Ugrás a tartalomhoz

OXFORD - Matematika : Kislexikon

Tóth János (2007)

Typotex Elektronikus Kiadó Kft.

V

V

V

Az 5-ös szám római számjeggyel írva.

vágás (hálózatban)

Olyan élek halmaza, melyek eltávolításával már nem halad a forrásból a nyelőbe irányított út.

vágás kapacitása

Az összes maximális folyam összege, amely az adott vágás összes élén keresztülfolyhat.

vagy

Lásd diszjunkció.

vakpróba

Kísérlettervezésnél, különösen hatóanyagok vagy más orvosi beavatkozások hatékonyságának kiértékelésénél fennáll az a lehetőség, hogy a jótékony hatás megnő amiatt, hogy a páciensek pszichológiailag jobban akarják magukat érezni, és ez a tény megnehezíti a kezelés tényleges hatásának azonosítását. Az egyszeres vakpróbánál a páciens nem tudja, melyik kezelést kapja, a kétszeres vakpróbánál sem a páciens, sem az orvos nem tudja, melyik kezelést kapta a páciens.

Ahol a kezelés természete miatt nem lehet azt felcserélni a páciens tudta nélkül, ott kétszeres próbababa kísérlettel lehet dolgozni, amelynél a páciens látszólag mindkét kezelést megkapja, de az egyik vagy a másik placebo, míg a kontroll csoport tagja mindkettő helyett placebot kap.

válaszolásból eredő torzítás

A válaszolásból eredő torzítás azt jelenti, hogy a résztvevők egy felmérés során nem a valós érzéseiknek megfelelően válaszolnak. Ez előfordulhat akkor, amikor a kérdést valamilyen szándékkal teszik fel, illetve a keresett információ érzékenyen érinti a résztvevőt. Lásd még anonimitás.

válaszváltozó

Lásd függő változó.

validálás

Az a folyamat, amelynek során megállapítjuk, hogy valamely szimuláció a valóság azon szeletének megfelelő reprezentációja-e, amelynek modellezésére szánták.

v-állás

Két félsík és metszésvonaluk. Diédernek is lehet nevezni.

valódi osztó

Egy a számtól különböző osztó, tehát 1,2,3,6 mind osztója 6-nak, de csak az 1,2,3 a valódi osztók.

valódi része

Lásd valódi részhalmaz.

valódi részhalmaz

Legyen az A halmaz részhalmaza a B halmaznak. Ekkor A valódi részhalmaza B-nek, ha A nem egyenlő magával B-vel, azaz van olyan B-beli elem, amely nincs benne A-ban. Ekkor azt is mondjuk, hogy a B szigorúan tartalmazza A-t, és így jelöljük: . Néhány szerző az jelölést használja ugyanerre, akkor a tartalmazást jelölik így: .

valódi tényező

Lásd valódi osztó.

valódi tört

Lásd tört.

valós

Csak valós számokat magában foglaló, azaz képzetes rész nélküli.

valóságos világ

Lásd matematikai modell.

valós egyenes

Egy vízszintes egyenes vonalon válasszunk egy O pontot origónak és egy A pontot O-tól jobbra úgy, hogy az hosszat tekintjük 1 egységnyinek. Minden x pozitív valós szám reprezentálható az egyenesnek azzal az O-tól jobbra eső pontjával, amelynek távolsága az O-tól x egységgel egyenlő, minden negatív szám pedig egy O-tól balra eső pont lesz az egyenesen. Az origó reprezentálja a nullát. Az egyenest valós egyenesnek nevezzük, amikor a pontjait a valós számok ilyen reprezentálására használjuk.

valós és képzetes rész egyenlővé tétele

Az és komplex számok akkor és csak akkor egyenlőek, ha és . Ennek a ténynek a kihasználása az együtthatók egyenlővé tétele. Például ha , akkor és .

