Ugrás a tartalomhoz

OXFORD - Matematika : Kislexikon

Tóth János (2007)

Typotex Elektronikus Kiadó Kft.

Sz

Sz

szabadsági fok

(statisztikában) Az a pozitív egész, amely általában egyenlő egy mintában a független megfigyelések száma mínusz a populáció mintából becsült paramétereinek száma. Ha a -próbát alkalmazzuk egy olyan kontingenciatáblázatra, amelynek h sora és k oszlopa van, akkor a szabadságfok .

Számos esetben ismernünk kell a szabadsági fokok számát ahhoz, hogy eldöntsük, melyik eloszláscsaládot kell használnunk. A -eloszlás és a t-eloszlás egyaránt egy szabadságfok-paraméterrel rendelkezik, míg az F-eloszlás kettővel.

szabadsági fok

(a mechanikában) Egy test szabadsági fokainak száma azonos azon független koordináták minimális számával, melyekkel a test helyzete egy vonatkoztatási rendszerhez képest bármely pillanatban leírható. Egyenes vonalú mozgást vagy körmozgást végző részecske egy szabadsági fokkal rendelkezik. Szintén egy szabadsági fokú egy merev test, mely egy rögzített tengely körül forog. Síkmozgást végző részecske – például egy lövedék – két szabadsági fokú, csakúgy, mint egy hengerfelületen vagy egy gömbfelületen mozgó részecske. Általános mozgást végző merev test hat szabadsági fokú.

szabályos gráf

Olyan gráf, amelyben a pontok azonos fokszámúak. A gráfot r-szabályosnak vagy szabályos r-fokú gráfnak nevezzük, ha minden pont foka r.

szabályos parkettázás

Lásd parkettázás.

szabályos test

Egy konvex poliéder szabályos, ha minden oldala és minden szöge hasonló. Pontosabban, ez azt jelenti, hogy

  • minden éle egyenlő hosszú,

  • minden élszöge és

  • minden lapszöge egyenlő.

Ezekből következik, hogy olallapjai egybevágó szabályos sokszögek (jelölje ezek oldalainak számát q), és az is, hogy minden csúcsukban ugyanannyi – q számú – él találkozik.

Vegyük észre, hogy az itt bemutatott 6 háromszög fedte poliéder, kielégíti az első feltételt, de nem szabályos, mert nem elégíti ki a második kritériumot.

Öt szabályos konvex poliéder van, amelyekett néha platóni testeknek is hívnak:

  • a szabályos tetraéder, amelynek 4 háromszög alakú oldallapja van ,

  • a szabályos kocka, melynek 6 négyzet alakú oldala van ,

  • a szabályos oktaéder, melynek 8 háromszög alakú oldala van ,

  • a szabályos dodekaéder 12 ötszögű oldallal ,

  • a szabályos ikozaéder 20 háromszögű oldallal .

szabványos lineáris programozási feladat

Amelynél az célfüggvényt maximalizálni kell, és a nemnegativitáson túli feltételek alakban vannak megadva. Ha a célfüggvényt minimalizálni kell, akkor a feladat úgy hozható szabványos alakra, hogy a célfüggvényt maximalizáljuk, tudván, hogy az optimális megoldást a végén meg kell majd szorozni -gyel. A szabványos lineáris programozási feladatokat a szimplexmódszerrel lehet megoldani.

szakadás

Az f függvénynek az pontban szakadása van, ha nincs értelmezve, vagy ha különbözik az f függvény pontban vett jobb- vagy baloldali határértékétől. Például az függvénynek az pontban szakadása van.

szakasz

Ha A és B két pont egy egyenesen, akkor az egyenesnek az A és B pontok közé eső része a pontokkal együtt egy (egyenes)szakaszt alkot. Ezt jelölheti AB vagy BA. (Az AB jelölés használható más jelentésben is, az a valós szám, amely az vektor irányított hossza.) Lásd még: irányított egyenesszakasz.

szakasz felosztása

Olyan pont felvétele egy adott szakszon, amely azt meghatározott arányú részekre osztja. A felosztás lehet belső vagy külső.

szakasz hossza

Az AB szakasz -vel jelölt hossza, vagy az irányított egyenesszakasz -vel jelölt hossza az A és B pontok távolságával egyenlő. Ha az A és B pontok egybeesnek, akkor távolságuk nulla, máskülönben pozitív.

szakaszonként folytonos

Egy függvény az intervallumon szakaszonként folytonos, ha a függvény az intervallum minden pontjában – véges számú pont kivételével – folytonos.

szál

Lásd rugalmas szál és nyújthatatlan szál.

szállítási feladat

A lineáris programozás egyik alapvető alkalmazása, melyben egy bizonyos terméket kell meghatározott gyárakból a boltokba szállítani úgy, hogy a szállítási költség minimális legyen. Tegyük fel például, hogy m gyárunk és n boltunk van, és a szállítási költségeket a ( , ) pozitív elemű mátrix tartalmazza, ahol az egységnyi árumennyiség átszállítási költségét jelenti az i-edik gyárból a j-edik boltba. Tegyük fel továbbá, hogy meg van adva minden egyes gyár esetén a maximális termelő kapacitás, illetve a boltok esetén a minimális szükséglet. A feladat alkalmas változók bevezetése után a lineáris programozás algoritmusaival oldható meg.

számegyenes

Lásd valós egyenes.

számelmélet

A matematikának az a területe, amelyik az egész számok, ezen belül kiemelten a prímszámok aritmetikai tulajdonságait vizsgálja. Számok négyzetszámok összegeként való előállítása például nagyon elvont problémának tűnik, de a számelmélet ilyen és ehhez hasonló problémáinak a megoldásai alapvető szerepet játszanak többek között az elektronikus kommunikáció biztonságos titkosításánál; különösen, ha az üzenetek könnyen elfoghatók és nagyteljesítmányű számítógéppel elemezhetők.

számítógép

Általában digitális elektronikus készülék, amely logikai és aritmetikai műveleteket végez egy nagyon precíz utasításhalmaz szerint, amelyeket a szoftverként ismert program tartalmaz. Tipikusan több komponensből tevődik össze, noha egy laptopban vagy egy kézi számítógépben ezek némelyike együtt, egy egységként jelenik meg. Ezek a komponensek hardver néven ismertek, és a következőket foglalják mgukba.

