Ugrás a tartalomhoz

OXFORD - Matematika : Kislexikon

Tóth János (2007)

Typotex Elektronikus Kiadó Kft.

I, Í

I, Í

i

Lásd komplex szám

I

Az 50-es szám római számjeggyel írva.

i

A logikában és igazságtáblázatokban az „igaz” logikai érték rövidítése.

i

Általában így jelölik az első (x-)tengely mentén a pozitív irányba mutató egységvektort, valamint így jelölik azt az egységvektort is, amely egy lövedék pályasíkjában vízszintes irányba mutat.

id

Az identitásfüggvény jele: . Más jelölések: #&. Ha nem a valós számok identitásfüggvényéről van szó, hanem valamely A halmazéról, akkor az jelölést szokás használni.

ideál

Az R gyűrű I részgyűrűjét ideálnak nevezzük, ha minden és minden esetén ax és xa is benne van I-ben. Olyan gyűrűben, ahol a szorzás nem kommutatív, előfordulhat, hogy a két feltétel közül csak az egyik teljesül. Azt mondjuk, hogy I balideál, illetve jobbideál, ha minden esetben teljesül, hogy , illetve . Ha nem teszünk megkülönböztetést, akkor feltesszük, hogy mindkét tulajdonság teljesül. Ideált alkotnak például egy egész szám többszörösei az egész számok gyűrűjében.

ideális elem

Olyan elem, mellyel egy matematikai struktúrát kibővítünk, hogy az ellentmondásokat vagy a kivételeket kiküszöböljük. Ideális elem például az képzetes egység. Ezzel a valós számok halmaza kibővíthető a komplex számok halmazává, és minden algebrai egyenlet megoldható anélkül, hogy ezt a rendszert tovább bővítenénk.

ideális pont

Ideális elem, speciálisan végtelen távoli pont.

identitásfüggvény

Az a függvény, mely egy halmaz minden eleméhez saját magát rendeli.

identitásleképezés

Lásd identitásfüggvény.

identitásmátrix

Lásd egységmátrix.

idő

Világunkban mindenki tapasztalja az idő múlását, amit különféle órákkal mérünk. Matematikai modellekben az időt valós változó képviseli, amit a leggyakrabban t jelöl, ahol a értéket kezdőpillanatnak is hívjuk. Egy megfigyelő valamely vonatkoztatási rendszer mérni tudja bizonyos események között eltelt időintervallumok hosszát.

Az idő dimenziója T, mértékegysége az SI rendszerben a másodperc.

idősor

Bizonyos idő alatt (legtöbbször azonos időközönként) elvégzett megfigyelés- vagy méréssorozat. Az idősoranalízis keretein belül megpróbáljuk azonosítani azokat a tényezőket, amelyek a változásokat befolyásolják, például azért, hogy ebből a jövőre nézve előrejelzéseket tehessünk. Számos idősor esetén az egyik ilyen fontos tényező az évszakonkénti (vagy szezonális) változás, ami például éves szintű ciklikus változást jelent, illetve a trend, amely az értékek hosszútávú változását jelenti, ha az évszakonkénti változást már figyelembe vettük.

igazságérték

Egy logikai változó vagy állítás igazságértéke a hagyományos logikában i, ha az állítás igaz, és h, ha az állítás hamis.

igazságtáblázat

Egy összetett állítás igazságértéke az összetevők igazságértékéből számítható ki. Igazságtáblázatnak nevezzük az olyan táblázatot, amelyben az egyes összetevők igazságértéke és a belőlük képzett valamely (összetett) állítás igazságértéke van feltüntetve. Például a (negáció) igazságtáblázata az alábbi.

Itt a p logikai változó lehetséges értékei mellett tüntettük fel p negáltjának értékeit. Az (és), a (megengedő vagy) és az (implikáció) igazságtáblázata látható alább.

Ebből már bonyolultabb állítások táblázata is felírható. Tekintsük például a állítást. Az egyes részállítások igazságértékét az alábbi táblázat mutatja.

ikerprímek

Ikerprímeknek olyan prímszámokat nevezünk, amelyek között 2 a különbség. Például 29 és 31, 71 és 73, vagy 10006427 és 10006429 mind ikerprímek. Máig megoldatlan az a sejtés, hogy vajon végtelen sok ikerprím létezik-e.

ikoza-

20-at jelentő előtag.

ikozaéder

Olyan poliéder, melynek 20 oldallapja van. A szabályos ikozaéder lapjai szabályos háromszögek. A testnek 12 csúcsa és 30 éle van. Lásd még szabályos test.

ikozidodekaéder

Az egyik arkhimédészi test, melyet 12 ötszög és 20 háromszög határol. Származtatható úgy, hogy levágjuk egy dodekaéder sarkait oly módon, hogy a kapott poliéder csúcsai az eredeti dodekaéder éleinek felezőpontjai legyenek. Megkapható úgy is, hogy egy ikozaéder csúcsait vágjuk le hasonlóképpen, azaz az új poliéder csúcsai az eredeti ikozaéder éleinek felezőpontjai lesznek.

illeszkedés

A valós világ leírására determinisztikus vagy sztochasztikus modelleket használunk. Az illeszkedés a megfigyelések és ezen modellek által nyújtott előrejelzések közti megfelelés fokmérője.

illeszkedési mátrix

A pontú G egyszerű gráf A illeszkedési mátrixa az az -es mátrix, amelyre , ha össze van kötve -vel, és egyébként. Az A mátrix szimmetrikus mátrix, és az átlós elemei nullák. Egy sorban (vagy oszlopban) az egyesek száma egyenlő a megfelelő pont fokszámával. Alább mutatunk egy példát egy gráfra és incidenciamátrixára.

