Ugrás a tartalomhoz

OXFORD - Matematika : Kislexikon

Tóth János (2007)

Typotex Elektronikus Kiadó Kft.

K

K

k

A kilo- előtag rövidítése, amely az SI mértékegységek előtagjaként a számmal való szorzást jelöli, például km.

k

Általában így jelölik a harmadik (z-)tengely mentén a pozitív irányba mutató egységvektort, valamint így jelölik azt a függőlegesen felfelé mutató egységvektort is, amelyet háromdimenziós mozgás leírása során használnak.

kalkulus

Egyes országokban az analízis elemeinek könnyített változatát neveik így. Lásd még differenciálszámítás, integrálszámítás és Newton–Leibniz-tétel.

Kalmár László

(1905–1976) Magyar matematikus, matematikai logikával, és – korát jóval megelőzve – számítástudománnyal foglalkozott. Igen sokat tett a matematika (elsősroban orvosi) alkalmazásainak elterjesztéséért is.

kamat

Az az effektív ár, amit a másik személy pénzének használatáért fizetnek. Arányként fejezik ki, általában százalék per év a mértékegysége, habár gyakran nagyon nem mindegy, hogy hogyan számolják a kamatot. Ezért ha egy hirdetés kamatot is tartalmaz, fel kell rajta tüntetni a teljeshiteldíj-mutatót, hogy reális összevetéseket lehessen tenni. Az autóvásárlási kölcsönök hagyományosan olyan egyszerű kamatszámításon alapulnak, ahol a kamatot elvben a teljes összegre és a teljes időtartamra fizetik, így ha valaki 5 millió forintot kap kölcsön évi 8 %-os kamatra három évre, akkor forint kamatot fog fizetni, tehát összesen forintot kell visszadnia, azaz havonta forintot. Ezáltal az igazi kamatláb sokkal magasabb, mint 8 %, mert a harmadik év vége felé már a kölcsön összegének túlnyomó részét visszafizette a vásárló. Egy kamatozó számlán rendszerint a kamatot újra befektetik, azaz a kamat is hozzáadódik a tőkéhez, és ez után a nagyobb összeg után fizetnek kamatot, vagyis kamatos kamatot fizetnek, vagy választhatja a betétes azt a megoldást, hogy a kamatot áttéteti egy másik számára, és az jövedelemként szolgál számára.

kamatos kamat

Tegyük fel, hogy befektetjük a P pénzösszeget, ami évente i százalék kamatot hoz. Egy év után az összeg értékre nő, tehát i százalék hozzáadása -zal való szorzást jelent. Amikor a kamatot évenként írják az összeghez, az új összeget felhasználva számolják ki a kamatot a második év után, ennek a végére az összeg lesz. Az összeg n év elteltével

Ez a kamatos kamat képlete. Ha ábrázoljuk a pontokat, hogy megmutassuk, miként nő az összeg, akkor a pontok olyan görbén fekszenek, amely exponenciális növekedést ír le. Vessük ezt össze az egyenessel, amit az egyszerű kamat esetében kapunk.

kanonikus

Egy kifejezés szabványos alakja. Például, az és az kifejezések a síkban fekvő egyenes egyenletének kanonikus alakjai. Lásd még másodrendű felület.

kanonikus bázis

Ortogonális egységvektorok halmaza; ezek (bizonyos értelemben) a legegyszerűbb bázisok az n-dimenziós eukleidészi térben. A háromdimenziós térben az irányú vektorok kanonikus bázist alkotnak.

káosz

Amikor egy teljesen determinisztikus dinamikai folyamatban véletlen és megjósolhatatlan jelenik meg a kezdeti értékekre való érzékenység miatt, és a folyamat sokrétű különböző kvalitatív viselkedést mutat, káoszról szokás beszélni. Ezt az érzékeny függést gyakran hívják pillangóhatásnak. Jellegzetes példa kaotikus folyamatra a következő iteráció:

kapacitás

Lásd térfogat, vágás kapacitása, él kapacitása.

kapcsoló

Bináris változó, amelynek értékétől függően valamilyen valamilyen cselekedetet végre kell hajtani. Például egy számítógépes program „ha…akkor…egyébként” utasításának részleteként fordulhat elő. Másik példánkban egy tagra csak akkor van szükség, ha valamely feltétel teljesül, ez esetben a tagot megszorozhatjuk z-vel, és z az 1 értéket fogja kapni, amikor teljesül a feltétel, egyébként pedig nullát. Ezen a módon a feltételt egyetlen függvénnyel vettük figyelembe.

karakteriszika

A tízes alapú logaritmus egész része, a szám nagyságrendjét adja meg. így például karakterisztikája 2, mivel .

karakterisztika

Lásd lebegőpontos ábrázolás.

karakterisztikus egyenlet

Lásd karakterisztikus polinom.

karakterisztikus érték

Lásd sajátérték.

karakterisztikus gyök

Lásd sajátérték.

karakterisztikus polinom

Legyen A négyzetes mátrix. Ekkor polinomja -nak, amit az A mátrix karakterisztikus polinomjának hívunk. A egyenletet az A mátrix karakterisztikus egyenletének, a gyökeit pedig az A mátrix sajátértékeinek hívjuk. Lásd még Cayley–Hamilton tétel.

karakterisztikus vektor

Lásd sajátérték.

kardinális szám

Lásd számosság.

kardioid

Olyan görbe, amit egy kör kerületének pontja ír le, miközben a kör egy másik, ugyanakkora sugarú körön gördül le. Az egyenlete polárkoordinátákkal kifejezve, melyben a a közös sugár: . Az ábrán és .

kaszkádábra

(Gantt-ábra) A kritikusút-elemzés módszerével kapott megoldás egy grafikus megjelenítési módja. A kritikus tevékenységeket vízszintesen fölülre rajzoljuk, a nemkritikus tevékenységeket pedig ez alatt ábrázoljuk. A sávpárok azt mutatják, hogy hol lehet a tevékenységeket a lehető legkorábban, illetve legkésőbb végrehajtani úgy, hogy még az ne okozzon késleltetést.

katasztrófaelmélet

Olyan elmélet, mely egyszerű modelleket alkot potenciálfüggvény segítségével leírható összetett rendszerek egyensúlyi állapotainak viselkedésére abban az esetben, ha a potenciálfüggvény változik. Ennek alapján alkotott egy modellt Thom, René Frédéric a biológiai morfogenezisre. A katasztrófaelmélet onnan kapta nevét, hogy az általa tárgyalt rendszerek gyakran ugrásszerűen mennek át egyik egyensúlyi állapotukból a másikba. Az elméletet számos folyamat modellezésére ajánlották már, például hirtelen viselkedésváltozások leírására (melyek során egy támadó állat egyszer csak menekülni kezd), vagy a tőzsdék összeomlásának leírására.

katenoid

A láncgörbe szimmetriatengelye körül való megforgatásával kapott felület a katenoid vagy láncfelület.

kelvin

Jele . Egy hőmérsékleti skála és az ahhoz tartozó mértékegység elnevezése. A víz fagyáspontjához a skála értéke, a víz forráspontjához pedig a skála értéke tartozik légköri nyomás mellett. A skála értéke az abszolút zérus hőmérsékletet jelöli, ahol valamennyi termodinamikai mozgás megszűnne.

Kelvin

(1824–1907) Eredeti nevén William Thomson. Brit matematikus, fizikus és mérnök, aki – főképpen pályafutása elején – az elektromágnesség és a hidrodinamika elmélete terén végzett munkájával gazdagította a tudományt.

Kemény János

(1926–1992) Magyar származású amerikai matematikus, Tom Kurtzcal közösen a BASIC nyelv megalkotója. Kiváló tankönyveket írt diszkrét matematikáról és valószínűségszámítási alkalmazásairól.

Kendall-féle rangkorreláció

Lásd rangkorrelációs együttható.

kényelmes mintavételezés

Amikor a legkényelmesebben elérhető csoportból veszünk mintát. Ilyen mintákból nyert adatok nagyobb populációra vonatkozó értékes információt szinte biztosan nem hordoznak.

kényszerfeltétel

Olyan feltétel, amely korlátozást jelent. Például, ha egy inga mozgását írja le, amit időpontban elengedünk., akkor csak akkor van értelmezve, ha . A valószínűségeloszlásban a értékekre két axiomatikus megkötés áll fenn: minden i esetén, és .

kényszerrezgés

Ez a rezgés akkor lép fel, ha egy rezgőmozgásra képes testre a visszatérítő erő mellett egy másik, időben változó erő is hat, melyet gerjesztő erőnek neveznek. Ha maga a gerjesztő erő is oszcillál, akkor a legegyszerűbb esetben alakú mozgásegyenlet írható fel. Ha , akkor rezonancia lép fel.

Csillapított kényszerrezgés esetén a fenti egyenlet általános megoldásában a homogén egyenlet általános megoldásának megfelelő tag zérushoz tart, ha t tart a végtelenhez, és így a hosszú idő után kialakuló mozgást a gerjesztő erőből származó partikuláris megoldás írja le.

kép

Lásd függvény, leképezés.

képhalmaz

Lásd függvény és leképezés.

Kepler, Johannes

(1571–1630) Német csillagász és matematikus, aki leginkább a bolygómozgásra vonatkozó három törvényéről ismert, melyek közül az egyik azt a felfedezését rögzíti, hogy a bolygók ellipszispályákon keringenek a Nap körül. Az első két törvényt 1609-ben tette közzé, miután a megfigyelések meggyőzték arról, hogy a Mars pályája ellipszis. A harmadik törvényt tíz évre rá mondta ki. Ezenkívül továbbfejlesztette a forgástestek térfogatszámításának Arkhimédész által használt módszerét, mely azon alapszik, hogy a testeket végtelen sok végtelenül apró rész összességeként fogják fel.

Kepler-féle törvények (bolygómozgás)

A következő három törvény, melyek a bolygók Nap körüli mozgására vonatkoznak:

  1. A bolygók ellipszis alakú pályákon mozognak, melyeknek egyik fókuszpontjában található a Nap.

  2. A bolygót a Nappal összekötő vezérsugár azonos hosszúságú időtartamok alatt azonos területeket ír le.

  3. A bolygók keringési idejének négyzete arányos pályájuk nagytengelye hosszának köbével.

Ezeket a törvényeket megfigyelési eredmények alapján Kepler fogalmazta meg. Késobb Newton megalkotta második mozgástörvényét és a gravitációs erőtörvényt, melyekből a Kepler-törvények levezethetők.

képzetes rész

Ha a z komplex szám alakja , ahol x és y valós számok, akkor y-t képzetes résznek nevezzük. Jelölése: vagy .

képzetes tengely

A derékszögű koordináta-rendszer y-tengelye a komplex számsíkon. A tengely pontjai a tisztán képzetes számok.

kerek

Kör vagy gömb alakú.

kerekítés

Tegyük fel, hogy egy szám több számjegyből áll, mint amennyit kényelmesen lehet kezelni vagy tárolni. Kerekítéskor (a csonkítással ellentétben), az eredetit a hozzá legközelebb eső, kívánt mennyiségű számjegyből álló számmal helyettesítjük. így amikor egy tizedes jegyig kerekítünk, 1.875-ből 1.9 lesz, illetve 1.845-ből 1.8. Azt mondjuk, hogy a számot felfelé kerekítjük vagy lefelé kerekítjük, az előbbi példáknak megfelelően. Ha az eredeti szám pontosan félúton van (például, ha 1.85-öt kerekítjük egy tizedes jegyre), felfelé is lehet kerekíteni (1.9-re) vagy lefelé is lehet kerekíteni (1.8-ra). Némely szerző szeret valamilyen módszert javasolni, hogy melyik utat válasszuk. Lásd még tizedes jegy és értékes jegyek.

kerekítési hiba

Amikor az X számot bizonyos számú számjegyre kerekítjük, hogy az x közelítést kapjuk, a keletkező hibát kerekítési hibának nevezzük. Néhány szerzőnél ez , másoknál pedig . Például, ha az 1.875-öt kerekítjük egy tizedes jegyig vagy két számjegyre, akkor 1.9-et kapunk, a kerekítési hiba pedig 0.025 vagy lesz. Ha egy számot k tizedes jegyre kerekítünk, akkor a kerekítési hiba között lesz; például, ha 3 tizedes jegyre kerekítünk, a hiba közé fog esni. Néhány szerzőnél a hiba (lásd abszolút érték), és így náluk mindig nagyobb vagy egyenlő nullával.

keresztbeszorzás

Ha egy egyenletnek mindkét oldala törtekből áll, akkor az keresztbeszorzással egyszerűsíthető. Valójában mindkét oldalt a két nevező szorzatával szorozzuk meg, de a nevező mindkét oldalon ki fog esni, ezért úgy tűnik, mintha mindkét oldal számlálóját a másik oldal nevezőjével szoroztuk volna meg. Például:

keresztkorreláció

Két idősor változói közötti korreláció, ahol az azonos időpontokhoz tartozó értékeket párosítjuk össze.