  1. Beviteli eszközök (amilyen a billentyűzet, az egér, mikrofon a beszédfelismerő programokhoz, digitalizáló tábla).

  2. Központi feldolgozó egység (CPU) vagy processzor, ami ténylegesen a számításokat valamint a vezérlést végzi.

  3. Háttértárolók (amilyen az operatív memória, a számítógép merevlemeze és a külső tárolók, mint a hajlékonylemez-meghajtók vagy a CD olvasók).

  4. Kimeneti eszközök (amilyen a képernyő vagy a vizuális megjelenítő egység, a nyomtató, a CD írók).

  5. Hálózati kommunikációs eszközök (amilyen a modem, amely lehetőséget nyújt más számítógépekhez, vagy az internethez való kapcsolódásra).

Neumann János fogalmazta meg, hogy a fenti elemek szükségesek egy számítógép működéséhez.

A digitális gépeken kívül ismertek, de kevésbé elterjedtek az analóg gépek, és az analóg és digitális elemekből felépülő hibrid számítógépek.

számjegy

A számok jelölésére használatos szimbólum. A római számrendszerben az és római számjegyek az és 1000 számokat jelölik. A (hindu-)arab számrendszer 0,1,2,3,4,5,6,7,8 és 9 arab számjegyeivel a valós számokat a napjainkban szokásos módon (tízes számrendszerben) lehet megadni. Hexadecimális leírásban a és F, bináris leírásban pedig csak a 0 és az 1 szimbólum szerepel. Lásd a számrendszereket.

számláló

Lásd tört.

számok szorzása

Egész számok szorzása ismételt összeadással definiálható, azaz például (és ). Racionális számok szorzata definiálható az egész számokéhoz hasonlóan az összeadás és az osztás segítségével.

számol

Egy gyerek az absztrakt számfogalom kialakulásának kezdeti szakaszában megérinti a tárgyakat és a természetes számok neveit sorolja:

számológép (vagy kalkulátor)

Olyan eszköz, amely aritmetikai számításokat, vagy algebrai átalakításokat végez. A legkorábbi példa az abakusz. A mai zsebszámológépek a korai nagyszámítógépek számítási teljesítményével rendelkeznek.

számosság

Az a szám, amely megadja egy halmaz elemeinek számát. Ha két halmaz között létesíthető kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, akkor azok kardinális száma vagy számossága ugyanaz. A véges halmazok kardinális száma , lehet. Véges A halmazra, az A számossága, jelölésben az A halmazban lévő elemek száma. (A vagy az jelölés is használatos.) Valamilyen H alaphalmaz A,B és C részhalmazaira fenáll, hogy

  1. ,

  2. .

Ahhoz, hogy a végtelen halmazok számosságát is le tudjuk írni, új szimbólumokat kell bevezetnünk. Lásd alef és alef nulla.

Szamoszi Arisztarkhosz

Lásd Arisztarkhosz.

számrendszer

Az óegyiptomi számrendszer különböző szimbólumokat használt az számok jelölésére, és ezek ismételgetésével (kötött sorrendben) ábrázolta a természetes számokat. Később a babiloniak az 1 és a 10 szám jelölésére vezettek be jeleket, és ezek ismételgetésével írták le a számokat 1-től 59-ig, azután pedig a helyi értékes 60-as számrendszerben (azaz 60-nak különböző hatványai szerinti csoportokban) írták a számokat.

A görög számrendszer betűkkel jelölte a számokat. Például és , valamint a és a jelentette az 1,2,3 és 4, valamint a és 40 számokat. A héber betűk is képviselnek egy-egy számértéket (például , tav = 400), ezt elsősorban a vallási életben, de olykor más területen is, mindmáig használják. Az betűt a mai matematikában más értelemben használják, bár számosságot jelöl.

Még napjainkban is ismeretes (és például hónapok és évszázadok azonosítására használatos is) a római számrendszer. Durván szólva a római számokat annyiszor ismételgetjük, ahányszor szükséges ahhoz, hogy megkapjuk a végeredményt, általában a nagyobb számokat írjuk le a kisebbek előtt, kivéve azt az esetet, amikor a kisebb azért jelenik meg a nagyobbik előtt, hogy levonjuk belőle. Például a számok római számmal: .

Az arab (pontosabban: hindu-arab) számrendszer – amelyben napjainkban is írjuk a számokat – az arab számjegyeket és a 10-es alapú helyiértékes jelölésmódot használja. Indiából ered, az első rá voatkozó feljegyzések a VI. századból származnak. Európába a XII. századba került, Fibonacci és mások népszerűsítették.

számrendszer alapszáma

Egy egész számot – például a 4703 számot – szabványos decimális jelölésben így írunk 4703, mert

Ugyanez a szám a nyolc hatványait tartalmazó tagokkal a következőképpen írható fel:

A jobb oldalon álló kifejezés rövidítése , és ez a 4703 szám nyolcas alapú számrendszerbeli alakja. Általánosságban, ha egész szám, akkor bármely a pozitív egész szám egyértelműen felírható az

alakban, ahol minden nemnegatív egész. Ez az a szám ábrázolása a g alapú számrendszerben, rövidítve . Nemcsak az egész számok írhatók fel bármely alapú számrendszerben, hanem tetszőleges valós számok is, hasonlóan a valós számok decimális (tízes alapú) ábrázolásához, úgy, hogy a „tizedes” pont után is írunk alkalmas számjegyeket. Lásd bináris, decimális, hexadecimális számábrázolás.

