Ugrás a tartalomhoz

OXFORD - Matematika : Kislexikon

Tóth János (2007)

Typotex Elektronikus Kiadó Kft.

T

T

T

A transzponálás jele a mátrixoknál, felső indexbe írva, például jelöli az M mátrix transzponáltját.

táblázat

Számok elrendezése többnyire téglalap alakban. A matematikában például függvényeket táblázattal is megadhatunk, párba állítva az értelmezési tartomány (bizonyos) elemeit a hozzárendelt [függvényértékkel. A hagyományos – például trigonometrikus – táblázatok a zsebszámológépek és számítógépek elterjedésével idejétmúlttá váltak; megfelelő számítógépes program hiányában azonban különféle táblázatok a statisztikában ma is használatosak.

tag

Lásd sorozat és sor.

tagadás

Ha p egy kijelentés, akkor a szimbólummal jelölt „nem p” kijelentés p tagadása (negációja). Ez p-nek az ellentétét jelenti. Ha p az „esik az eső” kijelentés, akkor azt a kijelentést jelöli, hogy „nem esik az eső”; ha p azt jelenti, hogy „2 nem egész szám”, akkor azt jelenti, hogy „nem igaz az, hogy 2 nem egész szám”, vagy más szavakkal „2 egész szám”. Ha p igaz, akkor hamis, és fordítva. igazságtáblázata tehát:

talppont

Lásd pont vetülete egyenesen, pont vetülete síkon.

talpponti görbe

Az a görbe, amelyet úgy kapunk, hogy egy rögzített pontból merőlegeseket állítunk egy görbe összes érintőjére, és a merőlegesek talppontjait tekintjük.

talpponti háromszög

Az és C csúcsú háromszögben legyen és F az és C-ből induló, az ellentétes oldalt metsző merőlegesek talppontja, tehát az és CF lesznek a magasságok. A DEF háromszöget talpponti háromszögnek nevezzük. Az eredeti háromszög magasságvonalai felezik a talpponti háromszög szögeit.

támadáspont

A fizikában használt erők általában a testek felszínén vagy térfogatán belül egész tartományokra hatnak. Ha a tartomány mérete elhanyagolhatóan kicsi, vagy az erő hatásának kitett testet pontszerűnek tekintik, akkor az erő egyetlen pontban hat: ezt a pontot nevezik az erő támadáspontjának. Ha az erő a test felületének vagy térfogatának egy nem elhanyagolható méretű tartományára hat, akkor a kölcsönhatás jellemzésére mezőket vezetnek be – például a gravitációs erőteret vagy a feszültségtenzor-mezőt –, melyekből a tartományra ható erő az integrálszámítás segítségével kapható meg.

tangens

Lásd trigonometrikus függvények.

tanh

Lásd .

tapadási súrlódás

Lásd súrlódás.

tapadási súrlódási együttható

Lásd súrlódás.

tapasztalati

Tapasztalati. Kísérletekből vagy megfigyelésekből, nem pedig érvelésből származik.

tapasztalati valószínűség

Annak valószínűsége, hogy egy 6 oldalú dobókockával négyest dobunk 1/6, mivel mind a 6 kimenetelnek egyenlő esélye van. Egy szabálytalan (súlyozott) dobókocka esetében azonban megfigyeléseket kellene végeznünk, és tapasztalati valószínűséget kellenne számolnunk a kimenetelek relatív gyakorisága alapján.

tart

A határérték kiolvasásának egyik módja. Például az sorozat tart a nullához, amint n tart a végtelenhez” mondat a jelsorozat egyik szokásos kiolvasása.

Tartaglia

(1499–1557) Olasz matematikus, a harmadfokú egyenlet megoldási módszerének felfedezője, bár már előtte is oldottak meg ilyen típusú egyenleteket. Megoldási módszerét Cardano publikálta, akivel titokban levelezett. Tartaglia eredeti neve Niccolò Fontana volt, a Tartaglia egyébként „dadogót” jelent.

tartalmaz

Lásd részhalmaz.

tartomány

A (kétdimenziós) tér egy összefüggő nyílt részhalmaza. Például az egyenlőtlenséget kielégítő pontok egy 2 sugarú, középpontú kör belsejét alkotják, ami egy összefüggő nyílt halmaz: tartomány. Ha az egyenlőtlenség lenne, a körvonal is benne lenne; az ilyet – kissé zavaró módon – néha zárt tartománynak nevezik.

tautochron

Amellett, hogy a brachisztochronprobléma megoldását jelenti, a cikloisnak van egy másik fontos tulajdonsága is. Tegyük fel, hogy egy ciklois olyan helyzetű, mint a brachisztochronproblémához csatolt ábrán szereplő ciklois! Ha egy részecske a ciklois valamelyik pontjából zérus kezdősebességgel elindulva végigcsúszik a ciklois mentén a gravitációs erő hatására, akkor a ciklois legalsó pontjába való megérkezéséig eltelt idő független attól, melyik pontból indult. Ezért az ilyen cikloist tautochronnak is nevezik (a szó az „ugyanannyi idő” kifejezés görög nyelvű alakjából ered).

tautológia

Olyan összetett állítás, amelynek igazságértéke mindig igaz, akármilyen igazságértékkel rendelkezzenek is az egyes részei. Például tautológia, amint arról igazságtáblázattal könnyen meggyőződhetünk.

távolság

Lásd pont és egyenes távolsága (síkon), pont és sík távolsága (háromdimenziós térben), két egyenes távolsága (háromdimenziós térben), két pont távolsága (háromdimenziós térben), két pont távolsága (n dimenziós térben) két pont távolsága (síkon), kódszavak távolsága, távolság (komplex síkon).

távolság (komplex síkon)

Ha és reprezentálja a és komplex számot, akkor a távolság egyenlő -vel, azaz abszolút értékével.

távolság-idő grafikon

Olyan grafikon, mely egy egyenes vonal mentén mozgó részecske kitérését ábrázolja az idő függvényében. Legyen a részecske kitérése a t pillanatban! A gyorsulás-idő grafikon ekkor az x függvény képe, ahol az első (t-)tengely vízszintes, a második tengely függőleges, és felfelé van irányítva. A függvény meredeksége minden pontban egyenlő a részecske sebességével az adott pillanatban. (Itt az általános szokást követve elhagytuk az i egységvektort, mely a vonal mentén a pozitív irányba mutat. A részecske kitérése valójában vektormennyiség, értéke a t időpontban , és a részecske sebessége is vektormennyiség, melynek értéke .)

Taylor, Brook

(1685–1731) Angol matematikus, munkásságát az analízisben fejtette ki. 1715-ben írt munkájában szerepelnek a róla elnevezett Taylor-sorok. A módszer jelentőségét csak jóval később ismerték fel, másrészt Taylor előtt korábban már James Gregory, illetve mások is használták. Taylortól származik a parciális integrálás módszere is.

Taylor-polinom, Taylor-sor, Taylor-sorfejtés

Lásd Taylor-tétel.

Taylor-tétel

Alkalmas függvényosztályhoz tartozó f függvény és adott n természetes szám esetén egyértelműen megadható egy n-edfokú polinom, a Taylor-polinom, amely az f függvényt bizonyos értelemben legjobban közelíti.

