halmazt is jelenti. Az egyesítése alaptulajdonságai:

  1. Minden A halmazra és .

  2. Minden A és B halmazra , vagyis az unió kommutatív művelet.

  3. Minden és C halmazra , vagyis az egyesítése asszociatív művelet.

A harmadik tulajdonság miatt egy akárhány tagú unió zárójelek nélkül is felírható, például alakban, de ez utóbbi helyett használatos még az alak is.

Két esemény unióját lásd az esemény szócikknél.

egyetemes gravitációs állandó

Lásd gravitációs állandó.

egyköpenyű hiperboloid

Olyan másodrendű felület, melynek egyenlete alkalmas koordináta-rendszerben

A hiperboloid szimmetrikus a koordinátasíkokra. Felülete összefüggő, ezért azt mondjuk, hogy egy köpenyből áll. Az xy-síkkal párhuzamosan, azaz egy egyenletű síkkal elmetszve ellipszist kapunk (illetve kört, ha ). A másik két koordinátasíkkal párhuzamos metszetek hiperbolák. Lásd még kétköpenyű hiperboloid.

egymást kizáró események

Az A és B eseményeket egymást (kölcsönösen) kizáró eseményeknek nevezzük, ha nem fordulhatnak elő egyszerre, azaz . Két egymást kizáró eseménynél annak a valószínűsége, hogy valamelyikük előfordul, . Például, ha egy szabályos dobókockát feldobunk, akkor a valószínűsége annak, hogy 1-est dobunk, és szintén a valószínűsége annak, hogy 2-est. Ezek az események egymást kizárják, így annak a valószínűsége, hogy 1-est vagy 2-est dobunk, .

egyoldalú felület

Olyan felület, amelyiknek bármely két pontját össze lehet kötni a felület elhagyása vagy éleinek metszése nélkül. Ilyen például a Möbius-szalag.

egyoldalú próba

Lásd hipotézisvizsgálat.

egyöntetű

Egy mennyiséget a mechanikában akkor neveznek egyöntetűnek vagy homogénnek, ha értéke a tér – vagy egy bizonyos tértartomány – minden pontjában azonos. Homogén rúdról, lemezről illetve merev testroől akkor beszélnek, ha ezek vonalmenti, felületi illetve térfogati sűrűsége minden pontban azonos.

egységelem

Lásd neutrális elem.

egységes termékkód

A vonalkódok 1973-ban elfogadott egységesített rendszere.

egységkocka

Olyan kocka, amelynek minden éle 1 egység hosszú. A térbeli derékszögű koordináta-rendszerben például a pontok egy egységkocka csúcsai. Ez az egységkocka a tér lineáris transzformációival kapcsolatban ugyanazt a szerepet játssza, mint az egységnégyzet.

egységkör

A síkban az origó középpontú egységnyi sugarú körvonal. Derékszögű koordináta-rendszerben az egységkör egyenlete . A komplex síkon az egységkör azokból a z komplex számokból áll, amelyekre .

egységmátrix

Az az -es I-vel vagy -nel jelölt

mátrix, melynek főátlójában minden elem 1-es, többi eleme pedig 0. Az -es mátrixok gyűrűjében az egységmátrix egységelem.

egységnégyzet

Olyan négyzet, amelynek minden oldala 1 egység hosszú. A síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben például a pontok egy egységnégyzet csúcsai. Ezek a csúcsok használhatók arra, hogy mátrixa ismeretében jellemezzük a lineáris transzformációt, úgy, hogy a transzformációnak meghatározzuk a mátrixát. Ez utóbbi oszlopait azok a vektorok alkotják, amelyekbe a transzformáció az I és a J pontot viszi. Például az óramutató járásával ellentétes irányú -os forgatásnál I képe , J képe , így e forgatás mátrixa Ha egy transzformáció mátrixa akkor I – mivel képe az 1. oszlop – láthatóan helyben marad, J képe pedig , tehát a transzformáció az első tengellyel párhuzamos nyírás.

egységvektor

Olyan vektor, melynek hossza 1 egység. Tetszőleges, nullától különböző a vektor esetén az vektor egységvektor, amelynek iránya ugyanaz, mint az eredeti a vektoré. Az

valós számokból álló vektor akkor és csak akkor egységvektor, ha .

Az egységvektorok képe valamely lineáris transzformációnál éppen a transzformáció mátrixának két oszlopát adja. Például az óramutató járásával megegyező irányú elforgatásnál i képe , j képe , s így a transzformáció mátrixa

egységgyök

Lásd n-edik egységgyök.

egy síkba eső vektorok

Legyenek és irányított egyenesszakaszok, melyek nullától különböző, nem párhuzamos a és b vektorokat jelölnek. A p vektor az a és a b vektorokkal egy síkba esik akkor, ha p megfeleltethető egy olyan irányított szakasznak, ahol P az és B pontok által meghatározott síkban van. A p vektor akkor és csak akkor esik egy síkba az a és b vektorokkal, ha létezik olyan és skalár, hogy .

egy síkban fekvő pontok és egyenesek

Pontokat és egyenesek egy síkba esőnek mondunk, ha létezik olyan sík, amely mindegyiket tartalmazza. Három pont mindig egy síkban fekszik: tetszőleges nem egy egyenesre eső három pont egyértelműen meghatároz egy síkot, amely mind a három pontot tartalmazza.

egyszeres gyök

Lásd gyök.

egyszerűbb alakra hoz

Valamely kifejezést algebrai manipulálással redukál. Például 6x-re egyszerűsíthető, pedig -ná a szorzások elvégzése és a hasonló tagok összevonása után.

egyszerű gép

Olyan eszköz, amely lehetővé teszi az energia egyik formából másik formába való átalakítását. Egyszerű mechanikai gépek például a csigák és az emelők, melyek összetettebb gépek alkatrészei is lehetnek. A gépre kifejtett erő a bemeneti erő, és a gép által kifejtett erő azonos nagyságú és ellentétes irányú a teherrel.

Ha a bemeneti erő nagyságát F, a teher nagyságát pedig G jelöli, akkor az egyszerű gép áttétele a hányados. A sebességáttétel úgy kapható meg, ha a bemeneti erő támadáspontjának kitérését elosztjuk a teher támadáspontjának kitérésével. A sebességáttétel általában a kényszerfeltételek segítségével számítható ki.

Az egyszerű gép hatásfoka a gép által végzett munkának és a bemeneti erő munkájának aránya, amelyet gyakran százalékos formában fejeznek ki. A valóságos egyszerű gépek hatásfoka a súrlódási és egyéb veszteségek miatt kisebb egynél (100 százaléknál). Az ideális egyszerű gépeknél – melyeknek mechanikai hatásfoka 100 százalék – az áttétel megegyezik a sebességáttétellel.

egyszerű gráf

Hurokélek és többszörös élek nélküli gráf.

egyszerű harmonikus rezgőmozgás

Tegyük fel, hogy egy részecske egyenes vonal mentén mozog, és a részecske t pillanatbeli kitérése , ahol A ( ), és állandó! Ekkor a részecske A amplitúdójú, periódusidejű és fázisú egyszerű harmonikus rezgőmozgást végez. A fenti képlettel definiált függvény az differenciálegyenlet általános megoldása.

Egyszerű harmonikus rezgőmozgást végez például egy olyan test, melyet egy rögzített ponthoz erősített rugóra függesztettek, majd felfelé vagy lefelé kitérítettek az egyensúlyi helyzetből (lásd Hooke-törvény). Kisszögű kitérések esetén a matematikai inga és a fizikai inga mozgása is közelítőleg egyszerű harmonikus rezgőmozgás.

egyszerű ív

A szakasz homeomorf képe. Önmagát nem metszi.

egyszerű kamat

Tegyük fel, hogy P tőkét i kamatláb mellett beruházunk. Egyszerű kamat esetén ez azt jelenti, hogy a kamat minden évben , azaz n év után

pénzünk lesz. Ha ábrázoljuk az összeg növekedését az n idő függvényeként, akkor egyenest kapunk. A legtöbb bank és ingatlanügynökség nem így számol, hanem kamatos kamatot fizet.

egyszerűsít

Egy kifejezésből eltüntet egy tagot, általában a négy aritmetikai alapművelet segítségével; egyszerűsített alakra hoz. Például, az egyenletet egyszerűsíthetjük az taggal, ami effektíve azt jelenti, hogy azt mind a két oldalból kivonjuk, így a egyenletet kapjuk. , a számláló és a nevező 5y-nal való egyszerűsítése után, itt azonban vigyáznunk kell, amikor ezt tesszük, mert a kapott egyenlőség csak akkor áll fenn, ha nullával nem osztottunk, tehát: .

egyszerűsítési szabály

Legyen az S halmazon értelmezett kétváltozós művelet. Az egyszerűsítési szabály azt mondja ki, hogy bármely S halmazhoz tartozó és c elemre teljesül, hogy

  1. ha , akkor ,

  2. ha , akkor .