szám szabványos alakja

Lásd tudományos alak.

számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség

A nemnegatív számok egy halmazának számtani közepe soha nem kisebb, mint ezek mértani közepe. Speciálisan tehát bármely számra . Általánosan, az halmazra, ahol minden i-re, fenáll, hogy , az egyenlőség pedig akkor és csak akkor igaz ha minden egyenlő.

számtani haladvány

Lásd számtani sorozat.

számtani közép

Lásd közép.

számtani-mértani közép

Határértéke annak a sorozatnak, amit a számtani-mértani közép iteráció által kapunk.

számtani-mértani közép iteráció

Legyen a és b pozitív valós szám és legyen és , továbbá és . Ekkor a számtani-mértani közép.

számtani sor

Az sor (mely lehet véges vagy végtelen), ahol a tagok számtani sorozatot alkotnak. Tehát a tagok közös d differenciával rendelkeznek, azaz minden -re. Legyen a számtani sor első n elemének összege, vagyis

Abban a speciális esetben, amikor és , az első n természetes szám összegét kapjuk:

számtani sorozat

Az tagok véges vagy végtelen sorozata d közös differenciával, vagyis , és így tovább. Például, a sorozat számtani sorozat, itt és . Egy számtani sorozatban az n-edik tag az képlettel határozható meg.

száras-leveles ábra

Csoportosított adatok ábrázolásának olyan módszere, amelynél egy elforgatott hisztogrammhoz hasonlót kapunk. Ha a megfigyeléseink: 45,25,67,49,12,9,45,34,37,61,23, és a csoportok a következő intervallumok: 0–9, 10–19, 20–29, 30–39, 40–49, 50–59, 60–69, akkor a bal oldalon látható száras-leveles ábrát kapjuk. Mivel a csoportokat a tízes helyiérték definiálja, gyakrabban a jobb oldalon álló egyszerűsített táblázatot használják.

0–

9

9

0

9

10–

19

12

1

2

20–

29

23

25

2

3

5

30–

39

34

37

3

4

7

40–

49

45

45

49

4

5

5

9

50–

59

5

60–

69

61

67

6

1

7

         

százalék

(vagy % ) Szó szerint a latin „százanként” kifejezésből származik, tehát egy 100 nevezőjű törtet helyettesíthetünk ezzel a kifejezéssel, vagy a % szimbólummal. Tehát 20 százalék = 20% = 20/100, ami vagy 0.2.

százalékos hiba

A relatív hiba százalékban kifejezett alakja. Amikor az 1.9 számot 1.875 egy közelítésének tekintjük, a relatív hiba (vagy ) lesz két értékes jegyig. Tehát a százalékos hiba két értékes jegyig 1.3%.

szekáns

Lásd trigonometrikus függvények.

szekvenciális mintavétel

Wald Ábrahámtól származó statisztikai eljárás annak eldöntésére, hogy két hipotézis közül melyik fogadható el igaznak. Egyesével végzünk megfigyeléseket, majd elvégzünk egy próbát annak eldöntésére, hogy elfogadjuk-e a két hipotézis egyikét, vagy további megfigyeléseket tegyünk. A mintavételt befejezzük, amikor eldöntöttük, hogy melyik hipotézist fogadjuk el.

szelő

Olyan egyenes, amelyik általában több mint egy pontban metszi az adott görbét.

szelőmódszer

Ha adott egy gyök két egymást követő közelítése, akkor a szelőmódszer kiszámítja, hogy a két ponton átmenő szelő hol metszi el az első (x-)tengelyt, és ezt a pontot használja fel következő közelítésként. így

szélsőérték

Egy függvény legnagyobb vagy legkisebb értéke. Lásd maximum vagy minimum.

szélső értékek eloszlása

A minta legnagyobb és legkisebb értékének eloszlása. Ez az új kutatási terület a kockázatelemzés fontos eszközévé vált.

szélsőérték feltételei

Egy függvény stacionárius pontjainak jellegét meghatározó feltételek, amelyek általában a függvény egy vagy több deriváltját használják az aodtt pontban. Ha , akkor az pont stacionárius pont (ez a szélsőérték létezésének elsőrendű szükséges feltétele). Az ábra mutatja a különböző lehetőségeket, amikor az első derivált előjele az ponthoz balról, illetve jobbról tartva pozitív, negatív, illetve nulla.

A másodrendű elégséges feltétel szerint ha , akkor a stacionárius pont minimum, ha , akkor a stacionárius pont maximum, ha , akkor a stacionárius pont lehet inflexiós pont, de ehhez már ez a feltétel nem elegendő. Ez utóbbi esetben visszatérhetünk az első derivált előjelének vizsgálatára, vagy vizsgálhatjuk a magasabb rendű deriváltakat, amíg el nem jutunk az első el nem tűnő deriváltig.

szemi-

Szóösszetételek előtagjaként az utótag felét jelöli.

szeriális korreláció

Az valószínűségi változók sorozata esetén a kifejezés, ahol D a szórás jele.

szerkesztés

Azt mondjuk, hogy egy geometriai alakzatot (eukleidészi) szerkesztéssel kaptunk, ha azt körző és egyenes vonalzó használatával, mindenféle mérőeszköz használata nélkül rajzoltuk meg.

szerkesztés vonalzóval és körzővel

Másképpen eukleidészi szerkesztés. Lásd a kocka megkettőzése, a kör négyszögesítése és szögharmadolás.

szétterjedés

Lásd szóródás.

szétválasztás és korlátozás

(a hátizsákfeladat megoldása) Ez az eljárás olyan elágazó módszert szerkeszt, amely bármelyik ágnál végetér, ha egy bizonyos korlátot elérünk, továbbá az egyes tételeket abban a sorrendben veszi hozzá, ahogyan azt a kezdetben eldöntöttük. Ez a kipróbálandó lehetőségek számát jelentősen lecsökkenti. Az alábbi egyszerű példát fogjuk arra használni, hogy illusztráljuk a részletes módszert.