Tétel. Legyen f olyan függvény, melynek az I intervallumon az derivált függvényei mind folytonosak, és legyen rögzített. Ekkor minden esetén fennáll, hogy

ahol az maradéktagra különféle előállítások ismeretesek. Ezek közül kettő:

illetve

ahol az (a-tól, n-től és x-től függő) szám a és x között fekszik. Elég kis abszolút értékű h számmal és az jelöléssel a Taylor-formula felírható az

alakban is, ahol most alkalmas, 0 és h közötti -vel

E formula segítségével az függvényértéket adott pontossággal közelíthetjük pusztán az a pontbeli deriváltak ismeretében. A közelítés hibáját az maradéktag méri. Ha még azt is feltesszük, hogy a Taylor-tétel feltételei tetszőleges n természetes szám esetén fennállnak és a maradéktag nullához tart, amint n tart a végtelenhez, akkor az értékek ( ) végtelen sor alakjában előállnak

amit az f függvény a pont körüli Taylor-sorának, vagy sorfejtésének hívunk. (Az speciális esetet néha Maclaurin-sornak is hívják.)

téglalap

Olyan négyoldalú síkbeli alakzat, amelynek négy derékszöge van. A szemközti oldalak szükségszerűen párhuzamosak és egyenlő hosszúságúak lesznek. Abban a sajátos esetben, amikor mind a négy oldal egyenlő, az alakzat negyzet lesz.

téglalapszám

Bármely szám, amely nem triviális módon kifejezhető téglalap alakban elrendezett pontokkal, vagyis kizárjuk az egy sorban elhelyezkedő pontok triviális esetét. A téglalapszámok tehát nem prímek, mivel kifejezhetők alakban, ahol sem a, sem b nem 1. Sok téglalapszám reprezentációja nem egyértelmű, azaz 12 lehet egy -as vagy egy -es téglalap. Abban az esetben, amikor van egy egyenlő tényezőkből álló reprezentáció, négyzetszámmal van dolgunk, 16 tehát négyzetszám, jóllehet reprezentálható -es téglalapként is.

téglatest

Olyan parallelepipedon, amelynek oldallapjai téglalapok.

tehetetlenség

Zárt rendszernek sem a lendülete, sem a perdülete nem változhat meg egy inerciális vonatkoztatási rendszerhez képest. A zárt rendszereknek ezt a jellemzőjét fejezi ki a tehetetlenség fogalma.

tehetetlenségi erő

Olyan erő, melyet létezőnek tekinthet egy megfigyelő, akinek vonatkoztatási rendszere gyorsul egy inerciális vonatkoztatási rendszerhez képest. Tegyük fel például, hogy egy O origójú vonatkoztatási rendszer forog egy megegyező origójú inerciális vonatkoztatási rendszerhez képest. Egy részecske, melyre valamekkora eredő erő hat, úgy mozog, hogy mozgása eleget tesz Newton második mozgástörvényének. A forgó vonatkoztatási rendszer megfigyelője számára úgy tűnik, hogy a részecske csak akkor tesz eleget Newton második mozgástörvényének, ha azt kiegészítjük bizonyos tagokkal. Az additív tagoknak a megfigyelő tehetetlenségi erőket feleltethet meg. Ha ezeket az erőket létezőknek tekintjük, akkor Newton törvényei érvényessé válnak nem-inerciális vonatkoztatási rendszerben is.

Képzeljük el azt a speciális esetet, amikor a forgó vonatkoztatási rendszer szögsebessége állandó, és a részecske olyan síkban mozog, mely merőleges a forgó vonatkoztatási rendszer szögsebesség-vektorára! Az egyik tehetetlenségi erő hatásvonala metszi a forgó vonatkoztatási rendszer forgástengelyét: ezt centrifugális erőnek nevezik. Ez az a kifelé mutató erő, amelyet egy körhinta utasa létezőnek vél. A másik tehetetlenségi erő merőleges a részecskének a forgó vonatkoztatási rendszer megfigyelője által észlelt pályájára: ezt hívják Coriolis-erőnek.

A Földön álló megfigyelő a Föld tengely körüli forgása miatt úgy látja, hogy az interkontinentális rakétákat és a hasonló objektumokat a Coriolis-erő letéríti pályájukról. Az északi féltekén az eltérülés jobbkéz-irányú, a déli féltekén balkéz-irányú. Ennek az erőnek, amelyet először Gustave-Gaspard de Coriolis (1792–1843) francia matematikus és mérnök írt le, fontos alkalmazásai vannak a légtömegek mozgásának meteorológiai vizsgálatában.

Hasonló tehetetlenségi erők lépnek fel akkor is, ha a megfigyelő vonatkoztatási rendszere gyorsul egy inerciális vonatkoztatási rendszerhez képest. Ilyen tehetetlenségi erőt észlel például egy gyorsuló lift utasa, amikor egy burkolólapot lát leesni a felvonó plafonjáról.

tehetetlenségi nyomaték

Egy merev testhez és egy rögzített tengelyhez tartozó mennyiség, amelynek értéke a test tömegének a tengelyhez viszonyított eloszlásából számítható ki. Általában I vagy jelöli. A merev test mozgási energiájának illetve impulzusmomentumának számítása során jelenik meg, illetve ezekkel összefüggésben definiálható. Vezessünk be egy Descartes-féle koordináta-rendszert, és jelölje és a merev testnek az x-, az y,- illetve a z-tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékát! Tegyük fel, hogy a test n részecskéből áll! Az i-edik részecske tömege , helyvektora , és . Ekkor

Ha a merev test anyaga folytonos közegnek tekinthető, akkor a tehetetlenségi nyomatékot összeg helyett integrál definiálja. Például az x-, az y- illetve a z-tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékok:

ahol a test anyagának sűrűsége a r helyvektorú pontban, és .

A fentiekből adódóan vékony, egyenletes tömegeloszlású, állandó keresztmetszetű, l hosszúságú és m tömegű rúdnak a tömegközéppontján átmenő, a rúdra merőleges tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka . A rúdnak egy rá merőleges, egyik végpontján átmenő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka .

Egy m tömegű, egyenletes tömegeloszlású, állandó vastagságú, kör alakú lemeznek a középpontján átmenő és a lemez síkjára merőleges tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka , ahol r a kör sugara.

Egy m tömegű, egyenletes tömegeloszlású, állandó vastagságú, téglalap alakú lemeznek az egyik oldala mentén futó tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka , ahol a a téglalap tengelyre merőleges oldalainak hossza.

Más tengelyekre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatékok kiszámítására alkalmazható a Steiner-tétel.

tehetetlenségi szorzat

A tehetetlenségi nyomatékhoz hasonló mennyiség, amely azonban egy merev testhez és két, egymásra merőleges tengelyhez tartozik. A tehetetlenségi szorzatok a tehetetlenséginyomaték-tenzorban jelennek meg, amelyet a test impulzusmomentumával és forgási energiájával összefüggésben definiálnak. Vezessünk be Descartes-féle koordinátákat, és jelölje és a merev testnek az y- és a z-tengelyhez, a z- és az x-tengelyhez, illetve az x- és az y-tengelyhez tartozó tehetetlenségi szorzatát! Tegyük fel, hogy a test n részecskéből áll! Az i-edik részecske tömege , helyvektora , és . Ekkor

Ha a merev test anyaga folytonos közegnek tekinthető, akkor a tehetetlenségi szorzatokat összegek helyett integrálok definiálják.