keresztszorzat

Lásd vektoriális szorzat.

kerület

Valamely síkeli alakzat kerülete a határának hossza. így egy h hosszúságú és s szélességű téglalap kerülete . Egy kör kerülete pedig a körvonal hossza.

késlekedés

A kritikusút-elemzés módszerénél a legutóbbi és a legkorábbi időpont közötti különbség egy tevékenységi hálózat valamely pontjában. Ez adja meg az adott pontban a megengedhető legnagyobb késlekedést, ami még nem okoz késlekedést az egész feladat teljesítésénél. A késlekedés kritikus tevékenységekre nulla.

késleltetés (időbeli eltolódás)

Két megfigyelés között eltelt idő, amikor idősorok autokorrelációját számítjuk. Havonkénti adatok esetén a legfontosabb lehetséges késleltetések: 1 (kapcsolat a legutolsó teljesítménnyel); 3, 6 és 12: ezek pedig az üzleti alkalamzásoknál az évszakok hatásával kapcsolatosak.

ketegorikus adatok

Lásd nominális skála.

két egyenes távolsága (háromdimenziós térben)

Legyen és két egymást nem metsző egyenes a térben. Két eset különböztethető meg. Ha és párhuzamos, akkor a két egyenes közti távolság megegyezik bármely az és egyenesre egyaránt merőleges szakasz hosszával, ahol az egyenesen, pedig az egyenesen van. Ha és nem párhuzamosak (kitérők), akkor egyértelműen létezik két pont, az egyenesen és az egyenesen, úgy hogy az szakasz hossza a lehető legrövidebb, és ez a szakasz mindkét egyenesre merőleges. Ekkor az hossz a két egyenes közti távolság. Az egyenes és közös merőlegese.

kétindexes sor

Olyan sor, melynek két indexe van. Előfordul például bármely kétdimenziós valószínűségi változóból számolt mennyiségnél. Legyen , akkor .

kétindexes sorozat

Olyan sorozat, melynek két indexe van. Például .

kétköpenyű hiperboloid

Olyan másodrendű felület, melynek egyenlete alkalmas koordináta-rendszerben

Szimmetrikus a koordinátasíkokra. Az xy-síkkal párhuzamosan, azaz egy egyenletű síkkal elmetszve, hacsak ez a metszet nem üres, akkor ellipszist kapunk (illetve kört, ha ). Ha k értéke és c között van, akkor a egyenletű sík nem metszi a hiperboloidot, így azt mondjuk, hogy az két köpenyből áll. A másik két koordinátasíkkal párhuzamos metszetek hiperbolák. A z tengelyen átmenő sík olyan hiperbolát metsz ki felületből, melynek csúcsai és . Lásd még egyköpenyű hiperboloid.

kétmintás próba

(statisztikában) Olyan statisztikai próba, amelyet két független mintára kell alkalmazni. Ha ugyanazokon az egyedeken két mérést végzünk, akkor a méréseket összekombinálhatjuk (például az eredményeket kivonhatjuk egymásból), hogy a kapott mintát egymintás próbának vethessük alá.

kétoldali próba

Lásd hipotézisvizsgálat.

két pont távolsága (háromdimenziós térben)

Legyen A és B két pont a térben az és az koordinátákkal. Ekkor az távolság .

két pont távolsága (n dimenziós térben)

Lásd n-dimenziós tér.

két pont távolsága (síkon)

Legyen A és B két pont a síkban az és az koordinátákkal. Püthagorász tételéből következően az távolság .

kétszemélyes zéróösszegű játék

Olyan kétszemélyes játék, amelyben az egyik játékos által megnyert összeget veszti el a másik játékos, azaz egy körben a nyeremények és veszteségek összege nulla.

kétszeres érintő

Egy olyan egyenes, amely két különböző pontban érint egy görbét, vagy két különböző érintő, amelyek ugyanabban a pontban érintik a görbét, csúcs esetében.

kétszeres gyök

Lásd gyök.

kétszeres pont

Egy görbe olyan pontja, amelyben a görbe metszi önmagát. Ha ebben a pontban a két érintő nem azonos, akkor ez csomópont.

kétszeres pontosság

Lásd numprec.

kétszeres szögek hiperbolikus függvényei

Lásd hiperbolikus függvények.

kétszeres szögek trigonometrikus függvényei

Kétszeres szögek trigonometrikus függvényei visszavezethetők az egyszeres szögek szögfüggvényeinek számolására, ha alkalmazzuk az összeg és különbség trigonometrikus függvényeire vonatkozó addíciós képleteket az választással:

kettes jelölés

Kettes alapű helyiértékes jelölés.

kettes számrendszer

Az a számrendszer, mely bináris számokat használ.

kettős integrál

Egy kétváltozós függvény integrálja a sík valamely A tartományán: .

kettős sor

Kettős vagy többes sor, mint például .

kettős tagadás

Az az állítás, amely szerint az A állítás tagadásának tagadása ekvivalens az A állítással. A természetes nyelvekben a két egymás utáni tagadás nem feltétlenül azonos a kettős tagadással. „Soha nem megyek oda” nem jelenti azt, hogy „valamikor odamegyek”, („Nem igaz, hogy soha nem megyek oda” már azt jelenti) a hipotézisvizsgálat során kapott „nincs elég bizonyíték arra, hogy az átlag nem 340” állítás nem jelenti azt, hogy az átlag 340.

kétváltozós

Statisztikában: két valószínűségi változóra vonatkozó. Lásd együttes eloszlásfüggvény, együttes eloszlás és együttes sűrűségfüggvény.

kétváltozós művelet

Az S halmazon értelmezett kétváltozós művelet olyan szabály, amely az S halmazhoz tartozó bármely két elemhez hozzárendeli S valamely elemét, például az a és b elemhez az elemet. Azt a tényt, hogy minden a és b elemmel együtt az elem is az S halmazba tartozik, úgy fejezzük ki, hogy az S halmaz zárt a műveletre nézve. Általában ezt feltesszük, amikor azt mondjuk, hogy kétváltozós művelet az S halmazon.

kétváltozós reláció

Az S halmazon értelmezett R kétváltozós reláció formális definíciója: az R reláció az Descartes-szorzat tetszőleges részhalmaza. Tehát bármely rendezett párról elmondhatjuk, hogy vagy vagy . Azonban természetesebb a relációt például az szimbólummal jelölni, úgy hogy azt a relációban álló a és b elem közé írjuk, a következő módon , ahol a szimbólum a (valamilyen)„relációban van” rövidítése. Az ismert példákat rendszerint ilyen formában írjuk: ” (kisebb): kétváltozós reláció az egész számok halmazán; ” (részhalmaz): kétváltozós reláció valamilyen E alaphalmaz részhalmazainak halmazán, ” (merőleges): pedig kétváltozós reláció a sík egyeneseinek halmazán. Az R betűt is használhatjuk ilyen módon: , ami azt jelenti, hogy „a relációban van b-vel”. Ha ezt a jelölést használjuk, akkor az halmazt nevezhetjük az R reláció gráfjának. Bármely relációhoz definiálható a megfelelő reláció, ami akkor áll fenn, amikor nem teljesül.

kevert stratégia

Ha a játékos egy mátrixjátékban adott valószínűségekkel választja a különböző sorokat (vagy oszlopokat), akkor azt mondjuk, hogy kevert stratégiát használ. Ha a játékot egy -es mátrix adja meg, akkor az egyik játékos, S kevert stratégiája egy m dimenziós x vektorral (egy diszkrét eloszlással) adható meg, ahol , továbbá minden esetén , és . Itt annak a valószínűsége, hogy S az i-edik sort választja. Például, ha , akkor ez azt jelenti, hogy S minden sort egyenlő valószínűséggel (vagyis ugyanolyan gyakran) választ. Ha , akkor S soha nem választja az első sort, és a harmadik sort háromszor olyan gyakran választja, mint a másodikat. A másik játékos, O kevert stratégiája hasonlóan definiálható.

kezdeti érték

Valamely fizikai mennyiség értéke egy meghatározott időpontban, amelyet kezdetinek tekintünk, és amely általában a időpont.

kezdetiérték-probléma

Rendszerint egy differenciálegyenlet vagy parciális differenciálegyenlet egy adott kezdeti időponthoz tartozó feltételekkel együtt.

kezdeti feltétel

Differenciálegyenleteknél a vagy időpontban a rendszerre vontakozó információt megadó feltétel.

kezdeti feltételek

Az alkalmazott matematikában, ahol olyan differenciálegyenleteket kell megoldani, melyekben a változó az időt reprezentálja, a rendszernek egy bizonyos pillanatban – általában a pillanatban – felvett állapotához tartozó mennyiségeket nevezik kezdeti feltételeknek.

kezdő délkör

A Greenwich-en áthaladó délkör, amely a földrajzi hosszúság mérésének alapköre.

kg

A kilogramm rövidítése és jelölése.

kibernetika

A kibernetika az élőlényekben, a gépekben és a társadalmi szervezetekben zajló kommunikáció és vezérlés elmélete, amely az 1940-es években kezdett kialakulni. Névadója Norbert Wiener. A későbbiekben elveit időről-időre más-más neveken tanulmányozzák, míg az eredeti elnevezés népszerűsége változó.

kibont

Kifejez egy bővebb, de egyenértékű alakban. Például .

kibővített mátrix

Az n számú ismeretlenre vonatkozó m számú

lineáris egyenlet kibővített mátrixa az:

mátrix, amit úgy kaptunk, hogy az együtthatómátrixot kibővítettük egy oszloppal, ahová az egyenletek jobb oldalát írtuk be. A lineáris egyenletek egy ilyen halmazának megoldását előállíthatjuk úgy, hogy a kibővített mátrixot lépcsős alakra vagy redukált lépcsős alakra transzformáljuk lasd[elemi sorműveletekkel]elemi sorművelet. Lásd Gauss-féle kiküszöbölési eljárás és Gauss–Jordan-féle kiküszöbölési eljárás.

kiegészítő mértékegyeség

Lásd SI mértékegység.

kiegészítő mértékegység

Lásd SI egységrendszer.

kiegyensúlyozott blokkelrendezés

Lásd blokkelrendezés.

kiértékel

Függvény értékének meghatározása a független változóinak egy konkrét értékére.

kifejez

Egyenértékű kifejezéssé alakít.

kifejezés szimmetriája

Olyan kifejezést nevezünk szimmetrikusnak, amelynek értéke nem változik, ha a változókat felcseréljük benne. Például az kifejezés szimmetrikus az x és y változóban.

kifejt

Elvégzi a szorzásokat egy összetett kifejezésben, például .

kifejtés

Tagok összegeként felírt álló matematikai kifejezés. Polinomok hatványai kifejthetők a zárójelek felbontásával, de más kifejtéseket is le lehet vezetni binomiális sorokból, Taylor-sorokból, stb.

kifizetés

(játékelméletben) Az a pozitív vagy negatív összeg, amit az egyes játékosok kapnak, miután mindkét játékos kiválasztotta stratégiáját.

kijelentés

(logikában) Lásd állítás.

kiküszöbölési eljárás

Lineáris egyenletrendszerek megoldásának módszere, melynek során az egyenletek alkalmas lineáris kombinációit vesszük úgy, hogy az ismeretlenek száma csökkenjen. Például, ha (I) és (II), akkor (I) (II) , ezzel az y változót kiküszöböltük, így x meghatározható: . Ezután bármelyik eredeti egyenletbe x visszahelyettesítésével y értéke adódik. Több ismeretlen esetére a szisztematikus Gauss-féle kiküszöbölési eljárást és a Gauss–Jordan-féle kiküszöbölési eljárást célszerű alkalmazni.

kilences próba

Módszer az aritmetikai számítások valószínű helyességének ellenőrzésére. Egy összeg vagy szorzat számjegyeinek összege egyenlő az összegben vagy szorzatban szereplő számok számjegyeinek összegének összegével vagy szorzatával. A számjegyek összegzését addig folytatjuk, míg egyetlen számjegy marad (azaz egy 0 és 9 közé eső szám). Például 347 számjegyeinek összege 14, aztán 5. Továbbá 514 számjegyeinek összege 10, aztán 1. így számjegyeinek összege 32, tovább folytatva 5, ami valóban . Mindazonáltal az 178349 szám (és még sok más szám) számjegyeinek így kapott végső összege is 5 lesz, így ez az eljárás valamennyi, de nem minden hiba feltárására működik, és persze nem bizonyítja, hogy a számításunk jó.

kilencpontos kör

Lásd Feuerbach-féle kör.

kilépő változó

Lásd szimplexmódszer.

kilo-

SI mértékegységek előtagjaként a ezerrel való szorzást jelöli.

kilogramm

Az SI egységrendszerben a tömegmérés alapegysége, rövidítése kg. A jelenleg érvényes definíció szerint egy kilogramm tömegű az a test, melynek tömege azonos a Párizs melletti Sévres-ben őrzött platina-irídium henger tömegével. térfogatú víz 4 Celsius fokon körülbelül egy kilogramm tömegű.

kilowatt

A teljesítmény egyik mértékegysége, jele kW. Egy kilowatt ezer wattal egyenlő.

kinematika

A mechanika egyik területe; a testek mozgását úgy tárgyalja, hogy azok kitérés-idő függvényét vagy annak valahányadik deriváltját (például a sebesség-idő függvényt vagy a gyorsulás-idő függvényt) rögzíti, majd ebből meghatározza a mozgást jellemző különböző mennyiségek (például a hely és a sebesség) közötti kapcsolatot. így a testek közötti kölcsönhatások és az azokat jellemző erők explicit módon nem jelennek meg a kinematikában.

kinetikus energia

Lásd mozgási energia.