Egy hátizsák maximális kapacitása 15 egység, és a következő tételek állnak rendelkezésünkre: A súlya 5 egység, értéke 10, amit így fogunk jelölni: . Továbbá , , .

Az eljárás. Tegyük a tételeket csökkenő sorrendbe az egységnyi súlyra eső értékük szerint, azaz D,A,C,B (A és C fel is cserélhető). Készítsünk egy vektort, ahol , ha az i-edik tétel nincs a hátizsákban és , ha az i-edik tétel a hátizsákban van. Induljunk ki a vektorból. Minden szakaszban, ha egy ágat még nem jártunk végig, és a vektor végén n számú nulla áll, szerkesszünk n számú új ágat, amelyek mindegyikében pontosan egy nullát változtattunk egyesre, és amelyre a teljes súly nem haladja meg a határt (a maximális kapacitást). így az első szakaszban négy águnk lesz: . Számítsuk ki az összes ágra a w összsúlyt és a v összértéket, majd ismételjük meg az eljárást.

Ebben a példában a folyamat által generált lépéseket az alábbi ábra mutatja.

Az optimális megoldás tehát az, hogy a B,C,D tételeket választjuk 15 összsúllyal és 31 összértékkel.

szétválasztható változójú differenciálegyenlet

Az alakú elsőrendű differenciálegyenlet. Ha a g folytonos függvény egy primitív függvénye G, az folytonos függvényé pedig H, akkor a differenciálegyenlet megoldása a

összefüggésből kapható.

szétválasztható változójú függvény

Olyan függvény, amely egyváltozós függvények összegeként vagy szorzataként írható, például , vagy . Ha egy függvény szétválasztható változójú, akkor szélsőértéke esetenként egyszerűbben határozható meg.

szezonális változás

Lásd idősor.

sz.f.

A statisztikai szabadsági fok rövidítése.

szigma

A görög sz betű, amit vagy alakban írunk, és leggyakrabban egy eloszlás vagy egy minta szórásának jelölésére használunk. A nagybetűt az összegezés jeleként használjuk.

szignifikanciaszint

Lásd hipotézisvizsgálat.

szigorú

Jelző annak kifejezésére, hogy valamely relációt szűkebb értelemben tekintünk. Például a szigorúan növő függvényre az teljesül, hogy minden és x esetén (amelyre .)

szigorúan csökkenő

Lásd csökkenő függvény és csökkenő sorozat.

szigorúan meghatározott játék

A mátrixjáték szigorúan meghatározott, ha van a mátrixnak olyan eleme, amely a sorában a legkisebb és az oszlopában a legnagyobb. Ha a játék szigorúan meghatározott, és a két játékos, S és O konzervatív stratégiát játszik, akkor a kifizetés mindig ugyanaz, és megegyezik a játék értékével.

A baloldali mátrixszal megadott játék szigorúan meghatározott. Az S játékos számára a konzervatív stratégia az, hogy a 3. sort választja, míg az O játékos számára a konzervatív stratégia az, hogy az 1. oszlopot választja. A játék értéke 5. A jobboldali játék nem szigorúan meghatározott.

szigorúan monoton

Lásd monoton függvény és monoton sorozat.

szigorúan növő

Lásd növő függvény és növő sorozat.

szigorú tartalmazás

Lásd valódi részhalmaz.

szimbólum

Olyan betű vagy jel, amelyet valami más – művelet, reláció, függvény, szám, mennyiség – jelölésére használunk.

szimmetriaközéppont

Lásd középpontosan szimmetrikus.

szimmetriasík

Olyan sík, amelyre egy háromdimenziós alakzat szimmetrikus. Tehát egy hengernél minden olyan sík szimmetriasík, amely tartalmazza a henger két körlapjának párhuzamos átmérőit, ahogyan az a két záró körlappal párhuzamos sík is az, amely egyenlő távolságra van mindkettőtől.

szimmetriatengely

Olyan egyenes, amelyre tükrözve egy görbét, vagy egy geometriai alakzatot az önmagába megy át. Ennek feltétele, hogy a görbe vagy az alakzat bármely P pontjával együtt az a is legyen rajta, valahnyszor a szimmetriatengely a szakasz felező merőlegese. Lásd még tengelyesen szimmetrikus.

szimmetrikus

Lásd alakzat szimmetriája, grafikon szimmetriája, középpontosan szimmetrikus, tengelyesen szimmetrikus.

szimmetrikus csoport

Tetszőleges X halmaz esetén az X-ről X-re képező bijektív leképezéseket permutációknak nevezzük. Ha X n elemű, akkor összesen számú permutáció van, és ezek a leképezések kompozíciójával csoportot alkotnak, amelynek neve n-edrendű szimmetrikus csoport, jele .

szimmetrikus differencia

Valamely E univerzális alaphalmaz A és B részhalmazának szimmetrikus differenciája az képlettel értelmezett halmaz, amelyet alábbi Venn-diagrammon az árnyékolt rész mutat. Az E univerzális halmaz minden részhalmazára teljesülnek a következők:

  1. .

  2. .

  3. , a kommutativitás.

  4. , az asszociativitás.

