Ugrás a tartalomhoz

OXFORD - Matematika : Kislexikon

Tóth János (2007)

Typotex Elektronikus Kiadó Kft.

Gy

Gy

gyakoriság

Egy rögzített érték vagy egy esemény előfordulásainak száma a megfigyelés során. Ha például 20 alkalommal földobunk egy kockát, és négyszer kapunk hatost, akkor a hatosok gyakorisága 4, relatív gyakoriságuk . Csoportosított adatoknál a csoporthoz tartozó gyakoriság a csoportba tartozó értékek megfigyeléseinek a száma. Ha a számadatokat intervallumokba (ún. osztályközökbe) soroljuk, az osztályközökhöz tartozó gyakoriság az adott intervallumba eső megfigyelések számát jelenti. A gyakoriságok meghatározásának célja rendszerint a (gyakorisági) hisztogramm elkészítése. Lásd még: relatív gyakoriság.

gyakoriságeloszlás

Diszkrét adatokra azon információ, mely a lehetséges értékekből és a megfelelő kumulatív gyakoriságokból áll. Csoportosított adatokra az az információ, amely a csoportokból és a megfelelő kumulatív gyakoriságokból áll. Ezt táblázattal vagy egy hisztogrammhoz hasonló diagrammal áblázolhatjuk.

gyakorisági eloszlás

(Nominális vagy diszkrét) tapasztalati adatok és gyakoriságuk együttesét gyakorisági eloszlásnak nevezzük. Csoportosított adatoknál ez megadja azt az információt, ami a csoportokból és a megfelelő gyakoriságokból áll. Ábrázolhatjuk oszlopdiagrammon, hisztogrammon, vagy száras-leveles ábrával.

gyanús korreláció

Előfordul, hogy két változó között korrelációt állapítunk meg, pedig nincs közöttük közvetlen (még kevésbé ok-okozati) kapcsolat, hanem egy harmadik változó kapcsolja őket össze, például az idő vagy a méret. Például a feljegyzett betörések száma és a tanárok száma között szoros pozitív korrelációt találhatunk, aminek a magyarázata az, hogy mindkettő szorosan korrelál az adott város méretével.

gyors Fourier-transzformáció

Lásd diszkrét Fourier-transzformáció.

gyorsrendezés

Ez a rendezési algoritmus gyorsabb, mint a szabványos buborékrendezés, mivel csak kis csoportokat rendez. A módszer lényege, hogy minden listából vagy részlistából kiválasztunk egy-egy fő elemet, rendszerint lista közepéről (vagy a két középső elem egyikét páratlan sok elemet tartalmazó lista esetén), majd a kiválasztott elemnél kisebbeket balra, a nagyobbakat pedig jobbra helyezzük, a következő fázisban pedig a létrehozott két csoportot tekintjük feldolgozandó listának. A folyamat végetér, amikor már minden részlista egyelemű.

gyorsulás

Tegyük fel, hogy egy részecske egyenes vonal mentén mozog, melyen kijelöltünk egy O origót és egy pozitívnak tekintett irányt! Jelölje a részecske kitérését a t pillanatban! A részecske gyorsulása egyenlő -vel vagy -tel, a sebesség időbeli változásának ütemével. Pozitív sebesség esetén (azaz ha a részecske a pozitív irányban mozog) a gyorsulás pozitív, ha a részecske gyorsul, és negatív, ha a részecske lassul. Ha a sebesség negatív, akkor a pozitív gyorsulás a részecske fékeződését jelenti, a negatív gyorsulás pedig a részecske felgyorsulását.

Az előző bekezdésben az általános szokást követve elhagytuk az i egységvektort, mely az egyenes mentén a pozitív irányba mutat. A gyorsulás valójában vektormennyiség, és a fent leírt egydimenziós esetben -vel egyenlő. Két- vagy háromdimenziós mozgás esetén explicit módon használják a vektorokat. Egy részecske a gyorsulása olyan vektor, mely a v sebesség időbeli változásának ütemével egyenlő, azaz . Ha a részecske helyvektora r, akkor . Descartes-féle koordinátákkal kifejezve és

Egy körvonal mentén állandó sebességgel haladó részecskének is nullától különböző a gyorsulása a sebesség irányának változása miatt. Ez a gyorsulás a kör középpontja felé mutat és nagyságú, ahol v a részecske sebessége és r a kör sugara.

A gyorsulás dimenziója hosszúság szorozva idő a mínusz másodikon, SI egységrendszerben mértékegysége a méter per másodperc per másodperc, rövidítve .

gyorsulás-idő grafikon

Olyan grafikon, mely egy egyenes vonal mentén mozgó részecske gyorsulását ábrázolja az idő függvényében. Jelölje és a részecske sebességét, illetve gyorsulását a t pillanatban! A gyorsulás-idő grafikon ekkor az a függvény képe, ahol az első (t-)tengely vízszintes, a második tengely függőleges, és felfelé van irányítva. Figyelembe véve azt a konvenciót, hogy a vízszintes tengely alatt lévő minden terület negatív, a grafikon alatti terület a és időpont között -vel egyenlő. (Itt az általános szokást követve elhagytuk az i egységvektort, mely az egyenes mentén a pozitív irányba mutat. A részecske sebessége és gyorsulása valójában vektormennyiség, értéke a t időpontban , illetve .)

gyök

Legyen olyan egyenlet, amely tartalmazza az x ismeretlent. Az egyenlet gyöke az összes olyan h érték, amelyre . Az ilyen értékeket az f függvény nullahelyének is szokták hívni. Némely szerző a „gyök” és a „nullahely” szavakat felcserélhetőnek tekinti.