Kingman, John Frank Charles

(1939–) Angol matematikus, aki a valószínűségszámítás és a sztochasztikus analízis területén ért el jelentős eredményeket, beleértve operációkutatási és populációgenetikai alkalmazásokat, valamint a sorbanállás elméletét, a mértékelméletet és a szubadditív ergodelméletet. Cambridge-ben 2001-ben az Isaac Newton Intézet igazgatójává nevezték ki, 2000-től pedig a Statisztikai Bizottság első elnöke.

kisebb ív

Lásd ív.

kísérlet

(Például) statisztikai módszer, melynek során a kísérletet végzők beavatkoznak, és a beavatkozás hatásait vizsgálják. Például kialvatlan emberek reakcióidejének megváltozását mérik.

kísérlet

(statisztikában) Egy megfigyelés, vagy kísérlet.

kísérleti feltétel

Egy kísérleti tervben azokat a különböző állapotokat nevezhetjük kísérleti feltételeknek, amelyek közepette a kísérlet kimeneteleit össze kell hasonlítanunk. Például egy hatóanyagot különböző mennyiségekben juttatunk be a szervezetbe, hogy megvizsgáljuk a leghatékonyabb kezelési stratégiát.

kísérlettervezés

(a statisztikában) Megfigyelések azt sugallhatják, hogy bizonyos jelenségek magyarázata rejtett változóval magyarázható. Például egy nagy osztályban a tanulók teljesítménye jobb, mint egy kicsi osztályban, de nem azért, mintha a nagy osztály alkalmasabb tanulási környezet lenne, hanem azért, mert az iskolák a nagy osztályokat a jobb képességű gyerekek kedvéért indítják. (Példa az angol eredetiből.) A kísérlettervezési módszerek kontrollálni akarják azokat a feltételeket, amelyek mellett a megfigyeléseket tesszük, így a kimenetelekben megmutatkozó különbségek valóban a kísérleti feltételeknek tulajdoníthatók, és nem más zavaró tényezőknek. Néhány a leggyakoribb módszerek közül: párosított mintán alapuló próbák, párosított kísérleti terv, randomizálás, vakpróba.

kis Fermat-tétel

Tétel. Legyen p prímszám, a pedig olyan egész szám, amely nem osztható p-vel. Ekkor (mod p).

A tétel a következő alakban is ismert, amely az előbbi állítás következménye:

Tétel. Legyen p prímszám és a tetszőleges egész szám. Ekkor (mod p).

kis kör

Gömb felszínén található olyan kör, amely nem főkör. Akkor kapjuk, ha a gömböt a középpontján át nem haladó síkkal metsszük.

kistengely

Lásd ellipszis.

kiszámítható

Algoritmussal meghatározható. Például a másodfokú egyenlet megoldása kiszámítható, de a kockadobás eredménye nem kiszámolható, habár a dobást elektronikusan szimulálni tudjuk.

kiszámol

Meghatározza egy aritmetikai vagy matematikai eljárás végeredményét, vagy egy algoritmus kimenetelét.

kitérés

Tegyük fel, hogy egy részecske egyenes vonal mentén mozog, melyen kijelöltünk egy O origót és egy pozitívnak tekintett irányt! Legyen az O és a P pontok távolsága, ahol P a részecske helye adott pillanatban! Az x kitérés egyenlő -vel, ha a pozitív irányba mutat, illetve -vel, ha a negatív irányba mutat.

Az előző bekezdésben az általános szokást követve elhagytuk az i egységvektort, mely az egyenes mentén a pozitív irányba mutat. A kitérés valójában vektormennyiség, és a fent leírt egydimenziós esetben értéke .

Két- vagy háromdimenziós mozgás esetén explicit módon használják a vektorokat. Kitérésnek azt a vektort nevezik, mely megadja a vizsgált részecske helyének megváltozását. Ha egy részecske az A pontból – nem okvetlenül egyenes vonal mentén haladva – a B pontba kerül, akkor a részecske kitérése .

kiterjesztett komplex sík

A komplex számok halmaza a (valós -től különböző!) végtelen távoli ponttal. Ezt a halmazt jelölheti, és egy gömbre – a Riemann-gömbresztereografikus vetítéssel leképezhető. Ez a következőképpen történik: elhelyezünk egy gömböt a komplex számsíkra úgy, hogy a gömb egy pontjával érintse az origót, jelölje ezt a pontot D. A gömb D ponttal átellenes pontját jelölje É, és alkalmazzunk sztereografikus projekciót az É pontból a komplex síkról a gömbre, ami kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést ad a komplex számok és a gömb pontjai között, kivéve az É pontot. Az É pontot pedig megfeleltetjük a komplex végtelennek. (Látható, hogy S lesz a 0 képe.)

kiterjesztett valós számok

A valós számok halmaza a szimbólumokkal és a rájuk vonatkozó műveleti és relációs szabályokkal.

kitérő egyenesek

A háromdimenziós térben két olyan egyenes, amelyik se nem párhuzamos, se nem metszi egymást.

kitevő

Legyen a valós szám. Ekkor például az szorzat szokásos megadása , ahol az 5-ös számot kitevőnek nevezzük. Ha a kitevő a p pozitív egész, akkor jelöli a p tényezős szorzatot. Megmutatható, hogy

  • ,

  • ,

  • ,

  • ,

  • ,

ahol a 2. tulajdonságnál egyelőre feltesszük, hogy . Ezeket a szabályokat a hatványozás azonosságainak nevezzük.

Az kifejezés jelentése azonban kiterjeszthető úgy is, hogy p ne csak pozitív egészet jelöljön. Ehhez bevezetjük a következő definíciókat:

  • ,

  • ,

(ahol m egész, n pozitív egész). A 6–8. tulajdonságokkal együtt a hatványozás azonosságai nem csak pozitív egészekre, hanem racionális (és alkalmasan értelmezve irracionális) kitevőkre is igazak lesznek.

Hasonló jelöléseket használunk más kontextusban is, például ha -t definiáljuk, ahol z komplex szám, definíciójánál, ahol A négyzetes mátrix, vagy -nél, ahol g egy multiplikatív csoport eleme. Ezekben az esetekben a fenti tulajdonságok közül bizonyosak teljesülhetnek, míg mások nem.

kiugró adat

(statisztikai mintában) Olyan megfigyelés, amely szokatlan és esetleg hibás mivel nem követi a minta általános sémáját. Bizonyos összefüggésekben azonban éppen a kiugró adatok azok, amelyek a legfontosabb megfigyelések. Például a legmagasabb és a legalacsonyabb vízszint közötti különbség az időjárási körülményektől, az évszaktól, a holdciklus állásától függ. A szokatlanul nagy különbség meglehetős károkat képes okozni.

kiválasztás

Lásd kombináció, permutáció.

kiválasztási axióma

Kimondja, hogy páronként diszjunkt halmazok bármely rendszeréhez létezik olyan halmaz, amelynek az összes nem üres halmazzal potnosan egy közös eleme van.

kivonás

Az összeadás inverz művelete, amellyel két szám vagy másfajta mennyiség különbségét számoljuk ki. így , . Lásd még mátrixok kivonása.

kizáró

Lásd egymást kizáró események.

kizáró diszjunkció

Legyen p és q állítás, akkor a „p vagy q” állításon olyat értve, ami pontosan akkor igaz, ha p és q közül pontosan az egyik igaz, a két állítás kizáró diszjunkcióját kapjuk, aminek másik neve: antivalencia. A fenti állítás további jelölései: , . Az állítás igazságtáblázata az alábbi:

p

q

i

i

h

i

h

i

h

i

i

h

h

h

Lásd még megengedő diszjunkció.

kizárt harmadik

Lásd a harmadik kizárásának elve.

klaszter

Egy természetesen adódó részhalmaz.

Klein, Christian Felix

(1849–1925) Német matematikus, aki nagy hatású erlangeni programjával egységesítette a geometriát, azaz csoportelméleti alapon osztályozta a különböző geometriákat. A nemeukleidészi geometriák leírására ő vezette a „elliptikus” és „hiperbolikus” jelzőket. A topológiában a Klein-kancsó megalkotásáról ismert.

Klein-csoport

Két lényegesen különböző négyelemű csoport létezik, ami azt jelenti, hogy bármely négyelemű csoport e kettő valamelyikével izomorf. Az egyik ilyen a ciklikus csoport négyelemű csoport, a másik pedig a Klein-csoport. Ez utóbbi Abel-csoport, és felírható az e,a,b,c elemek multiplikatív csoportjaként, ahol e az egységelem, és és .

Klein-kancsó

A Möbius-szalagnak egy felszíne és egy éle van. A gömbnek ezzel ellentétben nincs éle, de két felszíne van, egy külső és egy belső. A Klein-kancsónak nincs éle, és csak egyetlen felszíne van.

Tekintsük a síkon azt a négyzetet, mely pontjainak derékszögű koordinátáira és teljesül. Képzeljük el, hogy minden x-re az és pontot úgy „azonosítjuk” egymással, hogy e két oldal összeérintésével a négyzetből egy háromdimenziós hengert hozunk létre, melynek két felszíne és két éle van. Az és pontok „azonosítása” pedig azt jelenti, hogy e két oldalt elforgatjuk, és azután illesztjük össze, így kapjuk a Möbius-szalagot. A Klein-kancsó úgy jön létre, hogy e két műveletet egyszerre végezzük. Bár ezt egy négyzet alakú nyújtható anyaggal három dimenzióban nem lehet megvalósítani, a kapott eredmény matematikailag helytálló, és olyan felületet nyerünk, amelynek egy felszíne lesz, és nincs éle.

Klein-palack

Lásd Klein-kancsó.

knidoszi Eudoxosz

Lásd Eudoxosz.

koaxális

Közös tengellyel rendelkező.

Koch-görbe

Tekintsük az első ábrán látható szabályos háromszöget. Minden oldal középső harmadát helyettesítsük egy kifelé mutató szabályos háromszög két oldalával, amint a második ábrán látható. Ha ezt a lépést minden oldalon megismételjük, a harmadik ábrán látható alakzathoz jutunk. A Koch-görbe, melyet Helge von Koch (1870–1924) svéd matematikusról neveztek el, az a görbe, melyet úgy kapunk, hogy ezt az eljárást a végtelenségig folytatjuk. Az így nyert görbe hossza végtelen, de belsejének véges területe van.

kocka

Hat egybevágó négyzetlap által határolt test, a szabályos testek egyike. Nyolc csúcsa van és tizenkét éle.

kockázat

Egy speciális kimenetel megjelenésének arányát írja le egy csoporton belül. így például a naponta több mint húsz cigarettát elszívók között a tüdőrák aránya százalékosan fejezhető ki, amely megadja, hogy mi annak a valószínűsége, hogy egy ilyen egyed megkapja a tüdőrákot.

kód

Lásd bináris kód, hibajavító és hibajelző kód.

kódelmélet

A matematika azon területe, amely az üzenetek átvitel közbeni biztonsága érdekében végzett titkosításával és a sérült információ visszaállításával foglalkozik. Az internet és az ügyintézésére használt elektronikus kommunikáció terjedésével a kódelmélet a matematikai kutatás egyik fejlődő területévé vált. Például titkosításra olyan számokat használnak, amelyek nagyon nagy prímszámok szorzataként jönnek létre. Igen biztató a kvantummechanika eredményeit használó kódolás is.

kódszavak távolsága

Bináris kódban két kódszó távolsága megegyezik a két kódszóban különböző bitek számával. Például a távolság 010110 és 001100 között 3, mert ezek a második, a harmadik és az ötödik bitjükben különböznek. Ha valamely bináris kódban bármely két kódszó közti távolsága legalább 3, akkor a kód képes lehet egy hiba kijavítására.

kódszó

Lásd bináris kód.

kofaktor

Az négyzetes mátrix eleméhez tartozó kofaktor vagy előjeles aldetermináns egyenlő szorozva annak a mátrixnak a determinánsával, amelyet az A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának törlésével kapunk. Ha A egy méretű mátrix, akkor a szorzó hatását a vagy jel mutatja, a jobb oldali mintázat szerint:

Tehát például

Egy -es mátrixhoz a mintázat:

Tehát az a kofaktora d, a b kofaktora , és így tovább. Egy -es méretű A mátrixra érvényesek a következő tulajdonságok:

  1. Az kifejezés tetszőleges esetén ugyanazt az értéket adja, és ez a A mátrix determinánsának egyik lehetséges definíciója. A fenti kifejezés kifejtése az A mátrix i-edik sora szerint.