valós függvény

Olyan függvény, amely a valós számok halmazáról (vagy részhalmazáról) képez -be. így tehát az f valós függvény minden az értelmezési tartományában lévő valós x számhoz hozzárendel egy ahhoz tartozó valós számot. Az analízisben az függvényt régebben gyakran úgy definiálták, hogy egy képletet adtak meg -re, anélkül, hogy pontosan megadták volna az S értelmezési tartományt (lásd függvény). Ebben az esetben rendszerint feltételezték, hogy az S értelmezési tartomány lehető legbővebb részhalmaza. Például, ha , az értelmezési tartományt nek vennénk; vagyis az összes, 2-től különböző valós számból álló halmaznak. Ha , az értelmezési tartomány a zárt intervallum lenne.

valós rész

A z komplex szám felírható alakban, ahol x és y valós. Ekkor x a z szám valós része, jelölése vagy .

valós szám

A matematikában, tudományos munkában és a mindenapi életben általánosan használt számok a valós számok. Egy egyenes, a valós egyenes pontjaiként lehet őket ábrázolni. Az egészek egyenlő közönként helyezkednek el az egyenes mentén, és a b valós szám az a valós számtól jobbra található, ha . A valós számok halmazát általában jelöli. Olyan számokat tartalmaz, mint a és . Valójában tartalmazza az összes racionális számot, de az olyan számokat is, mint a és a , amelyek irracionálisak. Minden valós szám kifejezhető végtelen tizedes tört alakban.

A valós számok halmaza a már ismert összeadással és kivonással testet alkot, és mivel kapcsolódik hozzá egy olyan fogalom, hogy „kisebb mint”, amely kielégít bizonyos axiómákat, -et „rendezett” testnek nevezzük. Mindazonáltal nem adunk meg itt egy, az -et teljes mértékben leíró axiómarendszert. Van sok olyan precíz leírás, amely, feltételezve a racionális számok testének létezését, megkonstruálja a valós számok egy rendszerét, a megkövetelt tulajdonságokkal.

valós szám hatványa

Amikor az a valós számot a p kitevőre emeljük, azaz -t kapjuk, akkor az eredmény az a szám p-edik hatványa. Ugyanez a kitevőjelölés használatos más összefüggésben is, például az A négyzetes mátrix hatványának, (lásd mátrix hatványa) vagy egy multiplikatív csoport g eleme p-edik hatványának leírásánál is. Amikor az kifejezést képezzük, a p számot hatványkitevőnek nevezzük.

valós tengely

A komplex síkon az első (x-)tengelyt valós tengelynek nevezzük; pontjai a valós számokat reprezentálják.

valószínű hiba

Az 50%-os megbízhatósági intervallum félszélessége. Egy normális eloszlásból vett megfigyelt érték 0.5 valószínűséggel kielégíti az egyenlőtlenséget, tehát a normális eloszlás valószínű hibája .

valószínűség

Az A esemény -val jelölt valószínűsége annak a lehetőségnek a mértéke, hogy az esemény egy kísérlet ereményeként bekövetkezik. Bármely A eseményre . Ha A sosem következik be, akkor ; ha A mindig bekövetkezik, akkor . Ha egy kísérlet n alkalommal megismételhető, és az A esemény m-szer következik be, akkor az hányados határértéke esetén egyenlő -val.

Ha az S eseménytér véges és a lehetséges kimenetelek egyformán valószínűek, akkor az A esemény valószínűsége egyenlő -sel, ahol és A és S elemeinek számát jelöli. Annak a valószínűsége, hogy egy véges populációból véletlenszerűen kiválasztott elem egy bizonyos kategóriába tartozik egyenlő a populációnak a kategóriába eső arányával.

Jelölje azt a valószínűséget, hogy az X diszkrét valószínűségi változó az értéket veszi fel . Annak a valószínűségét, hogy az X folytonos valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel jelöli. Ezek a jelölések természetes módon kiterjeszthetők.