Megmutatható például, hogy egy csoportban érvényes az egyszerűsítési szabály.

egyszerű tört

Olyan tört, amelynek – szemben az összetett törttel – számlálója és nevezője is egész szám.

együttes eloszlás

Két vagy több valószínűségi változó esetén szeretnénk tudni, hogy mi annak a valószínűsége, hogy értékük egy meghatározott halmazba esik. Ez kiszámítható az együttes eloszlásfüggvényből. Diszkrét valószínűségi változók esetén használható erre az együttes eloszlás, folytonos valószínűségi változók esetén pedig az együttes sűrűségfüggvény. Az együttes eloszlás két valószínűségi változó esetén kétváltozós együttes eloszlás, több változó esetén többváltozós együttes eloszlás.

együttes eloszlásfüggvény

Az X és Y valószínűségi változók együttes eloszlásfüggvénye az képlettel definiált függvény. Több változó esetére analóg módon definiálható.

együttes sűrűségfüggvény

Az X és Y folytonos valószínűségi változók együttes sűrűségfüggvénye az az f függvény, melyre

E definíció általánosítható kettőnél több valószínűségi változóra is.

együttható

Lásd binomiális együttható és polinom.

együtthatók egyenlővé tétele

Legyen és polinom, és legyen

ahol a főegyütthatókról nem kötjük ki, hogy nullától különbözőek. Ha minden x esetén, akkor . Ennek a ténynek a kihasználása az együtthatók egyenlővé tétele. A fenti eredményt megkapjuk, ha az algebra alaptételét alkalmazzuk a polinomra. Ha minden x esetén, az csak úgy lehetséges, hogy minden együtthatója zérus (mivel az algebra alaptétele értelmében a egyenletnek legfeljebb n gyöke lehet). A módszer felhasználható például olyan számok meghatározására, amelyekkel

minden x esetén. Ez gyakran használatos a parciális törtekben szereplő ismeretlen együtthatók meghatározására.

együtthatómátrix

Az m egyenletből álló n ismeretlenes

egyenletrendszer együtthatómátrixa az -es mátrix.

egyváltozós lineáris regresszió

Lásd regresszió.

egyváltozós művelet

Valamely S nemüres halmazon értelmezett egyváltozós művelet nem más, mint egy függvény. Például a valós számok körében az ellentettképzés ( ), és a nullától különböző valósok körében értelmezett reciprokképzés ( ) mind egyváltozós műveletek. Ugyancsak egyváltozós művelet egy rögzített E univerzális alaphalmaz részhalmazain értelmezett komplementerképzés ( , ).

Einstein, Albert

(1879–1955) Kiemelkedő matematikai fizikus, akinek műve Newton óta a legnagyobb hatást gyakorolta a fizika fejlődésére. A németországi Ulmban született, Svájcban és Németországban élt, majd 1933-ban az Egyesült Államokba emigrált. 1905-ben megalkotta a speciális relativitáselméletet, 1916-ban pedig az általános relativitáselméletet. Lényegesen hozzájárult a kvantummechanika születéséhez, és jelentős volt a hatása a termodinamika területén. Talán az általa megalkotott egyenletről a legismertebb; amely kifejezi mennyiségileg az anyag és az energia ekvivalenciáját. Bár magát fizikusnak tekintette, munkássága azonban közvetve a modern matematika számos ágának fejlődését idézte elő. Szemben a köztudatban élő képpel – melyben egy fehér hajú professzor érthetetlen jeleket ír a táblára –, Einstein nagy erőssége abban volt, hogy képes volt egyszerű kérdéseket feltenni és egyszerű válaszokat adni. Ilymódon változtatta meg az Univerzumról, valamint a tér és az idő fogalmáról alkotott nézeteinket.

ekvi-

Előtag, egyenlőséget jelöl.

ekvivalenciaosztály

Legyen ekvivalenciareláció az S halmazon. Ekkor az ekvivalenciaosztály S azon elemeinek halmaza, melyek a-val ekvivalensek, azaz . Meg lehet mutatni, hogy ha két ekvivalenciaosztálynak van közös eleme, akkor a két osztály, mint halmaz egyenlő. S egy osztályfelbontásának hívjuk az olyan diszjunkt ekvivalenciaosztályok rendszerét, melyekre igaz az, hogy S minden eleme ezek közül pontosan egy ekvivalenciaosztályba tartozik.

ekvivalenciareláció

Az S halmazon értelmezett kétváltozós reláció, amely reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Akkor mondjuk, hogy a ekvivalens b-vel a ekvivalenciarelációra nézve, ha . Az S halmazon értelmezett ekvivalenciareláció ekvivalenciaosztályokra bontja az S halmazt, melyekkel S egy osztályfelbontását kapjuk.

ekvivalens

Lásd ekvivalenciareláció.

elágazási pont

Olyan pont, ahol egy görbe egy vagy több ága metszi egymást.

eldönthető

Egy logikai kifejezést, melyről megmutatható, hogy igaz-e vagy hamis, eldönthetőnek mondunk.

eleai Zénón

Lásd Zénón.

elégséges becslés

A paraméter olyan becslése, amely annyi információt ad -ról a minta alapján, amennyi csak lehetséges. Például a normális eloszlás várható értékének a mintaátlag elégséges becslése.

elégséges feltétel

Olyan feltétel, amely elegendő ahhoz, hogy egy állítás igaz legyen. Ahhoz például, hogy egy szám páros legyen, elégséges, hogy osztható tízzel. Jegyezzük meg, hogy ha A szükséges feltétele B-nek, akkor B elégséges feltétele A-nak, és fordítva. A fenti példában tehát ahhoz, hogy a szám osztható legyen tízzel, szükséges, hogy páros legyen.

elégséges statisztika

Olyan statisztika, amely a mintában rejlő, valamely paraméter pontbecsléséhez szükséges összes releváns információt tartalmazza. Amikor létezik elégséges statiszika, akkor a legnagyobb valószínűség elve alapján konstruált statisztika ennek biztosan valamilyen függvénye lesz.

elem

Egy objektum egy halmazban a halmaz egy eleme.

elemi függvény

A következő valós függvények bármelyike: racionális függvény, trigonometrikus függvények, logaritmusfüggvény és exponenciális függvény, az alakban definiált f hatványfüggvények, ahol m és n nem nulla egészek, valamint az olyan függvények, melyek a fenti függvényekből megkaphatók összeadással, szorzással, osztással, kompozícióval, inverzfüggvényképzéssel, és leszűkítéssel.

elemi mátrix

Kvadratikus mátrix, mely előállítható az I egységmátrixból elemi sorműveletekkel így háromféle elemi mátrix létezik, példa mindháromra:

Az első mátrixot úgy kaptuk, hogy I 2. és 5. sorát felcseréltük, a másodikat úgy, hogy a 3. sort szoroztuk -mal, a harmadikat pedig úgy, hogy az 5. sor négyszeresét hozzáadtuk a 2. sorhoz. Egy -es A mátrix balról való szorzása egy -es elemi mátrixszal az A mátrixon végzett megfelelő sorművelettel ekvivalens.

Egy elemi mátrix úgy is tekinthető, mint egy az egységmátrixból elemi oszlopműveletekkel kapott mátrix, és egy -es A mátrix jobbról való szorzása egy -es elemi mátrixszal az A mátrixon végzett megfelelő oszlopművelettel ekvivalens.

elemi művelet

Az elemi műveletek körébe tartozik az összadás, a kivonás, a szorzás, az osztás és az egész kitevőjű gyökvonás.

elemi oszlopművelet

Egy mátrix oszlopain végzett következő műveletek egyike:

  1. két oszlop felcserélése,

  2. egy oszlop szorzása egy nem nulla skalárral,

  3. egy oszlop skalárszorosának hozzáadása egy másik oszlophoz.

Minden elemi oszlopművelet végrehajtható úgy, hogy az átalakítandó mátrixot jobbról megszorozzuk egy alkalmas elemi mátrixszal.

elemi sorművelet

Egy mátrix sorain végzett következő műveletek egyike:

  1. két sor felcserélése,

  2. egy sor szorzása egy nem nulla skalárral,

  3. egy sor skalárszorosának hozzáadása egy másik sorhoz.