  2. Más részről, ha , .

A fenti sorokra tett állítások megfelelői igazak oszlopokra is.

kollineáris

Tetszőleges számú pontot kollineárisnak hívunk, ha van olyan egyenes, amely az összes ponton átmegy.

Kolmogorov, Andrej Nyikolajevics

(1903–1987) A XX. század egyik legjelentősebb, orosz matematikusa. A matematika számos területével foglalkozott, megalkotta a valószínűségszámítás axioatikus elméletét, hozzájárult a topológia fejlődéséhez, megalkotta az algoritmikus kompexitáselmélet alapjait, jelentősek a turbulenciára és a klasszikus mechanikára vonatkozó eredményei.

Kolmogorov–Szmirnov-próba

Nemparaméteres próba azon nullhipotézis ellenőrzésére, hogy egy minta eloszlásfüggvénye megegyezik-e egy adott F függvénnyel. Legyenek növekvő sorrendben a mintaértékek, és legyen

Ha a nullhipotézis igaz, akkor z értéke kisebb, mint a táblázatokból egy adott szignifikanciaszinthez tartozó kritikus érték.

kombináció

n elem r-edosztályú ismétlés nélküli kombinációinak – a kiválasztásoknak a – száma azt mutatja meg, hogy n számú objektum közül hányféleképpen választható ki r számú. Jelölése , ami egyenlő az alábbi kifejezéssel

Lásd binomiális együttható, ahol (ugyanerre) az alternatív jelölést vezetjük be. Például az A,B,C,D négy objektumból kettőt hatféleképpen lehet kiválasztani: . A Pascal-háromszögről leolvasható a binomiális együtthatók alábbi tulajdonsága:

kombinációs hálózat

Vezetékek és kapcsolók elrendezése egy elektronikus áramkörben, mely logikai kapukat használ az elektromos impulzusok haladásának irányítására.

A kombinációs hálózat olyan logikai kapukból és azok összeköttetéséből álló hálózat, amelynél a kimenet jelenlegi állapotát csak a bemenet jelenlegi állapota határozza meg (leszámítva a tranziens jelenségeket, amiket itt hazárdnak neveznek). Többek között a Boole-algebra eredményeit felhasználva az évek során a mérnökök egyre kifinomultabb módszereket fejlesztettek ki helyettesítő kapcsolások létrehozására. Az alapvető logikai kapuk az és (and), vagy (or), nem (not) kapcsolatok. A és-nem (nand) univerzális logikai kapuval tetszőleges kombinációs hálózat megvalósítható.

kombinatorika

A matematikának az a területe, amely leszámlálási stratégiákkal határozza meg, hogy hányféle módon lehet elrendezni objektumokat, adott feltételeket kielégítve. Kissé általánosabban: a véges halmazok elmélete. Lásd még permutáció.

kommutatív

Az S halmazon értelmezett kétváltozós művelet kommutatív, ha minden esetén teljesül.

kommutatív gyűrű

Lásd gyűrű.

kommutátor

Az elem, ahol x,y avalamely csoport elemei. Azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy pontosan akkor egyezik meg az egységelemmel, ha x és y felcserélhető.

komplementum

Legyen A az E alaphalmaz egy részhalmaza. Ekkor az A halmaz komplementuma, kiegészítő vagy komplementer halmaza az különbséghalmaz, melyet vagy jelölhet, amikor az alaphalmaz egyértelmű, vagy már előre meghatároztuk. A komplementumképzés egyváltozós művelet az E alaphalmaz részhalmazainak halmazán. A következő tulajdonságokkal rendelkezik:

  1. és .

  2. Minden A halmaz esetén .

  3. Minden A halmaz esetén és .

Lásd még relatív kiegészítő.

A komplex számok halmaza.

komplex függvény

Olyan függvény, amely vagy komplex számokon van értelmezve, vagy komplex értékű, de általában mindkettő. Tehát ha , akkor komplex függvény.

komplex függvénytan

A matematikának az a területe, amely a komplex függvényeket tanulmányozza.

komplex konjugált

Lásd komplex szám konjugáltja.

komplex szám

Nincs olyan x valós szám, amelyre lenne. Bevezetve egy „új” i számot, melyre , alakú számokat hozhatunk létre. Az alakú számok, ahol , a komplex számok. Mivel is lehet, ezért a komplex számok halmaza – amit általában jelöl – magában foglalja az összes valós számot. (Egészen gyakori, különösen mérnöki szövegekben a j szimbólum használata i helyett.) Két ilyen szám összegét vagy szorzatát a szokásos algebrai szabályokat használva kapjuk azzal, hogy helyére akármikor -et írhatunk. Tehát legyen két komplex szám és , ahol , ekkor

A komplex számok halmaza tehát zárt az összeadásra és a szorzásra nézve, és ennek a kiterjesztett számrendszernek az elemei kielégítik azokat a törvényeket, melyeket szokásosan számoktól elvárunk.

A komplex számok rendszerének egy precízebb alapokon nyugvó tárgyalása következik. Tekintsük az összes valós számból álló, rendezett párok alkotta halmazt (lásd Descartes-szorzat). Ezen a halmazon értelmezzük az összeadást és a szorzást az alábbi módon:

Ellenőrizhető, hogy az így definiált összeadás és szorzás asszociatív és kommutatív, a disztributivitás is fennáll, van egy nulla elem és egy egységelem, minden elemnek van ellentettje, és minden nullától különböző elemnek van inverze (lásd komplex szám reciproka). Ez azt mutatja, hogy az halmaz az összeg és szorzás műveletével test, melynek elemeit – ennek a megközelítésnek megfelelően – komplex számoknak hívjuk. Az alakú elemek láthatóan pontosan úgy viselkednek, mint a megfelelő a valós számok. Továbbá, ha a elemet i jelöli, ésszerű azt írni, hogy , hiszen . Miután precíz alapozást adtunk, szokásos alakot írni az alak helyett. Lásd még argumentum, komplex szám abszolút értéke és komplex szám trigonometrikus alakja.

komplex szám abszolút értéke

Ha a z komplex szám valós része x, képzetes része y, azaz , akkor z abszolút értéke . Ha z-nek a komplex számsík P pontja felel meg, akkor z nem más, mint , az OP szakasz hossza. A trigonometrikus alakban adott komplex szám abszolút értéke r. Ha z valós, akkor az így definiált abszolút érték egybeesik a valós számok esetére definiált abszolút értékkel.

komplex szám konjugáltja

Tetszőleges , komplex szám konjugáltja a szám. A komplex számsíkon a komplex konjugált számpároknak megfelelő pontok egymás tükörképei a valós tengelyre nézve. A következők teljesülnek:

  1. ; tehát ha , akkor ,

  2. valós; ha , akkor ,

  3. ; , tehát ,

  4. .

  5. és .

Kiemelendő, hogy ha az komplex szám gyöke a valós együtthatós polinomiális egyenletnek, ahol tehát , akkor is gyöke ennek az egyenletnek.

komplex számok egyenlősége

Lásd valós és képzetes rész egyenlővé tétele.

komplex számok összeadása

Ábrázolja a és komplex számot a és pont a komplex síkon. Ekkor , és a komplex számot az a Q pont ábrázolja, amelyre parallellogramma, azaz amelyre . így ha általában a z komplex számot az irányított egyenesszakasszal társítjuk, ahol P ábrázolja a z számot, akkor komplex számok összeadása pontosan az irányított egyenesszakaszok összeadásának felel meg.

komplex számok szorzása

Ha a és komplex számok alakja és , akkor ezek szorzata . Ha két komplex szám exponenciális vagy trigonometrikus alakban adott, azaz

akkor . Azaz, komplex számok szorzásánál a hosszak összeszorzódnak, a szögek összeadódnak.

komplex számok szorzata

Lásd komplex számok szorzása.

komplex szám reciproka

A 0-tól különböző komplex szám reciproka, melyet vagy jelöl,

Ha z trigonometrikus vagy exponenciális alakban van megadva, azaz , ahol , akkor z reciproka . Ha z képe a komplex számsíkon P, akkor képe az a Q pont, melyre és .

komplex számsík

Legyen adva a síkon egy pont az koordinátáival, derékszögű koordináta-rendszerben. Ha az pont az komplex számot képviseli, akkor a síkot komplex számsíknak hívjuk.

komplex szám trigonometrikus alakja

Definiáljuk a z komplex számhoz a követekzőket: és . Ekkor , ezt nevezik a z szám trigonometrikus alakjának. Felírható alakban is.

komponens

Lásd gráf komponense, mátrix, összetett állítás összetevője, radiális és transzverzális komponensek, vektor komponense.

kompozíció

Legyen és leképezés. Ekkor minden egyes elemhez f hozzárendel egy elemet, és ehhez pedig g egy elemet. Ez a szabály megad egy leképezést S-ről U-ba, melyet jelöl (ejtsd: „g kör f”), ami az f és g függvény kompozíciója. Először f -et hajtjuk végre, azután g-t. így definiálja a leképezést, ami általánosabb esetben akkor és csak akkor létezik, ha . (Fenti feltevéseink szerint ez teljesül.) Például, tegyük fel, hogy az és függvényeket a következőképpen definiáljuk: és . Ekkor és is létezik, mégpedig:

A „kompozíció” kifejezést a művelet és az eredménye jelölésére egyaránt használjuk. A leképezések kompozíciója asszociatív: ha , akkor . Ez azt jelenti, hogy a és a leképezéseknek közös az S értelmezési tartományuk és a V képhalmazuk, és minden esetén .

komputeralgebra

Számítógéppes programmal végzett szimbolikus algebrai manipuláció. Időnként beleértik az algebra területétől távol eső számolásokat is. Lásd lasdmatematikai programcsomag.

koncentrikus

Közös középponttal rendelkező.

konfidenciaszint

Lásd megbízhatósági intervallum.

konfiguráció

Pontok, egyenesek, görbék, síkok és felületek bizonyos geometriai elrendezése.

konfokális kúpszeletek

Két kúpszelet akkor konfokális, ha közös a fókuszuk. Egy konfokális ellipszis és hiperbola derékszögben metszi egymást.

konformábilis

Az A és a B mátrix konformábilis (a szorzásra nézve), ha A oszlopainak száma megegyezik B sorainak számával. Ekkor A -es és B -s valamilyen esetén; és az -s szorzat értelmes. Lásd mátrixok szorzása.

kongruencia (modulo n)

Minden egész n számra a kongruencia elnevezésű relációt két egész szám között a következőképpen definiáljuk: a kongruens b-vel modulo n, ha egészszámú többszöröse n-nek. írásban: . Az n egész szám a kongruencia modulusa. Tehát akkor és csak akkor, ha a és b n-nel osztva ugyanazt a maradékot adja. Például 19 kongruens 7-tel modulo 3, mert mindkettő az 1 maradékot adja. A következők teljesülnek: ha , és , akkor

  1. ,

  2. ,

  3. .

Megmutatható, hogy a modulo n kongruencia ekvivalenciareláció, és így az egész számok halmazának egy osztályfelbontását definiálja, ahol két egész szám akkor és csak akkor tartozik azonos osztályba, ha modulo n kongruensek. Ezek az osztályok a modulo n maradékosztályok.

kongruenciaegyenlet

Kongruenciának hívjuk az olyan egyenleteket is, amelyekben a változó olyan értékeit keressük, amelyek mellett egy kongruencia (modulo n) fennáll. Esetenként érdemes használni a „kongruenciaegyenlet” kifejezést. A következők példák az ilyen értelemben vett kongruenciákra:

  1. , ennek megoldása ,

  2. , ennek nincs megoldása,

  3. , ennek megoldásai vagy ,

  4. , ennek megoldásai vagy .