Lásd még feltételes valószínűség, apriori valószínűség és aposzteriori valószínűség.

valószínűséghányados-próba

Kifinomult hipotézisvizsgálati módszer, mely összehasonlítja a megfigyelt értékek előfordulásának valószínűségét a vizsgált paraméter különböző lehetséges értékei mellett. Legegyszerűbb formájában ez két paraméterérték összehasonlítása, általánosabban pedig a lehetséges értékek intervallumokat alkotnak, és az intervallumokon belüli valószínűségek maximumát hasonlítják össze.

valószínűségi generátorfüggvény

Ha X olyan valószínűségi változó, amely csak nemnegatív egész értékeket vesz fel, akkor a generátorfüggvénye: . Ha ezt a hatványsort n-szer differenciáljuk, mindazok a -t tartalmazó tagok nullák lesznek, ahol ; n-edik deriváltja , és minden magasabbfokú tagban szerepel t-nek egy hatványa, és ezért a n-edik deriváltja a helyen megadja annak a valószínűségét, hogy X az n értékét veszi fel, hiszen . X várható értéke és szórása szintén kiszámolható a generátorfüggvény segítségével, hiszen , és , így . A generátorfüggvény azért is hasznos, mert a konvolúció-tétel szerint, ha X és Y két független – nemnegatív egész értékeket fölvevő – valószínűségi változó, és generátorfüggvényük és , akkor , azaz az összeg generátorfüggvénye a generátorfüggvények szorzata, ami elegáns algebrai levezetéseket tesz lehetővé, és olyan eredményeket, mint hogy két független Poisson-eloszlás összege is Poisson-eloszlás.

valószínűségi mérték

Lásd valószínűségi mező.

valószínűségi mező

Véges mértéktér, amelyen értelmezve van egy valószínűségi mérték, amely a teljes térhez egységnyi mértéket rendel.

valószínűségi papír

Olyan módon skálázott milliméterpapír, amelyen egy adott valószínűségeloszlás eloszlásfüggvénye egyenes. Ezzel közelítőlesg ellenőrizhető, hogy az adatok származhatnak-e az adott típusú eloszlásból, mégpedig oly módon, hogy megnézzük, hogy az adatok milyen jól illeszkednek egy egyenesre. Ha az illeszkedés kielégítő, akkor paraméterek becslésére is alkalmas. A leggyakrabban vizsgált eloszlás a normális, így a leggyakoribb a Gauss-papír. Ma gyakran statisztikai programcsomagok, vagy akármelyik általános célú matematikai programcsomag is generálja feltevések kifinomult tesztelésének részeként.

valószínűségi sűrűségfüggvény

Az X folytonos valószínűségi változó valószínűségi sűrűségfüggvénye az a függvény, amelyre

Tegyük fel, hogy az X valószínűségi változóra veszünk egy mintát és megrajzoljuk a hisztogrammot bizonyos szélességű intervallumokkal. Ekkor pongyolán szólva: ahogyan a megfigyelések száma növekszik és az osztályintervallumok szélessége csökken, a hisztogramm alakja egyre közelebb kell, hogy kerüljön a valószínűségi sűrűségfüggvény grafikonjához.

valószínűségi változó

Olyan mennyiség, amely különböző számértékeket vesz fel attól függően, hogy egy bizonyos kísérletnek mi a kimenetele.

A valószínűségi változó diszkrét, ha lehetséges értékeinek halmaza véges vagy megszámlálhatóan végtelen. Egy diszkrét valószínűségi változó esetén annak a valószínűségét, hogy egy bizonyos értéket vesz fel, diszkrét valószínűségeloszlás adja meg.