Ha a koordinátasíkok a merev test szimmetriasíkjai, akkor a tehetetlenségi szorzatok mindegyike zérus. Megmutatható az is, hogy a merev test bármely pontjából kiindul három olyan, egymásra merőleges koordinátatengely, melyekhez zérus nagyságú tehetetlenségi szorzatok tartoznak. Ezeket főtengelyeknek nevezik, a hozzájuk tartozó tehetetlenségi nyomatékokat pedig fő tehetetlenségi nyomatékoknak. A főtengelyek használata jelentősen leegyszerűsíti a merev test impulzusmomentumára illetve forgási energiájára felírt képleteket.

tehetetlenségi tenzor

Lásd impulzusmomentum.

tehetetlen tömeg

Egy részecske tehetetlen tömege az az arányossági tényező, amely a második newtoni mozgásegyenletben szerepel, és amely a részecskére ható erők eredőjét összekapcsolja a részecske gyorsulásával. Képletben: , ahol m a részecske tehetetlen tömege, a a gyorsulás, F pedig a részecskére ható erők eredője. Lásd még tömeg.

teleszkópos összeg

Olyan összeg, melynek tagjai felírhatók egy másik sorozat szomszédos elemeinek különbségeként, s ezáltal az összeg egyszerűen kiszámolhatóvá válik (szemléletesen: az összeg – teleszkópként felfogva – „összecsuklik”). Ha például alkalmas számokkal az tagok felírhatók alakban, akkor a összeg értéke egyszerűen .

Keresendő például a összeg egyszerűbb alakja. Ha ekkor észrevesszük, hogy , akkor nyilván .

telített

(hálózatokban) Egy él telített, ha rajta a folyam elérte kapacitását.

teljes differenciál

Ha f kétváltozós differenciálható függvény, akkor a Taylor-tétel szerint megváltozásának fő része az pontban:

A fenti kifejezést szokták f teljes differenciáljának is hívni. Egy több, mint kétváltozós függvény teljes differenciálja hasonló parciális deriváltakból álló tagokat tartalmaz.

teljesen kiegyensúlyozott blokkelrendezés

Lásd blokkelrendezés.

teljes eseményrendszer

A valószínűségszámításban és a statisztikában olyan események halmaza, melyeknek uniója a teljes eseménytér.

teljes gráf

Olyan egyszerű gráf, melyben minden pont össze van kötve az összes többivel. Az n pontú teljes gráfot jelöli, ez -fokú szabályos gráf; éle van. Lásd még páros gráf.

teljeshiteldíj-mutató

(THM) A pénzkölcsönzés teljes költsége, 1977-ben vezették be abból a célból, hogy különböző pénzintézetek által kínált szolgáltatások feltételeit össze lehessen hasonlítani. Az aktuális kamatszint mellett tartalmazza az adott pénzügyi szolgáltatáshoz kötődő, annak árát befolyásoló minden költség- vagy bevételelemet. A teljes hiteldíj az az összeg, amelyet a hitelfelvevőnek a tőkeösszeg visszafizetésén felül fizetnie kell, így a THM tartalmazza a hitellel kapcsolatban felmerülő összes kamat-, díj- és kezelési költséget. Értelemszerűen minél alacsonyabb a THM, annál kedvezőbb a fizetendő teljes hiteldíj. A hiteldíjba nem tartoznak bele olyan esetleges költségek, mint például a hosszabbítási költség, a késedelmi kamat, biztosítási-, garancia-, átutalási díjak, egyéb nem teljesítésből eredő fizetési kötelezettségek. Ezen költségek a hiteldíjon felül terhelik a hitelfelvevőt.

teljes indukció

A teljes indukcióval való bizonyítás módszere a következő elven alapul: Tegyük fel, hogy minden n pozitív egésznek megfeleltethető egy állítás, amely vagy igaz, vagy hamis. Ha

  1. igaz, és

  2. minden k-ra teljesül, hogy -ból következik ,

akkor a állítás teljesül minden pozitív egész n-re.

Ez lényegében leírja a pozitív egészek egy fontos tulajdonságát. A teljes indukció módszerét vagy bizonyítás nélkül alapelvként elfogadjuk, vagy belátjuk tételként néhány elfogadott axióma felhasználásával. A következő állítások a teljes indukció tipikus alkalmazásai:

  1. Minden pozitív egész n-re .

  2. Minden pozitív egész n-re n-edik deriváltja .

  3. Minden pozitív egész n-re .

Minden egyes esetben világos, mi a állítás, és hogy 1. teljesül. A 2. úgynevezett indukciós lépés függ az egyes bizonyítandó állításoktól.

Az elv egy módosított változata a következő. Tegyük fel, hogy minden egésznek megfeleltethető egy állítás, amely vagy igaz, vagy hamis. Ha igaz, és minden esetén -ból következik , akkor teljesül minden -ra. Ez alapján belátható például, hogy minden esetén.

További változatok is megfogalmazhatók.

teljesítmény

Egy erőhöz társított P teljesítmény az erő munkavégzésének üteme, azaz . Ha az F erő támadáspontja v sebességgel mozog, akkor a teljesítmény . Az erőnek egy adott időtartam alatti munkavégzése egyenlő a teljesítménynek az adott időtartamra vett idő szerinti integráljával.

A hétköznapi alkalmazásokban például egy motor teljesítménye a motor munkavégzésének vagy energiatermelésének ütemével azonosítható.

A teljesítmény tömeg szorozva hosszúság a négyzeten szorozva idő a mínusz harmadikon dimenziójú, SI mértékegysége a watt.

teljes maradékrendszer modulo n

Olyan n elemű halmaz, mely az n számú modulo n maradékosztály mindegyikéből tartalmaz egyet. így teljes maradékrendszer modulo 4, de és is az.

teljes megoldás

Ha az Cauchy-feladat megoldásainak egyesítése függvény, akkor ezt a függvényt a differenciálegyenlet teljes megoldásának hívjuk; ez ugyanis megoldás, és minden más megoldás ennek leszűkítése.

teljes mérték

Egy mértéktér valamely halmaza teljes mértékű, ha komplementuma nullmértékű.

teljes metrikus tér

Olyan metrikus tér, melyben minden Cauchy-sorozat kovergens. Például a valós számok a szokásos metrikával teljes metrikus teret alkotnak.

teljes négyoldal

Olyan síkbeli konfiguráció, amely áll négy egyenesből – ezek közül semelyik három nem metszi egymást egy pontban –, és hat metszéspontjukből. Az alábbi ábra mutat egy példát.

teljes négyszög

Olyan síkbeli konfiguráció, amely áll négy pontból – ezek közül semelyik három nem kollineáris –, és az őket páronként összekötő hat egyenesből. Az alábbi ábra mutat egy példát.

teljesnégyzetté-alakítás

Tekintsünk egy számpéldát: a másodfokú egyenletet megoldhatjuk úgy, hogy a következő alakban írjuk fel:

Ez a lépés a teljesnégyzetté-alakítás: a bal oldalt írjuk fel pontosan egy négyzet alakjában, s evégett előbb adjunk egy megfelelő konstanst mindkét oldalhoz. A másodfokú egyenlet megoldását ezután a következőképpen fejezhetjük be:

Az egyenlet megoldását hasonlóképpen előállítva megkapjuk az általános másodfokú egyenlet megoldóképletét.

teljes párosítás

Olyan párosítás páros gráfban, melyben minden pont szerepel. Ez megköveteli, hogy mindkét ponthalmazban ugyanannyi pont legyen, és ekkor a teljes párosításban szereplő élek száma megegyezik az egyes ponthalmazok elemszámával.

teljes rang

Egy mátrix teljes rangú, ha rangja egyenlő sorai vagy oszlopai száma közül a nem nagyobbikkal.

teljes szimmetrikus csoport

Lásd szimmetrikus csoport.

teljes valószínűség tétele

Legyenek egymást páronként kizáró események, amelyek uniója valamely kísérlet teljes eseménytere. A tetszőleges B esemény valószínűsége ekkor

alakban is felírható a feltételes valószínűségek segítségével.

t-eloszlás

Folytonos valószínűségi eloszlás. Egy valószínűségi változó eloszlása akkor t-eloszlású, ha felírható, mint egy standard normális eloszlású változó és egy, a szabadságfokával leosztott -négyzet eloszlású változó négyzetgyökének hányadosa. A t-eloszlás egy olyan F-eloszlású változó négyzetgyökéből is származtatható, ahol a számláló szabadsági foka 1. A t-eloszlás alakja a szabadságfoktól függ és hasonló a normális eloszlás alakjához, ám kevésbé csúcsos, és az eloszlásfüggvény a széle felé vastagabb. A t-eloszlással kimutatható a mintaátlag és a populáció várható értéke közötti szignifikáns különbség, vagy a két minta átlagának szignifikáns különbözősége. Az alábbi táblázatban különböző szabadságfokok és értékek mellett feltüntettük az egyoldali vagy kétoldali t-próbához szükséges adatokat.