Egy kongruenciaegyenlet megoldásának keresésekor szükségszerűen elég a teljes maradékrendszert tekintenünk, és a megoldásokat ezen a halmazon keresnünk. Az 1. és 2. pontban szereplő példák lineáris kongruenciaegyenletek. Az kongruenciának akkor és csak akkor van megoldása, ha osztja b-t, ahol az a és n legnagyobb közös osztója.

kongruenciaosztály

Lásd maradékosztály (modulo n).

kongruens (modulo n)

Lásd kongruencia (modulo n).

konjugált átmérő

Ha l egy szimmetrikus kúpszelet átmérője, akkor az l-lel párhuzamos húrok felező pontjai egy egyenesen fekszenek, legyen ez . Ekkor is átmérő, és a vele párhuzamos húrok felezőpontjai l-en fekszenek. Az ilyen párt konjugált átmérőknek nevezzük. A kör esetében a konjugált átmérők merőlegesek egymásra.

konjugált elem

A G csoport x és y elemeiről azt mondjuk, hogy konjugáltak, ha van olyan elem, amelyre .

konjugált halmazok

A G csoport X és Y halmazairól azt mondjuk, hogy konjugáltak, ha van olyan elem, amelyre .

konjugált irracionálisok

Legyen az a szám alakú, ahol x racionális és irracionális. Ekkor az számot a konjugáltjának hívjuk. Az irracionális konjugáltak a komplex konjugáltakhoz hasonlóan rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy a szorzatuk (itt: ) és az összegük (itt: 2x) is racionális.

konjugált osztály

Egy csoport mindazon elemének halmaza, amely a csoport egy a elemének konjugáltja.

konjunkció

Ha p és q állítás, akkor a „p és q” összetett állítás – melynek jelölése: p és q konjunkciója. Például ha p az, hogy „esik az eső”, q pedig az, hogy „hétfő van”, akkor az, hogy „hétfő van és esik az eső”. p és q konjunkciója akkor és csak akkor igaz, ha p és q is igaz, tehát az igazságtáblázat:

p

q

i

i

i

i

h

h

h

i

h

h

h

h

konkávitás

Lásd konvexitás.

konkáv sokszög

Olyan sokszög, amelynek van -osnál nagyobb szöge. Rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy létezik a belsejében elhelyezkedő két olyan pont, melyeket nem lehet összekötni egy egyenessel úgy, hogy az ne menjen a sokszögön kívülre.

konkrét szám

Szám, mely objektumok egy speciális csoportját számlálja, például négy toll. Ez az első állomás a számok elvonatkoztatott fogalmának megértéséhez.

konsrtuktivizmus

Sok kognitív pszichológus meggyőzően állítja manapság, hogy az ember akkor tanul a leghatékonyabban, amikor az új információ már meglévő tudáshoz köthető, s ennek legfőbb módszere az, hogy a tanuló az új fogalmakat a tanár segítségével maga alkotja meg (konstruálja). Ezt a tanuláselméletet konstruktivizmusként ismerik.

konstans függvény

A valós analízisben konstans függvény az olyan f valós függvény, amelyre minden esetén, ahol a – az f függvény értéke – rögzített valós szám.

konstans mátrix

Olyan mátrix, melynek minden eleme konstans. Abban a speciális esetben, amikor minden főátlóbeli elem ugyanaz a k állandó, és a mátrix diagonális mátrix, akkor a mátrixszal való szorzás ekvivalens egy k skalárral való szorzással (természetesen, ha a szorzás elvégezhető).

konstruál

Felépít. Sok matematikai fogalmat és mennyiséget egyszerűbb fogalmakból és mennyiségekből építünk fel. Például egy csoportot egy halmaz, egy kétváltozós művelet és bizonyos megszorítások felhasználásával építünk fel.

kontakt erő

Ha két test érintkezik egymással, akkor mindegyikük kifejt a másikra egy kontakt erőt, és ezek az erők azonos nagyságúak és ellentétes irányúak. A kontakt erő a súrlódási erőnek és a nyomóerőnek az összege, melyek közül az előbbi párhuzamos, az utóbbi merőleges a testek felületére az érintkezési pontban. A súrlódási erő mindig olyan irányban hat, hogy meggátolja a testek elmozdulását egymáshoz képest, ha pedig a testek mozognak egymáshoz képest, akkor akadályozza ezt a mozgást. Lásd még súrlódás.

kontingenciatáblázat

Egy kísérlet kimeneteleinek gyakoriságát táblázatban rögzíthetjük, ha a mintában lévő megfigyeléseket két kritérium szerint lehet osztályozni. A táblázat minden cellája a kategóriák egy speciális kombinációjának előfordulási gyakoriságát adja meg. Alább egy olyan táblázatot mutatunk, ahol egyedeket hajszín és nem alapján osztályoztunk. Hozzávehetünk még egy utolsó oszlopot a sorösszegek, és egy az utolsó sort az oszlopösszegek számára, ekkor az utolsó oszlop és az utolsó sor összege megegyezik egymással és a minta elemeinek számával.

hajszín

   

nem

fekete

szőke

barna

vörös

férfi

30

6

22

6

24

9

18

5

Ha a mintát három vagy több kritérium alapján osztályozzuk, akkor az információ hasonlóképpen prezentálható több ilyen táblázatban.

kontingens

Egy állítás kontingens, ha se nem mindig igaz, se nem mindig hamis. Például „x osztva kettővel egész”, akkor igaz ha x páros, de nem igaz, ha . Vesd össze nyitott mondat.

kontinuum

Egy nem elfajuló intervallumba eső valós számok halmazának számossága, ahol az intervallum lehet zárt, vagy nyílt bármely végén, és lehet véges vagy végtelen.

kontinuumhipotézis

A Cantor által megfogalmazott sejtés, miszerint nincs olyan halmaz, melynek számossága alef nulla (a természetes számok halmazának számossága) és a valós számok halmazának számossága, azaz a kontinuum közé esik.

kontrapozíció

A implikáció kontrapozíciója a implikáció. Az implikáció és kontrapozíciója logikailag ekvivalensek, tehát az egyik akkor és csak akkor igaz, ha a másik igaz. Egy matematikai eredmény bizonyításánál esetenként kényelmesebb lehet a kontrapozíciót bizonyítani, mint a tétel eredeti formáját. Például azt a tételt, hogy ha páratlan, akkor n is páratlan, be lehet úgy látni, hogy azt mutatjuk meg, hogy ha n páros, akkor is páros.

kontrapozíció elve

Logikai elv, melyen az indirekt bizonyítás alapul. Legyen p és q állítás, ha a p állításból következik, hogy a q állítás hamis, akkor ha q igaz, ebből következik, hogy p hamis. Például mivel minden négyzet négyszög, ezért az olyan alakzat, amelyik nem négyszög, nem lehet négyzet. Itt p az az állítás, hogy „négyzet”, q pedig az, hogy „nem négyszög”.

kontroll állapot

Egy statisztikai kísérletben a kontroll csoport állapota.

kontroll csoport

Egy kísérlet tervezésénél a kontroll csoport adja a referenciát minden olyan változáshoz, ami nem a vizsgált beavatkozás hatására jön létre. Például, amikor egy bizonyos étrend hatásait viszgáljuk egy 10 és 14 év közötti gyerek növekedésére, akkor összehasonlítást kell végeznünk olyan gyerekek növekedésével, akik nem ezt az étrendet követik. A kontrollcsoportot és a kísérleti csoportokat vagy véletlenszerűen kell létrehozni, vagy ki kell egyenlíteni – ha ez lehetséges –, hogy a beavatkozás korrekt értékelését kapjuk.

konvergál

(sorozat) Lásd sorozat határértéke.

konvergál

(sor) Azt mondjuk, hogy az sor az A határértékhez konvergál, ha tetszőleges esetén létezik olyan N, hogy minden esetén . Vegyük észre, hogy a sor konvergenciájához szükséges, hogy a tagjaiból álló sorozat nullához tartson, de ennek megfordítása nem igaz, mivel nullához tartó sorozat, de az összeg végtelen.

konvergenciasugár

Ha R a legnagyobb valós szám a kiterjesztett valós számok halmazából, amelyre a hatványsor minden olyan z-re konvergens, amelyre , akkor R ennek a hatványsornak a konvergenciasugara. Ha a hatványsor valós változójú, akkor ez a feltétel egy intervallumot határoz meg a valós számegyenesen, de a konvergenciasugár elnevezés érvényben marad.

konvex

Egy síkbeli vagy térbeli halmaz, mint például egy sokszög vagy poliéder konvex, ha bármely két pontjával együtt az azokat összekötő szakasz összes pontját is tartalmazza.

konvexitás

Az f függvény gráfjának valamely pontjában értelmezni lehet a konvexitást. A grafikon valamely pontjában lehet alulról vagy fölülről konvex a következők szerint.

Ha az második derivált létezik és pozitív az pont valamely környezetében, akkor szigorúan monoton növekvő ezen környezetben, és a görbére azt mondjuk, hogy alulról konvex az a pontban. Ebben a pontban a görbe és annak érintője úgy néz ki, mint az első ábrán látható esetek közül az egyik. Ha és folytonos az a pontban, akkor ebből következik, hogy f alulról konvex az a pontban. Következésképpen, ha , és , akkor az f függvénynek lokális minimuma van az a pontban.

Hasonlóképpen, ha létezik, és negatív az a pont valamely környezetében, vagy ha és folytonos az a pontban, akkor a görbe alulról konkáv az a pontban, és úgy néz ki, mint a második ábrán látható esetek közül az egyik. Ha és , akkor az f függvénynek lokális maximuma van az a pontban.

konzervatív erő

Egy erő vagy egy erőtér konzervatív, ha az erő munkavégzése zérus, bármilyen zárt görbét jár is be az erő támadáspontja. Ebből következik, hogy egy konzervatív erő által végzett munka nem függ attól, hogy az erő támadáspontja milyen pályán jut el egy adott pontból egy másik adott pontba. Konzervatív például a homogén gravitációs erőtér, a Hooke-törvénynek eleget tevő rugalmas szál húzóereje, és a Newton-féle gravitációs törvénnyel leírt tömegvonzási erő. Potenciális energia csak konzervatív erők esetén vezethető be.

konzervatív stratégia

Adott egy mátrixjáték az mátrixszal, és tegyük fel hogy az S és az O játékos tiszta stratégiát használ. Legyen az i-edik sor legkisebb eleme. A maximin stratégia az S játékos számára annak az r-edik sornak a választása, ahol . Ezzel R eléri, hogy a legkisebb lehetséges kifizetés a lehető legnagyobb legyen. Hasonlóan legyen a j-edik oszlop legnagyobb eleme. A minimax stratégia az O játékos számára annak az s-edik oszlopnak a választása, amelyben . Ezeket nevezzük a két játékos konzervatív stratégiájának.

Most legyen a kifizetés várható értéke, ha S és O az x és y kevert stratégiát használja. Ekkor tetszőleges x esetén a lehető legkisebb várható érték az O által használt bármely y kevert stratégiára. Egy maximin stratégia S számára tehát olyan x stratégia, amely maximalizálja értékét. Hasonlóan egy minimax stratégia O számára olyan y stratégia, amely minimalizálja értékét. A a játékelmélet alaptétele értelmében ha S és O a fenti stratégiákat használja, akkor a kifizetés várható értéke egy bizonyos, jól meghatározott értéket vesz fel, a játék értékét.

konzisztens

Egy egyenletrendszer konzisztens, ha van megoldása.

konzisztens becslés

Lásd becslés.

koordináta

Lásd koordinátageometria, koordináta-rendszer, koordináták a háromdimenziós térben, koordináták a síkon, koordináták az egyenesen.

koordinátageometria

A matematikának az a területe, amely a geometriai összefüggéseket az algebra segítségével írja le, koordinátákra való hivatkozással.

koordináták a háromdimenziós térben

A tér pontjaihoz az alábbi módon rendelhetünk koordinátákat: tengelyeknek vegyünk három, egymásra páronként merőleges Ox,Oy,Oz irányított egyenest, melyek az O pontban metszik egymást, ami az origó, jobbsodrású rendszert alkotva. Legyen L az a pont, ahol a P ponton átmenő, az y- és z- tengelyt tartalmazó síkkal párhuzamos sík metszi az x-tengelyt. Máshogy, L legyen az x-tengely azon pontja, amelyre PL merőleges az x-tengelyre. Legyen M és N hasonlóan definiált pont az y- és a z-tengelyen. Valójában L,M és N azon téglatest három csúcsa, melynek három éle a három tengelyen fekszik, továbbá O és P átellenes csúcsai. Ha és , akkor a P pont koordinátái ebben a Descartes-féle koordináta-rendszerben.

