Ugrás a tartalomhoz

OXFORD - Matematika : Kislexikon

Tóth János (2007)

Typotex Elektronikus Kiadó Kft.

M

M

M

Az 1000-es szám római számjeggyel írva.

m

A milli- előtag rövidítése, ami egy egység ezredrészét jelenti, például mm.

m

A méter rövidítése és jelölése.

m

A milli- előtag rövidítése, amely SI mértékegységek előtagjaként a -nal való szorzást jelöli (például mm).

Maclaurin, Colin

(1698–1746) Skót matematikus, a Newton utáni generáció kiemelkedő alakja. Továbbfejlesztette és általánosította az analízist. E témában írt tankönyve fontos eredményeket tartalmaz. Szerepel benne a Maclaurin-sor is, amely a jóval korábbról származó Taylor-sor egy speciális esete. Maclaurin a geometriában is ért el jelentős eredményeket, és népszerű tankönyvet írt az algebráról.

Maclaurin-sor

Legyen f valós függvény, és tegyük fel, hogy minden esetén létezik az derivált függvény olyan intervallumon, amely tartalmazza a 0-t. Ekkor felírhatjuk a következő hatványsort:

amely az f függvény Maclaurin-sora. Sok fontos függvény esetén belátható, hogy a Maclaurin-sor konvergens vagy minden x, vagy meghatározott x értékek esetén, és hogy ezekre az értékekre a sor összege . Ilyenkor azt mondjuk, hogy az f függvényt a Maclaurin-sora előállítja. Néhány gyakori függvény Maclaurin-sorát és azon x-ek halmazát, melyekre a fenti összefüggés fennáll, a 4. Függelék (Sorok táblázata) tartalmazza. A sor konvergenciájának vizsgálatánál ismert példa az , képlettel definiált függvény. Megmutatható, hogy a deriváltfüggvény minden r esetén létezik, és . Következésképpen e függvény Maclaurin-sora konvergens, és összege minden x esetén 0. Ebből látható, hogy ha az f függvény Maclaurin-sora konvergens, az összege az x pontban nem szükségképpen egyenlő -szel. Lásd még Taylor-tétel.

magasabb rendű derivált

Ha az f függvény differenciálható egy intervallumon, akkor értelmezhető a derivált függvénye, . Ha is differenciálható, akkor ennek deriváltfüggvénye, melyet -vel jelölünk, f második deriváltfüggénye. Ennek x-beli értéke, azaz vagy az f függvénynek az x helyhez tartozó második deriváltja.

Hasonlóan, ha is differenciálható, akkor képezhető vagy , f harmadik deriváltja az x helyen, és így tovább. Az f függvény x-beli n-edik deriváltját vagy jelöli. esetén az n-edik deriváltakat magasabb rendű deriváltnak hívjuk. Más jelölésekkel, ha a függvény , akkor a első deriváltat , a második deriváltat is jelölheti.

magasabb rendű parciális derivált

Ha adott az n változós f függvény, melynek változói akkor a parciális deriváltak, ahol , úgy is tekinthetők mint függvényei. így képezhetők a

másodrendű parciális deriváltak, melyek szokásos jelölése

Abban az esetben, amikor ,

definíció szerint különbözőek, de a leggyakrabban előforduló függvényeknél ezek megegyeznek. (A könyv keretei nem engedik meg, hogy az egyenlőség feltételeire itt kitérjünk.) Hasonlóképpen értelmezhetők a harmadrendű parciális deriváltak is, mint például

továbbá a negyedrendűek is, és így tovább. esetén az n-edrendű parciális deriváltakat magasabbrendű parciális deriváltaknak hívjuk.

Ha az f függvény két változó, x és y függvénye, és a parciális deriváltakat és jelöli, akkor rendre felel meg a

parciális deriváltaknak, ahol és . E jelöléseket harmadrendű (és magasabbrendű) parciális deriváltakra, valamint többváltozós függvényekre is kiterjeszthetjük. A kétváltozós f függvény parciális deriváltjait szokás még -gyel és -vel is jelölni, ekkor a másodrendű parciális deriváltak jelölése és . Ez a jelölés harmadrendű (és magasabbrendű) parciális deriváltaknál, valamint többváltozós függvényeknél is használható.

magasság

Lásd egyenlőszárú háromszög alapja.

magasságpont

Az a pont, ahol a háromszög magasságvonalai metszik egymást. Ez a pont a háromszög Euler-egyenesén fekszik.

magasságvonal

A háromszög egyik csúcsán átmenő, a csúccsal szemközti oldalra merőleges egyenes. A háromszög három magasságvonala a magasságpontban metszi egymást.

magyarázó változó

Olyan változó, amely valamely statisztikai modelleben befolyásolhatja a függő változó értékét.

majdnem biztosan

Lásd majdnem mindenütt egy valószínűségi mérték szerint.

majdnem minden

(majdnem mindenütt, m.m.) Minden értékre fennáll, kivéve esetleg egy nullmértékű halmazt. A legmeglepőbb példa nulla mértékű halmazra a racionális számok halmaza. Legyen ; ekkor amennyiben , ha racionális, és , ha irracionális és , akkor f és g majdnem mindenütt megegyezik.

Mandelbrot, Benoit

(1924–) Lengyel matematikus, aki a fraktálok alkalmazására a matematikában és a természetben is rengeteg példát mutatott, és aki a számítógépes grafika segítségével népszerűsítette a gyönyörű fraktálképeket.

Mandelbrot-halmaz

Azon pontok halmaza, amelyek mellett az sorozat – ahol – korlátos. Ez a halmaz rendkívül bonyolult alakzat, határa fraktál. Úgy is definiálható, mint azon c pontok halmaza, melyekre a fenti függvény Julia-halmaza összefüggő halmaz. A Mandelbrot-halmazt gyakran használják geometriai fraktálok illusztrációjaként.

Mann–Whitney-féle U próba

Lásd Mann-Whitney-próba.

Mann–Whitney-próba

Nemparaméteres próba (lásd nemparaméteres eljárás), melyben a nullhipotézis az, hogy két független, n és m elemű minta ugyanabból a sokaságból származik. A megfigyeléseket egyesítjük, és megállapítjuk az egyesített rendezett mintában elfoglalt helyüket, ez lesz a rangjuk. Ha a nullhipotézis igaz, akkor az n elemű mintában a rangszámok összegének várható értéke , szórásnégyzete pedig lesz. Még n és m viszonylag kis értékei esetén is közel standard normális eloszlású a leírt statisztika. A próbát szokás még Wilcoxon-féle rangpróbának is nevezni.

mantissza

Lásd lebegőpontos ábrázolás.

maradék

Lásd maradékos osztás tétele és Taylor-tétel.

maradékos osztás tétele

Az elemi számelmélet következő tétele:

Tétel. Legyen a és b egész szám, . Akkor létezik egyértelműen olyan q és r egész szám, hogy , ahol . A b szám a-val való osztásakor q a hányados és r a maradék.

maradékosztály (modulo n)

A kongruencia (modulo n) ekvivalenciarelációra vonatkozó ekvivalenciaosztály. Tehát két egész ugyannabban az osztályban van, ha n-nel osztva ugyanazt a maradékot adják. Ha jelöli az a-t tartalmazó maradékosztályt modulo n, akkor a maradékosztályok modulo n a lesznek. Maradékosztályok összege és szorzata az

módon definiálható. Természetesen meg kell mutatni, hogy a definíciók nem függnek attól, hogy mely két a és b reprezentánst választottuk a két osztályból. Ezzel az összeadással és szorzással a -nel jelölt modulo n maradékosztályok halmaza gyűrűt alkot (valójában kommutatív egységelemes gyűrűt). Ha n összetett szám, a gyűrűnek vannak nullosztói, de ha p prím, akkor test.

maradéktétel

A polinomokra vonatkozó következő eredmény:

Tétel. Ha az polinomot -val osztjuk, akkor a maradék -val egyenlő.