Minden elemi sorművelet végrehajtható úgy, hogy az átalakítandó mátrixot balról megszorozzuk egy alkalmas elemi mátrixszal. Egy lineáris egyenletrendszer mátrixát elemi sorműveletekkel hozzuk lépcsős alakra vagy redukált lépcsős alakra. Minden elemi sorművelet olyan átalakításnak felel meg a lineáris egyenletrendszeren, mely nem befolyásolja megoldáshalmazt.

elemi tört

Tegyük fel, hogy racionális függvény, azaz és polinom, tegyük fel továbbá, hogy foka kisebb, mint a foka. Általánosságban felbontható néhány lineáris tényező valamilyen hatványának szorzatára és néhány irreducibilis kvadratikus tényező valamilyen hatványának szorzatára. Ekkor az eredeti kifejezést tagok összegeként írhatjuk fel: minden egyes -beli alakú tényezőnek megfelel egy,

alakú kifejezés, és minden -beli alakú tényezőnek megfelel egy

alakú kifejezés, ahol az itt nagybetűvel jelölt számok egyértelműen meg vannak határozva. Ha ezeket meghatároztuk, akkor azt mondjuk, hogy az kifejezést elemi törtekkel írtuk fel. A módszer, amely általános formájában bonyolultnak hangzik, könnyebben megérthető egy példákból:

Az számokat úgy kaphatjuk meg, hogy először az egyenlet mindkét oldalát beszorozzuk nevezőjével. Az utolsó példában ez a

egyenletet eredményezi. Ennek x minden értékére fenn kell állnia, tehát az x hatványainak megfelelő együtthatók a két oldalon egyenlővé tehetők, így meghatározhatók az ismeretlenek. Néhány esetben x-nek bizonyos alkalmas értéket adva (ebben a példában legyen ) egyes ismeretlenek gyorsabban meghatározhatók. Az elemi törtek módszere racionális törtfüggvények integrálásánál és a Laplace-transzformált invertálásánál használható.

életkortáblázat

Olyan táblázat, amely egy adott népességen belül különböző korcsoportok várható élettartamát mutatja. Bár ezek a táblázatok történelmi megfigyeléseken alapulnak, a szakértők különböző tényezők figyelembevételével módosítják őket, ilyen például a fejlődő egészségügyi ellátás, vagy a rákbetegségek egyre gyakoribb előfordulása stb. A biztosítási matematikusok ezek alapján számolják ki a biztosítók számára a térítési díjakat és az éves biztosítási díjakat.

elfajult

Amikor egy paraméterekkel definiált fogalomcsalád paramétereinek bizonyos határesete olyan fogalmat produkál, melynek természete különböző a többitől, akkor a határeset elfajult. Például az általános másodfokú polinom parabolát határoz meg. Az együttható csökkenésével a parabola görbülete egyre csökken, és az határesetben egyenest kapunk, ami egy elfajult parabola.

elfajult kúpszelet

Olyan kúpszelet, mely két (esetleg egybeeső) egyenesből áll. Az egyenlet elfajult kúpszelet egyenlete, ha , ahol

elfajult másodrendű felület

Az egyenletű másodrendű felület elfajult, ha , ahol

Nem degenerált másodrendű felület az ellipszoid, az egyköpenyű hiperboloid, a kétköpenyű hiperboloid, az elliptikus paraboloid és a hiperbolikus paraboloid.

elfogadási mintavétel

Olyan minőségellenőrzési eljárás, ahol egy tételből mintát veszünk, majd a minta minősége alapján döntjük el, hogy elfogadjuk-e a tételt. A legegyszerűbb módszernél előre rögzítünk egy egyértelmű elfogadási/visszautasítási kritériumot, de ennél kifinomultabb az az eljárás, amikor veszünk még egy mintát, ha a meglévő mintából vagy mintákból nem dönthető el egyértelműen, hogy a tételt átvegyük-e vagy visszautasítsuk. Ennek a megközelítésnek az egyik legfőbb előnye, hogy csökkenti a minőségi követelmények kielégítését ellenőrző mintavétel költségét. Lásd még szekvenciális mintavétel.

elfogadási tartomány

Lásd hipotézisvizsgálat.

elhelyezkedési mérőszám

Lásd lokációs paraméter.

él kapacitása

A maximális folyam, ami egy élen keresztülmehet.

ellenhipotézis

Lásd hipotézisvizsgálat.

ellenőrző bit

Tegyük fel, hogy egy n hosszúságú bináris kódban minden n hosszúságú szó lehetséges kódszó. Egy ilyen kódban nincs mód a hiba felismerésére. Ha viszont például minden kódszóhoz hozzáírunk egy bitet úgy, hogy minden egyes kódszóban az egyesek száma páros legyen, akkor az új kód alkalmas lehet hibafelismerésre. Például tekintsük azt a kódot, ahol a kódszavak: és 11, ekkor a fenti bővítés alapján az új kódszavak 000, 011, 101 és 110. A kódszavakhoz írt további biteket ellenőrző biteknek hívjuk, a fenti esetben speciálisan paritásellenőrzőnek (lásd paritás). Hibajelzés céljából általában bonyolultabb ellenőrző biteket is használnak.

ellenőrző kártya

Olyan kártya, amelyen bizonyos időközönként vett minták statisztikái vannak ábrázolva úgy, hogy a termelésirányító nyomon követheti a kimenetet. A kártyán általában szerepelnek figyelmeztetési határok és beavatkozási határok.

ellenpélda

Legyen az x szimbólumra vonatkozó olyan matematikai kijelentés, hogy ha x egy valamilyen általános halmaz egy konkrét eleme, akkor a állítás vagy igaz, vagy hamis. Például az érdekel bennünket, hogy igaz-e az alaphalmaz minden x elemére. Erről az állításról megmutatható, hogy hamis, ha mutatunk egyetlen, a fenti halmazbeli x elemet, amelyre hamis. Ez a konkrét elem egy ellenpélda. Például azt mondja ki, hogy , és tekintsük azt az állítást, hogy minden esetén. Ez könnyen megmutathatóan hamis (bár igaz lehet egyes x értékekre), mert egy ellenpélda: . Vesd össze nyitott mondat.

ellentett

Lásd inverz elem. mátrix ellentettje, vektor ellentettje.

ellentmondás

Egy kijelentés igazságának és tagadásának egyidejű állítása. Mivel mindkettő nem lehet igaz, így szükségképpen hibának kell lennie vagy az egyidejű állításhoz vezető indoklásban, vagy a dedukció kiindulópontjául szolgáló feltételezésekben. Az utóbbi eset az alapja az indirekt bizonyításnak.

ellipszis

Egy speciális „ovális” forma, amit mintha egy kör megnyújtásával vagy összenyomásával kapnánk. Ha hossza 2a és szélessége 2b, akkor területe .

Ennél precízebb definicóra van szükség. Az egyik megközelítés szerint egynél kisebb excentricitású kúpszeletként definiáljuk, vagyis azt mondjuk, hogy az ellipszis azoknak a P pontoknak a halmaza, amelyekre P és egy rögzített pont (a fókuszpont) távolsága e-szerese ( ) P és egy rögzített egyenes (a vezéregyenes) távolságának. Be lehet látni, hogy van egy másik pont, , és egy másik egyenes , hogy ezzel, mint fókusszal és azzal, mint vezéregyenessel ugyanaz a ponthalmaz adódik. Azt is mondhatjuk, hogy az ellipszis sík és a kúp véges metszeteként adódó kúpszelet. (Lásd kúpszelet.)

Az és pontra illeszkedő egyenesből az ellipszis által kimetszett szakasz a nagytengely, a metszéspontok: és a csúcsok. A nagytengely hosszát általában 2a fejezi ki. A nagytengely felezőpontja az ellipszis középpontja. A középponton átmenő, a nagytengelyre merőleges egyenesből az ellipszis által kimetszett szakasz a kistengely, ennek hosszát általában 2b fejezi ki. A fenti három állandó között fennáll a összefüggés, vagy másképpen . Az e excentricitás jellemzi az ellipszis alakját. Az eset kört határoz meg, végtelen távoli vezéregyenessel, de ez esetben formálisan nem használható a fókuszpontos, vezéregyeneses megközelítés.

Ha a koordináta-rendszer origóját az ellipszis középpontjában vesszük fel úgy, hogy a nagytengely az x-tengelyre essen, akkor a fókuszpontok koordinátái és , a vezéregyenesek egyenletei és , és az ellipszis egyenlete

ahol . Az ellipszis vizsgálatához gyakran választjuk így a koordináta-rendszert. Gyakran hasznos az paraméterezés is.