.

illeszkedésvizsgálat

Lásd -próba.

Im

Egy komplex szám képzetes részét megadó, valós értékű függvény.

implicit

Akkor mondjuk, hogy egy függvény vagy egyenlet implicit alakban van megadva, ha az egyenlet egyik oldalán nem csak a függő változó szerepel. Például implicit alakban definálja az f függvényt, míg az ezzel ekvivalens explicit alakú egyenlet.

implicite adott függvény differenciálási szabálya

Ha bizonyos pontokra fennáll, hogy , akkor alkalmas feltételek teljesülése esetén létezik olyan differenciálható valós-valós f függvény, hogy a fenti egyenletnek eleget tevő párokra teljesül. Ennek a függvénynek a deriváltja y deriváltja az implicit függvény differenciálási szabálya alapján – ismét implicit alakban – kiszámítható, felhasználva a láncszabályt is. Például ha , akkor

így azokban az pontokban, ahol ,

implikáció

Ha p és q állítások, akkor a „p-ből következik q”, vagy „ha p, akkor q” állítás implikációk. Jelölése: . Ez az összetett állítás csak abban az esetben hamis, ha p igaz és q hamis. Igazságtáblázata a következő:

Azt az állítást, hogy „p-ből következik q és q-ból következik p”, a szimbólummal jelöljük, és úgy olvassuk, hogy „p akkor és csak akkor, ha q” vagy „p ekvivalens q-val”.

improprius integrál

Kétféle esetben értelmezzük az improprius intergált. Az egyik fajta improprius integrálnál az integrandus értelmezési tartománya végtelen intervallum, például

Azt mondjuk, hogy az integrál konvergens és értéke l, ha az a-tól X-ig vett integrál értéke l-hez tart, amikor . Például

így ha , akkor a jobb oldal határértéke 1. Ezért

Hasonló definíció adható a -től a-ig vett improprius integrálra is. Ha pedig az

integrál(ok) is konvergens(ek) és értékük , illetve , akkor azt mondjuk, hogy az f függvény -től -ig integrálható, és az integrál értéke .

A másik fajta improprius integrálnál az integrandus egy pontban nem korlátos, például

Az függvény nem korlátos a intervallumon, így a szokásos módon nem értelmezhető az integrálja. Ez a függvény azonban korlátos a intervallumon, ahol , és

Ha , akkor a jobb oldal 2-höz konvergál, így a fenti integrál definíció szerint 2-vel egyenlőnek vehető. Ugyanígy, bármely ilyen integrál értéke a megfelelő határértékkel egyenlő, ha az létezik. Hasonlóan definiálható azon függvények improprius integrálja, amelyek az intervallum jobb végpontjában nem korlátosak.

Végül pedig abban az esetben, ha a függvény az intervallum egy belső pontjában nem korlátos, akkor az integrál két integrál összegeként írható fel, ahol a függvény az első intervallum jobb végpontjában és a második intervallum bal végpontjában nem korlátos. Ha mindkét integrál konvergens, akkor azt mondjuk, hogy az eredeti integrál is konvergens, és ilyen módon értéke meghatározható.

impulzus

Egy részecske tömegének és sebességének szorzatát nevezik a részecske impulzusának. Az impulzus vektormennyiség, melyet általában p vagy I jelöl, tehát . Lásd még impulzusmegmaradás.

Az impulzus tömeg szorozva hosszúság szorozva idő a mínusz elsőn dimenziójú, SI mértékegysége ennélfogva kilogramm szorozva méter szorozva másodperc a mínusz elsőn.

impulzusmegmaradás

Ha a testre ható erők összege zérus, a rendszer impulzusa időben állandó. Ezt a tényt nevezik az impulzusmegmaradás elvének.

Ez az elv alkalmazható egy elsütött fegyver visszarúgásának értelmezésére. A lövés előtt a töltény és a fegyver impulzusa zérus, így a teljes impulzus a lövés után is zérus. Ezért a fegyver tömegének sokkal nagyobbnak kell lennie a töltény tömegénél, mert így érhető el, hogy a fegyver visszarúgásának sebessége sokkal kisebb legyen a töltény sebességénél. Az elv egy másik alkalmazása lehet például két biliárdgolyó ütközésének vizsgálata.

impulzusmomentum

Tegyük fel, hogy egy m tömegű és r helyvektorú részecske v sebességgel mozog. Ekkor a részecskének az helyvektorú A pontra vonatkoztatott L impulzusmomentuma az képlettel definiált vektor. Ez az A pontra vonatkoztatott lendület nyomatéka. Lásd még impulzusmomentum-megmaradás.

Képzeljünk el egy rögzített tengely körül szögsebességgel forgó merev testet, és legyen L a merev testnek a rögzített tengely egy pontjára vonatkoztatott impulzusmomentuma. Ekkor , ahol I a merev testnek a rögzített tengelyhez tartozó tehetetlenségi nyomatéka.

Általános esetben jelölje és L a merev test szögsebességét, illetve a merev testnek egy rögzített pontra (vagy a tömegközéppontra) vonatkoztatott impulzusmomentumát reprezentáló oszlopvektorokat! Ekkor , ahol I egy -as mátrix, amelyet tehetetlenséginyomaték-tenzornak neveznek, és amelynek elemei a rögzített ponton (vagy a tömegközépponton) átmenő tengelyekre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékok és tehetetlenségi szorzatok.