A bizonyítás a következő: Osszuk el az polinomot -val, megkapjuk a hányadost, és az maradékot. Ez azt jelenti, hogy . Ha x helyére h-t írunk, akkor -t kapunk, így a tételt bebizonyítottuk.

maradék variáció

Az a variáció, amelyre egy adathalmazhoz illesztett modell nem ad magyarázatot.

Markov, Andrej Andrejevics

(1856–1922) Orosz matematikus, aki elsősorban 1900 után fontos eredményeket bizonyított a valószínűségszámításban, bevezette a Markov-lánc fogalmát és elsők között kezdte tanulmányozni a sztochasztikus folyamatokat.

Markov-lánc

Tekintsük a diszkrét állapotterű sztochasztikus folyamatot. Ez Markov-lánc, ha annak a valószínűsége, hogy felvesz egy adott értéket, csak értékétől függ, értékétől nem. (A Markov-tulajdonság definícióját kiterjeszthetjük folytonos állapotterű sztochasztikus folyamatra vagy még általánosabb folyamatra is, ilyenkor Markov-folyamatról beszélünk.) A leggyakrabban tanulmányozott Markov-láncokban annak a valószínűsége, hogy feltéve, hogy , nem függ n-től, ezért jelölhetjük így: . A átmenetvalószínűségek abban az esetben, amikor N állapot van, a -es sztochasztikus mátrixot alkotják.

martingál

Valószínűségi változók olyan sorozata, ahol az -edik változó várható értéke azon feltétel mellett, hogy az első n változó értéke ismert, éppen az értékével egyenlő. Példa martingálra az a véletlen bolyongás, ahol a balra-, illetve a jobbralépés valószínűsége egyaránt 0.5 (vagyis a szimmetrikus véletlen bolyongás).

másodfajú hiba

A hipotézisvizsgálat során másodfajú hiba lép fel, ha a nullhipotézist nem vetjük el annak ellenére, hogy hamis. A ( -tól függő) (másodfajú hiba számot a próba erejének nevezzük. Ideális esetben a próba ereje 1, minden, az ellenhipotézisben szereplő esetén. Az erő segítségével a különféle próbák összehasonlíthatók. Például, az párosított mintán alapuló próbák – ha adott esetben egyáltalán készíthető ilyen – ereje általában nagyobb, mint a megfelelő kétmintás próbáké, mert a változékonyság egy fő forrását itt kiküszöböljük.

másodfajú Stirling-szám

Annak száma, ahányféleképpen n elemet r számú nem üres részhalmazra lehet felbontani. Például az halmaz két nem üres részhalmazra a következőképpen bontható fel:

Tehát . Nyilván és . Megmutatható, hogy

A binomiális együtthatókhoz nagyon hasonlóan a Stirling-számok is bizonyos azonosságokban fordulnak elő együtthatókként. Nevüket James Stirling skót matematikusról (1692–1770) kapták.

másodfokú egyenlet

Az x ismeretlenre nézve másodfokú egyenletnek nevezzük az alakú egyenletet, ahol a,b,c adott valós számok, . Teljes négyzetté kiegészítéssel vagy az

megoldóképlettel – amely szintén teljes négyzetté kiegészítéssel vezethető le – lehet megoldani. Ha , akkor két különböző valós gyök van, ha , akkor egyetlen valós gyök van (amit célszerű lehet kétszeres vagy két egybeeső gyöknek tekinteni), ha pedig , akkor nincs valós gyök, van viszont két komplex gyök:

Ha és az egyenlet gyökei, akkor

Tehát az adott és gyökökkel bíró másodfokú egyenlet: .

másodfokú függvény

A valós analízisben az f függvényt másodfokú függvénynek nevezik, ha minden esetén, ahol a,b,c adott valós számok, . (Bizonyos helyzetekben megengedhető is.) Ennek a függvénynek a grafikonja olyan parabola, amelynek tengelye párhuzamos a második tengellyel, és fölfelé áll, ha , ha pedig , akkor lefelé áll. A grafikon ott metszi az első tengelyt, ahol , ezeket a pontokat (ha vannak ilyenek) tehát ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei adják, ha ezek valósak. A csúcs helye vagy teljes négyzetté kiegészítéssel határozható meg, vagy úgy, hogy deriválással meghatározzuk a függvény stacionárius pontját. Ha a grafikon az első tengelyt két pontban metszi, akkor a csúcs abszcisszája a két metszéspont abszcisszájának számtani közepe. Ilyen módon a másodfokú függvényre vonatkozó információ kinyerhető, a grafikon fölvázolható.

másodfokú polinom

Polinom, amelynek a fokszáma kettő.

második derivált

Lásd magasabb rendű derivált.

másodperc

Az SI egységrendszerben az időmérés alapegysége, rövidítve . Régebbi definíció szerint egy másodperc egyenlő a középnap – lényegében a Nap két delelése között átlagosan eltelő időtartam – egy -adrészével. Ma a cézium 133-as izotópja által kibocsátott egyik sugárzás periódusidejének segítségével definiálják.

másodrendű feltétel

Lásd szélsőérték.

másodrendű felület

A háromdimenziós tér részhalmaza, amely a Descartes-féle koordináta-rendszerben olyan egyenlettel adható meg, amelynek jobb oldalán a három koordináta másodfokú polinomja áll, bal oldalán pedig nulla:

ahol az a,b,c,f,g,h állandók közül nem mindegyik nulla. Ha az egyenletet kielégítő pontok halmaza nem üres, akkor eltolással és a tengelyek elforgatásával az alábbi kanonikus alakok egyikére hozható, azaz az ilyen felületek az alábbi módon osztályozhatók:

  1. Ellipszoid: .

  2. Egyköpenyű hiperboloid: .

  3. Kétköpenyű hiperboloid: .

  4. Elliptikus paraboloid: .

  5. Hiperbolikus paraboloid: .

  6. Kúp: .

  7. Elliptikus henger: .

  8. Hiperbolikus henger: .

  9. Parabolikus henger: .

  10. Két, egymással nem párhuzamos sík: , (azaz .)

  11. Két, egymással párhuzamos sík: , (azaz .)

  12. Sík: , (azaz .)

  13. Egyenes: , (azaz .)

  14. Pont: , (azaz .)

Az első öt esetben a másodrendű felület nem elfajult.

másodrendű kúp

Olyan másodrendű felület, amelynek egyenlete alkalmas koordináta-rendszerben

Az xy-síkkal párhuzamos metszetei ellipszisek (ha , körök), a harmadik koordinátatengellyel párhuzamos metszetei hiperbolák, az alkotóval párhuzamos metszetei parabolák, ezért ezeknek a metszeteknek a közös neve kúpszelet.

másodrendű parciális derivált

Lásd magasabb rendű parciális derivált.

matematika

Az emberi tudásszerzésnak az a területe, amely számokkal, mennyiségekkel, adatokkal, alakzatokkal és ezek kapcsolatával, valamint általánosításával és absztrakciójával foglalkozik, és ezeket a mindennapi élet problémáinak megoldása során alkalmazza. Nagyon általánosan fogalmazva az elméleti matematika absztrakt mennyiségek közti viszonyokat tanulmányoz jóldefiniált szabályok szerint; az alkalmazott matematika pedig a matematikai eszközöket a valóságos világban felmerülő problémák megoldásánál használja fel. Inkább az elméleti matematikához tartozik az algebra, absztrakt algebra, analízis, geometria, számelmélet, topológia és trigonometria. Több köze van az alkalmazásokhoz a valószínűségszámításnak, a statisztikának, a differenciálegyenleteknek, a sztochasztikus folyamatoknak, az operációkutatásnak, és a kombinatorika egyes fejezeteinek. Egyes országokban a(z alkalmazott) matematika részének tekintik a mechanikát, a kvantummechanikát és relativitáselméletet.