Az az origó középpontú ellipszis, melynek a 2a hosszú nagytengelye az y-tengelyre esik, a következő egyenlettel írható le: , ahol , a fókuszpontjainak helye pedig és .

Az ellipszisnek van két fontos tulajdonsága:

  1. Ha P tetszőleges pontja az és fókuszpontú ellipszisnek, amelynek nagytengelye 2a hosszú, akkor . Azt a tényt, hogy az ellipszis a fenti tulajdonságú pontok halmaza, ki lehet használni egy ellipszis madzaggal történő megszerkesztéséhez.

  2. Legyen az ellipszis tetszőleges P pontjánál vett érintő és a egyenes által bezárt szög , az érintő és által bezárt szög legyen . Ekkor . Ez a magyarázata például annak a jelenségnek, hogy az amerikai elnök irodájában, a híres „ovális irodában”, ha valaki az egyik fókuszpontban áll, akkor tisztán hallhatja, amit a másik fókuszpontban állók beszélnek. Ez a tulajdonság a parabolikus tükörével analóg. (Lásd parabola.)

ellipszoid

Olyan másodrendű felület, amelynek egyenlete alkalmas koordináta-rendszerben

A három koordinátasík szimmetriasíkja, és minden nem üres síkmetszete ellipszis.

elliptikus függvény

Olyan komplex függvény, amelyre , ahol nem valós. Ebből következik, hogy minden egész m,n-re, és hogy a függvény a komplex síkon két különböző irányban periodikus.

elliptikus geometria

Lásd nemeukleidészi geometria.

elliptikus henger

Olyan henger, amelynél a rögzített görbe ellipszis és amelynek alkotói merőlegesek az ellipszis síkjára. Ez másodrendű felület, alkalmas koordináta-rendszerben az egyenlete

elliptikus paraboloid

Olyan másodrendű felület, amelynek egyenlete alkalmas koordináta-rendszerben

Itt az yz-sík és a zx-sík szimmetriasíkok, a síkkal vett metszetek ellipszisek (körök, ha ); a síkok nem metszik a paraboloidot. Az yz-síkkal párhuzamos és a zx-síkkal párhuzamos síkokkal vett metszetek parabolák. A z-tengelyen átmenő síkokkal vett metszetek origó csúcsú parabolák.

elméleti matematika

A matematikának az absztrakt rendszerek és struktúrák közti kapcsolatokkal és az ezek viselkedését irányító szabályokkal foglalkozó területe. Inkább a belső érdekességek, kapcsolatok és az elegancia érdekli, semmint a valós világból vett problémák megoldására való alkalmazhatóság. Ma a matematika alkalmazásainak nagy része alapszik olyasmin, amit tökéletesen ezoterikus elméleti matematikának tekintettek annak megalkotásakor. Például matematikai logika ma a számítógépek működésének alapja, a számelmélet alapvető fontosságú az üzenetek kódolásánál, a lineáris algebra pedig ma sarokköve a videojátékok technológiájának, a számítógépes tervezésnek, stb.

elmozdulás

Lásd kitérés.

elnyelési azonosságok

Valamely alaphalmaz tetszőleges A és B részhalmazára és . Ezek az elnyelési azonosságok.

elnyelő állapot

Lásd véletlen bolyongás.

-eloszlás

Nemnegatív folytonos valószínűségi eloszlások egy típusa egy paraméterrel, melyet szabadsági foknak hívunk. Ez az eloszlás (melynek a pontos definícióját itt nem ismertetjük) jobbra dől, és megvan az a tulajdonsága, hogy független -eloszlású valószínűségi változók összege is -eloszlású. Használatos a -próbában az illeszkedés jóságának mérésére, a variancia tesztelésében, és kontingenciatáblázatokban a függetlenség mérésére. Várható értéke , szórásnégyzete . Az eloszlásra vonatkozó táblázatok különböző értékeire elérhetők.

eloszlás

Egy valószínűségi változó eloszlása megmutatja, hogy a változó milyen valószínűséggel veszi fel az egyes értékeit, illetve milyen valószínűséggel esik az értéke egyes intervallumokba. Meg lehet adni az eloszlásfüggvénnyel. Diszkrét valószínűségi változó esetében gyakrabban használjuk az eloszlást, folytonos valószínűségi változó esetében pedig a sűrűségfügvényt.

eloszláscsalád

Olyan eloszlások halmaza, amelyek ugyanazzal az általános matematikai képlettel adhatók meg. A család egy tagját megkapjuk, ha a képletben szereplő paramétereknek konkrét értéket adunk.

eloszlásfüggvény

Az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye az az F függvény, melyre definíció szerint . Tehát egy diszkrét valószínűségi változóra

ahol valószínűsége. Egy folytonos valószínűségi változóra:

ahol f a valószínűségi sűrűségfüggvény. (Az angolszász irodalomban a szigorú egyenlőség helyett általában jel áll.)

eloszlásmentes módszer

Lásd nemparaméteres eljárás.

eloszlás paramétere

A valószínűségszámításban az eloszlásfüggvényben vagy a sűrűségfüggvényben előforduló állandót nevezik paraméternek. Ebben az értelemben például a normális eloszlásnak két paramétere van, a Poisson-eloszlásnak pedig egy.

Valamely populáció paramétere olyan mennyiség, amely kapcsolatos a populációval. Ilyen például az átlag vagy a medián. Egy populáció valamely paramétere megbecsülhető egy minta alapján alkalmas statisztikát használva becslésként.

előfordulások száma

Speciális statisztika, amely rögzíti egyes események előfordulásának számát, – amilyen például az országút egy adott pontján áthaladó gépkocsik száma – esetenként automatikus módon. Ezek az egyszerű mérőszámok azután gyakran bonyolultabb statisztikai eljárások alapjául szolgálnak, amilyen például a kontingenciatáblázatok elemzése.

előjel

Azt a tényt, hogy egy valós szám pozitív vagy negatív, a szám előjele mutatja meg.

előjeles aldetermináns

Lásd kofaktor.

előjeles hossz

Legyen A és B két pont egy irányított egyenesen. Ekkor az A-ból B-be mutató irányított egyenesszakasz AB előjeles hossza:

Tegyük fel például, hogy egy vízszintes egyenes pozitív iránya jobbra mutat (mint az x-tengelyen). Ekkor az AB irányított hossz 2-vel egyenlő, ha B 2 egységgel A-tól jobbra van, és -vel, ha B 2 egységgel A-tól balra van.

A következő tulajdonságok a definícióból könnyen levezethetők.

  1. Ha A és B két pont egy irányított egyenesen, akkor .

  2. Ha A,B és C három (tetszőleges helyzetű) pont egy irányított egyenesen, akkor .

előjeles szám

Pozitív vagy negatív előjellel ellátott valós szám, amikor hangsúlyozni akarjuk azt is, hogy a neki megfelelő pont a számegyenesen milyen távol van a kezdőponttól, és azt is, hogy melyik irányba esik.

előjelfüggvény

A

összefüggéssel értelmezett valós függvény. A név és az elnevezés onnan ered, hogy a függvény értéke az argumentum előjelétől függ.

előjelpróba

Olyan nemparaméteres próba, amely azt a nullhipotézist vizsgálja, hogy a minta mediánja az adott m szám. Ha a nullhipotézis igaz, akkor az n elemű mintának várhatóan fele esik az m érték alá, és fele esik fölé, és annak a valószínűségét, hogy közülük éppen r számú nagyobb, mint m, a binomiális eloszlás megfelelő tagja adja meg. A nullhipotézist elutasítjuk, ha az érték az adott szignifikanciaszinthez tartozó kritikus (elutasítási) tartományba esik.