Vannak más módjai is annak, hogy a tér pontjaihoz koordinátákat rendeljünk. Például a fentihez hasonló módon, de ferde tengelyeket használva. Lásd még gömbi polárkoordináták, hengerkoordináták.

koordináták a síkon

Egy sík pontjaihoz az alábbi módon rendelhetünk koordinátákat: vegyünk egy Ox irányított egyenest első (x-)tengelynek, és egy Oy irányított egyenest második (y-)tengelynek, ahol az O pont az origó, és határozzuk meg az egységhosszat. A sík egy tetszőleges P pontjára legyenek M és N az x- és y-tengely olyan pontjai, hogy PM párhuzamos az y-tengellyel, és PN párhuzamos az x-tengellyel. Ha , és , akkor a P pont koordinátái ebben a koordináta-rendszerben. A koordináta-rendszert a két irányított egyenes és az egységhossz definiálja. Ha az irányított egyenesek merőlegesek egymásra, akkor ez Descartes-féle vagy derékszögű koordináta-rendszer és a P pont Descartes-féle koordinátái. Legtöbbször Ox-et és Oy-t úgy választjuk, hogy egy óramutató járásával ellentétes irányú -os forgatás a pozitív x irányt a pozitív y irányba viszi át. A sík pontjaihoz más módon is rendelhetünk koordinátákat, például polárkoordinátákat.

koordináták az egyenesen

Egy egyenes pontjaihoz az alábbi módon rendelhetünk koordinátákat: az egyenesből csináljunk egy irányított egyenest a pozitív irány kiválasztásával, legyen ez mondjuk az ábrán az pontból az x pontba mutató irány. Nevezzük ki az egyenesen az O pontot origónak, és jelöljünk ki egy A pontot úgy, hogy OA hossza legyen az egység. Ha P az egyenes tetszőleges pontja, és , akkor x a P pont koordinátája ebben a koordináta-rendszerben. A koordináta-rendszert az egyenesen kijelölt irány, az origó és az egységhossz határozza meg.

koordináta-rendszer

Rendszer síkbeli vagy térbeli pontok koordinátáikkal való azonosításához. Például Descartes-féle koordináták vagy polárkoordináták.

koordináta-rendszer eltolása

Lásd koordináta-rendszer eltolása a síkon, koordináta-rendszer eltolása a térben.

koordináta-rendszer eltolása a síkon

Tekintsük a szokásos síkbeli derékszögű koordináta-rendszert és benne a P pontot, melynek koordinátái . Vegyünk fel most egy pontot koordinátákkal, és helyezzünk egy új koordináta-rendszert az pontra, hogy legyen az új origó, de a régi és új koordinátatengelyek párhuzamosak és azonos irányításúak maradjanak. Ekkor a P pontnak az új koordináta-rendszerben megváltoznak a koordinátái: ha az új koordinátákat jelöli, akkor fennáll, hogy és , vagy más szavakkal, , illetve .

Ez az eljárás hasznos például a síkbeli másodfokú görbék vizsgálatánál. Tekintsük például a síkgörbét. Ha eltoljuk a koordináta-rendszert az pontba, akkor az előbbi egyenlet az új koordinátákkal kifejezve a jóval egyszerűbb alakot ölti – amiről világosan látszik, hogy az illető görbe egy ellipszis. (Az átalakítás jogosságát a teljesnégyzetté-alakítás mutatja.)

koordináta-rendszer eltolása a térben

A síkbeli koordináta-rendszer eltolásához hasonlóan beszélhetünk a térbeli koordináta-rendszer adott vektorral való eltolásáról is. A két koordináta-rendszer közötti áttérést analóg képletek fejezik ki: ha egy pont régi koordinátái , az újak pedig , akkor fennáll, hogy , és .

koordinátasík

Azon síkok egyike, amelyek a háromdimenziós derékszögű koordináta-rendszer tengelyei közül kettőt tartalmaznak. Például, az egyik koordináta sík az yz-sík, mely tartalmazza az y- (második) és (a harmadik) z-tengelyt, és az egyenlete .

koordinátatengely

Lásd koordináták a síkban és a háromdimenziós térben.

koordinátatengelyek elforgatása a síkon

(a síkban) Tegyük fel, hogy egy Descartes-féle koordináta-rendszernek adott az első (x-) és a második (y-)tengelye, az O origója és az egység hossza. Legyenek a P pont koordinátái . Vegyünk egy új koordináta-rendszert ugyanazzal az O origóval és egységnyi hosszal, X- és Y -tengelyekkel, úgy, hogy szöggel való elforgatás (a pozitív irány az óra járásával ellentétes) az x-tengelyt az X-be, y-t Y -ba viszi. Az új koordináta-rendszerben a P pont koordinátái . Ekkor az új és a régi koordináták közötti kapcsolat a tengelyek ilyen elforgatásakor

Mátrixjelöléssel, ezek az egyenletek

és visszafelé,

Például a tengelyek -del való elforgatásakor a koordináták közötti kapcsolat

továbbá az egyenletű görbe egyenlete lesz az új koordináta-rendszerben.

koordinátatranszformáció

Lásd koordinátatranszformáció a síkban, koordinátatranszformáció a térben.

koordinátatranszformáció a síkban

A legegyszerűbb módja annak, hogy egyik Descartes-féle koordináta-rendszerről egy másikra térjünk át a koordináta-rendszer eltolása a síkon és a koordinátatengelyek elforgatása a síkon. Lásd még a polárkoordináták címszót a Descartes-féle koordináta-rendszerről a polárkoordináta-rendszerre való és a fordított irányú áttérésről.

koordinátatranszformáció a térben

A legegyszerűbb módja annak, hogy egyik Descartes-féle koordináta-rendszerről egy másikra térjünk át a koordináta-rendszer eltolása a térben és a koordinátatengelyek elforgatása a térben. Lásd még a polárkoordináták címszót a Descartes-féle koordináta-rendszerről a polárkoordináta-rendszerre való és a fordított irányú áttérésről.

korlát

Legyen az S halmaz nem üres részhalmaza. A valós b számról azt mondjuk, hogy S felső korlátja, ha b nagyobb vagy egyenlő S bármely eleménél. Ha az S halmaznak van felső korlátja, akkor felülről korlátos. Továbbá b az S halmaz szuprémuma (vagy legkisebb felső korlátja), ha b felső korlátja az S halmaznak, és a b számnál nincs kisebb felső korlátja az S halmaznak; ezt így írjuk: . Például, ha , akkor . Hasonlóan, a valós c szám az S halmaz egy alsó korlátja, ha c kisebb vagy egyenlő az S bármely eleménél. Ha az S halmaznak van alsó korlátja, akkor S alulról korlátos. Továbbá c az S halmaz infimuma (vagy legnagyobb alsó korlátja), ha c alsó korlátja az S halmaznak, és a c számnál nincs nagyobb alsó korlátja S halmaznak, ezt így írjuk: . Egy halmaz korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. Egy nem triviális eredményt közöl az alábbi tétel.

Tétel. Bármely nem üres felülről korlátos halmaznak van szuprémuma, és bármely nem üres alulról korlátos halmaznak van infimuma.

korlátos függvény

Az f valós függvény korlátos (az értelmezési tartományán), ha létezik olyan M szám, amelyre , minden esetén. Az tény, hogy ha f folytonos a zárt intervallumon, akkor korlátos is az intervallumon, olyan tulajdonság, amelynek a szigorú bizonyítása nem elemi (lásd folytonos függvény).

korlátos halmaz

Lásd korlát.

korlátos sorozat

Az sorozat korlátos, ha létezik olyan szám, melyre , bármely n esetén.

korollárium

Olyan eredmény, amely egy tételből szinte azonnal következik, gyakran további bizonyítás nélkül.

korrekció

Egy megfigyelés vagy számítás eredményének megváltoztatása annak érdekében, hogy a pontosságát növeljük. Például, ha tapasztalatból tudjuk, hogy egy óra öt percet késik, akkor öt percet mindig hozzáadunk az általa jelzett értékhez, vagy mivel a népszámlálás nem képes nyilvántartásba venni az összes hajléktalant, a hajléktalanok kormány általi becslése – célszerűen – magasabb lesz, mint a népszámláláskor kapott szám.

korreláció

Két valószínűségi változó korrelációja annak mértéke, hogy az egyik változó megváltozása mennyire mutat összefüggést a másik változó megváltozásával. A korreláció magas vagy alacsony attól függően, hogy a két változó közti kapcsolat szoros vagy sem. Ha az egyik változó megváltozása a másik változó azonos irányú megváltozásával függ össze, akkor köztük pozitív korreláció van, és negatív korreláció, ha a megváltozások ellentétes irányúak. Független valószínűségi változók korrelációja zérus. Az X és Y valószínűségi változók korrelációjának mértéke a korrelációs együttható, melyet a következőképpen definiálunk:

(Lásd kovariancia és szórásnégyzet.) Mindig igaz, hogy . Ha X és Y lineárisan összefügőek, akkor vagy . (Abból, hogy a korrelációs együttható abszolút értéke nullához közeli, nem következik, hogy a változók függetlenek, még úgy is fönnállhat ez az eset, hogy közöttük determinisztikus függvénykapcsolat áll fenn.)

Megfigyeléspárokból álló mintára a minta korrelációs együtthatója:

Megjegyezzük, hogy két változó közötti korreláció létezéséből nem következik szükségszerűen, hogy ok-okozati összefüggés van közöttük; ez annak is lehet a jele, hogy mindkettő közös okra vezethető vissza.

korrelációs együttható

Lásd korreláció.

korrelációs mátrix

Olyan -es mátrix, melyben , tehát a változópárok közötti korrelációs együtthatót tartamazza. A főátlóban lévő minden elem 1, és a mátrix a főátlóra szimmetrikus.

koszekáns

Lásd trigonometrikus függvények.

koszinusz

Lásd trigonometrikus függvények.

koszinusztétel

Lásd háromszög.

kotangens

Lásd trigonometrikus függvények.

kovariancia

Az X és Y valószínűségi változók kovarianciája, melyet jelöl, egyenlő az kifejezéssel, ahol és rendre X és Y várható értéke. Ha X és Y független valószínűségi változók, akkor . Kiszámítása egyszerűsíthető, ha figyelembe vesszük, hogy: . Az n számú megfigyeléspárra a minta kovarianciája:

kovarianciamátrix

Lásd hipotézisvizsgálat.

kovergenciakör

A komplex sík középpontú, sugarú köre, ha a sor konvergál ennek a körlapnak a belsejében, és divergál minden olyan z esetén, amelyre . R a hatványsor konvergenciasugara; ha a hatványsor konvergens az egész komplex síkon, akkor azt mondjuk, hogy . Ha , az azt jelenti, hogy csak akkor konvergens a sor, ha . A konvergenciakör kerületi pontjaiban a sor konvergens vagy divergens is lehet.

köbgyök

Lásd n-edik gyök.

köbös

Kockaalakú, a kockához hasonló szimmetriájú, például kristály szerkezete lehet ilyen.

köbös polinom

Harmadfokú polinom.

kölcsönható változók

Néha egy kísérletben a változók egyikével egy második változó is kölcsönhatásba lép. Ha a kísérletben ezt nem vesszük figyelembe, akkor az eredmények nem lesznek általánosan alkalmazhatóak.

kölcsönösen diszjunkt

Lásd páronként diszjunkt.

kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés

Lásd bijektív leképezés.

Kőnig Dénes

(1884–1944) Magyar matematikus. Könyve, a Theorie der endlichen und unendlichen Graphen (A véges és végtelen gráfok elmélete) a témakör legkorábbi összefoglalója és továbblendítője.

Kőnig Gyula

(1849–1913) Magyar matematikus, klasszikus algebrával, számelmélettel, halmazelmélettel és matmatikai logikával foglalkozott. Igen fontos szerepet játszott a tudományos közéletben.

Königsberg

Lásd königsbergi hidak.

königsbergi hidak

A XIX. század elején hét híd volt Königsbergben (akkor Kelet-Poroszország, ma Kalinyingrád, Oroszország). Ezek a Pregel (vagy Pregolya) folyó különböző ágait keresztezték, ahogy azt az ábra vázlatosan mutatja. Felmerült az a kérdés, hogy vajon lehetséges-e valamely kezdőpontból elindulva oda úgy visszatérni, hogy minden egyes hídon pontosan egyszer haladunk át. Eulert ez arra késztette, hogy általánosabban is megvizsgálja ezt a problémát és publikálja azt, amire ma úgy gondolunk, mint az első gráfelméleti cikkre. Az eredeti kérdést úgy is feltehetjük, hogy vajon a gráf Euler-féle gráf-e? Megmutatható, hogy egy összefüggő gráf akkor és csakis akkor Euler-féle gráf, ha minden pontjának páros a fokszáma, tehát a válasz az, hogy nem.

könnyű

A mechanikában akkor neveznek egy tárgyat – általában egy húrt vagy egy rudat – könnyűnek, ha tömege a többi vizsgált objektum tömegéhez képest elhagyagolható.

könnyűszerkezet

Könnyű rudakból álló merev szerkezet. Mivel a rudak tömege elhanyagolható, a rudakra ható erők meghatározhatók a rudakat összekapcsoló kötésekben fellépő erőkből.

köpeny

Lásd egyköpenyű hiperboloid és kétköpenyű hiperboloid.

kör

A C középpontú és r sugarú körvonal azon pontok helye a síkon, amelyek a C ponttól r távolságban vannak. Ha a kör C középpontjának derékszögű koordinátái , akkor a kör egyenlete . Egy alakban adott egyenlet kört ír le, ha , és ekkor a kör középpontja , sugara pedig .