matematika alapjai

A matematika logikai alapjainak tanulmányozása, speciálisan azok a kísérletek, amelyek olyan axiomatikus alapot akartak létrehozni, amire a matematika felépíthető. Eukleidész geometriája, az Elemek egyike a legjobban ismert példáknak, és a XX. század elején Russell és Whitehead kísérletezett a matematikát egységesítő axiómarendszer létrehozásával, de – elsősorban – Gödel tevékenységéből kiderült, hogy a feladat eredeti formájában nem oldható meg.

matematikai inga

A matematikai modellekben a matematikai inga egy elhanyagolható tömegű, állandó l hosszúságú fonálból és a végéhez erősített m tömegű részecskéből áll. A fonál másik végét egy rögzített ponthoz erősítették, és az inga nehezékét reprezentáló részecske egy meghatározott függőleges síkban mozoghat, amely átmegy a felfüggesztési ponton. A részecske mindig l távolságban van a felfüggesztési ponttól. A részecskére lefelé mutató, mg nagyságú gravitációs erő és a fonál húzóereje hat (g jelöli a nehézségi gyorsulást). Jelölje a fonálnak a függőlegessel a t pillanatban bezárt szögét! Megmutatható, hogy a mozgásegyenlet alakú. Ha minden pillanatban sokkal kisebb -nél, akkor minden t pillanatban körülbelül egyenlő -vel. Ebben az esetben az előbbi egyenlet helyett a egyenlet írható fel, ahol . Ilyenkor tehát az inga közelítőleg egyszerű harmonikus rezgőmozgást végez, melynek periódusideje .

matematikai modell

A mindennapi életben a valóságos világ különböző problémáival találkozhatunk, melyek lehetnek például fizikai, gazdasági vagy mérnöki jellegűek, és amelyek megoldásában a matematika felhasználása segítségünkre lehet. De ahhoz, hogy a matematikát alkalmazzuk, gyakran egy absztrakt matematikai problémát kell megfogalmaznunk, melyet az eredeti probléma matematikai modelljének nevezünk, és amely közelítőleg leírja a való életből vett problémát. Egy ilyen modell felállításához gyakran egyszerűsítésekre és feltevésekre van szükség. A matematikai probléma ezek után vizsgálható, esetleg megoldható. Az eredmények interpretálása a valóságos világ fogalmaival megfelelő választ adhat az eredeti problémára.

matematikai programcsomag

Az univerzális matematikai programcsomagok képesek egyenleteket szimbolikusan megoldani, bonyolult kifejezéseket egyszerűsíteni, segítséget nyújtani az az analízis, a kombinatorika, az algebra, tulajdonképpen a matematika majdnem minden területén. Ilyen programok ma már esetenként kézi számológépeken is működnek. Ma a legismertebb ]matematikai programcsomag a Mathematica, a Maple, jelentősen korlátozottabb képességekkel a Matlab, s í. t.

Mathieu-egyenlet

Másodrendű differenciálegyenlet, melynek általános alakja . Rezgések vizsgálatánál fordul elő. Az egyenlet általános megoldása , ahol k konstans, pedig szerint periodikus Mathieu-függvény.

mátrix

Valamely halmaz elemeinek táblázatos elrendezése. Az elemek gyakran számok, például egészek, valós vagy komplex számok, de lehetnek polinomok és más kifejezések is. Egy -es mátrix, melynek m sora és n oszploa van, a következő alakban adható meg:

(A szögletes zárójel helyett kerek zárójel is használható.) A fenti mátrix általánosan alakban is jelölhető, ahol az i-edik sorban és j-edik oszlopban álló elem. Lásd még mátrixok összeadása, mátrixok szorzása és mátrix inverze.

mátrix ellentettje

Az -es mátrix ellentettje (vagy negatívja) az az -es mátrix, amelynek elemei . Ezt jelöli.

mátrix hatványa

Ha A négyzetes mátrix, akkor definiáljuk az mátrixokat. A ezen hatványait jelöli. Minden pozitív p és q egészre,

  1. , és

  2. .

  3. Definíció szerint .

Sőt, ha A invertálható mátrix, akkor is invertálható, és megmutatható, hogy az mátrix inverze, vagyis . Tehát mindkettő . így, ha A invertálható, -t definiáljuk minden egészre (pozitív, nulla és negatív egész számokra) és az 1. és 2. tulajdonságok érvényesek minden p és q egész számra.

mátrix inverze

Az A négyzetes mátrix inverze az az X mátrix, melyre , ahol I az A-val azonos méretű egységmátrix. (Csak négyzetes mátrix inverzét definiáljuk.) Ha egy mátrixnak létezik inverze, akkor az egyértelmű, és ekkor azt mondjuk, hogy A invertálható mátrix. Egy mátrix pontosan akkor invertálható, ha nemszinguláris mátrix.

Ha , akkor az A mátrix inverze ahol az A mátrix adjungáltja. Például az alábbi -es A mátrix pontosan akkor invertálható, ha , és inverze

mátrixjáték

Olyan játék, ahol a mátrix elemei megadják, hogy mi történik annak a stratégiának megfelelően, amit a két játékos vagy ellenfél választ. Megegyezés szerint az mátrix megadja, hogy mennyit kap az egyik játékos, S: ha S az i-edik sort választja, a másik játékos, O pedig a j-edik oszlopot, akkor O az S játékosnak egységet fizet. (Ha negatív, akkor S fizeti O-nak a összeget.) Ez a zéróösszegű játék egy példája, mert a két játékos által kapott teljes összeg nulla: S egységet kap, O pedig egységet.

Ha a játék szigorúan meghatározott játék, és S és O konzervatív stratégiával játszik, akkor O mindig fizet S-nek egy bizonyos összeget, amit a játék értékének nevezünk. Ha a játék nem szigorúan meghatározott, akkor a a játékelmélet alaptétele szerint a játék értéke a kifizetés várható értéke (azaz az átlagos kifizetés, ha a játékot sokszor egymás után játsszák), ha S és O optimális kevert stratégiát használ.

mátrixjáték várható értéke

Tegyük fel, hogy adott egy mátrixjáték az -es mátrixával, és a két játékos kevert stratégiája, és . A mátrixjáték várható értéke:

Ha , továbbá x és y oszlopvektorok, akkor . A mátrixjáték várható értéke megadja az átlagos kifizetést, ha a játékot egymás után sokszor lejátsszák, és a két játékos végig a fönti két kevert stratégiát alkalmazza.

mátrixnorma

Ha A valós vagy komplex elemű négyzetes mátrix, akkor az mátrixnorma olyan nemnegatív szám, melynek megvannak a következő tulajdonságai:

  1. , ha és , ha ;

  2. minden pozitív k-ra;

  3. ;

  4. .