A próba használható két minta mediánjának összehasonlítására is párosított adatok alapján, vö. párosított mintán alapuló próbák.

előrehaladó bejárás

(kritekusút-elemzésnél) Egy olyan tevékenységi hálózatnál, ahol az élek a tevékenységek, az előrehaladó ütemezés minden pontra meghatározza a legkorábbi időpontot. A forrásból kiindulva haladunk keresztül a hálózaton, minden pontra kiszámítjuk az él és a megelőző ponthoz vezető összes útvonalon számított teljes időtartam összegét. Ezek közül a legnagyobbat írjuk erre a pontra.

előrejelzett változó

Lásd függő változó.

előrejelző változó

Lásd magyarázó változó.

előremutató differencia

Legyen az egyenlő közű osztópontokban az f függvény értéke , akkor az előremutató differencia definíciója:

előzmény

Egy feltételes állításban a feltételt kifejező mellékmondat. Például a „ha n osztható kettővel, akkor n páros” mondatban a feltétel, hogy „ha n osztható kettővel”. Vesd össze következmény.

elrendezés

Lásd permutáció.

első derivált

A deriváltra használt kifejezés olyan esetekben, amikor azt magasabb rendű deriváltakkal állítjuk szembe.

elsőfajú hiba

A hipotézisvizsgálat során elsőfajú hiba lép fel, ha a nullhipotézist elvetjük, noha igaz volt. Az elsőfajú hiba valószínűsége a próba szignifikanciaszintje.

elsőfajú Stirling-szám

Annak száma, ahányféleképpen n elemet r számú ciklusra lehet felbontani. Például az halmaz két ciklusra a következőképpen bontható fel:

[1,2,3][4]

[1,3,2][4]

[1,2,4][3]

[1,4,2][3]

[1,3,4][2]

[1,4,3][2]

[2,3,4][1]

[2,4,3][1]

[1,2][3,4]

[1,3][2,4]

[1,4][2,3]

 

Tehát . Nyilván és . Megmutatható, hogy

Néhány szerző a fentiektől eltérően definiálja ezket a számokat, úgy hogy a következőknek tegyenek eleget:

A binomiális együtthatókhoz nagyon hasonlóan a Stirling-számok is bizonyos azonosságokban fordulnak elő együtthatókként. Nevüket James Stirling skót matematikusról (1692–1770) kapták.

első illeszkedési algoritmus

A pakolási problémánál méretük csökkenő sorrendjében megszámozzuk az urnákat, majd a következő dobozt tegyük mindig a legkisebb sorszámú olyan urnába, amelyikbe beleillik. Más szóval először a legnagyobb darabokat pakoljuk el, és feltehetőleg jobb megoldást kapunk, mintha egszerűen beraknánk a darabokat az első olyan ládába, amelyikbe beleférnek.

elsőrendű differenciálegyenlet

Olyan differenciálegyenlet, amely csak az ismeretlen függvény első deriváltját tartalmazza. Például és egyaránt elsőrendű differenciálegyenlet, az első explicit differenciálegyenlet, a második pedig implicit differenciálegyenlet.

elsőrendű elégséges feltétel

Lásd szélsőérték feltételei.

elsőrendű lineáris differenciálegyenlet

Az

alakú egyenlet, ahol P és Q valamely J nyílt intervallumon értelmezett folytonos függvények. Az egyik megoldási módszer az, hogy az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk a

úgynevezett integráló tényezővel. Ezzel az egyenlet bal oldala

lesz, ami nem más, mint deriváltja, és a megoldást integrálással kapjuk.

Abban az esetben, amikor a J intervallum minden x pontjában , az egyenlet speciális szétválasztható változójú differenciálegyenlet. Ha pedig a J intervallum minden x potjában , az egyenlet közvetlenül integrálható.

eltérés az átlagtól

Ha az X valószínűségi változó megfigyeléseiből álló halmaz, akkor az i-edik megfigyelés eltérése az átlagtól, ahol az halmaz átlaga.

eltolás

A (síkbeli) eltolás affin transzformáció, amelynél a pont képe az a pont, melyre , ahol a vektort az adott eltoláshoz tartozó eltolásvektornak hívjuk. így tehát az O origó képe az pont. A irányított egyenesszakasz megegyezik az irányított szakasszal.

eltűnik

Nulla, nullává válik, vagy nullához tart. Például az, hogy egy f valós függvénynek az 1 szám gyöke, úgy is mondható, hogy az illető függvény eltűnik az 1 pontban, azaz .

emelő

Egy pont vagy egy tengely körül – melyet alátámasztásnak hívnak – szabadon elforgatható merev rúd, melyet általában arra használnak, hogy egy adott pontban kifejtett erővel egy másik pontban ható erőt keltsenek. A lenti ábrákon az alátámasztást általában kis háromszög jelöli. Az ábrákon látható három esetben az emelőt egyszerű gépként használják, és F a tartóerőt, G pedig a terhelő erőt (másképpen terhelést vagy terhet) jelöli. Az első ábra szemlélteti a kétkarú emelőt, a második és a harmadik pedig az egykarú emelőt. Az áttétel mindhárom esetben a nyomatéki elvből kapható meg.

Az emelőknek az ábrákon bemutatott alkalmazásaira a következő hétköznapi példák hozhatók:

  1. Egy ponton a csónakhoz rögzített evező.

  2. Álló talicska.

  3. A daruk egyes típusainak emelőkarja.

emelőerő

Lásd aerodinamikai ellenállás.

empirikus

Nem érvelésből, hanem tapasztalatból vagy megfigyelésből származó. Vesd össze a posteriori.

energia

A mechanika az energia két formájával foglalkozik: a mozgási és a potenciális energiával. Ha az energia ezen formák egyikéből vagy mindegyikéből egy további formába megy át, például hővé vagy zajjá alakul, akkor esetenként energiaveszteségről beszélnek.

Az energia dimenziója tömeg szorozva hosszúság a négyzeten szorozva idő a mínusz másodikon, SI mértékegysége a joule.

energiamegmaradás

Ha egy rendszerre kizárólag konzervatív erők hatnak, akkor állandó, ahol a mozgási energia, pedig a potenciális energia. Ezt a tényt nevezik energiamérlegnek, vagy az energiamegmaradás elvének.

Egy m tömegű, a gyorsulással mozgó részecske mozgásegyenletéből következik, hogy , és ezért . Ha F konzervatív erő, akkor az energiamérleg t szerinti integrálás után adódik.

energiamérleg

Lásd energiamegmaradás.

ent

Az egészrészfüggvény jelölésére használt rövidítés.

epiciklois

A kör kerületének egy pontja által leírt görbe, amikor a kör egy másik kör külső kerülete mentén forog. Ha a két kör sugara megegyezik, akkor a görbe kardioid.

epimorfizmus

Olyan morfizmus, amelyre igaz, hogy bármely Y és Z közötti morfizmusokra teljesül.

epszilon

A görög e betű, írásban , gyakran használatos kis, pozitív mennyiségek jelölésére.

epszilon-delta jelölés

A határérték és a folytonosság fogalmainak szokványos jelölése.

Eratoszthenész

(I. e. 275–195 körül) Görög csillagász, matematikus, elsőként számolta ki a Föld sugarát a következőképpen. Megfigyelte, hogy az egyiptomi Sziénában (ma Asszuán) a nyári napfordulókor délben a nap visszatükröződik egy mély kút víztükréről, ebből arra következtetett, hogy ott a napsugarak merőlegesen esnek be a Föld felszínére. Megmérte továbbá, hogy Alexandriában ugyanebben az időben a napsugár függőlegessel bezárt szöge a teljes szög ötvened része. Feltételezve, hogy a két város ugyanazon a hosszúsági körön fekszik (ez a feltevés a Nap egyidejű deleléséhez kell, valójában az eltérés kb. ) és ismerve a távolságukat, (Eratosztenész ezt tevekaravánok menetidejéből becsülte) kiszámítható a Föld sugara. ő határozta meg továbbá a Föld tengelyének (az ekliptikával bezárt) dőlésszögét, és az ő nevéhez fűződik az eratoszthenészi szita.

eratoszthenészi szita

Az N számnál nem nagyobb prímszámok meghatározásának alábbi módszere. Soroljuk fel az összes pozitív egész számot 2 és N között. Hagyjuk meg az első számot, 2-t, de töröljük ki az összes töbszörösét; hagyjuk meg a következő számot, 3-at, de töröljük ki az összes töbszörösét; hagyjuk meg a következő számot, 5-öt, de töröljük ki az összes töbszörösét, és így tovább. A folyamat végén megmaradt (ki nem törölt) számok a prímszámok. Az eljárás Eratoszthenésztől származik.