A valószínűségi változó folytonos, ha lehetséges értékeinek halmaza véges vagy végtelen intervallum. Egy folytonos valószínűségi változó esetén annak a valószínűsége, hogy értékét egy bizonyos részintervallumból veszi fel a valószínűségi sűrűségfüggvényből számítható ki az adott részintervallumra vett integrálással.

valószínűségi változók konvolúciója

Két valószínűségi változó összegét is szokás konvolúciónak nevezni, mivel ennek eloszlása az eloszlások konvolúciója.

váltakozó előjelű sorozat

Olyan sorozat, amelyiknek a tagjai felváltva pozitívak és negatívak. így tehát a sorozat vagy a sorozat váltakozó előjelű sorozat, ha minden n mellett .

váltószögek

Lásd párhuzamos szárú szögek.

változási ütem

Tegyük fel, valamely mennyiség leírható az függvénnyel. Ha f differenciálható, akkor a mennyiség változási üteme az pontban .

Gyakran beszélnek az idő szerinti változási ütemről. Tegyük fel például, hogy adott egy irányított egyenes, melyen felvettünk egy O origót, és egy olyan részecske t pillanatbeli kitérését jelöli, amely ezen egyenes mentén mozog! Ekkor a részecske sebessége a kitérés idő szerinti változási üteme a t időpontban, a részecske gyorsulása pedig a sebesség idő szerinti változási üteme a t időpontban.

Mikor az előbbi bekezdésben a sebességet és a gyorsulást említettük, akkor az általános szokást követve elhagytuk az egyenes mentén a pozitív irányba mutató i egységvektort. A sebesség és a gyorsulás valójában vektormennyiségek, és a fent tárgyalt egydimenziós esetben értékük illetve . Két- és háromdimenziós mozgások esetén explicit módon használják a vektorokat. Ha r jelöli a részecske helyvektorát, akkor a részecske sebessége , gyorsulása .

változatlan

Lásd állandó.

változó

Olyan kifejezés, amelyet általában egy betűvel jelölünk és amely az értékeit egy adott halmazból veheti fel. Például az ( ) függvény megadásakor az x betű egy valós változót jelöl.

Vandermonde-féle konvolúciós képlet

Ha m,n és k nemnegatív egészeket jelölnek, akkor a binomiális együtthatók között fennáll, hogy

A képletet az azonosságból kapjuk, ha összehasonlítjuk együtthatóját a két oldal kifejtésekor.

várható érték

Az X valószínűségi változó várható értékét a következőképpen definiáljuk. Diszkrét valószínűségi változó esetén , ahol . Folytonos valószínűségi változóra

ahol f az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye. Alkalmas feltételek mellett a következő összefüggések igazak:

  1. .

  2. Ha X és Y független, akkor .

Példa. Legyen X egy kockadobás eredménye, tehát legyen . Nyilván minden i esetén. így .

várható haszon

Olyan környezetben, ahol a kimeneteleket nem kizárólag az egyén döntései határozzák meg, egy döntés várható haszna a hasznossági függvény súlyozott közepe a döntés lehetséges kimeneteleinek valószínűségeivel súlyozva.

variációs együttható

A szóródás egyik mértéke: egyenlő egy minta standard szórásának és átlagának hányadosával. Értéke tehát dimenziónélküli szám, amely nem függ a megfigyelt dolog skálájától vagy mértékegységétől, és általában százalékban fejezik ki.

variációszámítás

Az analízisnek az az ága, amelyik annak a függvénynek (vagy azoknak a függvényeknek) a megkeresésével foglalkozik, amelyen egy határozott integrál maximális vagy minimális értéket vesz fel. Alkalmazásának két tipikus példája a brachisztochronprobléma és a geodetikus vonal meghatározása.

varianciaanalízis

Általános eljárás, amely egy adathalmaz teljes változékonyságát meghatározott okok által létrehozott és véletlen változásokból eredő összetevőkre bontja. Ehhez olyan mennyiségeket kell kiszámolni, mint a „csoportok közötti négyzetösszeg” és a „maradék négyzetösszeg”, és osztani kell a szabadsági fokokkal, hogy megkapjuk az „átlagos négyzetes eltérést”. Az eredményeket általában ANOVA táblázatokban foglalják össze (amelyek elnevezése az „ANalysis Of VAriance” angol kifejezés kezdőbetűiből tevődik össze). Egy ilyen táblázat tömör összegzést ad, amiből megbecsülhető a magyarázó változók hatása, és hipotézisek vizsgálhatók, rendszerint F-próba segítségével.