A merev test forgó mozgása a test impulzusmomentumától függ. Nevezetesen, egy rögzített pontra (vagy a tömegközéppontra) vonatkoztatott impulzusmomentum változási üteme egyenlő a merev testre ható erők – a rögzített pontra (vagy a tömegközéppontra) vonatkoztatott – forgatónyomatékainak összegével.

impulzusmomentum-megmaradás

Ha egy részecskére centrális erő hat, a részecskének az erőtér középpontjára vonatkoztatott impulzusmomentuma időben állandó. Ezt a tényt nevezik az impulzusmomentum-megmaradás elvének.

Hasonlóképpen, ha egy merev testre ható erőknek egy rögzített pontra (vagy a tömegközéppontra) vonatkoztatott forgatónyomatékai zérus összeget adnak, akkor a merev testnek a rögzített pontra (vagy a tömegközéppontra) vonatkoztatott impulzusmomentuma állandó.

impulzusnyomaték

Lásd impulzusmomentum.

impulzusnyomaték-megmaradás

Lásd impulzusmomentum-megmaradás.

index

(statisztikában) Valamely mennyiség időbeli változását jellemző szám a (leíró) statisztikában, amit rendszerint valamely bázisértékhez viszonyítanak, s ezek után az index értékét százalékban adják meg, az alapot tekintve 100%-nak, Például a fogyasztói árindexet arra használják, hogy a háztartások kiadásainak változását mérjék vele. Indexeket gyakran úgy számolnak, hogy az alkotó elemek súlyozott közepét számolják.

indexhalmaz

Tegyük fel, hogy az S halmaz minden eleme megfeleltethető az I halmaz elemeinek. Ekkor I-t indexhalmaznak nevezzük, és azt mondjuk, hogy S az I halmazzal van indexelve. Például álljon az S halmaz az elemekből, ahol . Ez úgy is írható, hogy .

indifferenciagörbe

A hasznossági függvény szintvonala. Mivel ennek pontjaihoz a hasznossági függvény azonos értékei tartoznak, semmi okunk nincs arra, hogy a görbe bármelyik pontját előnyben részesítsük a többiekkel szemben.

indirekt bizonyítás

Egy alakú állítás úgy is bizonyítható, hogy kontrapozícióját bizonyítjuk, azaz feltesszük, hogy teljesül, és megmutatjuk, hogy ebből következik. Ezt a módszert nevezzük indirekt bizonyításnak.

indukció

Lásd teljes indukció.

induló kockázat

Egy időszak kezdetekor, vagy sajátos feltételek mellett fellépő kockázat.

inerciaerő

Lásd tehetetlenségi erő.

inerciális vonatkoztatási rendszer

Lásd vonatkoztatási rendszer.

inerciarendszer

Lásd vonatkoztatási rendszer.

inf

Az infimum rövidítése.

infimum

Legnagyobb alsó korlát. Lásd korlát.

infinitezimális

Egy nullához tartó változó, mely rendszerint valamely függvény növekményeiből áll. Régebben a differenciálszámításban volt használatos ilyen fordulatokban: ’A hányados az differenciálhányadoshoz tart, ha .’

inflexió

Lásd inflexiós pont.

inflexiós pont

Az f függvény grafikonjának olyan pontja, amelyben a konvexitás megváltozik. így a kétszer differenciálható f függvénynek az a pontban inflexiós pontja van, ha valamely -ra pozitív az nyílt intervallumon, továbbá negatív az nyílt intervallumon, vagy fordítva.

Ha a görbe x növekedtével konvexből konkávba változik, akkor a gráf és az inflexiós pontbeli érintője úgy néz ki, mint az ábra első sorának valamelyik esete. Ha a görbe x növekedtével konkávból konvexbe változik, akkor a gráf és az inflexiós pontbeli érintője úgy néz ki, mint az ábra második sorának valamelyik esete. A középső diagramm mindkét sorban olyan inflexiós pontot ábrázol, amely egyben stacionárius pont is, mivel az érintő vízszintes.

Ha folytonos a-ban, akkor ahhoz, hogy az f görbének legyen inflexiós pontja az a-ban szükséges, hogy legyen, ez a megszokott módszer a lehetséges inflexiós pontok megkeresésére. Azonban az feltétel nem elégséges ahhoz, hogy az a pont inflexiós pont legyen: meg kell mutatni, hogy pozitív a egyik oldalán és negatív a másikon. Például, ha , akkor ; de -nek nincs inflexiós pontja a 0-ban, mivel pozitív a 0 mindkét oldalán. Végül lehet inflexiós pont olyan pont is, amelyben nem létezik, például az origóban az görbén, ahogy azt a lenti ábra mutatja.

információ

Egy állítás vagy valamely adatok tartalma.

információelmélet

A matematikának az a területe, amely információ közvetítésével és feldolgozásával foglalkozik, elsősorban kódolással, dekódolásal, az információ tárolásával és visszakeresésével, és azzal, hogy a folyamatok során a pontosság milyen valószínűséggel marad meg.

inga

Lásd matematikai inga, kúpinga, fizikai inga és Foucault-inga.

inhomogén

Nem homogén.

inhomogén lineáris differenciálegyenlet

Lásd lineáris differenciálegyenlet.