Erdős Pál

(1913–1996) A XX. század egyik legkiemelkedőbb matematikusa. A matematika több területével foglalkozott, de leginkább a számelméletben alkotott maradandót. Híres volt olyan problémák felvetéséről és megoldásáról, melyeknek kimondása rendkívül egyszerű, megoldása azonban nagyon nehéz. Budapesten született, szülei matematikatanárok. Erdőst csodagyereknek tartották: már 3 évesen tudott összeadni, kivonni. Középiskolás korában egyszerű bizonyítást adott Csebisev tételére. 1930-ban kezdte meg egyetemi tanulmányait, ingázva a Budapesti Műszaki Egyetem (elődje) és a Pázmány Péter Tudományegyetem között. Hallgatta Fejér Lipót, Kürschák József, Kőnig Dénes előadásait. 1934-ben a doktorálást követően Manchesterbe költözött. Innentől kezdve életét utazással töltötte, szinte állandóan úton volt két egyetem között, állandó lakhelye nemigen volt. A nemzetközi kitüntetésekhez járó díjakat elosztogatta, sok pénzdíjas problémát tűzött ki. 1500 cikke jelent meg, több mint 500 társszerzővel dolgozott. 1983-ban megkapta a Wolf-díjat (amely a Fields-érem mellett a másik legrangosabb matematikai kitüntetés). Erdős termékenységére utal egy a matematikusok körében elterjedt fogalom, az Erdős-szám. Ha egy matematikus Erdős-száma n, az azt jelenti, hogy együtt publikált valaki olyannal, akinek az Erdős-száma . Erdős Pál Erdős-száma 0.

eredő

Kettő vagy több vektor összege, különösen, ha erőket reprezentálnak.

eredő erő

Egy részecskére, részecskerendszerre vagy merev testre ható erők (vektori) összege.

érintkezés

Lásd csúcs, görbék érintkezése.

érintkezési pont

A halmaz lezártjának pontja.

érintkező inflexió

Lásd csúcs.

érintő

Egy (sík)görbe adott P pontbeli érintője az az egyenes, amely áthalad P-n, és a görbét a P pontban a „legjobban” közelíti. A pontos definícióhoz a határérték fogalmára van szükség, lásd görbe meredeksége. Vannak olyan görbék, amelyeknek nem létezik érintőjük, például nincs érintő ott, ahol a görbe „megtörik”.

érintő egyenes

Lásd érintő sík.

érintő sík

Jelölje P egy „sima” felület valamely pontját. (A simaságot pontosan meghatározni az analízis eszközeivel lehet; egy felület például nem sima ott, ahol „megtörik”.) A P ponton átmenő felületi görbék érintőit P-beli érintő egyeneseknek hívjuk. Ezen egyenesek mind merőlegesek egy meghatározott egyenesre, amelyet a P ponthoz tartozó felületi normálisnak hívunk. (A normális „merőlegesen döfi” a felületet.) A P-beli érintőegyenesek mind egy síkban fekszenek, a felületi normális pedig ezen sík normálvektora. Ezt a síkot hívjuk a P-beli érintő síknak.

Ha a felület pontjai a P pont egy tetszőlegesen kicsi környezetében az érintősík által meghatározott két féltér mindegyikébe beleesnek, a P pontot nyeregpontnak hívjuk. A nyeregpont tehát az inflexiós pont többdimenziós általánosítása.

erő

Az erő fizikai fogalma a hétköznapi erőfogalom elvonatkoztatásából, általánosításából és matematikai modellezéséből keletkezett, és segédmennyiségként használják a testek mozgásának vagy egyensúlyának leírásához. Az erőt a fizika olyan mennyiségként alkalmazza, mellyel jellemezhető a testek kölcsönhatása. A erők típusai közé tartozik a gravitációs erő – amely a test által elfoglalt teljes tartományban hat –, az érintkező testek kölcsönhatásánál fellépő erők, a testeken belüli erők – melyek deformálják a testet vagy helyreállítják annak alakját –, az elektromos és a mágneses erő.

A matematikai modellben az erőnek nagysága, iránya és támadáspontja van. Az erő egy pontban hat, és egy olyan vektorral ábrázolható, amelynek hossza az erő nagysága, iránya pedig az erő iránya. Az erő hatásvonala az az egyenes, mely átmegy az erő támadáspontján, és párhuzamos az erővel.

Az erő dimenziója tömeg szorozva hosszúság szorozva idő a mínusz másodikon, SI mértékegysége pedig a newton.

erőfeszítés

Lásd egyszerű gép.

erőháromszög

Ha egy egyensúlyban lévő testre három erő hat, akkor ezek vektori összege nulla, így a három erővektorból párhuzamos eltolással egy háromszög állítható elő. Vesd össze erősokszög.

erőlökés

Tegyük fel, hogy egy testre a és pillanatok között erő hat, melynek vektora a t pillanatban ! Ekkor a J erőlökés egy vektormennyiség, amelyet a

képlet ad meg. Tegyük fel, hogy az m tömegu részecskére a t pillanatban ható erők eredője! A második newtoni mozgástörvény alakjából következik, hogy ekkor a J erőlökés egyenlő a részecske impulzusának megváltozásával.

Ha az erő állandó, akkor , ahol F az erő vektora. Tehát ebben az esetben az erőlökés egyenlő az erő és az eltelt idő szorzatával.

Az erőlökés fogalma elsősorban az ütközéseket tartalmazó problémákban játszik szerepet.

Az erőlökés dimenziója tömeg szorozva hosszúság szorozva idő a mínusz elsőn, SI mértékegysége pedig newton szorozva méter, másképpen kilogramm szorozva méter szorozva idő a mínusz elsőn.

erőrendszer

Egy részecskére, részecskerendszerre vagy merev testre ható erők összessége.

erősokszög

Tegyük fel, hogy egy részecskére az erő hat! Az erővektorokhoz a tér irányított szakaszait rendeljük: az irányított szakasz képviseli az erőt, az irányított szakasz képviseli az erőt és így tovább. Az irányított szakasz képviseli az erőt. A részecskére ható erők eredőjét az irányított szakasz képviseli. Ha az eredő erő nulla, akkor az pont azonos az ponttal, és az egyes erőkhöz rendelt irányított szakaszok egy n oldalú – nem feltétlenül síkbeli – sokszöget alkotnak, melyet erősokszögnek neveznek.

erőtér

Akkor beszélnek erőtér létezéséről, ha egy erő – mely függhet a helytől és az időtől – a tér bizonyos tartományának minden pontjában képes hatni. Az erőtér fogalmára példa a gravitációs, az elektromos és a mágneses erőtér.

érték

Lásd konstans függvény, függvény, végtelen szorzat, a játékelmélet alaptétele.

értékes jegy

Az szám négy értékes jegyre kerekített alakja 2.718; két értékes jegyre kerekített alakja pedig 2.72. Mivel , ezért e szám értéke három értékes jegyre kerekítve 0,0498. Ugyanannyi értékes jegyre kerekítve elérjük, hogy az összes mérés viszonylagos pontossága ugyanakkora legyen. Ha mértékegységet váltunk, például centiméterről méterre, akkor a mérések pontossága nem változik, ha az egyes mérésekben ugyanannyi értékes jegyet használunk.

értékes jegyek

Ahhoz, hogy megszámoljuk az értékes jegyeket egy valós számban, induljunk ki a baloldali első nullától különböző jegytől, és számoljuk meg az összes jobbra eső jegyet, beleértve a záró nullákat is, ha azok a tizedes ponttól jobbra állnak. Például az számok mindegyikének öt értékes jegye van. Amikor egy számot n értékes jegyre kerekítünk vagy csonkítunk, az azt jelenti, hogy az eredeti számot olyannal helyettesítjük, amelyiknek n értékes jegye van.

Vegyük észre, hogy a tizedes ponttól balra álló nullák néha értékesek, néha nem: az számnak legalább négy értékes jegye van, de további információ nélkül nem tudhatjuk, hogy több értékes jegye van-e. Amikor az számot öt értékes jegyre kerekítjük, és így jutunk a számhoz, hozzá kell tennünk, hogy ennek öt értékes jegye van.

Amikor azt mondjuk, hogy öt értékes jegyig, akkor ez azt jelenti, hogy a értéke 1.2048 lett, miután öt értékes jegyre kerekítettük, azaz .

értékkészlet

Lásd függvény és leképezés.

értelem

Két lehetséges irány egyike egy egyenesen, vagy forgatásnál. így az a és a vektor nagysága azonos, iránya párhuzamos, de ellenkező értelműek vagy állásúak.

értelmezési tartomány

Lásd függvény és leképezés.

érvénytelen

Nem érvényes, például egy következtetés, amelynek konklúziója nem következik a premisszákból, tehát egyetlen ellenpélda elegendő annak bizonyításához, hogy az állítás érvénytelen.

érzékenységvizsgálat

Paraméterek változtatása szimulációnál abból a célból, hogy meghatározzuk, melyiknek a legnagyobb a hatása a bennünket érdeklő jellemzőre.