A görög „fi” betű, szimbólum.

véges

Nem végtelen nagy. Például egy halmazról akkor mondjuk, hogy véges, ha kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető a halmaz elemei és az halmaz között, ahol n természetes szám.

véges differenciák

Legyen egyenlő közű számsorozat, azaz valamilyen és valós számokkal (ez utóbbiról azt is fel szokás tenni, hogy pozitív). Tegyük fel, hogy valamely f függvényre az függvényértékek ismertek. Ekkor esetén az elsőrendű differenciákat a következőképpen definiáljuk: . Másodrendű differenciáknak nevezzük a mennyiségeket. Általánosan, a k-adrendű differenciák definíciója: . Egy n-edfokú polinom esetében minden -edik differencia 0.

Ezeket a véges differenciákat táblázatban is ábrázolhatjuk, amint azt a következő számpélda mutatja.

Vegyük figyelembe, hogy ha az függvényértékek kerekített értékek, akkor az egymás utáni oszlopokban egyre nagyobb hibák jelennek meg.

Több, véges differenciák használatán alapuló numerikus módszer ismert. Ezek használhatók interpolációra, ilyen a Newton-féle interpolációs képlet, amely függvények polinommal való közelítésére alkalmas, továbbá értéktáblázattal adott függvény deriváltjainak becslésére is.

véges dimenziós

Egy vektortérről akkor mondjuk, hogy véges dimenziós, ha van véges generátorrendszere.

végeselem-módszer

Parciális differenciálegyenletekre vonatkozó peremérték-feladat megoldására szolgáló numerikus módszer, amely közelítő megoldások olyan sorozatán alapul, ahol a megoldások egy kis tartományon belül kielégítik a differenciálegyenletet és a peremfeltételeket.

véges Fourier-transzformáció

Lásd: diszkrét Fourier-transzformáció.

véges sor

Lásd: sor.

véges sorozat

Lásd: sorozat.

véges tizedes tört

Lásd tizedes tört.

végpont

A valós számegyenes valamely intervallumának valamelyik végét meghatározó szám. Az véges intervallumok mindegyikének két végpontja van, a és b. Az végtelen intervallumok mindegyikének egy (véges) végpontja van, a.

végsebesség

Bizonyos matematikai modellek úgy írják le a nagy magasságból a Föld felé zuhanó testek mozgását, hogy azok sebessége egy bizonyos értékhez közelít, amelyet végsebességnek neveznek. Az egyik lehetséges matematikai modellben a mozgásegyenlet alakú, ahol m a részecske tömege, j pedig a függőlegesen felfelé mutató egységvektor. Az egyenlet jobb oldalán szereplő második tag – melyben c egy pozitív állandó – a légellenállást írja le. A végsebességet úgy kapjuk meg, ha helyébe a nullvektort írjuk – ekkor . Egy másik modellben a mozgásegyenlet alakú. Itt a végsebességre adódik. Mindkét modell esetén teljesül, hogy t növekedtével a sebesség a kezdeti feltételektől függetlenül a megfelelő modellben kapott végsebességhez közelít.

végső következmény

Olyan állítás, amelyre a kiindulási premisszákból bizonyítás útján következtetünk.

végtelen

A valós számok halmaza kiegészíthető két szimbólummal, ezek: és . Az elsőről feltesszük, hogy minden valós számnál nagyobb, a második minden valós számnál kisebb, alkalmas módon bevezethetünk számolási szabályokat is.

végtelen halmaz

Olyan halmaz, melynek elemei és a természetes számok egy korlátos részhalmaza között nem létesíthető kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés.