Az r sugarú kör területe , kerülete .

kör (gráfban)

Olyan zárt út, melynek legalább egy éle van, azaz olyan sorozat, ahol a és pontokat összekötő él, továbbá minden él és minden pont különböző, kivéve, hogy . Lásd Hamilton-gráf és fa.

körbenforgás

Amikor iteráció alkalmazásánál értékek egy ismétlődő sorozata megjelenik. Iteratív módszerektől azt várjuk, hogy egyre pontosabb közelítését adják egy egyenlet megoldásának, ám ez nem mindig sikerül. Ha egy érték újra megjelenik a sorozatban, akkor onnan kezdve a sorozat megfelelő része folyamatosan ismétlődik.

körben forgó érvelés

A következtetést úgy vonjuk le, hogy ahhoz felhasználjuk a következmény lényegét.

körcikk

Az O középpontú kör egy körcikkje olyan tartomány, amelyet a kör egy AB íve és az OA, valamint az OB sugár határol. A körcikk területe , ahol r a sugár, pedig a szög radiánban megadva.

kördiagramm

Tegyük fel, hogy valamilyen véges halmaz fel van osztva részhalmazokra, és az elemek aránya az egyes részhalmazokban százalékban van kifejezve. A kördiagramm körcikkekre osztott körből álló ábra, amelyben a körcikkek területe arányos ezekkel a százalékokkal. Hasonló módon, amikor nominális adatokat gyűjtünk, a körcikkek területe arányos lesz a gyakoriságokkal. Az ábra egy kis közlekedési felmérés során megfigyelt járműfajtákat mutatja.

köréír

Egy geometriai alakzat köré úgy rajzol egy másikat, hogy vannak közös pontjaik, de a körülírt alakzatnak nincs közös része a másik belsejével.

köré írt henger

Lásd gömböv.

körfrekvencia

Az állandó az egyszerű harmonikus rezgőmozgást leíró egyenletben. Az szorzat – ahol t az időt jelöli – bizonyos szempontból olyan szerepet játszik, mint egy szög. Az körfrekvenciát általában radián per másodperc egységben mérik. A rezgések frekvenciája .

körgyűrű

Két koncentrikus kör közötti terület. Ha a körök sugara r és , akkor a körgyűrű területe: , ami egyenlő a kifejezéssel. Ez tehát egy olyan téglalap területével egyenlő, amelynek a szélessége w, a hosszúsága pedig megegyezik a két eredeti kör közötti, azoktól egyenlő távolságban lévő kör kerületével.

körív

Ha egy körvonalon A és B két pont, akkor két AB körív létezik. Amikor A és B nem a kör egy átmérőjének végpontjai, akkor megkülönböztethető egy hosszabb és rövidebb körív, egy főkör és egy kis kör.

körlap

Az középpontú, r sugarú körvonal egyenlete . A kör belsejét a síknak azok az pontjai alkotják, amelyekre ; ez a halmaz nyílt körlapnak hívható. A zárt körlap azon pontok halmaza, melyekre .

körmozgás

Részecske mozgása körpályán. Tegyük fel, hogy egy részecske síkmozgást végez egy körpályán, melynek középpontja az O origó, sugara ! Legyen i és j az x-, illetve y-tengely pozitív irányába mutató egységvektor, r, v és a pedig a részecske helyvektora, sebessége és gyorsulása! Ha a részecske helyének polárkoordinátái , akkor

Legyen és , azaz az origótól a részecske felé mutató egységvektor, pedig az erre merőleges egységvektor a síkban, mely növekedésének irányába mutat. Ekkor a fenti egyenletek ilyen alakot öltenek:

Ha az m tömegű részecskére F eredő erő hat, és , akkor az mozgásegyenletből a következőket kapjuk: és . Ha az erőnek a pályát érintő, nagyságú összetevője zérus, akkor állandó, és a részecske állandó sebességgel mozog.

Lásd még szögsebesség és szöggyorsulás.

környezet

A számegyenesen az a valós szám egy környezete az nyílt intervallum, ahol . A környezet középpontja a, sugara pedig .

Egy eukleidészi vagy még általánosabban egy metrikus térben a rögzített a pont környezete egy olyan nyílt halmaz, amelyik azokat a pontokat tartalmazza, amelyek a-tól vett d távolsága egy megadott értéknél kisebb, azaz azon x pontok halmaza, amelyekre teljesül.

körre vonatkozó tételek

A következőkben néhány, a körrel kapcsolatos tételt tekintünk át.

Legyen az O középpontú körvonal két pontja A és B. Ha a kör kerületén lévő P pont az AB húr ugyanazon az oldalán helyezkedik el, mint az O pont, akkor . így tehát az kerületi szög független a P pont helyzetétől.

Ha a kör kerületén lévő Q pont az AB húr ellenkező oldalán fekszik, mint a P pont, akkor . Ezért egy húrnégyszög két szemközti szögének összege .

Amikor AB átmérő, a kerületi szög derékszög. Ha T tetszőleges pont az A pontbeli érintőn, akkor .

Tegyük fel most, hogy adott a kör és a P pont. Ha egy egyenes átmegy a P ponton, és a kört az A és a B pontban metszi, akkor PA.PB értéke minden ilyen egyenesre azonos. Ha P a körön kívül fekszik és egy a P ponton átmenő egyenes a T pontban érinti a kört, akkor .

körszelet

Adott körhöz tartozó körszelet olyan tartomány, amelyet a kör egy AB köríve és az AB húr határol.

körvonal

A körvonal a körlap határa, vagy határának hossza, másképpen kerülete. Az r sugarú kör kerülete .

kötött vektor

A (szabad) vektornak nagysága és iránya van. A kötött vektornak ezen kívül van egy meghatározott kezdőpontja: támadáspontja is.

következik

Érvényes következtetés levonását lehetővé teszi. Például ha n osztható kettővel, abból következik, hogy n páros szám.

következmény

Egy feltételes állítás azon része, amely kifejezi, hogy minek kell történnie, mi az ami szükségszerűen igaz, ha az előzmény igaz. Tehát például a „ha n osztható kettővel, akkor n páros” kijelentésben a következmény az „n páros” állítás. Vesd össze előzmény.

következtetés

Arra vonatkozó döntés, hogy a rendelkezésre álló bizonyítékok alapján elfogadjunk-e vagy elutasítsunk egy statisztikai hipotézist.

közbülső pont

Egy hálózat olyan pontja, amely a forrás és a nyelő között van.

közegellenállás

Lásd aerodinamikai ellenállás.

közelít

Egy mennyiséghez megtalál egy értéket vagy egy kifejezést, megadott pontosságon belül.

közelítés

Amikor két mennyiség, X és x közelítőleg egyenlő, amit így írunk: , akkor alkalmas körülmények között a közelítést (közelítő értéket) használhatjuk a másik helyett. Például, és .

közép

Lásd átlag.

középpont

Lásd kör, ellipszis és hiperbola.

középponti háromszög

Az a háromszög, melyet úgy kapunk, hogy egy háromszög oldalfelező pontjait összekötjük. Az így nyert háromszög hasonló az eredetihez, oldalai fele olyan hosszúak, és párhuzamosak az eredeti háromszög oldalaival. Az ábrán látható DEF háromszög az ABC háromszög középponti háromszöge.

középponti szög

Olyan szög, melynek csúcsa egy adott kör középpontja.

középpontosan szimmetrikus

Egy síkbeli alakzat szimmetrikus az O pontra nézve, ha a P ponttal együtt a pont is hozzá tartozik, valahányszor O a szakasz felező pontja. Az O pont a szimmetria középpontja, és azt is mondjuk, hogy az alakzatnak az O középpontra nézve félfordulatnyi szimmetriája van, mert az alakzat változatlan marad, ha az O pont körül elforgatjuk 180 fokkal. Az S betű például szimmetrikus a középpontjára nézve.

közönséges differenciálegyenlet

Lásd differenciálegyenlet.

közönséges tört

Az vagy alakban felírt törteket közönséges törteknek mondjuk, ha a és b pozitív egész számok. így és közönséges tört, míg 0.75 tizedes tört.

közös érintő

Olyan egyenes, mely két vagy több görbének is érintője.

közös merőleges

Ha és két olyan egyenes a térben, amelyek se nem párhuzamosak, se nem metszik egymást, azaz kitérők, akkor közös merőlegesük az az egyenes, amely mindkettőt metszi, és mindkettőre merőleges.

közös nevező

Olyan egész szám, amely osztható törtek egy csoportjának összes nevezőjével. Törtek összeadásánál, illetve kivonásánál használjuk, ahol az első lépés a tagok átalakítása ekvivalens törtekké a közös nevező segítségével. Például közös nevezője 24, és az összeget így írhatjuk: .

közös tényező (vagy osztó)

Olyan szám vagy algebrai kifejezés, amely tényezője, más szóval osztója számok vagy kifejezések egy csoportjának.

közös többszörös

Olyan szám vagy algebrai kifejezés, mely számok vagy algebrai kifejezések egy csoportjának többszöröse. Például 15 és 30 közös többszörösei a 3 és 5 számnak, továbbá közös többszöröse a és az kifejezésnek.

központi határeloszlás-tétel

A valószínűségszámítás alapvető tétele, mely azt mondja ki, hogy valószínűségi változók sorozata átlagának eloszlása tart a normális eloszláshoz, ahogy a sorozat tagjainak száma tart a végtelenhez. Sokféle általános alakja van, az egyik változat az alábbi

Tétel. Legyen független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata várható értékkel és véges szórásnégyzettel. Legyen

Ekkor, amint n tart végtelenhez, eloszlása tart a normális eloszláshoz.

Ebből következik, hogy ha meglehetősen nagy elemszámú mintát veszünk bármilyen, véges szórásnégyzetű populációból, akkor a megfigyelés átlagáról feltehetjük, hogy normális eloszlással rendelkezik.

közvetlen

Két változó kapcsolatát nevezhetjük közvetlennek, ha az egyik növekedése kapcsolatos a másik növekedésével.

kriptográfia

A matematikának az a területe, amely az információ biztonságos kódolásával foglalkozik, gyakran olyan matematikára támaszkodva, amilyen például a nagyon nagy számok prímfaktorizációja, vagy a kvantummechanika elmélete.

kritikus érték

Lásd stacionárius érték.

kritikus pont

Lásd stacionárius pont (egy változóban), stacionárius pont (két változóban).

kritikus tartomány

Lásd hipotézisvizsgálat.

kritikus tevékenységek

Egy esemény vagy tevékenység a kritikus úton.

kritikus út

Olyan út egy tevékenységi hálózatban, amelyen bármekkora késlekedés késlelteti a egész tervezet befejezését.

kritikusút-elemzés

Tegyük fel, hogy egy hálózat pontjai képviselik egy folyamat lépéseit, és az irányított élek súlyai jelentik azt az időt, aminek két lépés között el kell telnie. A kritikusút-elemzés a hálózatban lévő leghosszabb út megtalálásának módszere, amely egyúttal megtalálja azt a legrövidebb időt, ami alatt a folyamat befejezhető.

kritikusút-kereső algoritmus (tevékenységélekkel)

Az előrehaladó bejárás egy tevékenységi hálózatban meghatározza minden ponthoz a legkorábbi időpontot, a fordított bejárás pedig meghatározza minden ponthoz a legkésőbbi időpontot. Kritikus út bármely olyan út, melyen a legkésőbbi időpont egyenlő a legkorábbi időponttal minden pontban, azaz amelyen bármekkora késlekedés késleltetné az egész tervezet befejezését.

kromatikus szám

Egy G gráf vagy térkép olyan kiszínezéséhez szükséges különböző színek száma a kromatikus szám, melyet jelöl, amelynél a közös élek két oldalán elhelyezkedő tartományok különböző színűek. A négyszíntétel szerint minden síkbarajzolható gráfra .

Kronecker, Leopold

(1823–1891) Német matematikus, elsősorban a számelméletben, de a matematika más területein is ért el eredményeket. ő volt az első, aki kétségbe vonta a nem konstruktív egzisztenciabizonyítások helyességét, mellyel kapcsolatban Weierstrass-szal és másokkal is vitatkozott. Lásd egész szám.

Kronecker-delta

A szimbólummal jelölt kétváltozós függvény, melynek értéke 1, ha , és 0 egyébként. A Kronecker-delta segítségével definiálható például a négyzetes egységmátrix is.