Ha , akkor mátrixnorma például és .

mátrixok egyenlősége

Az és mátrix pontosan akkor egyenlő, ha ugyanannyi soruk és ugynannyi oszlopuk van, továbbá minden i,j esetén.

mátrixok kivonása

Az azonos típusú (ugyanannyi sorral és oszloppal bíró) A és B mátrix esetén a kivonás műveletét úgy értelmezzük, mint az ellentett hozzáadását, vagyis definíció szerint . Ha tehát , akkor , ahol .

mátrixok összeadása

Legyen és -es mátrix. Az összeadás műveletét úgy értelmezzük, hogy az összeget olyan C mátrixnak vesszük, amelyre , és . Az összeg nincs értelmezve, ha A és B nem azonos típusú (nem konformábilis). Az -es mátrixok halmazán így értelmezett művelet kommutatív és asszociatív.

mátrixok szorzása

Tegyük fel, hogy az A és B mátrixok konformábilisak a szorzásra nézve, azaz, ha az A mátrix -es, akkor a B mátrix -s. Legyen és . Ekkor ezek szorzata az az -s mátrix, melyre

Az szorzatot nem definiáljuk, ha A és B nem konformábilis, azaz A oszlopainak száma nem egyenlő B sorainak számával. A mátrixszorzás nem kommutatív; például ha

akkor . Továbbá, az sem igaz, hogy esetén vagy , mint azt a fenti példa is mutatja. Azonban, a mátrixszorzás asszociatív: , és disztributív: és . A fönti egyenlőségekről azt is mondhatjuk, hogy amennyiben és C olyan mátrixok, amelyekkel valamelyik oldal létezik, akkor létezik a másik oldal is, és a két oldal egyenlő.

mátrixok szorzata

Lásd mátrixok szorzása.

mátrix rangja

Az A -es mátrix oszloprangja az oszlopok legnagyobb elemszámú lineárisan független halmazának elemszáma; A sorrangja pedig a sorok legnagyobb elemszámú lineárisan független halmazának elemszáma. Megmutatható, hogy elemi sorműveletek nem változtatják meg a mátrix sor- vagy oszloprangját. Következésképpen, A sor- és oszloprangja egyenlő, mindkettő egyenlő a sorok számával a mátrix redukált lépcsős alakjában. Ez a közös érték A rangja. Az is megmutatható, hogy A rangja egyenlő a legnagyobb olyan négyzetes almátrix sorainak és oszlopainak számával, amelynek determinánsa nem nulla. Egy -es mátrix pontosan akkor invertálható, ha a rangja n.

mátrix skalárszorosa

Legyen A típusú mátrix, ahol és k egy skalár. A skalárszoros egy olyan típusú mátrix, amelyre . A skalárral való szorzás a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

  1. .

  2. .

  3. .

  4. , a nulla mátrix.

  5. .

  6. , az A mátrix ellentettje.

Maupertuis, Pierre-Louis Moreau de

(1698–1759) Francia matematikus és természettudós, aki elsőként fogalmazta meg az úgynevezett legkisebb hatás elvét. Támogatta és Franciaországban népszerűsítette Newton gravitációs elméletét. Expedíciót vezetett Lappföldre, melynek célja az egy szélességi fok eltérésnek megfelelő távolság lemérése volt. A mérés megerősítette, hogy a Föld lapított szferoid alakú.

maximális folyam/minimális vágás

Az összfolyam tetszőleges hálózatban kisebb vagy egyenlő, mint bármelyik vágás kapacitása, a maximális folyam pedig pontosan megegyezik a minimális vágás kapacitásával.

maximális párosítás

Lásd párosítás.

maximin stratégia

Lásd konzervatív stratégia.

maximum

Legyen f valós függvény, D pedig része f értelmezési tartományának: . Ha van olyan pont, melyre teljesül minden esetén, akkor -t az f függvény D halmazon felvett (abszolút vagy globális) maximumának nevezzük. Ilyen pont nem mindig létezik: tekintsük például az vagy az függvényt a nyílt intervallumon, vagy az képlettel definiált törtrészfüggvényt a zárt intervallumon. Ha egy függvénynek létezik legnagyobb értéke egy D halmazon, akkor ezt az értéket a függvény több pontban is felveheti. Weierstrass tétele szerint egy zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek van maximuma és minimuma. Ha egy függvény folytonos az zárt intervallumon és differenciálható -n, akkor a maximuma vagy lokális maximum, vagy az intervallum egyik végpontjában felvett függvényérték. Lásd még legnagyobb érték, lokális maximum.

maximumlikelihood-módszer

Lásd likelihoodfüggvény.

Maxwell, James Clerk

(1831–1879) Kiemelkedő brit elméleti fizikus. Az alkalmazott matematikában nagy jelentőségűek a Maxwell-egyenletek néven ismert differenciálegyenletek, melyek az elektromágneses térelmélet alapját alkotják.

Maxwell-egyenletek

Az elektromos és mágneses mezők változását leíró differenciálegyenlet-rendszer:

Itt B jelöli a mágneses indukciót, D az elektromos eltolást, E az elektromos térerősséget, H a mágneses térerősséget, j a töltésáram-sűrűséget, a szabad töltéssűrűséget, t pedig az időt.

mechanika

A fizikának (egyes hagyományok szerint a matematikának) az a területe, amely erőhatásoknak kitett nyugvó és mozgó rendszerek viselkedésével foglalkozik. A klasszikus vagy newtoni mechanika eredményei olyan rendszerekre alkalmazhatók, melyekben érvényesek a newtoni mozgástörvények. Tehát a klasszikus mechanikával nem tárgyalható eredményesen sem a mikrorészecskék viselkedése, sem azok a rendszerek, melyeknek egyes részei egymáshoz képes nagyon nagy sebességgel mozognak (az előbbi rendszerek a kvantummechanika, az utóbbiak a relativitáselmélet segítségével írhatók le).

mechanikus

Olyan számolási vagy bizonyítási eljárás, amely nem igényel interpretációt, vagy kritikus döntéseket. Például a másodfokú egyenlet megoldása a megoldóképlet felhasználásával. Az ilyen eljárások általában könnyen programozhatók.

A verifikálás elnevezést is szokás használni akkor, amikor egy állítástmechanikusan, különösebb ötlet felhasználása nélkül bizonyítunk.

medián

Tegyük fel, hogy egy megfigyelés értékeit nagyság szerint növekvő sorrendbe rendeztük, azaz a mintából rendezett mintát képezünk. Ekkor a minta mediánja a középső megfigyelt érték, ha páratlan elemszámú a minta, illetve a két középső elem átlaga, ha a minta páros elemszámú. Azaz, n megfigyelés esetén a medián az -edik mintaelem, ha n páratlan, ha pedig n páros, akkor a medián az -edik és az -edik elem átlaga.

Például jövedelmek jellemzésére a medián alkalmasabb, mint a mintaátlag.

Ha egy folytonos eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f , akkor a medián az az m szám, melyre

Tehát a medián az a szám, amely az eloszlást két egyenlő részre osztja.

meg

Összeadás. Azaz a 3 és az 5 szám összeadását jelenti, de rendszerint „3 meg 5”-nek mondjuk.

mega-

SI mértékegységek előtagjaként a -nal való szorzást jelöli.

megbízhatóság

Egy minta átlagának szórásnégyzete. Például az statisztika megbízhatósága , ahol , tehát amint a mintaméret növekszik, az becslés javul, abban az értelemben, hogy a változékonyság csökken.

megbízhatósági intervallum

A konfidenciaintervallum vagy megbízhatósági intervallum olyan, a mintából számított intervallum, amely a populáció valamely paraméterének értékét adott valószínűséggel tartalmazza. Az intervallum végpontjai a konfidenciahatárok. Az adott valószínűséget konfidenciaszintnek hívjuk. Egy tetszőleges, de széles körben használt konfidenciaszint a 95%, ami azt jelenti, hogy egy a húszhoz az esélye annak, hogy az intervallum nem tartalmazza a helyes paramétert. Például, ha egy ismert szórású normális eloszlással rendelkező populáció n megfigyeléséből vett minta átlaga , akkor

egy (szimmetrikus) 95$-os konfidencia intervallum a populáció várhatóértékére.

megengedett

Ha egy feltételes optimalizálási feladatnak a feltételei egyszerre kielégíthetőek, akkor a feladatot megengedettnek hívjuk.

megengedett megoldás nélküli probléma

Olyan feltételes optimalizálási probléma, amelynél a feltételek egyszerre nem elégíthetők ki.

megengedett tartomány

Lásd lineáris programozás.

megengedő diszjunkció

Ha p és q állítások, akkor a „p vagy q” állítás, melynek jele , a p és q diszjunkciója. Például ha a p állítás az, hogy „esik az eső”, a q pedig az, hogy „hétfő van”, akkor a azt jelenti, hogy „esik az eső vagy hétfő van”. Vegyük észre, hogy jelentése „p vagy q vagy mindkettő”. Ez a diszjunkció akkor igaz, ha p és q közül legalább az egyik igaz. Igazságtáblázata a következő: következő:

Néha úgy is említik, hogy „megengedő diszjunkció”, megkülönböztetve a kizáró diszjunkciótól, amely akkor igaz, ha p és q közül pontosan egy igaz.