inhomogén lineáris egyenletrendszer

Lásd lineáris egyenletrendszer.

inicializál

Beállítja a paraméterek vagy a változók értékét egy algoritmus indulásakor.

injektív leképezés

Az függvény injektív (vagy invertálható) leképezés, ha különböző S-beli és elemek és képe különböző, azaz ha az egyenlőségből következik, hogy .

inkompatíbilis

Lásd összeegyeztethetetlen.

instabilis egyensúly

Lásd egyensúly.

instabilis egyensúlyi helyzet

Lásd egyensúly.

integrációs állandó

Ha F az f folytonos függvény primitív függvénye, akkor f bármely primitív függvénye F-től csak konstansban különbözik. Ennél fogva bevett gyakorlat, hogy a következőt írjuk: ahol C tetszőleges állandó, az integrációs állandó. A pontosabb írásmód – amely kifejezi, hogy a határozatlan integrál primitív függvények halmaza, – ez lenne:

integrációs tartomány

Azon értékek halmaza, amelyek fölött valamely többszörös integrált definiálunk.

integrál

Legyen f az zárt intervallumon értelmezett függvény. Legyenek olyan osztópontok, melyekre , és válasszunk egy pontot minden részintervallumban. Az f függvény ezen felosztáshoz tartozó Riemann-féle közelítő összege

azaz . Geometriailag ez n téglalap területének összege, mely az f függvény grafikonja alatti területhez közelít.

Az f függvény intervallumon vett Riemann-integrálja definíció szerint az az I valós szám, amelyre igaz, hogy létezik olyan felosztás, hogy az ahhoz tartozó közelítő összegnek az I-től való eltérése bármely pozitív számnál kisebb.

Az I számot, azaz az f függvény integrálját az

szimbólummal jelöljük. Az integrál értéke az f függvény grafikonja alatti területtel egyenlő. Ilyen tulajdonságú I valós szám nem mindig létezik, de belátható, hogy például zárt intervallumon értelmezett folytonos függvények esetében igen.

Az intervallumon az

képlettel definiált F függvényt f integrálfüggvényének nevezzük. Ha f folytonos az intervallumon, akkor minden esetén teljesül, így F az f -nek primitív függvénye is.

A Newton–Leibniz-tétel szerint, ha f az intervallumon értelmezett folytonos függény és az f függvény egy primitív függvénye, akkor

Az integrált f határozott integráljának nevezzük.

integrálás

Általában azt jelenti, hogy egy adott függvény primitív függvényét megtaláljuk, vagy ennek segítségével határozott integrálját a Newton–Leibniz-tétel alapján kiszámítsuk. (Lásd integrál.) Sok függvénynek azonban nem létezik olyan primitív függvénye, mely az elemi függvények segítségével kifejezhető, így a határozott integrál kiszámításához más módszert kell alkalmazni, ilyen módszer például a numerikus integrálás.

Milyen módon határozható meg a primitív függvény? Ha felismerjük, hogy egy adott függvény mely függvény deriváltja, akkor ezzel meghatároztuk egy primitív függvényét. Néhány ismert függvény határozatlan integrálját a 3. Függelék tartalmazza, de léteznek ennél bővebb táblázatok is. Vannak különböző integrálási módszerek is, ilyenek például a következők.

Integrálás helyettesítéssel. Ha az integrandus alkalmas g függvény segítségével felírható alakban, akkor az helyettesítéssel a határozatlan integrál kiszámítható, ugyanis

E képlet a láncszabály alapján levezethető. Tekintsük például a következő integrált:

és legyen . Ekkor , és felhasználva a fenti formulát, ahol , az integrál értéke

Az

integrál kiszámításához a fenti képletet írjuk fel

alakban, és alkalmazzuk az helyettesítést. Ekkor , így az integrál a következő lesz:

(Itt felhasználtuk, hogy és .)

Parciális integrálás. A szorzatfüggvény deriválási szabálya alapján vezethető le a következő képlet:

Akkor érdemes alkalmazni, ha a -nek tekintett függvény integrálja ismert, f deriváltja pedig könnyen meghatározható, és a jobb oldali integrált könnyebb kiszámítani, mint a bal oldalit. Tekintsük például az

integrált. Legyen és . Ekkor és , így

Lásd még elemi tört, szétválasztható változójú differenciálegyenlet.

integrálási határok

Az

határozott integrálnál az integrálás alsó határa a, felső határa b.

integrálási módszerek

Lásd integrálás.

integrálegyenlet

Olyan egyenlet, melyben az ismeretlen függvények integráljai szerepelnek.

integrálfüggvény

Lásd integrál.

integrálható

Azt a függvényt nevezzük integrálhatónak, melynek létezik integrálja.

integrálközép

Legyen f az zárt intervallumon értelmezett folytonos függvény. Az f függvény integrálközepe ekkor

Az integrálközépnek megvan az a tulajdonsága, hogy az f függvény grafikonja alatti terület ugyanannyi, mint annak a téglalapnak a területe, melynek alapja , magassága .