  5. , a művelet disztributív a műveletre nézve.

szimmetrikus kísérleti terv

Olyan blokkelrendezés, amelyben a blokkok száma és a blokkokon belül a pontok száma azonos.

szimmetrikus kúpszelet

Olyan kúpszelet, amely középpontosan szimmetrikus: ellipszis vagy hiperbola. Az egyenlettel adott kúpszelet akkor és csak akkor szimmetrikus, ha .

szimmetrikus másodrendű felület

Egy nemelfajult másodrendű felület szimmetriaközépponttal, tehát ellipszoid, egyköpenyű hiperboloid vagy kétköpenyű hiperboloid

szimmetrikus mátrix

Az négyzetes mátrix szimmetrikus, ha megegyezik transzponáltjával: , azaz minden i,j esetére.

szimmetrikus reláció

Az S halmazon értelmezett kétváltozós reláció szimmetrikus, ha minden S-beli a,b elemre teljesül, hogy ha , akkor .

szimplex

Adott dimenzióban a legegyszerűbb geometriai alakzat; így az egyenesszakasz, a háromszög és a tetraéder az egy-, két- és háromdimenziós szimplex.

szimplexmódszer

A szabványos lineáris programozási feladat megoldásának algebrai módszere, amely olyan többváltozós feladatok megoldására is alkalmas, amelyekre a grafikus módszer már nem alkalmazható. Illusztrálásul megmutatjuk, hogyan működik a módszer kétváltozós, két feltételt tartalmazó feladatra. Tegyük fel, hogy a képlettel értelmezett P célfüggvényt akarjuk maximalizálni az feltételek mellett.

  1. Vezessünk be segédváltozókat, amelyek felhasználásával az egyenlőtlenségeket egyenlőségekké alakítjuk: ;

  2. írjuk be az összes segédváltozót a többi egyenletbe is nulla együtthatóval: ;

  3. írjuk át a célfüggvényt szabványos alakba, azaz úgy, hogy tartalmazza az összes segédváltozót nulla együtthatóval: .

A szimplextáblázat olyan táblázat, amely megmutatja az összes feltételben szereplő összes változó aktuális értékét, az utolsó sorban, a célsorban pedig a célfüggvényből származtatott egyenletbeli értéküket. A szimplexalgoritmus az a folyamat, amelynek során a táblázatot úgy manipuláljuk, hogy megtaláljuk az optimális megoldást. A megoldás folyamán az algoritmus táblázatok egy sorozatát fogja előállítani.

A kezdeti táblázat ez lesz:

Amikor a célsor az alapváltozók mindegyikének oszlopában nullát tartalmaz, és nincs benne negatív elem, akkor eljutottunk az optimális megoldáshoz.

A szabványos eljárás ennek az állapotnak az eléréséhez az, hogy addig ismételjük az alábbi lépéseket, amíg az összes alapváltozó értéke nullává nem válik.

  1. Válasszuk ki a célsorban azt a változót, amelyikhez a legnagyobb abszolút értékű negatív elem tartozik. Ennek oszlopa a fő oszlop, a változó a belépő változó. A példában y a belépő változó, és balról a harmadik oszlop a főoszlop.

  2. A táblázat utolsó oszlopbeli értékeit osszuk el a belépő változó adott sorbeli értékével. A példában ezt kapjuk: . Az eredmények közül a legkisebb definiálja a táblázat fő sorát ebben a lépésben, és a kilépő változót, amely tehát a példában s. A fő elem a fő oszlop és a fő sor találkozásánál álló elem, azaz 2 ebben az esetben.

  3. Osszuk el a fő sor minden számát a főelemmel, így most ezt a sort kapjuk: .

  4. Ezt a sort vagy többszörösét adjuk hozzá vagy vonjuk ki a többi sorból úgy, hogy a fő oszlop megfelelő eleme nulla legyen. Most tehát ki kell vonni ezt a sort t sorából, majd háromszorosát hozzá kell adni P sorához, miután a következő alakú táblázatot kapjuk:

Megismételjük az eljárást, most x lesz a belépő változó, és a második fázisban , tehát t a kilépő változó, és a harmadik lépésnél a fő sor: . Megismételve a 4. lépést ezt kapjuk:

Sokváltozós feladatnál egymás után mindegyik változóra megismételjük a fentieket, de ebben az egyszerű példában az optimalitási feltételek máris teljesülnek, P maximuma , s ez ott éretik el, ahol és , ami annak felel meg, hogy és . Ebben az egyszerű esetben a megoldást gyorsabban megkaptuk volna a csúcspontmódszerrel, de a szimplexmódszer fontos eszköz, mert bonyolultabb feladatokra is alkalmazható.

szimplextábla

Lásd szimplexmódszer.

szimplextáblázat

Lásd szimplexmódszer.

szimuláció

Kísérlet arra, hogy matematikailag reprodukáljunk egy fizikai folyamatot, amikor a tanulmányozott rendszer túlságosan bonyolult ahhoz, hogy explicit szimbolikus (régebben: analitikus) módszereket alkalmazzunk. A bonyolultság miatt a szimulációt gyakran számítógépen végzik, esetenként a Monte Carlo-módszert alkalmazva. Mivel a szimuláció a fizikai folyamatnak gyakran csak közelítése, lényeges szerepet játszhat az érzékenységvizsgálat.

szimuláció verifikálása

Az a folyamat, amelynek során egy program futási eredményeit összevetjük azokkal a kimenetelekkel, amelyeknek adódiuk kell a szimulálás során, ha helyes a modell és jó a véletlenszám-generátor.

színezhetőség

Egy gráfot vagy egy térképet színezhetőnek nevezünk, ha kromatikus száma véges. A négyszíntétel azt mutatja, hogy minden síkba rajzolható gráf színezhető, hiszen az ilyen számok kromatikus száma legfeljebb 4.

szinguláris

Az A mátrix szinguláris, ha , ahol az A mátrix determinánsa. Szinguláris mátrix nem invertálható (lásd mátrix inverze.

szinguláris pont

(szingularitás) A görbének az a pontja, ahol nem létezik egyértelmű, differenciálható érintője. Ez lehet izolált pont, vagy pedig olyan pont, ahol a görbe átmetszi önmagát, amilyen például egy csúcs.