Lásd még kizáró diszjunkció.

megerősítés

Egy statisztikai kísérletből származó bizonyíték alátámaszthatja valamely hipotézisben való hitünket, erre néha a megerősítés kifejezést használják, habár óvatosan kell ezt tenni; speciálisan el kell kerülni azt a benyomást, mintha a hipotézist minden kétséget kizáróan igazoltuk volna.

megfeleltetés

Lásd kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés.

megfigyelés

Olyan statisztikai vizsgálat, amelyben a kutatók a résztvevőket anélkül kérdezik vagy figyelik meg, hogy kísérleteket terveznének, beavatkozásokkal. Az a tény, hogy a résztvevőket nem randomizált módon helyezik el csoportokba azzal jár, hogy megjelenik a zavaró változók problémája. Lásd még irányított esettanulmányok.

megfigyelő

A vonatkoztatási rendszerekhez célszerű megfigyelőket társítani, akikről azt feltételezik, hogy a mozgásokat ehhez a vonatkoztatási rendszerhez képest észlelik, és képesek távolságok és időtartamok lemérésére.

megfigyelőváltás

Legyen A és B két különböző helyen lévő megfigyelő! Ugyanazt az eseményt A és B különbözőképpen észleli. Ismerve az egyik észlelést, valamint A és B egymáshoz viszonyított helyzetét, lehetővé válik a másik megfigyelő észlelésének kiszámítása klasszikus mechanikai közelítésben, ami megköveteli, hogy az idő és a távolság független legyen a megfigyelő megválasztásától.

megfigyelt érték

Egy valószínűségi változó helyettesítési értéke. Az X valószínűségi változóra vonatkozó n megfigyelést rendszerint jelöli.

megfordítás

A implikáció megfordítása . Ha egy implikáció igaz, a megfordítása lehet igaz is, és hamis is. Ha egy implikáció hamis, a megfordítása biztosan igaz.

meghatároz

Feltételek, amelyek elegendőek egy mennyiség egyértelmű specifikálásához. Például, két pont meghatároz egy egyenest, éppúgy, mint ahogy egy pont és a meredekség is – két dimenzióban.

megismételhető

Például, egy kísérlet, amely megméri, hogy milyen messzire tud egy rugalmas rugó kinyúlni, ha kis tömegeket függesztünk fel. A megismételhetőség kísérleteknél, bizonyításoknál és szimulációnál egyaránt alapvető követelmény.

megmaradási feltétel hálózati folyamokban

Semmi nem halmozódhat fel vagy nyelődhet el egy a forrás és a nyelő közötti pontban, azaz minden közbülső pontban a teljes befolyás egyenlő a teljes kifolyással.

megnyúlás

Egy megnyújtott rugó x hosszúságának és a rugó nyújtatlan állapotban felvett l hosszúságának különbsége, tehát . A rugó megnyúlása negatív lesz, ha a rugót összenyomták.

megoldás

Egy egyenlet(rendszer) megoldása valamely alkalmas (explicite vagy hallgatólagosan definiált) alaphalmaz olyan eleme (szám, vektor, függvény), amelynél a – logikai függvényként felfogott – egyenlet(rendszer) igaz értéket vesz fel. Lásd még ezt is egyenlőtlenség.

megoldáshalmaz

Egy egyenlet(rendszer) összes megoldásának halmaza; valamely alkalmas (explicite vagy hallgatólagosan definiált) alaphalmaz részhalmaza. Lásd még ezt is egyenlőtlenség.

megoldhatatlan

Nincs megoldása. Például megoldhatatlan a valós számok halmazán belül, persze megoldható a komplex számok halmazán belül.

megrajzolás

Pontok megjelölése egy koordináta-rendszerben. Egy függvény görbéjének a megszerkesztésével kapcsolatban is használjáuk, amikor bizonyos számú pontot megrajzolunk, és kikövetkeztetjük a görbe viselkedését a megrajzolt pontok között.

megszámlálható

Az X halmaz megszámlálható, ha létezik kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés X és a természetes számok valamely részhalmaza között. Tehát egy megszámlálható halmaz vagy véges, vagy megszámlálhatóan végtelen. Egyes források a „megszámlálható”-n a megszámlálhatóan végtelent értik.

megszámlálhatóan végtelen

Az X halmaz megszámlálhatóan végtelen, ha van kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés X és a természetes számok halmaza között. Megmutatható, hogy a racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen, de a valós számok halmaza nem. Egyes források a megszámlálhatón megszámlálhatóan végtelent értenek.

megszüntethető szingularitás

Lásd szinguláris pont.

mellékszög

Egy egyenesen fekvő két olyan szög, amelyeknek egyik száruk ugyanaz a félegyenes. A mellékszögek összege .

mellékszögek, társszögek

Egymást 180 fokra kiegészítő párhuzamos szárú szögek.

mellette fekvő oldal

Derékszögű háromszögnek az az oldala, amely a derékszög és az adott szög között van.

Meneláosz

(i. sz. 100 körül) Görög matematikus, akinek egyetlen fennmaradt munkája egy fontos tanulmány a gömbi geometriáról és annak csillagászati alkalmazásairól szól. Ebben elsőként használta a főkör fogalmát és vizsgálta a gömbháromszögek tulajdonságait. A róla elnevezett tételt gömbi háromszögekre is kiterjesztette.

Meneláosz tétele

Legyen és N három pont az ABC háromszög és AB oldalegyenesein. Ekkor és N pontosan akkor kollineáris, ha

(Itt a szakaszok előjeles hosszáról van szó, azaz úgy tekintjük, hogy BC iránya B-ből C-be mutat. Tehát például LC pozitív, ha LC és BC iránya megegyezik, és negatív ellenkező esetben.) Lásd még Ceva tétele.

mennyiség

Olyan dolog, aminek numerikus értéke vagy nagysága van.

meredekség

Lásd gradiens.

merev test

Olyan test, melynek alakja nem változik, bármilyen erők hatnak is a testre. A matematikai modellekben merev testek reprezentálhatják az olyan valódi testeket, amelyeknek deformációi elhanyagolhatók. A merev test állhat részecskékből, melyeknek távolsága rögzített, és ezáltal merev szerkezetet alkotnak, vagy lehet folytonos anyageloszlású rúd, lemez, illetve háromdimenziós test is. A merev test mozgásának vizsgálata során általában a következőkkel foglalkoznak: a test térbeli helyzete, szögsebessége, impulzusmomentuma, mozgási energiája, illetve tömegközéppontjának helyvektora, sebessége és gyorsulása. Egy merev test általában hat szabadsági fokú. A vektori formában felírt mozgásegyenletek egyike a test tömegközéppontjának mozgását írja le, a másik pedig az impulzusmomentum változási ütemét kapcsolja össze a merev testre ható erők forgatónyomatékaival.