Például, ha az f függvény értékei egy 24 órán át mért hőmérsékletértékeknek felelnek meg, akkor f integrálközepe tekinthető úgy, mint az ezen időtartamra vonatkozó átlaghőmérséklet.

integráló tényező

Más néven multiplikátor, elsőrendű lineáris differenciálegyenlet, egzakt differenciálegyenlet.

integrálszámítás

Az integrálszámítás kialakulásához az a probléma vezetett, hogy meghatározzuk egy függvénygörbe alatti területet. Általában ezt olyan közelítéssorozattal számítjuk ki, amelynek minden tagja fokozatosan egyre jobban közelíti a terület értékét. Az integrál ennek az intuitív megközelítésnek a pontossá tételével definiálható. Alapvető volt annak felfedezése, hogy kapcsolat van e között és a differenciálszámítás között.

integrálszámítás alaptétele

Lásd integrál.

integráltranszformáció

Ha két függvény közötti kapcsolat felírható alakban, akkor f az F függvény integráltranszformáltja, K a transzformáció magja. Ha F az f függvény ismeretében egyértelműen meghatározható, akkor ez a transzfomáció invertálható. Az integráltranszformáció különösen hasznos módszer ahhoz, hogy bizonyos egyenleteket egyszerűbb alakra hozzunk, melyeket azután már könnyebb megoldani. Alkalmazásával például differenciálegyenletek lineáris algebrai egyenletekké alakíthatók, melyek megoldása egyszerű, és ha az inverz transzormáció is létezik, akkor megkapjuk az eredeti probléma megoldását is. Példa integráltranszformációra a Fourier- és a Laplace-transzformáció.

integrandus

Az kifejezés az

integrálokban, illetve az f kifejezés az

integrálokban.

integritási tartomány

így nevezzük az R kommutatív egységelemes gyűrűt, ha a következő tulajdonság is igaz rá:

9. Minden esetén pontosan akkor teljesül, ha vagy .

(Az axióma számozása a gyűrűnél megadott számozást folytatja.) így azt is mondhatjuk, hogy az integritási tartomány kommutatív egységelemes nullosztómentes gyűrű. (Lásd nullosztó.)

A legegyszerűbb példa az egész számok halmaza a szokásos összeadással és szorzással. Bármely test is integritási tartomány. További példák integritási tartományra (melyek nem testek): az alakú számok, ahol a és b egész, vagy a valós együtthatós polinomok halmaza a szokásos összeadással és szorzással.

interkvartilis félterjedelem

A szóródás mérésére szolgáló mennyiség, amely az első és harmadik kvartilis különbsége.

interpoláció

Tegyük fel, hogy ismerjük az f függvény értékeit. Az interpoláció olyan eljárás, melynek segítségével közelítést kapunk -re, ahol x valahol az értékek között található. Ha , akkor lineáris interpolációval a következő becslés adhatjuk:

Ezt a képletet úgy kapjuk, hogy feltételezzük: az és pontok között az f függvény grafikonja egyenes. Ennél bonyolultabb interpolációs eljárások a becsléshez kettőnél több függvényértéket használnak fel.

intervallum

A véges intervallumot mint a valós számok részhalmazát az a és b végpontok segítségével definiáljuk. Mivel egy végpont vagy hozzátartozik, vagy nem tartozik hozzá a halmazhoz, a véges intervallumok négy típusba sorolhatók:

  1. az zárt intervallum, jele ;

  2. az nyílt intervallum, jele ;

  3. az (balról zárt, jobbról nyílt nyílt) intervallum, jele ;

  4. az balról nyílt, jobbról zárt intervallum, jele .

Öt típusú végtelen intervallum van:

  1. 5 , jele ;

  2. 6 , jele ;

  3. 7 , jele ;

  4. 8 , jele ;

  5. 9 , jele .

Itt a (végtelen) és a (mínusz végtelen) szimbólumok természetesen nem valós számok, de használatuk megkönnyíti a jelölést.

Ha I az 1–4. intervallumok valamelyike, az I által meghatározott nyílt intervallum ; ha I az 5. vagy 6. szerinti nyílt intervallum, akkor , ha I a 7. vagy 8. szerinti, akkor .

intervallumbecslés

Lásd statbecs.

intervallumskála

Mérések összevetéséhez használatos olyan skála, ahol az értékek különbségének van jelentése, hányadosuknak nem. Következésképpen a skála nullapontja önkényes. Például a hőmérsékletet ilyen skálákon mérjük. A Fahrenheit-skálán vett 0 érték nem felel meg a Celsius-skálán vett 0 értéknek, és egyik mértékegység használata esetén sincs értelme azt mondani, hogy a kétszer olyan meleg, mint az .

intranzitív reláció

Olyan kétváltozós reláció, mely bármely három elem esetén nem tranzitív, azaz ha és , akkor szükségképpen teljesül, hogy a nincs relációban c-vel. Vegyük észre, hogy ez sokkal erősebb tulajdonság, mint ha egy reláció nem tranzitív reláció, ami akkor áll fenn, ha a tranzitivitás bizonyos elemhármasokra teljesül, míg másokra nem.

invariáns

Olyan tulajdonság vagy mennyiség, amely egy vagy több művelet vagy transzformáció hatására nem változik meg. Például a

kúpszelet egyenletének együtthatóiból képzett mennyiség a koordinátatengelyek elforgatása után változatlan marad, azaz invariáns. Két pont távolsága eltolás és forgatás hatására nem változik meg, nagyítás és kicsinyítés hatására azonban igen, ugyanakkor két egyenes által bezárt szög mindhárom transzformáció során változatlan marad. (Lásd nyújtás.)