Az első oszlopbeli érték és szabadságfok esetén a táblázatból az az egyoldali érték olvasható ki, amelyre a valószínűség értéke éppen . A táblázat a második oszlopban álló érték esetén azt a kétoldali értéket szolgáltatja, amelyre . A táblázatban nem szereplő értékek esetén alkalmazzunk interpolációt.

tengely

Lásd forgástengely, henger tengelye, koordinátatengely, kúp tengelye, parabola tengelye, szimmetriatengely.

tengelyesen szimmetrikus

Egy síkbeli alakzat szimmetrikus az l egyenesre (tengelyre) nézve, ha a P ponttal együtt is hozzá tartozik, valahányszor a P pont tükörképe. Az l egyenes a szimmetriaegyenes, és azt is mondjuk, hogy az alakzatnak az l egyenesre nézve tükrös szimmetriája van. Az A betű például szimmetrikus a középpontján átmenő függőleges egyenesre nézve.

tengelymetszet

Lásd egyenes.

tengeri mérföld

A tengeri hajózásban használt távolságegység. A ma már nemzetközileg szabványosított értéke 1852 méter, vagy a szárazföldi mérföld 1.15-szöröse . Eredetileg a földrajzi szélesség egy szögpercének átlagos hosszát tekintették egy tengeri mérföldnek.

tenzor

A tenzor az (index nélküli) skalár, az (egyindexű) vektor és a (kétindexű) mátrix fogalmának általánosítása. A tenzorok komponensei bizonyos transzformációs szabályoknak engedelmeskednek.

tényező

Lásd osztó.

tényezőkre bont

Valamely egész számot, mátrixot vagy polinomot szorzat alakban ad meg. Lásd még a számelmélet alaptétele.

tér

Ponthalmaz, amelynek viselkedését valamely struktúra és a pontok közötti viszony határozza meg. Lásd eukleidészi tér, mértéktér, vektortér.

tera-

SI mértékegységek előtagjaként a -nel való szorzást jelöli.

térbeli egyenes paraméteres egyenletei

Legyenek a háromdimenziós térben egy adott egyenes egy pontjának koordinátái , és legyen az egyenes irányának irányvektora. Ekkor az egyenes azokból a P pontokból áll, amelyeknek koordinátáit az

egyenletek adják meg a t paraméter valamely értékére. Ezek az egyenes paraméteres egyenletei. A legkönnyebben az egyenes vektoregyenletéből írhatók fel, ha vesszük annak koordinátáit. Ha az l,m,n egyike sem nulla, az egyenletek úgy írhatók, hogy

ami a paraméteres egyenletek egy másik alakjának tekinthető, vagy az egyenes egyenletei „szimmetrikus alakjának” nevezhető. Ha mondjuk , de l és m egyike sem nulla, az egyenletek

lesznek. Ha mondjuk , akkor , .

térfogat

Egy test által kitöltött térrész mértéke.

téridő

Négydimenziós konstrukció, amelyben az idő összekapcsolódik a tér három dimenziójával. A relativitáselméletben a térrol és időről kialakított klasszikus mechanikai fogalmakat – amelyek szerint idő és tér független egymástól – a téridő fogalma váltja fel.

természetes alapú logaritmus

Lásd logaritmus.

természetes alapú logaritmus alapja

Lásd az logalap számnál.

természetes szám

Az szám valamelyike. Egyes szerzők a 0-t is természetes számnak tekintik. A természetes számok halmazát gyakran az szimbólummal jelölik.

térszög

A szög kétdimenziós fogalmának háromdimenziós analógja. Amiként egy szöget két félegyenes határol, a térszöget egy kúp alkotói határolják.

SI mértékegysége a szteradián, jele: sr, ez a térszög és az egységgömb felszíne metszetének területe. így tehát a teljes térszög szteradián (hasonlítsuk ezt össze azzal, hogy a teljes körbefordulás a síkon radián).

terület

Az olyan egyszerű alakzatoknak, mint a téglalapok, háromszögek, hengerfelületek stb. a területe, a méreteik alapján egyszerű képlettel kiszámolható. Más, bonyolultabb síkbeli alakzatok területének kiszámításához integrálásra vagy numerikus közelítésre van szükség.

térvektor

Lásd n-dimenziós tér.

test

Háromdimenziós tömör térbeli alakzat, amilyen például a kocka vagy a henger.

test

A valóságos világban létező tárgy, melyet a matematikai modell idealizált formában – például részecskeként, merev testként vagy rugalmas testként – jelenít meg.

test

Kommutatív egységelemes gyűrű, amely a gyűrűnél megadottakon kívül még a következő tulajdonságokkal is rendelkezik.

10. Minden a elem esetén létezik olyan -gyel jelölt elem (az a elem multiplikatív inverze), amelyre . (Az axiómák számozása megegyezik a gyűrűnél és az integritási tartománynál használt számozással.) A testet definiáló 1–8. és 10. axiómák alapján meg lehet mutatni, hogy csak akkor teljesül, ha vagy . így fennáll a 9. axióma is, tehát bármely test egyben integritási tartomány is. Példa testre (a szokásos összeadással és szorzással) a racionális, valós és komplex számok halmaza, melyeket rendre , és jelöl. További példa a halmaz, ahol az összeadás és a szorázs a p prím modulus szerint értendő.

testátló

A poliéder két olyan csúcsát összekötő egyenesszakasz, amelyek nem közös lapon vannak.

Konvex poliéder minden átlója a poliéderen belül halad

testháló

Olyan síkbeli alakzat, amely bevágás nélkül poliéderré hajtogatható. Egy poliédernek általában több testhálója is lehet, és vannak olyan testhálónak tűnő síkbeli alakzatok, amelyekből bevágás nélkül nem lehet poliédert hajtogatni.

test karakteriszikája

A legkisebb olyan pozitív egész n, amelyre a multiplikatív egységelemet n-szer összegezve önmagával az eredmény egyenlő lesz az additív egységelemmel. Ha nem létezik ilyen n, akkor azt mondjuk, hogy a test karakterisztikája nulla.

tétel

Bizonyított matematikai állítás.

tetőpont

Lásd háromszög alapja és gúla.

tetraéder

Négy háromszöglap által határolt (nem feltétlenül szabályos) test. A tetraédernek négy csúcsa és hat éle van. A szabályos tetraéder minden oldallapja szabályos háromszög, s így minden éle egyforma hosszú.

tetszőleges állandó

Egy nem numerikus szimbólum, mely nem változója egy általánosított műveletnek. Például, az egyenes általános egyenlete két dimenzióban, ahol m és b tetszőleges állandók, amelyek az egyenes meredekségét és a második (y-)tengelyen vett metszetét fejezik ki. Másik példa: , ahol c tetszőleges állandó, amely valamely kezdeti feltétel megadásával meghatározható.

tevékenységi hálózatok

Lásd tevékenységi hálózatok (tevékenységélekkel), tevékenységi hálózatok (tevékenységpontokkal).

tevékenységi hálózatok (tevékenységélekkel)