mérhető függvény

Azt mondjuk, hogy a D halmazon értelmezett f valós-valós függvény mérhető az halmaz részhalmazaiból álló X -algebrára nézve, ha minden k valós számra .

mérhető halmaz

Legyen X az S halmaz részhalmazaiból álló -algebra. Ekkor X elemeit mérhető halmazoknak nevezzük.

meridián

Lásd délkör.

merőleges

Egymással derékszöget bezáró. Lehet két egyenes, két sík, egy egyenes és egy sík, vagy egy egyenes és egy felület. Görbék merőlegességét érintőik merőlegességével definiáljuk.

merőleges egyenesek

A sík koordinátageometriájában hasznos szükséges és elégséges feltétel arra, hogy két, és meredekségű egyenes merőleges legyen az, hogy . (Ebbe az az eset is beleértendő, amikor és végtelen, illetve fordítva.)

merőleges összetevő

Lásd radiális és transzverzális komponensek.

merőleges síkok

Két sík a háromdimenziós térben merőleges egymásra, ha a két sík normálisa merőleges egymásra. Ha és a síkok normálisai, ez azt jelenti, hogy .

merőleges távolság

Egy pontnak egy egyenestől vagy síktól vett azon távolsága, amelyet a ponton átmenő, az egyenesre vagy a síkra merőleges egyenes mentén mérünk. Ez lesz a legrövidebb távolság a pont és az egyenes vagy a sík bármely pontja között.

merőleges vektorok

Az a és b sík- vagy térbeli vektor egymásra merőleges (vagy ortogonális), ha derékszöget zárnak be, azaz a skaláris szorzatuk nulla: .

merőleges vetítés

Egy alakzatnak valamely egyenesre vagy síkra vonatkozó vetítése oly módon, hogy az alakzat minden pontjához hozzárendeljük az egyenesnek vagy a síknak az alakzathoz legközelebbi pontját. Ha X jelöli az alakzat pontját és a képét, akkor ez azt jelenti, hogy merőleges az egyenesre vagy a síkra.

Mersenne, Marin

(1588–1648) Francia szerezetes, filozófus és matematikus, aki a kortársak, Descartes, Fermat, Galilei és Pascal között játszott fontos közvetítő szerepet kiterjedt levelezése révén. Úgy tartották, hogy Mersenne-t értesíteni egy felfedezésről felér azzal, mint egész Európában publikálni. Megpróbált képletet találni a prímszámokra, és a alakú számokat vizsgálta, ahol p prím. Az ilyen alakú prímeket Mersenne-prímeknek nevezzük, azonban nem minden ilyen szám prímszám, például nem az.

Mersenne-féle prím

alakú prímszám, ahol p prímszám. Az ilyen alakú ismert prímek száma több mint 30, és számítógépek használata segítségével egyre többet találnak meg közülük. 2006 szeptemberében a legnagyobb ismert Mersenne-prím a mintegy tízmillió jegyű szám, de folyamatos, együttes keresés folyik az interneten keresztül összekapcsolt számítógépekkel egyre nagyobbak fellelésére. Minden Mersenne-prímből előállítható egy páros tökéletes szám.

mértani haladvány

Lásd mértani sorozat.

mértani hely

Régebben a sík (esetleg a tér) bizonyos feltételnek eleget tevő részhalmazait a mértani hely elnevezéssel illették. Például a síkban azon pontok mértani helye, melyek egy adott ponttól egyenlő távolságra vannak, kör. Azon pontok mértani helye a síkon, melyek két adott ponttól, A-tól és B-től egyenlő távolságra vannak, az AB szakasz szögfelező merőlegese. Ha egy koordináta-rendszerben a mértani hely felírható alakban, akkor az egyenletet a mértani helyet megadó egyenletnek nevezzük.

mértani közép

Lásd közép.

mértani sor

Az véges vagy végtelen sor mértani sor, ha tagjai mértani sorozatot alkotnak. így minden k-ra fennáll az összefüggés, ahol q a sor kvóciense, továbbá . Jelölje a a sor első tagját és legyen az első n tag összege, azaz . Ekkor a következő képlettel is kifejezhető (ha ):

Ha a q kvóciensre teljesül, akkor , tehát . Az értéket az végtelen sor összegének nevezzük. Speciálisan, ha , akkor az mértani sor összege . Innen például helyettesítéssel azt kapjuk, hogy az sor összege 2. Ha vagy , akkor az sorozatnak nincs véges határértéke, így a végtelen sornak nem létezik összege.

mértani sorozat

Ha az véges vagy végtelen sorozathoz van olyan q valós szám, melyre , akkor a sorozatot mértani sorozatnak nevezzük. A q szám neve hányados vagy kvóciens. Például olyan mértani sorozat, melyre és . A mértani sorozat n-edik tagjára teljesül: .

mérték

Legyen X az S halmaz részhalmazaiból álló -algebra, és legyen ezen a -algebrán értelmezett nemnegatív értékű függvény, amelyre teljesül, hogy Például a valószínűség olyan speciális mértéknek tekinthető, melynek értékkészlete a intervallum. Ha egy függvény rendelkezik a fenti tulajdonságokkal, de negatív értékeket is felvehet, akkor előjeles mértéknek nevezzük. Megengedhetjük azt is, hogy értékeit a kiterjesztett valós számok halmazából vegye föl.

mértékegység

Lásd SI egységrendszer.

mértékelmélet

A matematikának az a területe, amely a mérhető halmazokkal és mérhető függvényekkel foglalkozik.

mértéktér

A mértéktér egy S halmazból, egy -algebrából és egy X-en értelmezett mértékből áll, ahol az S halmaz hatványhalmaza.

méter

Az SI egységrendszerben a hosszúság alapegysége, rövidítve . Régebbi definíció szerint egy méter az Egyenlítő és a déli vagy az északi sark távolságának egymilliomod része. Később a Párizsban meghatározott körülmények között tárolt platina-irídium rúd hosszaként definiálták. Ma a kripton 86-os izotópja által kibocsátott egyik sugárzás hullámhosszának segítségével definiálják.

metrika

(távolságfüggvény) Legyen X nem üres halmaz, és d ennek elempárjaihoz nemnegatív értékeket rendelő függvény: . Ekkor d segítségével két pont távolsága és így metrikus tér definiálható. A metrikától a következő tulajdonságokat követeljük meg:

  1. pontosan akkor, ha ;

  2. ;

  3. bármely esetén.

metrikus tér

Egy halmaz, és egy, a halmazon értelmezett metrika (távolságfüggvény) együttese.

metszés

Két geometriai alakzat vagy görbe akkor metszi egymást, ha van legalább egy közös pontjuk. E közös pont(ok) a metszéspont(ok).

metszet

Síkbeli alakzat, amelyet egy sík metsz ki egy felületből vagy testből. Ha a testnek vagy felületnek van szimmetriatengelye, és a sík merőleges erre a tengelyre, akkor a metszet neve keresztmetszet. Például az egyenes körkúp összes keresztmetszete kör, és a keresztmetszet sugara arányos a csúcs síktól mért távolságával.

metszet

Valamely alaphalmaz A és B részhalmazának metszete az a halmaz, melynek elemei A-hoz is és B-hez is hozzátartoznak. Jelölése (ejtsd „A metszet B”). A „metszet” szót mind az eredményül kapott halmazra, mind az alaphalmaz részhalmazain értelmezett kétváltozós műveletre használjuk. Teljesülnek a következő tulajdonságok:

  1. Minden A halmaz esetén és .

  2. Minden A és B halmazra , azaz a metszetképzés kommutatív.

  3. Minden és C halmazra , azaz a metszetképzés asszociatív.

A (iii) tulajdonság szerint két vagy több halmaz metszete, , zárójelek nélkül is felírható, és jelölhető a következőképpen:

Két esemény metszetéhez lásd esemény.

mikro-

SI mértékegységek előtagjaként a -nal való szorzást jelöli.