és

Lásd konjunkció.

esély

A fogadási esélyeket alakban szokták megadni, ha a nyerés elméleti valószínűsége . Megfordítva, ha egy esemény kimenetelének valószínűsége p, akkor az esélye . Gyakorlatban a fogadó irodák által kínált esély csak közelítése ennek a valószínűségaránynak, mivel az irodás keresni is akar, és ezért úgy változtatja meg az esélyeket, hogy tükrözzék az egyes eseményekre föltett összegeket, még akkor is, ha nincs oka arra, hogy az események valószínűségére vonatkozó nézetét ekként torzítsa.

esélyarány

Egy olyan esemény esélyeinek aránya, amely két különböző csoporton belül fordulhat elő. Ha az egyes csoportokon belül a valószínűségek p és q, akkor az esélyek és , ezek aránya tehát .

esemény

Az eseménytér egy részhalmaza. Például egy érme háromszori feldobásából álló kísérlet elemi eseményeinek tere . Legyen . Ekkor A azt az eseményt jelöli, hogy legalább két fejet dobunk. Ha a kísérlet során egy A halmazba tartozó kimenetel (elemi esemény) születik, akkor azt mondjuk, hogy A bekövetkezett. Az A és B események metszete az az esemény, amelynek jelentése, hogy „A is és B is bekövetkezik”. Ha az elemi események tere az univerzum, akkor A komplementere, az az esemény, hogy „A nem következik be”. Gyakran az A esemény valószínűsége az érdekes. A következő összefüggések igazak:

  1. .

  2. Ha A és B egymást kizáró események, akkor .

  3. Ha A és B független események, akkor .

  4. .

eseménytér

Egy kísérlet összes lehetséges kimeneteleiből álló halmaz. Például, tegyük fel, hogy a kísérlet célja egy érme háromszori feldobása és az eredmény feljegyzése. Akkor az eseménytér a következő halmaz lenne: {FFF, FFI, FIF, FII, IFF, IFI, IIF, III}. Itt például „FII” azt jelenti, hogy az első dobás „fej”, második és harmadik pedig „írás” volt. Ha a kísérlet célja az érem háromszori feldobása és a fejek összeszámolása, akkor a eseménytérnek a halmazt tekinthetjük.

és-nem

Ha p és q két állítás, akkor p és-nem q (jelben: ) pontosan akkor hamis, ha p és q is igaz. Angol nyelvű logikai szövegekben használják a „nand” elnevezést. Igazságtáblázata a következő:

Eudoxosz

(I. e. 380 körül) Az egyik legnagyobb görög matematikus és csillagász. Eredeti munkája nem maradt ránk, de későbbi írásokból ismert, hogy Eukleidész művéből, az Elemek-ből az 5. könyv neki tulajdonítható. Ebben a munkában korának nyelvén következetes és precíz módon bevezeti a valós számokat. Gondolatai a XIX. századig nem kaptak elég megbecsülést. Módszert fejlesztett ki továbbá görbék által határolt tartományok területének kiszámítására.

Eukleidész

(I. e. 300 körül) Kiváló alexandriai matematikus, a nyugati kultúra talán második legnagyobb hatású könyvének, az Elemeknek a szerzője. Nem sokat tudunk Eukleidészről magáról, nem tisztázott az sem, hogy a könyv mennyiben ír le eredeti munkát, és mennyiben tankönyv. Az Elemek az elemi geometria tekintélyes részét vezeti le szigorú logikával „vitathatatlan” axiómákból kiindulva. Benne foglaltatik többek között annak a ténynek Eukleidésztől származó bizonyítása, hogy végtelen sok prím létezik, az eukleidészi algoritmus, az öt szabályos test levezetése és még nagyon sok minden. Két évezredig ez a mű volt az etalon arra nézve, hogy mi is az az elméleti matematika.

eukleidészi algoritmus

A maradékos osztás tételén alapuló algoritmus, amely az a és b pozitív egész számok legnagyobb közös osztóját, -t állítja elő. Feltéve, hogy , felírható, hogy , ahol . Ha , akkor ; ha , akkor , és a fenti lépést megismételjük úgy, hogy b-t és -et írjuk a és b helyébe és így tovább. Az utolsóként kapott nem nulla maradék a legnagyobb közös osztó. Például ha és , akkor

így .

Ezzel az algoritmussal találhatunk olyan s és t számot, hogy az legnagyobb közös osztó felírható l.n.k.o= alakban. Ez úgy kapható meg, hogy az első egyenletből kiindulva mindegyikben kifejezzük a maradékot alakban:

eukleidészi axiómák

Eukleidész híres könyvében, az Elemekben vannak megfogalmazva. A különböző kiadások eltérőek. Egyes kiadások posztulátumnak nevezik az alábbi öt geometriai tartalmú axiómát

  1. Bármely két pont között egyenes húzható.

  2. Az egyenes szakasz mindkét irányban végtelenül meghosszabbítható.

  3. Bármely középpont körül tetszőleges sugarú kör rajzolható.

  4. A derékszögek egyenlőek.

  5. Ha egy egyenes metsz két másik egyenest úgy, hogy a metsző egyenes egyik oldalán keletkező belső szögek összege két derékszögnél kevesebb, akkor a két egyenes metszeni fogja egymást ezen az oldalon, ha elegendően meghosszabbítjuk őket.

Megadta továbbá 23 definícióban az alapvető geometriai elemek, mint a pont és az egyenes, meghatározását, valamint felsorolt 9 általánosabb jellegű axiómát is, ezek közül néhány:

  1. Amik ugyanazzal egyenlőek, egymással is egyenlőek.

  2. Egyenlőkhöz egyenlőket adva az összegek is egyenlők.

  3. Egyenlőkből egyenlőket kivonva a különbségek is egyenlők.

  4. Az egymásba illeszkedők egyenlők egymással.

  5. Az egész nagyobb, mint a rész.

eukleidészi geometria

A matematikának az az ága, amely az Eukleidész Elemek című könyvében lefektetett axiómákon és definíciókon alapuló geometriával foglalkozik.

eukleidészi számok

A páros tökéletes szám – amilyen például 6 és 28 – másik elnevezése.

eukleidészi szerkesztés

Valamely geometriai alakzat megszerkesztése kizárólag körző és egy egyélű vonalzó segítségével, mely mérésre nem használható. Például egy egyenlő oldalú háromszög a következőképpen szerkeszthető: rajzolunk egy egyenesszakaszt, a körzővel a szakasz egyik végpontjából körívet rajzolunk akkora sugárral, mint a szakasz hossza, majd ugyanezt elvégezzük a másik végpontból. A két körív metszéspontjában lesz a háromszög harmadik csúcsa.

eukleidészi távolság

Két pont távolsága az eukleidészi térben. Két dimenzióban ez , három dimenzióban a pontok koordinátáit a szokásos módon jelölve.

eukleidészi tér

Az számegyenes, az sík és a 3-dimenziós tér általánosítása az tér, melyben az összeadás és a skalárral való szorzás (és az ebből származtatott eukleidészi távolság) művelete természetes módon van kiterjesztve. Az teret nehéz ugyan elképzelni esetén, azonban nagyon hasznos eszköze a többváltozós analízisnek.

Euler, Leonhard

(1707–1783) Vitathatatlanul a híres matematikusok legtermékenyebbike. Svájcban született, de leginkább Nagy Frigyes porosz király Berlinjéhez és Nagy Katalin orosz cárné Szentpétervárához kötődött. Rendkívül termékeny korszakban alkotott, amikor is az újonnan kifejlesztett analízist minden irányban egyszerre kezdték el kiterjeszteni. A matematika legtöbb ágához hozzájárult, elméletihez és alkalmazotthoz egyaránt. Euler mindenki másnál többet tett annak a jelölésrendszernek a kidolgozásáért, amit ma is használunk. A matamatika nyelvéhez való hozzájárulásai között vannak a , az e és az i szimbólumok, a szumma jelölése és a függvényérték szokásos jelölése, . Az általa írt Introductio in analysin infinitorum (Bevezetés a végtelenek elemzésébe) című mű a XIX. század egyik legfontosabb matematikai munkája. Rengeteg eredménye közül egy híreset említünk, melyre méltán volt büszke:

Euler-egyenes

Egy háromszögben az M magasságpont, a háromszög köré írható kör O középpontja és az S súlypont egy egyenesre, az úgynevezett Euler-egyenesre illeszkednek. Ezen az egyenesen . A háromszög Feuerbach-körének középpontja is rajta van az Euler-egyenesen.

Euler-féle függvény

Pozitív egész n számokra jelölje az n egésztől kisebb n-hez relatív prím számok számát. Például , mivel 1,5,7 és 11 relatív prím 12-höz. Ez a pozitív egész számokon értelmezett függvény az Euler-féle függvény. Belátható, hogyha n prímtényezős felbontása , akkor

Euler bebizonyította a kis Fermat-tétel következő kiterjesztését: ha n pozitív egész szám és a tetszőleges egész szám úgy, hogy , akkor .