Azok a hálózatok, amelyeket a kritikusút-elemzésben akkor használnak, amikor az élek képviselik a végrehajtandó tevékenységeket. A hálózat útjai a tevékenységek közötti precedenciarelációkat képviselik; azokat az utakat, ahol megjelennek közös tevékenységek, de az utak legalább részben függetlenek, formális tevékenységek kötik össze. Ez ugyan bonyolításnak tűnik, de így minden tevékenység csak egy élen jelenik meg, és a szükséges tevékenységek sorozatát könnyebb követni, mint amikor a pontokat használjuk a tevékenységek megjelenítésére. Ha már létrehoztuk a tevékenységi hálózatot a precedenciatáblázatból, akkor alkalmazható a kritikusút-elemzés (tevékenységélekkel).

tevékenységi hálózatok (tevékenységpontokkal)

Azok a hálózatok, amelyeket a kritikusút-elemzésben akkor használnak, amikor a pontok képviselik a végrehajtandó tevékenységeket. A tetszőleges X pontból kiinduló élek az X pontot bármelyik olyan Y éllel összekötik, amelyiknek a tevékenysége nem indulhat el addig, amíg X be nem fejeződött, és az összekötő élre ráírjuk címkeként azt az időt, ami az X tevékenység elvégzéséhez szükséges. Vegyük észre, hogy gyakran egynél több ilyen tevékenység is lesz, amely esetben több élhez is ugyanaz az időtartam fog tartozni. Ahhoz, hogy megkonstruáljunk egy tevékenységi hálózatot, szükségünk van a tevékenységek listájára, az elvégzésükhöz szükséges időtartamra és a precedenciarelációkra, amelyek megmondják, hogy melyik tevékenység elvégzéséhez szükséges, hogy előzőleg valamely más tevékenységeket befejezzünk. Ebben a felépítésben formális tevékenységekre nincs szükség, de ugyanazt a tevékenységet egynél több él fogja képviselni, amikor egynél több másik tevékenység függ előzők befejezésétől, és a tevékenységek sorozatát kevésbé könnyű követni, mint ha olyan tevékenységi hálózatokat használunk alternatv leírásként, ahol az élek a tevékenységek.

tevékenység lebegése

(kritikusút-elemzésben) Az az időtartam, amennyivel egy tevékenység megkezdésének időpontja megváltoztatható anélkül, hogy a tervezet teljes befejezése késlekednék. Tehát: a befejezés legkorábbi időpontjából ki kell vonni a legkorábbi kezdési időpontot és a a tevékenység időtartamát.

téves következtetés

Hibás érvelés, vagy elfogadható érvelésből eredő bizonyíthatóan hibás következtetés, amely olyan paradoxonokra vezet, amilyen például az Akhillész-paradoxon.

Lásd hiperbolikus függvények.

Thálész

(i. e. 585 körül) Görög filozófus, talán az első olyan matematikus, akinek konkrét felfedezések tulajdoníthatók. Ezek közé számos geometriai állítás tartozik, melyek közül a leghíresebb tétele kimondja, hogy bármely olyan háromszög szükségképpen derékszögű, melynek alapja egy félkör átmérője és a harmadik csúcsa a félkör egy tetszőleges pontja. Módszereket adott arra, hogy hogyan lehet az árnyék hosszából meghatározni a magasságot, és kiszámolni a hajók távolságát.

THM

Lásd teljeshiteldíj-mutató.

Thom, René Frédéric

(1923–2002) Francia matematikus, aki topológiai munkásságáért Fields-érmet kapott 1958-ban. Thom nevéhez fűzik a katasztrófaelmélet matematikájának a kidolgozását is, amelyben az egyik mennyiség fokozatos, apró változása egy másik mennyiség ugrásszerű megváltozását vonhatja maga után.

Thomson, William

Lásd Kelvin.

típus

Ha az A mátrixnak m sora és n oszlopa van, akkor azt mondjuk, hogy típusú.

tisztán képzetes

Egy komplex szám tisztán képzetes, ha valós része nulla.

tiszta stratégia

Ha egy mátrixjátékban az egyik játékos kiválaszt egy sort vagy oszlopot, akkor tiszta stratégiát játszik. Vesd össze ezt a kevert stratégiával.

tizedes jegy

Egy szám n tizedes jegyre való kerekítésekor vagy csonkításakor a számot olyan számmal helyettesítjük, melynek a tizedes pont után csak n számjegye van. Az szám három tizedes jegyre kerekített alakja 2.718; két tizedes jegyre kerekített alakja pedig 2.72. Mivel , ezért a gyök értéke két tizedes jegyre kerekítve 9.30. Az, hogy egy tizedes jegyre pontos, azt jelenti, hogy a pontos értéke 1.9 egy tizedes jegyre való kerekítés után, így .

Amikor a kerekítés vagy levágás a tizedes jegytől balra történik, akkor olyan kifejezéseket használunk, mint „a legközelebbi tízesre” vagy „a legközelebbi ezresre” kerekítünk, illetve csonkítunk.

Amikor sok mennyiséget mérünk, adunk össze, vonunk ki egymásból, akkor ugyanannyi tizedes jegyet használva elérjük, hogy az eredmények egyforma pontosak legyenek. Ha azonban mértékegységet váltunk, például centiméterről méterre, akkor a mérések pontossága különböző lesz, ha az egyes mérésekben ugyanannyi tizedes jegyet használunk.

tizedes pont

Egy decimális számábrázolásban kifejezett szám egész és tört része között lévő elválasztó jel. Az angolszász területeken pont, Európa nagy részén vessző használatos, de a számítástechnika hatására a tizedes pont terjedőben van.

tizedes tört

Egy decimális reprezentációban felírt tört, szemben az közönséges tört alakkal. Például algebrai tört, 0.75 decimális tört.

tizenhatos számrendszer

Lásd hexadecimális számábrázolás.

tizenkétszög

Tizenkét oldalú sokszög.

tízlap

Tíz lappal határolt test. Szabályos tízlap nem szerkeszthető.

tízszög

Tíz oldalú sokszög.

tompaszög

A derékszögnél nagyobb és a kétszeresénél kisebb szög. Egy tompaszögű háromszögben az egyik szög tompaszög.

tonna

A tömeg egyik mértékegysége. Egy tonna egyenlő ezer kilogrammal.

topológia

A matematikának az az ága, amely a tér és az alakzatok olyan általános tulajdonságaival foglalkozik, amelyek nem változnak meg folytonos leképezések (mint például a nyújtások) hatására.

topologikus tér

Az X nemüres halmazt topologikus térnek mondjuk, ha meg van adva egy olyan T halmazrendszer, amely X részhalmazainak rendszeréből áll, tartalmazza az üres halmazt és az egész X alaphalmazt, valamint zárt az egyesítésre és a véges metszetképzésre. A T halmazrendszer neve ilyenkor az X tér nyílt halmazainak osztálya.

tórusz

Forgassunk körbe a térben egy a sugarú kört egy egyenes körül, amely a kör síkjában a kör középpontjától b távolságra fekszik, ahol . A kapott forgástestet tórusznak hívjuk, melynek felszíne , térfogata . A köznapi tárgyak közül az úszógumik és a szabályosabb fánkok megközelítőleg tórusz alakúak.

torzítás

Előítélet, objektivitás hiánya vagy véletlen okozta elfogultság, ami valószínűvé teszi, hogy valaminek a kimenetele torzul. Statisztikában akkor fordul elő, amikor egy folyamat szisztematikus kiegyensúlyozatlanságot tartalmaz, így átlagosan a folyamat eredménye nem egyezik meg az igazi értékkel. Randomizációs technikákat szoktak alkalmazni annak a torzításnak az eltávolítására, amely abból eredhet, hogy olyan becslést választunk, amelyik valamilyen kiválasztáson alapul. Lásd még mintavételi torzítás, torzítás válaszadás hiánya miatt, válaszolásból eredő torzítás, önmagukat kiválasztó alanyok miatti torzítás.