Milétoszi Thálész

Lásd Thálész.

millenniumi problémák

Hét klasszikus matematikai probléma, amelyek az ezredforduló idején megoldatlanok voltak, és amelyet a cambridge-i (Massachusets állam) Clay Matematikai Intézet tett közzé 2000. május 24-én, és amelyek mindegyikének a megoldásáért egymillió dollárt ígértek. A hét probléma következő: P és NP, a Hodge-sejtés, a Poincaré-sejtés (ezt azóta – úgy tűnik – Grigorij Perelman igazolta, majd a részben ezért kapott Fields-érmet visszautasította), a Riemann-sejtés, a Yang–Mills-elmélet, Navier–Stokes-egyenletek megoldásának létezése és simasága és a Birch-Swinnerton-Dyer-sejtés.

milli-

SI mértékegységek előtagjaként a -nal való szorzást jelöli.

milliárd

Ezer millió ( ).

milliméterpapír

Előre nyomtatott egymást metsző egyeneseket tartalmazó papír. A leggyakrabban egyenesek két egyenlő közű párhuzamos seregét tartalmazza, amelyek egymásra merőlegesek, de mindkét tengelyen lehet logaritmikus beosztás is, vagy olyan, amelyik valamilyen valószínűség-eloszlásból származik.

Milnor, John Willard

(1931– ) Amerikai matematikus, a differenciáltopológiában elért eredményeiért 1962-ben Fields-érmet kapott, 1989-ben a Wolf-díj nyertese volt.

minimális folyam (hálózatban)

Az éleken keresztül folyó folyamok legkisebbike. Csak akkor érdekes, ha nullánál nagyobb.

minimális súlyozott feszítő fa

A gráfelmélet egyik problémája, hogy hogyan találjuk meg egy összefüggő, súlyozott élű gráf olyan feszítő fáját, amelyben az élekhez rendelt súlyok összege minimális. Ennek megtalálása fontos például olyan gyakorlati problémák megoldásánál, hogy hogyan lehet minimális költséggel (adott pontok között) kábelrendszert vagy csővezeték-rendszert kiépíteni, ami lényegesen különbözik attól, hogy hogyan hozzunk létre pontok között szállításhoz használható kapcsolatokat. A minimális súlyozott feszítő fa meghatározására két szokásos módszer a Kruskal-algoritmus és a Prim-féle algoritmus.

minimax stratégia

Lásd konzervatív stratégia.

minimax tétel

Lásd a játékelmélet alaptétele.

minimum

Lásd legkisebb érték, lokális minimum.

Minkowski, Hermann

(1864–1909) Matematikus. Litvániában született német szülők gyermekeként. Szoros barátság fűzte Hilberthez. A teret és az időt négydimenziós struktúraként fogta fel, amivel jelentősen hozzájárult a relativitáselmélet megalapozásához. Kiemelkedő eredményeket ért el a számelmélet területén is. Hilbert közeli barátja volt.

minőségellenőrzés

Statisztikai módszerek alkalmazása termelési vagy egyéb folyamatban a minőség meghatározott szintjének fenntartására. A módszerek között szerepel az elfogadási mintavétel, amelynek alapján döntünk, hogy átvegyünk-e egy adott szálítmányt, és a kontrollkártyák, amelyek alapján azonosítjuk azt a pontot, amelynél folyamatba be kell avatkozni.

minta

A populáció részhalmaza, amelyet abból a célból választottak ki, hogy a populációról statisztikai következtetéseket vonjanak le. (Szigorúan véve ez nem is egy részhalmaz, mert elemei ismétlődőek is lehetnek.) A minta véletlen minta, ha az azonos méretű minták bármelyike azonos valószínűséggel választható. Ha a mintát úgy választjuk meg, hogy a populáció egyetlen eleme se szerepeljen benne többször, ez a visszatevés nélküli mintavétel. A visszatevéses mintavétel esetén egy elemet többször is kiválaszthatunk. Az arányos minta olyan, amelyben egy előre meghatározott lista minden egyes kategóriájából megadott számú elem szerepel. Lásd még rétegezett minta.

mintaelem rangja

Azt mondjuk, hogy a megfigyelések egy mintában rendezettek, ha bizonyos kritériumok szerint rendezve vannak. Például a számok növekvő vagy csökkenő rendben lehetnek rendezve, az emberek a magasságuknak vagy koruknak megfelelően, és a termékek a kelendőségük szerint. Egy megfigyelés rangja a helye a listában, ha a minta rendezett. A nemparaméteres eljárás gyakran használják a rangot a mintában szereplő megfigyelések számszerű értéke helyett.

mintaeloszlás

Minden mintaelem egy valószínűségi változó, mert értéke egyik mintáról másikra változik. Ennek a valószínűségi változónak az eloszlása a mintaeloszlás.

mintaterjedelem

Numerikus adatok esetén a legkisebb és a legnagyobb megfigyelés közötti különbség. Egy statisztikai minta szóródásának lehetséges mérőszáma.

mintavételi torzítás

Az a torzítás, amit a mintavétel módja okoz. Ha például hétfőn reggel kérdezzük meg egy város embereit, akkor valószínűleg számarányuknál kevesebb tanár és ingázó fog szerepelni a megkérdezettek között, azaz ezek a csoportok alul lesznek reprezentálva.

modell

Lásd matematikai modell.

modulo n összeadás és szorzás

A „modulo” szó azt jelenti: „a modulushoz viszonyítva”. Legyen n pozitív egész, és legyen S a teljes maradékrendszer modulo n. Ekkor az S-beli összeadást (a modulo n összeadást) a következőképpen definiáljuk. Ha a és b S-beli elemek, akkor ezek összege legyen az az elem, melyre kongruens r-rel (mod n). Hasonlóan definiálható a modulo n szorzás is. Az a és b S-beli elemek szorzata legyen az az szám, melyre ab kongruens s-sel (mod n). Például a következő két táblázat a modulo 5 összeadást és szorzást adja meg:

modulus

Lásd kongruencia (modulo n).

modus ponens

Más néven leválasztási szabály. Olyan következtetési szabály, mely szerint ha egy feltételes állítás és a benne foglalt előzmény igaz, akkor az állításban szereplő következmény is igaz.

modus tollens

Olyan következtetési szabály, mely szerint ha a feltételes állítás és a következmény tagadása igaz, akkor az előzmény hamis.

módusz

A leggyakrabban előforduló érték egy mintában. Csoportosított adatoknál a módusz az a csoport, amely a leggyakrabban fordul elő. Folytonos eloszlású valószínűségi változó módusza az az érték, melynél a sűrűségfüggvénynek lokális maximuma van. (A fogalom diszkrét valószínűségi változóra való átvitele körülményesebb.)

móduszintervallum

Csoportos mintavétellel kapott adatok esetén az a csoport, amelyikbe a legtöbb adat esik. Miként a módusz esetén, itt sincs garancia arra, hogy egyetlen ilyen intervallum létezik.

momentum

(statisztika) Az mintaértékekből számított, p körüli j-edik (tapasztalati) momentum

Az X valószínűségi változó p körüli j-edik (elméleti) momentuma . (Lásd várható érték.) A 0 körüli első momentum a várható érték. A várható érték körüli második momentum a szórásnégyzet.