Szingularitásnak nevezzük egy komplex függvény értelmezési tartományának azt a pontját is, amelyben a függvény nem analitikus. Például az képlettel értelmezett függvénynek a nulla szingularitása, mégpedig izolált szingularitása, mivel (elegendően kicsiny) környezetében nincs másik szingularitás. (Valójában ennek a függvényenk ez az egyetlen szingularitása.) Ha van olyan komplex szám, amelyet az f függvény értékének véve a szinguláris pontban, a kapott függvény már analitikus, akkor a szingularitás megszüntethető szingularitás. Mivel a fenti példában , ezért a nulla nem megszüntethető szingularitás. Viszont mivel ugyan a képlettel értelmezett függvénynek nulla szingularitása, de ha azt mondjuk, hogy legyen , akkor a nullában analitikus függvényt kapunk, ezért ez jó példa megszüntethető szingularitásra.

szintvonal

Legyen f kétváltozós, valós értékű függvény, és legyen c az értékkészletének egy pontja. Akkor az halmaz – tehát amelynek pontjaiban a függvény ugyanazt az értéket veszi föl – a függvény szintvonala. A természetföldrajzi vagy domborzati térképek magassági szintvonalakat ábrázolnak, az időjárási térképek pedig izobárokat, amik a nyomásnak, mint a hely függvényének szintvonalai.

szinusz

Lásd trigonometrikus függvények.

szinusz hiperbolikusz

Lásd hiperbolikus függvények.

szinusztétel

Lásd háromszög.

szisztematikus hiba

Olyan hiba, amely nem a véletlen műve. A szisztematikus hibák a becsléseket torzíthatják. Például a tapasztalati szórásnégyzet nem torzítatlan becslése az elméleti szórásnégyzetnek (alulbecsli azt).

Köznapibb példával élve, ha például egy gyártósoron egy forgódob egyik foga a tíz közül törött, akkor minden tizedik termék eleve hibás lesz, a véletlenül előforduló hibákon kívül.

szitaformula

Három halmaz uniójának elemszáma megadható úgy, mint

ahol az X halmaz számossága. Ez felírható

alakban is, ahol és . Most tegyük fel, hogy 3 helyett n halmazt veszünk. Ekkor fennáll a következő, ún. szitaformulának nevezett egyenlőség:

ahol az i számú halmazból álló metszetek számosságának összege. Ezt a formulát gyakran használjuk, például ha részhalmaza az E halmaznak, akkor azon elemek száma, melyek egyik részhalmazban sincsenek benne, .

szoftver

A számítógép működtetéséhez használt programok összessége, nem egy konkrét program. Tehát például a amivel ez a szótár készült, meg amivel az Olvasó az Interneten hozzáfér, az egy-egy (szövegszerkesztő illetve böngésző) program; kategóriáját tekintve – szemben a hardverrel – mindkettő a szoftver része.

szomszédos élek

Egy gráf két olyan éle, amely közös pontra illeszkedik.

szomszédos pontok

Egy gráf két olyan pontja, amelyet közös él köt össze.

szórás

A szórásnégyzet vagy másképpen variancia pozitív négyzetgyöke, egy eloszlás szóródásának szokásos mértéke. Becslése, az empirikus szórásnégyzet négyzetgyöke a minta szóródását jellemzi. Például a várható értékű, szórású normális eloszlás esetén az eloszlásnak mintegy 95$-a esik és közé.

Egy populáció valamely paraméterének becslése esetén az empirikus szórásnégyzet négyzetgyöke a standard hiba.

szórásnégyzet

Egy valószínűségi változó vagy minta szóródásának mértéke. Az X valószínűségi változó esetén a sokaság szórásnégyzete a sokaság második centrális momentuma, azaz a sokaság várható értékétől vett négyzetes eltérés várható értéke, . A szórásnégyzetet gyakran a vagy a szimbólummal jelöljük.

Egy n elemű minta szórásnégyzete – amelyet vagy jelöl – nem más, mint a minta átlaga körüli második centrális momentum, vagyis

Az mennyiséget tapasztalati szórásnégyzetnek is nevezzük. A tapasztalati szórásnégyzet azonban a sokaság szórásnégyzetének nem torzítatlan becslése, ezért becslésekben helyette sokszor az

ún. korrigált tapasztalati szórásnégyzetet alkalmazzuk.

A számításokat a összefüggés segítségével gyakran egyszerűsíthetjük.

szóródás

A szóródás mérőszámait annak jellemzésére használjuk, hogy valamely mintában a megfigyelések mennyire szóródnak, mennyire terjednek szét. A kifejezés hasonló értelemben használatos valószínűségi változókra. A szóródás bevett mértékei a mintaterjedelem, az interkvartilis félterjedelem, az átlagos abszolút eltérés, a szórásnégyzet, a szórás, a variációs együttható. A terjedelem túlságosan érzékeny a kiugróan magas vagy alacsony értékekre. Az átlagos abszolút hibával nehéz dolgozni az abszolútérték-képzés miatt. A szórás dimenziója megegyezik a változóéval, ez a leggyakrabban használatos. Az interkvartilis félterjedelem megfelelő lehet, hogyha a mediánt használják lokációs paraméterként.

szóródási ábra

Lásd szóródási diagramm.

szóródási diagramm

Kétdimenziós diagramm, amely az n párból álló megfigyelésnek megfelelő pontokat mutatja be. Itt a magyarázó változó és a függő változó megfigyelt értékei.

szóródási mérőszám

Lásd szóródás.