Ha polinom, akkor polinomegyenlet. A gyöktényezős alak alapján h pontosan akkor gyöke ennek az egyenletnek, ha osztója -nek. A h szám egyszeres gyök, ha osztója, de már nem osztója -nek; továbbá h n-szeres (vagy n-szeres multiplicitású) gyök, ha osztja -t, de nem. Egy n-szeres gyököt, ahol többszörös gyöknek hívunk.

Ha h az polinomegyenlet kétszeres gyöke, akkor az -hoz közel az f grafikonja ahhoz hasonló, mint az ábra első sorának egyik görbéje. Ha h háromszoros gyök, akkor a gráf úgy néz ki, mint a második sor valamelyik görbéje. A h érték legalább n-szeres gyök pontosan akkor, ha .

Ha és az másodfokú egyenlet gyökei, ahol , akkor és . Ha és az harmadfokú egyenlet gyökei, ahol , akkor , és . Hasonló eredmények vannak magasabb fokú polinomokra is.

gyökér

Lásd fa.

gyökjel

A jel a négyzetgyökökkel, köbgyökökkel és n-edik gyökökkel (n nagyobb értékeire) kapcsolatban használatos. A , és jelölés rendre az a szám négyzetgyökét, köbgyökét és n-edik gyökét jelenti. A jelölések megfelelő használatának részletesebb magyarázatához lásd négyzetgyök és n-edik gyök.

gyök multiplicitása

Lásd gyök.

gyöktelenít

Eltávolítja a gyököket egy kifejezésből vagy annak egy részéből, anélkül, hogy megváltoztatná az egész kifejezés értékét. Például az kifejezésben a nevező gyökteleníthető a számláló és a nevező val való beszorzásával: . Megjegyzendő, hogy ha a fenti kifejezéseket x függvényének tekintjük, akkor a gyöktelenítés megváltoztathatja az eredeti kifejezés értelmezési tartományát.

gyöktényezős alak

Tétel. Legyen polinom. Ekkor pontosan akkor osztója -nek, ha .

A tétel segítségével meghatározhatjuk polinomok gyöktényezőit. Például ha szeretnénk felírni a polinom gyöktényezős alakját, először keressünk olyan lehetséges gyöktényezőket, ahol h egész szám. Szükségképpen h osztója 20-nak, tehát keressünk lehetséges h értékeket, és számoljuk ki -t. Például azt találjuk, hogy , így egy gyöktényező. Elosztva ezzel a polinomot, egy másodfokú polinomot kapunk, amely esetleg további tényezőkre bontható.

gyűrű

Halmaz két művelettel, melyeket gyakran összeadásnak és szorzásnak neveznek, különböző helyzetekben fordulnak elő a matematikában, és néha sok hasonló tulajdonságon osztoznak. Hasznos dolog felismerni ezeket a hasonlóságokat bizonyos közös jellemzők azonosításával. Tulajdonságok egy ilyen halmaza a gyűrű definíciójában van összegyűjtve: az R halmaz gyűrű, ha zárt az összeadás és a szorzás – szokásos módon jelölt – műveletére nézve, és ha teljesülnek az alábbiak:

  1. minden R-beli és c-re ,

  2. minden R-beli a és b-re ,

  3. van R-ben egy 0 elem, amelyre minden R-beli a-ra ,

  4. minden R-beli a-hoz van olyan R-beli elem, amelyre ,

  5. minden R-beli és c-re ,

  6. minden R-beli és c-re .

A harmadik pontban garantált elem az összeadásra nézve neutrális elem. Megmutatható, hogy egy gyűrűben ez az elem egyértelmű, és minden R-beli a-ra fennáll, hogy , így rendszerint nulla elemnek hívjuk. Úgyszintén minden a-ra a negyedik pontban garantált egyértelmű, ennek neve: a ellentettje. A gyűrű kommutatív gyűrű, ha fennáll rá, hogy

  • minden R-beli a-ra és b-re , és kommutatív egységelemes gyűrű, ha még az is igaz, hogy

  • van olyan nullától különböző elem, 1, amelyre , minden R-beli a-ra.

Ha bizonyos további tulajdonságokat is bevezetünk, akkor az integritási tartomány, illetve a algtest definícióját kapjuk. Tehát minden integritási tartomány és minden test gyűrű. További példák gyűrűkre (amelyek nem tartoznak az előbbi osztályokba) a -es valós mátrixok halmaza, az összes páros egész halmaza, mindegyik a megfelelő összeadással és szorzással. Egy másik példa gyűrűre a halmaz összeadással és szorzással modulo n.

Egy gyűrűt jelölhetünk -vel, egy másikat mondjuk -val, ha szükséges megkülönböztetnünk az egyik gyűrűbeli műveleteket a másik gyűrűbeliektől. De elegendő egyszerűen az R gyűrűre hivatkozni, ha világos, hogy milyen műveletekkel akarunk dolgozni.

gyűrűk izomorfizmusa

Legyen és gyűrű. A két gyűrű közötti izomorfizmus olyan f bijektív leképezés az R-ről az halmazba, melyre minden esetén és teljesül. Ha két gyűrű között létezik izomorfizmus, akkor azt mondjuk, hogy izomorfak; ekkor szerkezetük lényegében megegyezik.