Fontos különbséget tennünk két eset között. Ha egy egyenes minden pontja invariáns, vagyis a transzformáció minden ponthoz saját magát rendeli, akkor ezek a pontok fix pontok, az egyenes pedig fix egyenes. Egy egyenest invariáns egyenesnek nevezünk, ha bármely pontjának képe rajta van az egyenesen, de nem föltétlenül teljesül, hogy minden pont képe önmaga. Például az x-tengelyre való tükrözésnél a tükörtengely fix egyenes, a rá merőleges egyenesek pedig invariáns egyenesek, ugyanis ha egy ilyen egyenes egyenlete , akkor az pont képe .

invertálható leképezés

Lásd injektív leképezés.

invertálható mátrix

Lasd mátrix inverze.

inverz elem

Tegyük fel, hogy az S halmazon értelmezett kétváltozós reláció neutrális eleme e. Ekkor az elem a inverze, ha . Ha a művelet szorzás, akkor a neutrális elem neve rendszerint egységelem, és jele 1. Ekkor az elemet a multiplikatív inverzének hívjuk, azaz (vagy e). Ha a művelet összeadás, akkor a neutrális elem jele 0, és az elem a additív inverze vagy ellentettje. Jele , azaz . Lásd még csoport.

inverz függvény

Legyen az f függvény értelmezési tartománya S, értékkészlete T. Ha f injektív leképezés, akkor definiálható az az szimbólummal jelölt függvény, melynek értelmezési tartománya T, és minden esetén azzal az elemmel egyenlő, melyre . Ekkor az f függvény inverze. Az inverz függvény a következő tulajdonsággal rendelkezik: , ahol illetve az S illetve a T halmaz identitásfüggvénye, pedig a függvények kompozícióját jelöli.

Ha f az I intervallumon értelmezett valós függvény, mely szigorúan monoton, akkor injektív is, így létezik inverze. Ha f differenciálható, akkor előjele segítségével az inverz létezésére elégséges feltétel adható. Ha f folytonos az I intervallumon, melynek végpontjai a és b, továbbá f differenciálható az intervallumon és minden esetén vagy , akkor f -nek az I intervallumon létezik inverze.

Ha egy adott f függvény inverzét szeretnénk meghatározni, akkor szükség lehet arra, hogy az f értelmezési tartománya helyett az f egy leszűkítésének az értelmezési tartományát vegyük. Tekintsük például az függvényt. Ez nem injektív, ugyanakkor mivel , látható, hogy esetén . Jelölje most h azt a függvényt, melynek értelmezési tartománya és . Ekkor h értékkészlete az intervallum, az inverze pedig a függvény. Az függvényt megadó képletet az egyenletből kapjuk. Figyelembe véve, hogy , . így a változók felcserélésével , ha .

Ha az f függvénynek létezik inverze, akkor f és grafikonja egymásnak a koordinátatengelyek szögfelezőjére vett tükörképei. Az inverz függvény deriváltja a következőképpen határozható meg. Tegyük fel, hogy f deriválható, és jelölje g az f inverzét, azaz ha , akkor . így ha , akkor g is differenciálható y-ban, és

Lásd még hiperbolikus függvények inverze, trigonometrikus függvények inverze.

inverz korreláció

Lásd negatív korreláció, korreláció.

involúció

Egy csoport vagy gyűrű, stb. olyan eleme, amelyik önmagának inverze, azaz egy olyan a elem, amelyre teljesül. Az identitás mindig ilyen tulajdonságú, bármelyik tükrözés ilyen, és ilyen a -os forgatás is.

irány

Egy egyenes irányítása.

irányítás

Olyan változók hatásának kiküszöbölése vagy kézbentartása, melyek nem képezik a kísérlet tárgyát. Ez megvalósítható úgy, hogy bizonyos változók egyenlőségét biztosítjuk, vagy például a hőmérséklet közvetlen irányításával, vagy a kísérleti alanyok – példul a súlyuk szerinti – párbaállításával. Ezek után rendszerint randomizálást alkalmazunk, hogy azoknak a zavaró változóknak, amelyeket ezekkel a módszerekkel nem kontrolláltunk, egyike se szerepeljen rendszeres torzítás forrásaként.

irányított egyenes

Meghatározott iránnyal rendelkező egyenes. Ezt a meghatározott irányt hívhatjuk pozitív iránynak, az ellenkezőjét negatív iránynak. Van, hogy megkülönböztetik az egyenes két pontját az és x jelöléssel, úgy, hogy a pozitív irány -ből x-be mutasson. Alternatív jelölés: Ox, ahol O az egyenes egy pontja, és a pozitív irány az x pont felé mutat.

irányított egyenesszakasz

Ha A és B egy egyenes két pontja, akkor az egyenes A és B közé eső pontjai az A és B ponttal és az egyenes mentén meghatározott iránnyal együtt az egyenes egy irányított egyenesszakaszát alkotják. így A-ból B-be vezető irányított szakasz, pedig B-ből A-ba vezető irányított szakasz. Lásd még vektor.

irányított egyenesszakaszok összeadása

Lásd vektorok összeadása.

irányított esettanulmány

Olyan vizsgálat, amelyben bizonyos feltételeket teljesítő eseteket hasonlítunk össze olyan kontrollokkal, amelyek ezeket a feltételeket nem teljesítik, abból a célból, hogy lássuk, hogyan különböznek egy bennünket érdeklő magyarázó változóban. Amint az illeszkedő párok hasznosak kísérlettervezésnél, a valamely lehetséges magyarázó változó szerint összetartozó páciensek összepárosítása is megjavíthatja a vizsgálat hatékonyságát. Még mindig maradnak kiküszöbölhetetlen problémák a zavaró változók miatt, de – különösen az orvostudomány világában – etikai kérdések is felmerülnek, hogy szabad-e véletlenszerűen adni a potenciálisan jó hatású, illetve káros kezeléseket.

irányított gráf

Pontokból áll, melyek közül némelyeket irányított élek kötnek össze, minden irányított élen van egy nyíl, amely meghatározza az irányát. Az u pontból v pontba menő irányított élet az rendezett párral jelöljük. A baloldali ábrán azt a gráfot látjuk, amelynek pontjai u,v,w,x, élei pedig .