szorzás

Általánosan a szorzás olyan kétváltozós művelet, mely két mennyiséghez, melyek lehetnek számok, mátrixok, vektorok stb. vagy két különböző típusú mennyiséghez hozzárendeli ezek meghatározott szabályok szerint képzett szorzatát. Lásd még kifejt, komplex számok szorzása, mátrixok szorzása, modulo n összeadás és szorzás, polinomok szorzása, számok szorzása, törtek szorzása.

szorzásjel

A szorzás jelölésére szokás használni az egymásmelléírást, a és a jelet, számítástechnikában előfordul még a jel is.

szorzás modulo n

Lásd modulo n összeadás és szorzás.

szorzat deriválási szabálya

Lásd deriválás.

szorzathalmaz

Lásd Descartes-szorzat.

szorzatjelölés

Az , véges sorozatból előállított szorzatot jelölhetjük a görög nagy pi betűvel,

(Az r index itt bármely más betűvel felcserélhető.) Például

Hasonlóan, bármely végtelen sorozatból előállítható az végtelen szorzat, amit

jelöl. Ez jelöli a végtelen szorzat értékét is, ha az létezik. Például

szögfelező

Olyan félegyenes, amely egy szöget két egyenlő szögre oszt fel. Lásd még belső szögfelező, külső szögfelező, és felező merőleges.

szöggel szemközti oldal

Ha egy derékszögű háromszögben kiválasztottunk egy derékszögtől különböző szöget, akkor a háromszög szöggel szemközti oldala az az oldal, amelyik nem szára a kiválasztott szögnek.

Szög melletti oldalnak ezek után azt az oldalt hívjuk, amelyik szára a derékszögnek és nem átfogója a háromszögnek.

szögharmadolás

A a kocka megkettőzése és a a kör négyszögesítése mellett a harmadik nevezetes probléma a szögharmadolás, amelyet az ókori görögök megpróbáltak megoldani a szokásos eukleidészi szerkesztés keretein belül. A feladat az, hogy adott szöget osszunk fel három egyenlő részre, csak körzőt és vonalzót használva. Míg tetszőleges szöget körzővel és vonalzóval könnyen megfelezhetünk, az algebra fejlődése során az elmúlt évszázadokban kiderült, hogy a szögharmadolás általában lehetetlen. (Természetesen bizonyos speciális szögeket – mint például a derékszöget – tudunk harmadolni.) A geometriai szerkesztések algebrai elméletével bebizonyítható, hogy körzővel és vonalzóval lényegében csak olyan szakaszhosszakat lehet megszerkeszteni, amelyek adott hosszak összegeként, különbségeként, szorzataként, hányadosaként vagy négyzetgyökeként állnak elő. Ezzel szemben a szögharmadolás során köbgyökök (pontosabban harmadfokú egyenletek gyökei) megszerkesztésére volna szükség, amely az előbbiek szerint általában nem lehetséges.

szögharmadoló

Egy szög harmadolóinak azt a két egyenest nevezzük, amelyek a szöget a szögszárakkal együtt három egyenlő részre osztják.

szögmásodperc

Lásd fok (szögmérték).

szögmérés

Két fő módja van a szög mérésének, fokot használunk elemi munkákban, a felsőfokú művekben pedig radiánt, különösen amikor analízisről is szó van.

szögperc

A szögmérésnél használatos. Lásd fok.

szögpont

Lásd gráf.

szögsebesség

Tegyük fel, hogy egy részecske síkmozgást végez egy olyan kör mentén, melynek középpontja az O origó és sugara ! Jelölje a részecske helyének polárkoordinátáit! Elemi szinten a szögsebesség -ként definiálható.

Magasabb szinten a részecske szögsebessége az képlettel definiált vektor, ahol i és j az x- és y-tengelyek pozitív irányába mutató egységvektor, és . Ha r, illetve v a részecske helyvektora, illetve sebessége, akkor

ahol és (lásd körmozgás). Felhasználva, hogy , a fentiekből következik, hogy a v sebesség megadható a képlettel.

Képzeljünk el egy rögzített tengely körül forgó merev testet, és vegyünk fel koordinátatengelyeket úgy, hogy a z-tengely egybeessen a rögzített tengellyel! Jelölje a test egy olyan pontjának polárkoordinátáit, amely a síkon található, és nincs rajta a rögzített tengelyen! Ekkor a merev test szögsebességét az képlet definiálja.

Általában egy forgó merev test – mint például egy rögzített pont körül pörgő pörgettyű – olyan szögsebességgel rendelkezik, amelynek nagysága és iránya függ az időtől.

szögszár

Szöget alkotó félegyenesek bármelyike.

szöggyorsulás

Tegyük fel, hogy egy részecske síkbeli mozgást végez egy olyan kör mentén, melynek középpontja az O origó és sugara ! Jelölje a részecske polárkoordinátáit a t időpontban! Elemi szinten a szöggyorsulás -ként definiálható.

Magasabb szinten a részecske szöggyorsulása a képlettel definiált vektor, ahol a szögsebesség. Legyen i és j az x-, illetve az y-tengely pozitív irányába mutató egységvektor, és legyen ! Ekkor a fent leírt esetben, ahol egy részecske kör alakú pályán mozog, és . Ha r, v és a a részecske helyvektora, sebessége és gyorsulása, akkor

ahol (lásd körmozgás). A összefüggés felhasználásával a fentiekből következik, hogy az a gyorsulás megadható az képlettel.