torzítás válaszadás hiánya miatt

Hacsak egy statisztikai felmérésben nincs valamilyen kényszer, még ha jól is van megszervezve, akkor is előfordul, hogy néhányan nem válaszolnak, vagy néhányan nem elérhetőek. Az önkéntes válaszadásnál a szélsőséges vélemények általában felül vannak reprezentálva, és nagyon fontos a válaszadási arány: minél alacsonyabb, annál kevészbé ésszerű a felmérés eredményeiből extrapolálva mondani valamit az egész populációról.

torzítatlan becslés

Lásd statbecs.

torzított becslés

A becslés eloszlása torzított, ha várható értéke nem azonos a populáció átlagával. A becslés aktuális értéke általában nem azonos az igazi értékkel, és a torzítást a minta eloszlásából lehet meghatározni.

torzított minta

Olyan minta, amelyiknek az összetételét nemcsak az a populáció határozza meg, ahonnan vettük, hanem a mintavételi eljárás valamely olyan tulajdonsága is, amely miatt a populáció valamely része felül van reprezentálva a mintában: nagyobb valószínűséggel kerül bele a mintába. A torzítás inkább a mintavételi eljárás tulajdonsága, mint az egyes mintáké.

továbbosztás

A gráf valamely éle összeköti két pontját. Ha ezen az élen elhelyezünk egy további pontot, akkor az az ábrán látható módon két élre osztja a korábbi élt: a C pont közbeiktatása az AB élt az AC és CB élre osztotta. A beszúrt él fokszáma szükségszerűen 2. Egy gráf továbbosztását végezzük el, ha a fenti módon néhány meglévő élen további kettő fokszámú élet helyezünk el.

többértékű

Ha valamely halmaz egy eleméhez egy másik halmaznak egynél több elemét rendeljük hozzá, többértékű leképezést kapunk. Például egy x valós számhoz hozzárendelhetjük az összes olyan valós számot (szöget), amelyiknek a tangense x. Ezek közül pontosan egy szög (mondjuk ) esik és közé; ezt az -t a szóban forgó hozzárendelés főértékének szokás nevezni. A többi lehetséges szög , ahol n tetszőleges egész szám.

többszörös

Lásd oszt.

többszörös él

Lásd gráf.

többszörös gyök

Lásd gyök.

többszörös integrál

Két- vagy többváltozós integrál kiszámításának módja, ahol az integrálás lépéseit egymás után hajtjuk végre, mindig egy-egy változó szerint, miközben többi változót konstansnak tekintjük. A kétszeres integrál a kétváltozós speciális eset.

A töbszörös integrálok lehetnek határozottak vagy határozatlanok. Határoztlan integrál esetén az első integrálnál kapott konstanst a második változó szerinti integrálnál már a második változó függvényének tekintjük. Ha egy felületet a kétváltozós f függvény ír le, akkor a felület alatti térfogat éppen . Például a sík alatti térfogatot az tartományon a következőképpen számolhatjuk ki: .

többszörös pontosság

Lásd numprec.

többváltozós

Két vagy több valószínűségi változóval kapcsolatos. Lásd együttes eloszlásfüggvény, együttes eloszlás és együttes sűrűségfüggvény.

többváltozós polinom

Ha egy vektorváltozós vektorértékű függvény minden koordinátafüggvénye minden változójában polinom, akkor többváltozós polinomnak hívjuk.

többváltozós regresszió

Lásd regresszió.

tökéletes szám

Olyan egész szám, amely egyenlő pozitív osztóinak összegével (önmagát nem számítva). így 6 tökéletes szám, hiszen a pozitív osztói (önmagán kívül) és 3, és ; ilyenek például még 28 és 496. Jelenleg több mint harminc tökéletes számot ismerünk, mindegyik páros. Ha p és prím (tehát az utóbbi Mersenne-féle prím), akkor tökéletes; ráadásul csak ezek a páros tökéletes számok. Nem tudjuk, hogy vannak-e páratlan tökéletes számok; egyet sem találtak még eddig, de nincs bizonyítva, hogy nem is létezik ilyen.

tömb

Elemek, általában számok rendezett gyűjteménye. A vektor például egydimenziós tömb, a mátrix kétdimenziós tömb. Használnak három és magasabb dimenziós tömböket is, de ezeket papíron megjeleníteni nehezebb, habár egy mátrix i-edik sorában és j-edik oszlopában lévő elemének indexes jelölése könnyen kiterjeszthető magasabb dimenziókra. Ahhoz, hogy két tömb egyenlő legyen, a megfelelő elemeiknek egyenlőknek kell lenniük, tehát mindenekelőtt a tömbök ugyanolyan méretűek kell, hogy legyenek.

tömeg

Minden testhez hozzárendelnek két paramétert: a súlyos tömeget, mely a Newton-féle gravitációs törvényben szerepel, és a tehetetlen tömeget, mely a második newtoni mozgástörvényben szerepel. A skálák megfelelő megválasztásával elérhető, hogy a két mennyiség értéke megegyezzen – ezt a közös értéket nevezik a test tömegének.

A tömeg SI mértékegysége a kilogramm.

tömegközéppont

Tegyük fel, hogy adott az tömegű részecske, amelyeknek helyvektora . A részecskék alkotta rendszer tömegközéppontja az a pont, melynek R helyvektorára a következő teljesül:

ahol

(m tehát a részecskék együttes tömege).

Most képzeljünk el egy l hosszúságú rudat, melynek vonalmenti sűrűsége a rúd egyik végétől x távolságban . Ekkor a tömegközéppontnak a rúd kiválasztott végétől mért X távolságára fennáll, hogy

ahol

(m tehát a rúd tömege).

Lemez esetén esetén a tömegközéppont definíciója kettős integrált tartalmaz. Jelölje a felületi sűrűséget a lemez r helyvektorú pontjában, A pedig azt a felületet, amelynek mentén a lemez található! A tömegközéppont R helyvektorára fennáll, hogy

ahol

(m tehát a lemez tömege).

Háromdimenziós test esetén a tömegközéppont definíciója hármas integrált tartalmaz. Jelölje a sűrűséget a test r helyvektorú pontjában, V pedig azt a térbeli tartományt, amelyben a test található! A tömegközéppont R helyvektorára fennáll, hogy

ahol

(m tehát a test tömege).

tömegpont

Lásd részecske.

tömegpont

Annak az egyszerűsítő feltevésnek az eredménye, amely szerint egy test teljes tömege egyetlen pontban egyesíthető, s így például olyan bonyodalmaktól, mint a forgás el lehet tekinteni.

tömeg–energia-egyenlet

, ahol E jelöli az energiát, m a tömeget, c pedig a vákuumbeli fénysebességet. Ezt az egyenletet a speciális relativitáselmélet részeként Albert Einstein állította fel, megmutatva a tömeg és az energia kapcsolatát. Az egyenlet magába foglalja azt a tényt, hogy a tömeg a potenciális energia egyik formájának tekinthető, bár az átalakítást – a tárolt energia felszabadítását – rendkívül nehéz végrehajtani. Ennek az átalakításnak két módja – amelyek alapján a nukleáris erőművek és a nukleáris fegyverek működnek – a magfúzió és a maghasadás, amelyeknek során a kezdetben meglévő atommagok más atommagokká alakulnak át. A keletkezett atommagok együttes tömege kisebb a kezdetben meglévő atommagok együttes tömegénél, és folyamat során a tömegkülönbségnek megfelelő energiamennyiség szabadul fel.