Kronecker-lemma

Ha konvergens, akkor , ha .

Kruskal-algoritmus

Súlyozott gráfban a minimális feszítőfa meghatározására szolgáló módszer. Az eljárás a következő: első lépésként válasszuk ki (az egyik) legrövidebb élt, majd minden újabb lépés során azt a legrövidebb élt válasszuk, melynek hozzávételével nem jön létre kör. így ha egy n pontú gráfban minden pontot összekötöttünk, azaz ha élt kiválasztottunk, akkor ezzel meghatároztuk a legrövidebb összhosszúságú feszítő fát.

Kruskal–Wallis-próba

Nemparaméteres próba kettőnél több medián összehasonlítására, felhasználva a különböző minták közötti relatív rangokat.

kuboktaéder

Az arkhimédészi testek egyike, hat négyzetlapja és nyolc háromszöglapja van. Megalkotható, ha egy kocka csúcsait úgy vágjuk le, hogy egy olyan poliédert kapjunk, amelynek a csúcsai az eredeti kocka élfelező pontjaiban vannak. Továbbá még oly módon is megkaphatjuk, ha egy oktaéder sarkait úgy vágjuk le, hogy egy olyan poliédert kapjunk, aminek a csúcsai az eredeti oktaéder élfelezőin vannak.

kumulatív eloszlásfüggvény

Lásd eloszlásfüggvény.

kumulatív gyakoriság

Az értékek gyakorisága egy megadott értékig bezárólag. Ha az emelkedő sorrendben elrendezett értékek rendre gyakorisággal fordulnak elő, akkor az értéknél vett kumulatív gyakoriság . Csoportosított adatok kumulatív gyakorisága hasonlóan kapható.

kúp

Elemibb munkákban, a kúp általában tartalmaz egy kör alaplapot, egy csúcsot, ami közvetlenül a kör középpontja felett helyezkedik el, és a palástot, ami a csúcsot és a körvonal pontjait összekötő oldalegyenesekből (alkotókból) áll. A csúcs távolsága az alap középpontjától a magasság, és bármely oldalegyenes hossza az alkotó hossza. Az r alapsugarú, h magasságú és l alkotójú kúp térfogata , palástjának felszíne .

Haladottabb munkákban a kúp általában az a felület, amely egy rögzített V ponton, a csúcson és egy síkgörbe pontjain keresztülmenő alkotóknak nevezett egyenesek pontjaiból áll.

Az egyenes körkúp olyan kúp, amelyben a rögzített görbe kör, és a V csúcs olyan egyenesen – a tengelyen – fekszik, amely átmegy a kör középpontján, és merőleges a kör síkjára. Minden alkotó ugyanakkora szöget zár be a tengellyel, ez a kúp nyílásszöge. Az origó csúcsú, z-tengelyű és nyílásszögű kúp egyenlete . Lásd még másodrendű kúp.

kúpinga

Olyan inga, melynél egy rögzített ponton felfüggesztett, állandó hosszúságú fonál végére kötött részecske körpályán mozog egy vízszintes síkban. Tegyük fel, hogy a fonál hossza l, és állandó szöget zár be a függőlegessel. A részecske körpályája d távolságban van a fonál felfüggesztési pontjától, tehát . Ekkor a kúpinga periódusideje .

kúpszelet

Olyan görbe, amit egy kúp és egy sík metszeteként kapunk. Az ábra mutatja, hogy hogyan kaphatunk így ellipszist, parabolát és hiperbolát.

De a kúpszeletek más módon is jellemezhetők, az egyik ilyen jellemzés a fókusz és a vezéregyenes segítségével adható meg. Legyen F rögzített pont (a fókusz) és l rögzített egyenes (a vezéregyenes), mely nem megy át az F ponton, továbbá legyen e rögzített pozitív szám (az excentricitás). Ekkor a sík azon P pontjai, amelyekre P és F távolsága egyenlő a P és l távolságának e-szeresével kúpszeletet alkotnak. A kúpszelet ellipszis, ha , parabola, ha és hiperbola, ha . Megjegyezzük, hogy természetesen a kör is kúpszelet (az ellipszis speciális esete); de fókusszal és vezéregyenessel csak úgy tudjuk megkapni, mint az ellipszis határesetét, amikor , és a vezéregyenes végtelenül messze eltávolodik.

Derékszögű koordináta-rendszerben a kúpszelet másodfokú görbe, azaz az egyenlettel rendelkezik. Ez az egyenlet parabolát ad meg, ha , ellipszist, ha és hiperbolát, ha . Kört kapunk, ha és , és derékszögű hiperbolát ha . Egyenespár adódik (melyek egybeesők is lehetnek), ha , ahol

A kúpszelet egyszerű polárkoordinátás egyenletét úgy kapjuk meg, ha a fókuszát az origóba tesszük, és a vezéregyenesre merőleges irányt jelenti. Ekkor az egyenlet így írható: (minden olyan esetén, amelyre ), ahol e az excentritás és l egy másik pozitív állandó.

kúp tengelye

Lásd kúp.

Kuratowski tétele

Egy gráf pontosan akkor síkba rajzolható, ha nincs olyan részgráfja, mely a ötpontú teljes gráffal vagy a páros gráffal vagy ezek továbbosztásával izomorf.

különböző

Numerikusan nem egyező.

különbség

Lásd számtani sorozat.

különbség

Az pár esetén a különbség általában az előjeles érték. Az „abszolút különbség” kifejezést akkor használjuk, ha az értéket tekintjük. Ha párosított statisztikai próbánál alkalmazzuk, akkor fontos, hogy megtartsuk azt az információt, hogy minden egyes párból melyik volt a nagyobb.

különbséghalmaz

Az A és B halmaz (az univerzális alaphalmaz részhalmazai) különbséghalmaza az a halmaz, amely tartalmazza az A halmaz összes olyan elemét, mely nem eleme a B halmaznak. (Erre – ritkábban – az jelölés is használatos.) Ezt a halmazt reprezentálja a bevonalkázott rész az alábbi ábrán látható Venn-diagrammon.

különbségihányados-függvény

Az f valós-valós függvény ponthoz tartozó különbségihányados-függvénye a

függvény. Ennek felhasználásával értelmezzük az f függvény a pontbeli deriválhatóságát, és ha deriválható, a deriváltját.

külső

Lásd Jordan-féle görbetétel.

külső erő

Ha egy részecskékből álló rendszert vagy egy merev testet önálló egésznek tekintünk, akkor az erre ható külső erő olyan erő, amely kívülről hat a rendszerre, illetve a testre (tehát olyan erő, amellyel nem a rendszer vagy a test egyik része hat egy másik részére). Vesd össze belső erő.

külső osztópont

(szakaszé) Legyen AB egy egyenesszakasz. Ekkor E pont az AB szakasz arányú külső osztópontja, ha , ahol az A pontból a B pontba mutató vektor.

Vesd össze belső osztópont.

külső szorzat

Lásd vektoriális szorzat.

külső szög

Lásd lasdpárhuzamos szárú szögek, lasdsokszög külső szöge.

külső szögfelező

Egy háromszög (vagy más sokszög) külső szögének szögfelezője.

Kürénéi Eratoszthenész

Lásd Eratoszthenész.

kvadráns

A síkbeli Descartes-féle koordináta-rendszerben a tengelyek a síkot négy részre osztják, ezeket síknegyedeknek vagy kvadránsoknak nevezik. Hagyományosan a következőképpen számozzák őket: Az első síknegyed , a második síknegyed , a harmadik síknegyed , a negyedik síknegyed .

A háromdimenziós tér koordinátasíkok által határolt részeit oktánsoknak, az n-dimenziós tér megfelelő alakzatait pedig ortánsoknak hívják.

kvadratúra

A kvadratúra olyan numerikus módszer, amely alkalmas görbe vonallal határolt síkidom területének (vagyis egy integrálnak) közelítő meghatározására, a területet ilyenkor valamilyen határértékként kapjuk. Használják a kifejezést arra is, ha egy integrált véges sok lépésben elemi függvényekkel fejeznek ki, illetve ennek általánosításaként: ha egy differenciálegyenlet megoldását véges sok lépésben elemi függvényekkel fejezik ki.

kvadrillió

Magyarországon, Nagy Britanniában az egymillió negyedik hatványa: , az Egyesült Államokban .

kvantilis

Legyen X folytonos valószínűségi változó. A p-kvantilis esetén azt az számot jelöli, amelyre . Más szavakkal: a populációnak p-ed része rendelkezik -nél kisebb X értékkel. Például a (populáció) medián(ja).

Gyakran használják a percentiliseket is. Az n-edik percentilis az az érték, amelyre igaz, hogy a populáció n százaléka rendelkezik -nél kisebb X értékkel. Például a populáció 30%-a kisebb vagy egyenlő, mint a harmincadik percentilis. A 25., 50., 75. percentilisek a kvartilisek.

Egy másik megközelítés szerint a populációt tizedekre osztják, és az n-edik decilis az az érték, amelynél a populáció n tizede rendelkezik -nél kisebb X értékkel. Például a populáció 3 tizede kisebb vagy egyenlő, mint a harmadik decilis.

A kifejezések módosíthatók, habár nem mindig megnyugtató módon, diszkrét valószínűségi változók esetére is, és egy nagy, növekvő sorrendben rendezett mintára is.

kvantor

A „minden …” és a „van olyan …” kifejezéseket kvantoroknak nevezzük. Az olyan kifejezések, mint „minden x esetén …” és „van olyan x, amelyre …” x-et tartalmazó mondatok elején állhatnak, és azokból olyat csinálnak, amely igaz vagy hamis. Sokféleképpen lehet magyarul kifejezni azt, hogy „minden x esetén …”, de néha hasznos például ebben az alakban szabványosítani a kifejezést. Ezt úgy hívjuk, hogy univerzális kvantor, és jelekkel így írjuk: . Hasonlóan, „van olyan x, amelyre …” használható szabványos kifejezésként az összes hasonló értelmű kifejezés helyett, ez az egzisztenciális kvantor, ezt jelekkel így írjuk: .

Például a „ha x tetszőleges háromnál nagyobb szám, akkor x pozitív” és a „van olyan valós x szám, amelyre teljesül” állítás szabványos alakban így fejezhető ki: „minden x esetén, ha x nagyobb mint három, akkor x pozitív” és „van olyan x, hogy x valós, és ”, a matematikai logika jelöléseivel pedig így jelölhetők: és .

kvantummechanika

A fizikának az a területe, amely olyan kis mérettartományba eső részecskék mozgásával foglalkozik, ahol lényeges az anyag diszkrét természete. A XX. század elején elvégzett kísérletek eredményei csak úgy voltak értelmezhetők, ha feltételezték, hogy az impulzus, az energia és más mennyiségek csak meghatározott diszkrét értékeket vehetnek fel, a részecskék pedig hullámokként viselkednek, vagyis kettős természetűek. Lásd még Heisenberg-féle határozatlansági reláció.

kvartilis

Növekvő sorrendbe rendezett numerikus adatok esetén a kvartilisek azok az adatokból számolt értékek, amelyek az adatokat négy egyenlő részre osztják. Ha n megfigyelésünk van, akkor a első vagy alsó kvartilis az -edik a sorban, a második kvartilis (ami a medián) az -edik a sorban, a harmadik vagy felső kvartilis pedig az -edik a sorban. Amikor nem egész szám, gyakran az őt közrefogó két érték súlyozott közepét tartják szükségesnek venni, mint a mediánnál. Azonban, hacsak n nem túlságosan kicsi, akkor a hozzá legközelebbi egész szám meg fog felelni. Ha például ez a minta: 15,37,43,47,54,55,57,64,76,98; akkor ezeket vehetjük: .

Valószínűségi változókra a kvartilisek az alábbi kvantilisek: , azaz másképp ezek a 25., 50. és 75. percentilisek.

kvartilis ingadozás

Lásd interkvartilis félterjedelem.

kvaternió

A komplex számok úgy kaphatók meg, hogy alakú számokat tekintünk, ahol a és b valós szám, és az összeadást és a szorzást úgy definiáljuk, mint polinomok között, figyelembe véve, hogy . Ezt az elképzelést kiterjesztve Hamilton bevezette a következő fogalmat, elsősorban mechanikai használatra. Legyen egy kvaternió az kifejezés, ahol a,b,c és d valós szám, definiáljuk az összeadást és a szorzást, mint polinomok között, és vegyük figyelembe, hogy

Az algebrában megszokott összes tulajdonság teljesül, kivéve a szorzás kommutativitását. Ezt a tényt úgy is kifejezhetjük, hogy a kvaterniók nemkommutatív (úgynevezett ferde) testet alkotnak: minden nullától különböző elemnek van inverze.

kW

A kilowatt rövidítése és jele.