Szőkefalvi-Nagy Béla

(1913–1998) Magyar matematikus, kutatási területe a Hilbert-terek lineáris operátorai, illetve a funkcionálanalízis teljes területe volt. Ezekről és valós függvénytanról írott könyvei világszerte nagy hatást váltottak ki.

szökési sebesség

Egy égitesthez tartozó szökési sebesség az a minimális sebesség, mellyel egy testet úgy hajíthatunk el az égitest felszínéről, hogy az már nem tér vissza a gravitáció hatására. A szökési sebesség a Földön (R a Föld sugara, g a nehézségi gyorsulás a Föld felszínén), értéke körülbelül 11.2 . Ehhez hasonlóan, egy M tömegű és R sugarú gömbölyű égitesthez tartozó szökési sebesség , ahol a gravitációs állandó.

szteradián

Lásd térszög.

sztereografikus vetítés

Tegyük fel, hogy az O középpontú gömb egy síkot az D pontban érint, és legyen É az átmérő ezzel átellenes pontja.

Ha P a gömbfelszín tetszőleges, É-től különböző pontja, akkor az ÉP egyenes a síkot a P-nek megfelelő pontban metszi. Megfordítva, a sík minden pontja meghatároz egy pontot a gömb felszínén, ezen a módon bijekciót hoztunk létre a gömbfelület pontjai (kivéve É-t) és a sík pontjai között. A gömb felületének ezt a leképezését a síkra sztereografikus vetítésnek nevezzük. Az É ponton át nem menő kicsi és nagy körök a sík köreire képződnek le, az É ponton átmenők pedig egyenesekre. Görbék hajlásszöge megőrződik a vetítésnél.

sztochasztikus folyamat

Valószínűségi változók egy családja, ahol T valamilyen indexhalmaz. Az indexhalmaz gyakran a természetes számok halmaza, ekkor a sztochasztikus folyamat valószínűségi változók egy sorozata. Például lehet valamely kísérlet n-edik kiemenetele, vagy megfigyelések közül az n-edik. A valószínűségi változók által fölvehető értékeket gyakran állapotoknak nevezik, ezek alkotják az állapotteret. Azt mondjuk, hogy az állapottér diszkrét, ha véges, vagy megszámlálhatóan végtelen, és azt mondjuk, hogy folytonos, ha véges vagy végtelen intervallum. Ha megszámlálható sok állapot van, akkor azokat jelölheti; ha , akkor azt mondjuk, hogy az i állapotban van.

sztochasztikus mátrix

Egy mátrix (soraira nézve) sztochasztikus, ha elemei nemnegatívak, és minden sorösszege 1, és (oszlopaira nézve) sztochasztikus, ha elemei nemnegatívak, és minden oszlopösszege 1. Ha soraira és oszlopaira nézve is sztochasztikus, akkor kétszeresen sztochasztikusnak nevezzük.

sztochasztikus mátrix, sorra nézve

Lásd sztochasztikus mátrix.

sztochasztikus változó

Lásd valószínűségi változó.

szukcesszív approximáció

Legyen véges zárt intervallum, ezen f folytonos függvény. Az egyenlet megoldásához az egyenletet először alakúra hozzuk. Egy kezdeti értékből kiindulva az képlet alapján meghatározzuk az értékeket. Ha az így definiált sorozat minden tagja benne van g értelmezési tartományában, konvergens és határértéke , akkor , így az eredeti egyenletnek is gyöke.

Az egyenletnek szemléletesen ott van gyöke, ahol az g függvény grafikonja metszi a szögfelező egyenesét. Belátható, hogy ha teljesül a intervallumon, akkor tetszőleges kiindulási érték mellett a fenti sorozat az I intervallumnak ugyanazhoz a pontjához konvergál, míg esetén a sorozat divergens. Mindezt az alábbi két ábrán szemléltettük abban esetben, amikor pozitív.

Például az egyenletnek van 1 és 2 közötti gyöke, így lehet , és választhatjuk az kiindulási értéket. Az egyenlet többféleképpen is alakúra hozható, például (i) vagy (ii) . Az (i) esetben , itt . Az (ii) esetben , és mivel , ezért az eljárással konvergens sorozatot kapunk.

szuprémum

Lásd korlát.

szükséges és elégséges feltétel

A implikációt így olvassuk: „ha q, akkor p.” Amikor ez igaz, akkor azt mondhatjuk, hogy q elégséges feltétel p-re, azaz a q feltétel igazsága elégséges ahhoz, hogy p igaz legyen. Ez azt jelenti, hogy p igaz, ha q igaz. Másrészről, amikor teljesül, akkor q szükséges feltétel p-re, azaz a q feltétel igazsága szükséges következménye p igazságának. Ez azt jelenti, hogy p csak akkor igaz, ha q igaz.

Amikor az implikáció mindkét irányban teljesül, (ezt így írhatjuk: ), akkor a q állításnak az p állítás szükséges és elégséges feltétele (vagy p és q egymásnak szükséges és elégséges feltétele), tehát q akkor és csak akkor igaz, ha p is igaz. Például egy szám 10-zel való oszthatóságának szükséges és elégséges feltétele az, hogy a szám páros és 5-tel osztható legyen.

szükséges feltétel

Egy olyan feltétel, amelyiknek teljesülnie kell ahhoz, hogy egy állítás igaz legyen. Például egy szám 10-zel való oszthatóságának szükséges feltétele az, hogy a szám páros legyen. Ha A szükséges feltétele a B állításnak, akkor azt is mondjuk, hogy a B feltétel az A állításnak elégséges feltétele. A fenti példát tehát kifejezhetjük úgy is, hogy egy szám 10-zel való oszthatósága elégséges feltétele annak, hogy a szám páros legyen.

szűrjekció

Lásd szűrjektív leképezés.

szűrjektív leképezés

Az függvény az S halmaz szürjektív leképezése (vagy ráképezése) a T halmazra, ha minden T-beli elem legalább egy értelmezési tartománybeli S elem képe, azaz az S halmaz f által létesített képe az egész T halmazzal egyenlő: másképp: minden T-beli t elem előfordul képként, azaz létezik hozzá hogy