Tegyük fel, hogy mintát vettünk egy sokaságból, melyet k ismeretlen paraméterrel lehet leírni. A momentumok módszere alapján a k számú ismeretlen paraméterre oly módon kaphatunk becslést, hogy az első k elméleti és tapasztalati momentumot egyenlővé tesszük egymással, és az egyenletrendszert megoldjuk. Ez az ismeretlen paraméterek ún. momentumbecslése.

momentumbecslés

A momentumok módszerével készített becslés. Lásd momentum.

momentumgeneráló függvény

Az X valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye a képlettel értelmezett függvény. Ha létezik, akkor mivel és E additív függvény, ezért kifejezésében együtthatója lesz. Ezáltal X momentumait a függvény segítségével meghatározhatjuk.

momentumok módszere

Lásd momentum.

Monge, Gaspard

(1746–1818) Francia matematikus. Napóleon kormányában volt miniszter, döntő szerepe volt a párizsi École Polytechnique megalapításában. Geometriaelőadásai szorosan kapcsolódtak kutatási területéhez: ő tekinthető az ábrázoló geometria megteremtőjének és a modern analitikus geometria megalapozójának.

monoton függvény

Az f valós függvény monoton az I intervallumon, ha vagy (monoton) növekvő I-n , ha , vagy (monoton) csökkenő , ha . Hasonlóan, f szigorúan monoton, ha vagy szigorúan monoton növő, vagy szigorúan monoton csökkenő.

monoton sorozat

Az sorozat monoton, ha vagy monoton növekvő (azaz minden i-re), vagy monoton csökkenő (azaz minden i-re), és szigorúan monoton, ha vagy szigorúan monoton növekvő vagy szigorúan monoton csökkenő.

Monte Carlo-módszer

Valamely probléma olyan közelítő megoldása, amely azon alapul, hogy egy kísérletet többször elvégzünk, majd megfigyeljük, hogy valamilyen tulajdonság milyen arányban fordul elő. Bonyolult valószínűségek is becsülhetők számítógépes szimulációban mért relatív gyakoriságok felhasználásával. A módszert használják bonyolult vagy többszörös integrálok kiszámítására is.

morfizmus

A függvény és a leképezés általánosítása a kategóriaelméletben.

Morley tétele

A következő, Frank Morley (1860–1937) nevéhez fűződő

Tétel. Bármely háromszögben a szomszédos szögharmadolók metszéspontjai szabályos háromszöget határoznak meg.

Figyelemre méltó, hogy az eukleidészi geometriának ezt az elegáns tételét Eukleidész után milyen sokkal fedezték fel.

mozgásegyenlet

A részecskék mozgását leíró második newtoni mozgástörvényen alapuló egyenlet. Vektori formában az egyenlet alakú, ahol F az m tömegű részecskére ható erők vektori összege. Ez az egyenlet ekvivalens a Descartes-féle koordinátákkal felírt , és differenciálegyenlet-rendszerrel, ahol . Az egyenlet szintén ekvivalens az -vel jelölt hengerkoordinátákkal felírt és egyenletrendszerrel, ahol most és (lásd radiális és transzverzális komponensek).

mozgási energia

A testek mozgásához társított energia. A mozgási energiát általában jelöli. Egy m tömegű, v sebességgel mozgó részecske mozgási energiája . Tegyük fel, hogy egy merev test szögsebességgel forog egy rögzített tengely körül! A test részei ekkor különböző sebességgel mozognak. A részek együttes mozgási energiáját a test forgási energiájának nevezik, és általában -fel jelölik. Ha I jelöli a testnek a rögzített tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát, akkor a test forgási energiája .

A mozgási energia tömeg szorozva hosszúság a négyzeten szorozva idő a mínusz másodikon dimenziójú, SI mértékegysége pedig a joule.

mozgó átlag

Az megfigyeléssorozat n-edrendű mozgó átlaga a számtani közepek következő sorozata:

Használnak súlyozott mozgó átlagot is, amilyen például

Möbius, August Ferdinand

(1790–1868) Német csillagász és matematikus, főleg geometriával és topológiával foglalkozott. Róla nevezték el a Möbius-szalagot.

Möbius-szalag

Möbius-szalagot kapunk, ha egy hosszú szalag vagy papírcsík két keskenyebbik végét összeillesztjük úgy, hogy az egyik a másikhoz képest félig elcsavarodjon. A felület bármely két pontja folytonos vonallal összeköthető úgy, hogy a vonal nem megy át a szalag szélén. így a Möbius-szalag egyoldalú felület: egyetlen oldala és egyetlen éle van.

Érdekes alakzatokat kaphatunk, ha a Möbius-szalagot hosszában két vagy több részre vágjuk, illetve ha hasonlót teszünk olyan szalagokkal, amelyek létrehozásánál a csíkot egész fordulattal csavarjuk el.

multikollinearitás

Többváltozós lineáris rengressziónál multikollinearitásról beszélünk, ha két vagy több magyarázó változó egymással szoros korrelációban van.

multiplicitás

Lásd gyök.

multiplikatív csoport

Olyan csoport, amelyben a műveletet szorzásnak nevezzük. Két elem szorzatát jelölhetjük ab-vel, -vel, -vel stb.

multiplikatív egység

A szorzás műveletére nézve neutrális elem, így például a valós és komplex számok multiplikatív csoportjában a multiplikatív egység az 1 szám, a -as invertálható mátrixok csoportjában az egység a mátrix.

multiplikatív inverz

Lásd inverz elem.

munkatétel

Egy részecske mozgási energiájának valamely időtartam alatti megváltozása egyenlő a részecskére ható erők eredőjének az adott időtartam alatti munkavégzésével.

munkavégzés

Az F erő munkavégzése a és a időpont között

ahol v az erő támadáspontjának sebességfggvénye.

Egy m tömegű, a gyorsulású részecske mozgásegyenletébol adódik, hogy , ez pedig az egyenletté írható át. Integrálás után azt kapjuk, hogy a részecske mozgási energiájának megváltozása egyenlő az erő munkavégzésével.

Tegyük fel, hogy egy részecske az x-tengely mentén a pozitív irányban mozog, kitérése és sebessége a t pillanatban , illetve , és a részecskére a pozitív irányba mutató állandó erő hat! Ekkor az erő munkavégzése a és a időpont között

Az integrál értéke . Ezt gyakran így fejezik ki: „munka ero kitérés”.

Egy konzervatív erő munkavégzése egyenlő a potenciális energia megváltozásának -szeresével. Ha egy személy a talaj szintjéről z magasságra emel fel egy m tömegű testet, akkor az általa végzett munka mgz-vel, vagyis a test helyzeti energiájának növekedésével egyenlő.

A munka tömeg szorozva hosszúság a négyzeten szorozva idő a mínusz másodikon dimenziójú, SI mértékegysége pedig a joule.

művelet

Az S halmazon értelmezett művelet olyan függvény, amelyik S bizonyos számú elemeihez rendel hozzá elemeket. Ha ez utóbbiak mindegyike is S-ben van, akkor azt mondjuk, hogy a művelet zárt. Egyváltozós, illetve kétváltozós műveletről beszélünk akkor, ha a függvény értelmezési tartománya az S, illetve az halmaz. Ez utóbbi esetben tehát S bármelyik két eleméhez hozzá van rendelve valamilyen elem. Például egyváltozós művelet a pozitív valós számokon, pedig kétváltozós művelet valamely adott halmaz részhalmazainak halmazán; mindkettő zárt.

műveletei jel

Jel, amely azt mutatja, hogy egy vagy több mennyiséggel el kell végezni egy műveletet.

műveleti jel

Valamely művelet jele, például: és aritmetikában, vagy függvények konvolúciójának jelölésére.