Éppúgy, mint a gráfoknál, itt is előfordulhatnak többszörös és hurokélek. A jobboldali ábrán olyan gráfot mutatunk, amelynek vannak többszörös és hurokélei.

irányított gráf éle

Lásd irányított gráf.

iránykoszinusz

A háromdimenziós Descartes-féle koordináta-rendszerben a következőképpen adható meg egy irány. Vegyünk egy P pontot úgy, hogy a megadott irányba mutasson, és legyen. Legyen rendre az szög radiánban ( ). Ekkor az adott irány vagy iránykoszinuszai. Ezek nem függetlenek, mivel . A P pont koordinátái ; a szokványos, a tengelyek irányába mutató egységvektorokat használva a P pont p helyvektora a következő: . Tehát az iránykoszinuszok p koordinátái. Az x-tengely iránykoszinuszai ; az y-tengelyéi 0,1,0; a z-tengelyéi 0,0,1.

iránymező

Egy közönséges differenciálegyenletből az egyenlet megoldása nélkül csupán az ismeretlen mennyiség változási sebessége – vagyis az ismeretlen függvény deriváltjának nagysága – olvasható ki, magának a mennyiségnek az értéke nem. Ilyen helyzetben hasznos az iránymező fogalma: az iránymező a megoldásgörbék pontbeli érintőjének irányát (és esetleg nagyságát) tüneteti fel nyilak (vagy vonalkák) segítségével. Irányvonalaknak vagy izoklínáknak az olyan görbéket nevezzük, amelyek mentén az érintők azonos meredekségűek. Az alábbi ábrán az differenciálegyenlet iránymezőjét tüntettük fel, ahol minden vízszintes egyenes irányvonal. Ennek az egyenletnek az általános megoldása egyébként ( ) alakú, melyek közül az ábrán a , és értékekhez tartozó görbéket tüntettük fel. Ha egy egyenletnek (mint amilyen a fenti is) ismert a szimbolikus megoldása, az iránymező nem ad új információt; hasznuk igazán akkor mutatkozik meg, amikor a differenciálegyenlet pontos megoldása képlettel nem határozható meg, az iránymező ugyanis az egyenlet megoldása nélkül is felvázolható.

irányszögek

Azok a szögek, amelyeket iránykoszinuszok definiálására használnak.

iránytangens

Tegyük fel, hogy derékszögű koordináta-rendszerben adott az A és B pontokon átmenő egyenes, és legyen M az a pont, melyet A-val, illetve B-vel összekötve, a tengelyekkel párhuzamos szakaszokat kapunk.

Ekkor az egyenes iránytangense (vagy meredeksége) -mel egyenlő. Itt MB az vektor hosszát jelenti, ahol ez a vektor pozitív irányban felfelé mutat. Másképpen megfogalmazva, MB az hosszúsággal egyenlő, ha B az M pont fölött van, és -vel egyenlő, ha B az M pont alatt van. Hasonlóan, , ha M az A ponttól jobbra van, és , ha M az A-tól balra van. Az ábrán két esetet illusztráltunk.

Ha -vel jelöljük az A és B pontokon átmenő egyenes meredekségét, az A és B pont koordinátái pedig és , ahol , akkor

Bár a definíciót az egyenes A és B pontjára mondtuk ki, a meredekség független a pontok megválasztásától. Az ábrán látható mindkét egyenes meredeksége .

A meredekség definiálható úgy is mint , ahol az egyenes és az első (x-)tengely pozitív fele által bezárt előjeles szög. Ha az A és B pontokon átmenő egyenes függőleges, azaz párhuzamos a második (y-) tengellyel, akkor vagy azt mondjuk, hogy az egyenes meredeksége végtelen, vagy azt, hogy nem létezik. Igazak a következő tulajdonságok:

  1. Az A, B és C pont pontosan akkor esik egy egyenesre, ha (beleértve azt az esetet is, amikor a két meredekség egyaránt nem létezik).

  2. Az és meredekségű egyenesek pontosan akkor párhuzamosak egymással, ha (beleértve azt az esetet is, amikor a két meredekség egyaránt nem létezik).