tört

Történetileg az törtet, ahol a és b pozitív egészek, úgy kapták, hogy egy egységnyi hosszúságú szakaszt b egyenlő részre osztottak, és ebből a darabot vettek. Az a szám a számláló, b a nevező. valódi tört, ha , és nem valódi tört, ha . Bármely tört felírható alakban, ahol c egész és valódi tört. Ezt az alakot vegyes törtnek hívjuk, ilyen vegyes tört például (ami -del egyenlő).

törtek szorzása

Törtek szorzásánál a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel szorozzuk, azaz . Vegyes törtek szorzásánál a szorzás elvégzése előtt a törtek átalakítandók áltörtekké.

törtrész

Az x valós szám törtrésze , ahol az x szám egészrésze. Bármely valós szám r törtrészére teljesül, hogy .

törvény

Általánosnak tekintett tétel vagy elv, amilyenek például Newton mozgástörvényei.

törzstört

Lásd arány.

t-próba

Olyan statisztikai próba, mellyel eldönthető, hogy egy n elemű és átlagú minta várható értékű normális eloszlásból származik-e. Amikor igen, akkor a

képlettel meghatározott statisztika eloszlása szabadságfokú t-eloszlás, ahol a minta szórásnégyzetének torzítatlan becslése. A t-próbával az is eldönthető, hogy a mintaátlag szignifikánsan különbözik-e a sokaság átlagától, illetve, hogy két minta ugyanabból a sokaságból származik-e. A t-próbához szükséges táblázatot lásd a t-eloszlás címszónál.

transzcendens szám

Olyan valós szám, amely nem gyöke egyetlen egész együtthatós egyváltozós polinomnak sem. Egy valós szám pontosan akkor transzcendens, ha nem algebrai. Hermite 1873-ban megmutatta, hogy az logalap szám transzcendens, Lindemann pedig ugyanezt a számról 1882-ben igazolta.

transzfinit szám

Végtelen halmaz számossága, amilyen például , vagy amilyen a kontinuum számossága.

transzformáció

Egy lineáris transzformáció reprezentálható egy mátrixszal. Például az síkbeli transzformáció így is írható:

ahol

transzformációcsoport

Olyan csoport, amelynek elemei transzformációk, és a csoportművelet a kompozíció. Beszélhetünk például a síkban az origó körüli forgatások transzformációcsoportjáról. Az origón átmenő egyenesekre való tengelyes tükrözések azonban már nem alkotnak csoportot, mivel ez a függvényhalmaz nem zárt a kompozícióra. (Tekintsünk például két olyan tengelyt, amely az origón halad át és merőlegesek egymásra. Az ezekre való tükrözések eredménye az origó középpontú 180 fokos forgatás, amely nyilván nem fogható fel tükrözésként, hiszen a tükrözés megváltoztatja a körüljárási irányt, míg a forgatás nem.)

transzponált

Egy típusú mátrix transzponáltja az az típusú mátrix, amelyben a sorokat felcseréljük az oszlopokkal, más szóval a mátrixot a főátlójára tükrözzük. Az A mátrix transzponáltját leggyakrabban vagy jelöli. Ha tehát , akkor , vagyis

A transzponálásra fennállnak az alábbi azonosságok:

  1. ,

  2. ,

  3. ,

  4. ,

ahol k tetszőleges szám, és a szereplő mátrixokról feltesszük, hogy megfelelő méretűek, azért, hogy az összeadást és a mátrixszorzást el lehessen végezni.

transzverzális

Két sima síkgörbe transzverzálisan metszi egymást, ha a metszéspontban húzott érintőegyenesek nem esnek egybe. Például a tangens függvény grafikonja transzverzálisan metszi az első (x-)tengelyt az origóban, az függvény azonban az első (x-)tengelyt az origóban nem transzverzálisan metszi át.

tranzitív reláció

Az S halmazon értelmezett kétváltozós reláció tranzitív, ha bármely esetén és maga után vonja, hogy . Például a valós számokon értelmezett (kisebb) reláció tranzitív. Nem minden reláció tranzitív azonban: ha a kisbetűkkel embereket jelölünk, és azt jelenti, hogy b gyereke a-nak, akkor a reláció nyilván nem tranzitív.

trapéz

Olyan síkbeli négyszög, amelynek van legalább két párhuzamos oldala. Ha a párhuzamos oldalak hossza a és b, és ezek egymástól h távolságra vannak, akkor a trapéz területe .

trapézszabály

A trapézszabállyal az alakú határozott integrálok értékére kaphatunk közelítő értékeket. Osszuk fel az intervallumot n egyenlő részre, , és jelölje az egyes részek hosszát. Legyen és jelölje az pontot. A trapézszabály az f függvény és közé eső görbe alatti területét az , , és pontok által meghatározott trapéz területével közelíti, ami nem más, mint . Ha ezeket a területeket az i index lehetséges értékeire összegezzük, azt kapjuk, hogy

A közelítés hibája -tel arányos, vagyis ha kétszer annyi részre osztjuk az intervallumot, a hiba nagyjából negyedére csökken. A trapézszabálynál a Simpson-képlet jóval pontosabb közelítést ad.

trend

Lásd idősor.

tri-

Előtag, jelentése: három.

trichotóm

Egy kétváltozós reláció trichotóm, ha tetszőleges elempárra vagy , vagy . Tehát például a valós számok halmazán értelmezett „nagyobb, mint” reláció trichotóm.

tridiagonális mátrix

Olyan négyzetes mátrix, amelyben nullától különböző elemek csak a főátlóban, valamint a főátló alatti és feletti átlóban helyezkednek el.

trigonometria

A matematikának az az ága, amely a trigonometrikus függvények vizsgálatával foglalkozik. E függvények a különféle háromszögekkel kapcsolatos mérési feladatokban és a fizikában a hullámjelenségekkel összefüggésben merülnek fel tipikusan.

trigonometrikus függvények

Az alapvető trigonometrikus függvényeknek szokás szerint a szinusz ( ), a koszinusz ( ), a tangens ( ) és a kotangens ( ) függvényeket tekintjük, bár például csupán a szinusz segítségével a maradék három szögfüggvény könnyen kifejezhető. Másrészt bizonyos országokban használatosak még ezeken kívül a szekáns ( ) és a koszekáns ( ) függvények, valamint külön neve van néhány egyéb egyszerű transzformált alaknak is.

A trigonometrikus függvényeket először általában derékszögű háromszögek segítségével vezetik be, és ilyenkor e függvények argumentuma 0 és 90 közötti fok lehet. Később az értelmezési tartományt kiterjesztik negatív, illetve 90-nél nagyobb fokokra is. Megjegyezzük, hogy a felsőbb matematikában fokokat ritkán használnak, ehelyett a trigonometrikus függvények argumentumait csaknem mindig radiánban adjuk meg. A radián definíciója szerint a derékszög radiánnak felel meg. (A nevezetes szögek közül tehát radián a , radián a , és radián a megfelelője.) A szögek mérésére továbbiakban mi is mindig radiánt használunk (és a radián szót nem írjuk ki).

A trigonometrikus függvények definíciójához használjuk az ábra jelöléseit.

Tetszőleges valós x esetén jelentse az egységnyi hosszú és x forgásszögű vektor második koordinátájának nagyságát, míg legyen az első koordináta értéke. Amennyiben a nevezők nem nullák, és . A definícióból rögtön következik a Püthagorász-tétel trigonometrikus alakja, mely szerint tetszőleges esetén .

Az alábbi táblázatban néhány nevezetes szöget és hozzátartozó függvényértéket tüntettünk fel. (A vízszintes vonal azt jelenti, hogy azon a helyen az illető szögfüggvény nincs értelmezve.)