Euler-féle szám

Az e szám másik neve. A természetes alapú logaritmus alapja.

Euler-formula

A összefüggés, aminek speciális esete a matematika öt alapvető fontosságú állandóját összekapcsoló reláció.

Euler-kör

Egy gráfban olyan élekből és pontokból álló sorozat, (ahol az él a és a pont között fut), amelyre , és amely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy az adott gráf lerajzolható egy lapra a ceruza felemelése nélkül úgy, hogy minden élen csak egyszer haladunk át. Belátható, hogy akkor és csak akkor van egy véges gráfban Euler-kör, ha az összefüggő, és minden pontjának fokszáma páros. A probléma története, hogy Königsberg (ma Kalinyingrád) lakosai Eulerhez fordultak a várost izgalomban tartó kérdéssel, miszerint miért nem tudnak átmenni a Pregolia folyó 7 hídján úgy, hogy minden hídon pontosan egyszer menjenek át, és visszajussanak a kiindulópontba. Tehát a polgárok voltaképpen Euler-kört próbáltak találni a város hídjai és szigetei által meghatározott gráfban. Erre a gráfra azonban nem teljesül a fenti feltétel, ezért a kérdéses bejárás nem valósítható meg.

Euler-módszer

A legegyszerűbb numerikus eljárás differenciálegyenletek megoldására. Legyen adott az differenciálegyenlet az kezdeti feltétellel. Ekkor az Euler-módszer a következő iteratív közelítést jelenti: , ahol , . Ez szavakban annyit tesz, hogy egy ismert kiindulópontból meredekségű egyenesszakasz mentén átmegyünk az pontba, úgy, hogy „vízszintesen” h távolságot teszünk meg. Most az kiindulópontból tesszük meg ugyanezt, és így tovább. Mivel minden lépésben a szakasz meredeksége a görbe meredekségével egyenlő, ezért megfelelően kis h esetén elfogadható közelítést kaphatunk.

Euler-séta

Olyan séta egy gráfban, mely a gráf minden élét tartalmazza, és egy él sem szerepel kétszer. (Néha, nem teljesen pontosan, Euler-séta helyett Euler-utat mondanak, noha a sétában egy ponton többször is átmehetünk, míg „út” esetében ilyen nem lehet.)

Euler tétele

Ha egy gráf lerajzolható a síkba úgy, hogy élei ne messék egymást, akkor síkbarajzolhatónak vagy síkgráfnak mondjuk. Egy síkbarajzolható gráf élei a síkot olyan részekre osztják, amelyeket itt „lapoknak” nevezhetünk. Euler tétele a következőket mondja ki.

Tétel. Legyen G összefüggő, síkbarajzolható gráf, melynek c pontja, e éle és l lapja van (beleértve a külső, nem korlátos tartományt is). Ekkor .

Ennek egy alkalmazása az Euler-féle poliédertétel:

Tétel. Ha egy konvex poliédernek c csúcsa, e éle és l lapja van, akkor .

Konkrét poliéderekre a tétel állítása könnyen ellenőrizhető. Például egy kockára , egy tetraéderre .

Euler–Mascheroni-féle állandó

azaz az sorozat határétéke. értéke 8 tizedes jegy pontossággal . Nem lehet tudni, hogy racionális-e, de lánctörtek felhasználásával bebizonyították, hogy ha racionális, akkor a nevezője egy több, mint jegyű szám.

Lásd várható érték.

exa-

SI mértékegységek előtagjaként a számmal való szorzást jelöli.

excentricitás

Egy kúpszelet tetszőleges P pontja és az F fókuszpont távolságának, valamint a P pont és a vezéregyenes távolságának aránya. A szóban forgó kúpszelet esetén kör, esetén ellipszis, esetén parabola és esetén hiperbola.

exp

Az exponenciális függvény jelölése és rövidítése.

explicit függvény

Az képlet az f függvényt explicite definiálja, míg az nem (bár ebben az egyszerű esetben az implicit definíció átrendezéssel explicit alakra hozható).

exponenciális bomlás

Tegyük fel, hogy , ahol A és k állandó, t pedig az eltelt időt jelöli (lásd exponenciális növekedés)! Ha , akkor azt mondják, hogy az az anyag, amelynek mennyiségét a t időpontban adja meg, exponenciálisan bomlik. Ilyen feltételek mellett annak az időtartamnak a hossza, amely alatt y értéke a felére csökken, független y értékétől is, és attól az időponttól is, ahonnan kezdve számítjuk a feleződést. Ennek az időtartamnak a hosszával – melyet felezési időnek neveznek – jól jellemezhető a bomlás üteme. Használják például radioaktív izotópok bomlásának leírásához. Ha , akkor az exponenciális növekedés kifejezés használható.

exponenciális eloszlás

Folytonos valószínűségeloszlás, melynek f sűrűségfüggvénye , ahol pozitív valós paraméter, . Várható értéke , szórásnégyzete . Konstans gyakorisággal, de véletlenszerűen bekövetkező események között eltelt idő exponenciális eloszlással modellezhető. Az eloszlás sűrűségfüggvénye a pozitív x-tengelyre koncentrálódik. A következő ábra egy paraméterű exponenciális eloszlás sűrűségfüggvényét mutatja.

exponenciális függvény

Az vagy függvény. A két jelölés kifejezhet két különböző, bár egyenértékű (alább tárgyalandó) megközelítést. Az exponenciális függvény fontos tulajdonságai között említhetőek a következők:

  1. és . (Ezek a hatványozás szokásos azonosságai miatt fennállnak, ha belátjuk és azonosságát.)

  2. Az exponenciális függvény a logaritmusfüggvény inverz függvénye: akkor és csak akkor, ha .

  3. .

  4. az hatványsor összegfüggvénye.

  5. Ha .

Három megközelítés szokásos.

  1. Tegyük fel, hogy e értékét már megkaptuk. Ekkor -et e alapú exponenciális függvényként definiálhatjuk az a alapú exponenciális függvény 1. megközelítésének felhasználásával, és mondhatjuk, hogy jelentse -et. A probléma ezzel a megközelítéssel az, hogy e korábbi definíciójára épül, és hogy további tulajdonságainak belátása nehézkes.

  2. Vegyük az függvényt, a logaritmusfüggvény 2. megközelítésében, és legyen ennek inverz függvénye. Ekkor definiálhatjuk e-t, mint az értéket. Belátjuk és ekvivalenciáját, és bebizonyítjuk a többi tulajdonságukat. Ez a megközelítés mesterséges, és nem felel meg azon módoknak, ahogyan általában az függvénnyel először találkozunk.

  3. Az függvény más tulajdonságai is felhasználhatók definícióként. Definiálható úgy, mint az egyetlen függvény, amely megoldása a differenciálegyenletnek az kezdeti feltétellel. Másszóval az a függvény, amely deriváltfüggvényével azonos. További járható út, hogy a fenti 4. vagy 5. tulajdonságokat használjuk ki bevezetéséhez. Mindegyik esetben meg kell mutatni, hogy a többi tulajdonság a definícióból következik.

exponenciális függvény alapja

Lásd a alapú exponenciális függvény.

exponenciális növekedés

Ha , ahol és állandók, továbbá t jelöli az időt, akkor azt mondjuk, hogy exponenciális növekedést mutat. Ilyen akkor történik, ha , azaz ha y változási üteme minden időpillanatban arányos y adott pillanatbeli értékével. Az y függvény növekedésének sebessége az idővel egyre növekszik. Bármely exponenciálisan növekvő folyamat végül is meghalad bármely t-vel, vagy t-nek egy rögzített hatványával arányos mennyiséget. Ha , akkor az exponenciális bomlás kifejezés használható.

exponenciális sor

A függvénysor, melynek összegfüggvénye tetszőleges z komplex szám esetén az exponenciális függvény.

extrapoláció

Tegyük fel, hogy az f függvény bizonyos értékei ismertek, ahol . Az extrapoláció az az eljárás, melynek során ezekből az adatokból az f függvény értékét megbecsüljük valamely az intervallumon kívüli x pontban. Az ilyen eljárások rendszerint kevésbé megbízhatóak, mint az interpoláció, amikor x és közé esik.

extrapolál

Egy értékről, vagy függvényről rendelkezésre álló ismeret alapján ezt az ismeretet becsléssel kiterjeszti, pédául előrejelez egy idősorral.