végtelen nagy

Nem véges. A legegyszerűbb esetben azt jelenti, hogy valaminek a mérete vagy abszolút értéke bármely természetes számnál nagyobb.

végtelen összeg

Lásd sor és mértani sor.

végtelen sor

Lásd sor.

végtelen sorozat

Lásd sorozat.

végtelen szorzat

A nullától különböző számok végtelen sorozatából képezhető az végtelen szorzat, melynek jelölése:

Legyen az n-edik részletszorzat, azaz

Ha egy P határértékhez tart, ha , akkor azt mondjuk, hogy a végtelen szorzat értéke P. Például

értéke , ugyanis meg lehet mutatni, hogy , és így .

végtelen távoli pont

A komplex számok halmazához hozzávett szimbólum, amellyel megkapjuk a kiterjesztett komplex síkot.

vegyes tört

Lásd tört.

vegyesszorzat

A a vektornak és a vektoriális szorzatnak skaláris szorzatát az és c vektor vegyesszorzatának nevezzük, és ezt a skalárt -vel jelöljük. A vegyesszorzat a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

  1. .

  2. .

  3. Az és c vektor pontosan akkor fekszik egy síkban, ha .

  4. Ha az és c vektorokat az és k bázisvektorok szerinti összetevőikkel definiáljuk, azaz akkor .

  5. Ábrázolja az és c vektort az és irányított egyenesszakasz, és legyenek ezek egyúttal a P parallelepipedon élei. Akkor abszolút értéke éppen a P parallelepipedon térfogata. Ha és c jobbsodrású rendszert alkot, akkor pozitív, ha és c balsodrású rendszert alkot, akkor negatív.

vektor

A fizikában vektornak olyan mennyiséget nevezünk, amelynek a nagyságán kívül iránya (néha támadáspontja is) is van. Vektor például a sebesség vektora, vagy egy erővektor.

A vektor fogalmát matematikailag rendezett párként definiálhatjuk, ahol a pár első tagja egy nemnegatív valós szám – a vektor hossza vagy nagysága –, a pár második tagja pedig egy irány a térben (vagy síkon) – mely megadható például az origón átmenő valamely egyenessel. A vektorokat gyakran félkövér betűkkel (például a) jelöljük. Két vektort egyenlőnek mondunk, ha nagyságuk és irányuk azonos. A -val jelölt nulla vektor olyan vektor, amelynek nagysága nulla. A nulla vektor esetén nem definiálunk irányt.

A vektor fogalmát az irányított egyenesszakasz fogalmának felhasználásával másképp is megadhatjuk: ez legyen az összes olyan irányított egyenesszakasz halmaza, amelynek hossza és iránya azonos. Ha az szimbólummal jelölt irányított egyenesszakasz benne van abban a halmazban, ami az a vektor, akkor azt mondjuk, hogy reprezentálja az a vektort. Ha és ugyanazt az a vektort reprezentálja, akkor és párhuzamos és egyenlő hosszú. Az a vektor hossza vagy nagysága a vektort reprezentáló bármely irányított szakasz hossza. Két vektort egyenlőnek mondunk, ha őket ugyanazok az irányított szakaszokból álló halmazok reprezentálják. Nullvektornak hívjuk az összes nulla hosszúságú irányított szakasz halmazát.

A két definíció közötti kapcsolat a következőképpen látható: az első definíció szerinti a vektort az irányított szakasz akkor reprezentálja, ha az irányított szakasz nagysága és iránya megegyezik az a vektor nagyságával és irányával.