Az értelmezésben szereplő P pont bármelyik negyedbe eshet. Tekintetbe véve x és y előjelét, megadható, hogy melyik szögfüggvény hol pozitív.

Hasznosak az alábbi transzformációs képletek:

A szinusz és a koszinusz függvény periodikus, periódusa , míg a tangens és kotangens függvények periódusa , tehát például esetén , valamint, ha x nem alakú ( ) valós szám, akkor .

A trigonometrikus függvények grafikonjai az alábbi ábrákon szerepelnek.

A trigonometrikus függvények és különféle transzformáltjaik között sok (pontosabban, több ezer) képlet teremt kapcsolatot. Ezek közül tüntettünk fel az 5. Függelékben néhányat.

A trigonometrikus függvények deriváltjának kiszámításához szükség van a

nevezetes határérték ismeretére. Ennek egy geometriai bizonyítását mutatja az alábbi ábra.

Az OBQ, OAP háromszögterületek és az OAB körcikkterület összevetéséből adódik, hogy esetén

(Negatív szögekre analóg képlet fogalmazható meg.) Az egyenlőtlenségláncban elvégezve az határátmenetet, a határérték és a közrefogási elv felhasználásával nyerjük értékét. Mindezekből a megfontolásokból a derivált definíciója és miatt azt kapjuk, hogy

és

A többi trigonometrikus függvény deriváltja a fenti képletekből és az általános deriválási szabályokból származtatható (lásd a 2. Függelékben).

trigonometrikus függvények inverze

A szinuszfüggvény inverze kevésbé szabatosan az a függvény, melyre , ha . így például , mert . Mivel azonban is teljesül, nem egyértelmű, hogy vagy . A félreértések elkerülése végett ezért megállapodunk abban, hogy az inverz függvény értéke a intervallumba esik. Hasonló megállapodásra van szükség a többi trigonometrikus függvénynél is.

A pontos definíció megfogalmazása előtt vegyük észre, hogy egy trigonometrikus függvénynek csak akkor létezik inverze, ha az eredeti függvényt egy megfelelő értelmezési tartományra leszűkítjük. Ez lehet egy olyan intervallum, ahol a függvény szigorúan monoton növő vagy szigorúan monoton fogyó (lásd inverz függvény). Például a szinuszfüggvény esetében ez az intervallum . Az inverz függvény értelmezési tartománya minden esetben a leszűkített függvény értékkészlete lesz. A trigonometrikus függvények inverzei tehát, melyeket arkuszfüggvényeknek is nevezünk, a következők: ; ; ; ; grafikonjuk az alábbi ábrán látható:

A trigonometrikus függvények inverzének deriváltjai:

trigonometrikus függvények sorfejtése

A trigonometrikus függvények értelmezhetők geometriai eszközök nélkül is, pusztán az analízis fogalmainak felhasználásával. (Természetesen a szokásos geometriai és az alábbi analitikus értelmezés ugyanarra az eredményre vezet.) Eszerint tetszőleges valós (sőt, komplex) x esetén fennállnak az alábbi Taylor-sorfejtések:

Érdekes, hogy a tangens függvényre nem adható a fentiekhez hasonló, egyszerű szerkezetű sorfejtés. Ennek tükrében meglepő, hogy a tangens függvény (alkalmas leszűkítésének) inverzfüggvénye, az arkusz tangens függvény a intervallumon mégis felírható egyszerű sor alakjában. Ha tehát , akkor

trigonometrikus helyettesítés

Speciális alakú határozatlan integrálok kiszámítására szolgáló helyettesítés. Trigonometrikus függvényeket tartalmazó kifejezések integrálásakor gyakori fogás a helyettesítés alkalmazása, ugyanis ekkor és alakban írható fel.

trigonometrikus táblázatok

Olyan táblázatok, amelyekben a trigonometrikus függvények értékei vannak (valahány tizedes jegy pontossággal) feltüntetve. E táblázatokat a zsebszámológépek manapság már teljesen kiváltották. Fontos azonban, hogy akár trigonometrikus táblázatot, akár számológépet használunk, mindig figyeljünk oda, hogy az argumentum fokban vagy radiánban van-e megadva.

trillió

A szám másik neve. Sajnálatos módon az angol „trillion” szó bizonyos országokban -t, máshol viszont -t jelent. (Hasonló kétértelműség áll fenn a billió szó esetén is; járjunk el tehát nagyon körültekintően e szavakkal kapcsolatban.)

triviális megoldás

Egy probléma valamilyen értelemben legegyszerűbb, legnyilvánvalóbb megoldása. Egy homogén lineáris egyenletrendszer esetén a triviális megoldás az a megoldás, melyben minden ismeretlen értéke nulla.

triviális részcsoport

Egy csoport azon részcsoportja, amely csak az egységelemből áll.

tudományos alak

A szám tudományos alakja azt jelenti, hogy egy 1 és 10 közötti szám és 10 valamely hatványának szorzataként írjuk fel: azaz alakban, ahol és n egész szám. így 634.8 és 0.00234 tudományos jelöléssel és . A jelölés különösen nagyon nagy vagy nagyon kis számok esetén hasznos.

Tukey, John Wilder

(1915–2000) Amerikai matematikus és statisztikus, kezdetben topológiával foglalkozott. Tőle származik a gyors Fourier-transzformáció (és mellesleg a bit elnevezés is). Továbbfejlesztette az idősorok és a varianciaanalízis elméletét, vizsgálta annak a kérdését, hogy egyetlen mintából hogyan lehet egy paraméterhalmaz értékeire következtetni. Exploratory data analysis (Adatfeltárás) című 1977-es könyve talán a legismertebb, amely az egész adatelemzést alapjaiban változtatta meg (megteremtve annak alapjait, amit ma adabányászatnak neveznek), és amely elősegítette a tisztán paraméteres statisztikáktól való továbblépést.

Turán Pál

(1910–1976) Magyar matematikus, a számelmélet és a klasszikus analízissel területén ért el jelentős eredményeket.

Turing, Alan Mathison

(1912–1954) Angol matematikus és logikus, a Turing-gép fogalmának megalkotója. A II. világháború alatt kódfejtéssel foglalkozott, utána pedig a korai digitális számítógépek kifejlesztésében és programozásuk megalkotásában vett részt. A mintázatok kialakulásáról szóló dolgozata a biomatematika alapvető írása.

Turing-gép

Olyan elméleti (számító)gép, amely a Turing által megalkotott nagyon egyszerű szabályok alapján dolgozik. A Turing-gép megalkotásának célja az volt, hogy matematikailag pontosan megfogalmazható legyen a „számítás” és a „kiszámíthatóság” fogalma. Általános vélekedés, hogy egy Turing-gép mindent ki tud számolni vagy számítani, amire „tényleges” algoritmus adható. A kiszámíthatóság fogalmát később a Turing-géptől függetlenül más, egyenértékű módokon is definiálták.

tükörkép

Lásd tükrözés.

tükrözés

(a síkban) Legyen l egy egyenes a síkban. Ekkor a P pont tükörképe , ha merőleges l-re, és l felezi a szakaszt. A sík tükrözése az l egyenesre a sík olyan transzformációja, amely minden P pontot a fenti módon értelmezett tükörképére képez. Tegyük fel, hogy az l egyenes keresztülhalad az O origón, és szöget zár be az első (x-)tengellyel. Ha P polárkoordinátái , akkor a tükörképének, -nek a polárkoordinátái lesznek. Descartes-féle koordinátákban kifejezve az l egyenesre vett tükrözés az koordinátájú P pontot abba az koordinátájú pontra képezi, amelyre

tűprobléma

Lásd Buffon-féle tűprobléma.