  3. Az és meredekségű egyenesek pontosan akkor merőlegesek, ha vagy , vagy pedig ha az egyik egyenes meredeksége 0, a másiké pedig nem létezik.

irányvektor

Tegyük fel, hogy adott egy irány a iránykoszinuszaival. Bármely l,m,n nem csupa 0 számhármast, melyre az adott irány irányvektorának nevezünk. Mivel

ezért

végig azonos vagy előjelet véve. Tehát bármely nem csupa 0-ból álló számhármas két lehetséges iránykoszinuszvektort határoz meg, amelyek ellentétes irányoknak felelnek meg. Az l,m,n hármast egy egyenes irány-arányainak mondhatjuk, ha ezek az egyenes egyik irányvektorának arányai.

irracionális szám

Olyan valós szám, amely nem racionális szám. Indirekt módszer alapján, melyet Püthagorász iskolájának tulajdonítanak, belátható, hogy irracionális, és hasonlóképpen mutatható meg, hogy például és is az. Innen következik, hogy az olyan számok mint és , szintén irracionálisak. Viszonylag egyszerű annak bizonyítása, hogy az e szám irracionális, és 1761-ben Lambert nemcsak ezt, hanem azt is igazolta, hogy irracionális.

irreducíbilis

Felbonthatatlan, nem bontható tényezőkre, nem faktorizálható. így például az egész számok körében a prímszámok felbonthatatlanok. Az kifejezés is irreducíbilis, ha a valós számok halmazát tekintjük, ugyanakkor a komplex számok fölött felírható az gyöktényezős alakban.

ismeretlen

Olyan függvény, amelyet, illetve olyan változó, amelynek értékét meg szeretnénk határozni.

ismeretlen állandó

Olyan állandó, amelynek az értéke (még) nincs rögzítve. (Az ilyeneket gyakran paramétereknek is hívjuk.) Például az egyenes alakú egyenletében x és y a változókat, m és b pedig a paramétereket jelentik, amelyek minden egyenes esetén más és más értéket vesznek fel. A határozatlan integrál (elnevezésű függvényhalmaz) szokásos felírásában mint például az jelsorozatban c azt fejezi ki, hogy az integrandusnak minden valós c szám mellett primitív függvénye az függvény. A c szám értéke a peremfeltételből határozható meg.

ismételt mérési terv

Olyan kísérleti terv, amelynek során ugyanazon résztvevők állapotát mérik ismételten különböző feltételek mellett. Mivel ugyanazon résztvevőket használjuk minden egyes feltételnél, ezzel az eredmények ingadozásának egy fő forrását szüntetjük meg.

ismétlés

Egy megtervezett kísérletben gyakran ugyanazt az eljárást hajtjuk végre egy bizonyos számú alanyon több információ szerzése céljából. Ha egy kísérletet minden egyes eljárás mellett háromszor megismétlünk, az hatásosabb, mintha egyedi megfigyeléseket végzünk az egyes eljárásokon.

ismétlődő tizedes jegy

Lásd decimális számábrázolás.

ismétlődő tizedes jegyek

Lásd decimális számábrázolás.

ítélet

(logikában) Lásd állítás.

iteráció

Az iterációs módszer valamely eljárás ismételt alkalmazásával a keresett érték egymás utáni közelítéseit adja. Példák iterációra a szukcesszív approximáció és a Newton-módszer, melyekkel az alakú egyenletek gyökei határozhatók meg.

ív

Egy görbe két pont közötti része.

ívhossz

Annak a szakasznak a hossza, melyet úgy kapunk, hogy az ívet megnyújtás s összenyomás nélkül kiegyenesítjük. Kivételes esetektől eltekintve, amikor a görbe egyszerű ismert alakzatnak része, az ívhosszt integrálással számítjuk ki.

  1. Ha a görbe az f függvény grafikonjának a és b abszcisszájú pontja közé eső része, akkor az integrál alakja: .

  2. Ha a görbe polárkoordinátás alakban adott, és az és értékek közötti szakaszának ívhosszát akarjuk kiszámolni, akkor az integrál: Ha ugyanekkor az és szögeknek megfelelő értékek közötti szakaszának ívhosszát akarjuk kiszámolni, akkor az integrál:

  3. Ha a görbe az paraméteres alakban adott, akkor az integrál alakja: .

izogon

Olyan sokszög, amelyiknek mindegyik szöge azonos, tehát minden szabályos sokszög izogon, de a fordítottja nem áll. Például egy téglalapnak négy egyenlő szöge van, de nem kell, hogy szabályos négyoldal (négyzet) legyen.

A téglalap tehát izogon, de nem szabályos sokszög.

izoklínák

Lásd iránymező.

izolál

Például azonosít egy olyan intervallumot, amelyben egy egyenletnek már csak egyetlen gyöke van.

izolált pont

Olyan pont, mely nincs rajta egy egyenlet által meghatározott fő görbén, de amelynek koordinátái kielégítik az egyenletet. Például nincs értelmezve és esetén, ugyanakkor a görbének a pont izolált pontja. Grafikonja az alábbi ábrán látható.

izolált szingularitás

Lásd szinguláris pont.

izomorf

Lásd izomorfizmus.

izomorf gráfok

Két vagy több gráf izomorf, ha pontjaik között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető, és az egymásnak megfelelő pontokat a két gráfban pontosan ugyanakkor köti össze él. A pontok elhelyezkedése lehet olyan, hogy két izomorf gráf felületesen különbözőnek látszik.

izomorfizmus

Lásd csoportok izomorfizmusa, gyűrűk izomorfizmusa.

izoperimetrikus

Két vagy több geometriai alakzat azonos kerületű.

izoperimetrikus egyenlőtlenség

Ha egy síkidom kerülete k, területe pedig t, akkor a izoperimetrikus hányados mindig , és az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a síkidom kör. Ez másként megfogalmazva azt is jelenti, hogy adott kerületű síkidomok közül a kör területe a legnagyobb. Az egyenlőtlenség általánosítható három és magasabb dimenziós felületre is. Három dimenzióban adott felszínű testek közül a gömb térfogata a legnagyobb.