A felsőbb matematikában a vektort szemléletesen nem definiáljuk, vektornak nevezzük egy vektortér tetszőleges elemét.

vektoranalízis

Az analízisnek az az ága, amely a vektorváltozós, illetve a vektorértékű függvények vizsgálatával foglakozik. Vektorértékű például az olyan függvény, amelynek értékkészlete ( , ) valamely részhalmaza.

vektoregyenlet

Lásd egyenes vektoregyenlete, sík vektoregyenlete.

vektor ellentettje

Legyen az az irányított egyenesszakasz, amelyik az a vektort ábrázolja. Ekkor az a vektor ellentettje (vagy negatívja) az a szimbólummal jelölt vektor, amelyiket ábrázol. Minden a vektorra teljesülnek a következő tulajdonságok:

  1.   , ahol a nullvektor,

  2.   .

vektor hossza

Lásd vektor. Ha , akkor az a vektor hossza

vektoriális szorzat

Legyen a és b két nullától különböző, egymással nem párhuzamos térvektor és jelölje az általuk bezárt szöget ( ). Az a és b vektor (olv. „a kereszt b”) vektoriális szorzata az a vektor, amely merőleges mind a-ra, mind b-re, hossza , és iránya olyan, hogy a, b és ebben a sorrendben jobbrendszert alkot. Amennyiben a és b párhuzamosak, vagy valamelyikük a nullvektor, az vektoriális szorzat értéke definíció szerint a nulla vektor. Az jelölés helyett néha az (olv. „a ék b”) jelölés is használatos. A vektoriális szorzatot hívják még vektori szorzatnak, külső szorzatnak, ékszorzatnak vagy keresztszorzatnak is.

A vektoriális szorzat az alábbi tulajdonságokkal bír. Ha a, b és c tetszőleges térvektorok, pedig tetszőleges szám, akkor fennáll, hogy

  1. (antikommutativitás).

  2. (homogenitás).

  3. (disztributivitás).

  4. Az vektor hossza megegyezik az a és b vektorok, mint oldalak által meghatározott parallelogramma területével.

  5. Ha i, j és k jelöli a standard bázisvektorokat, akkor a vektori szorzat koordinátás alakban a következőképpen fest: legyen és , ekkor

    E képlet megjegyzését megkönnyíti, ha észrevesszük, hogy a jobb oldalon az

    formális determináns első sora szerinti kifejtése áll.

vektori hármasszorzat

Ha a, b és c tetszőleges térvektorok, akkor az vektoriális szorzatot vektori hármasszorzatnak nevezzük. (A zárójelek helye itt fontos, mivel a vektoriális szorzás általában nem asszociatív, azaz általában .) Az szorzat merőleges a vektorra, tehát a b és c vektorok által meghatározott síkban fekszik. Ha a skaláris szorzást jelöli, akkor fennáll, hogy

vektori szorzat

Lásd vektoriális szorzat.

vektor komponense

A 3-dimenziós térbeli Descartes-féle koordináta-rendszerben legyen és k a három koordinátatengely irányába mutató egységvektor. Ha adott a p vektor, akkor egyértelműen léteznek olyan x,y és z valós számok, amelyekkel . Ekkor x, y és z a p vektor komponensei (az i, j és k vektorokból álló bázisban). A skaláris szorzatot használva ezek meghatározhatóak: , , . (Lásd még iránykoszinusz).

Általánosabban, ha és w tetszőleges nem egy síkban fekvő vektor, akkor tetszőleges 3-dimenziós térbeli p vektor egyértelműen felírható alakban, ahol és z a p vektor komponensei az , w bázis szerint. Ebben az esetben azonban nem tudjuk olyan egyszerűen kifejezni a komponenseket a skaláris szorzat segítségével.

vektornorma

Az (abszolútérték) szimbólummal jelölt nemnegatív valós értékű függvényről akkor mondjuk, hogy vektornorma, ha tetszőleges x, y vektorok és c szám esetén fennáll, hogy

  1. , továbbá csak akkor lehet, ha .

  2. (homogenitás), ahol a c szám abszolút értéke.

  3. (háromszög-egyenlőtlenség).

A vektornorma a közönséges hosszúság, illetve vektor hossza, abszolút érték fogalmának általánosítása, így az szimbólumot gyakran úgy olvassuk, mint az „x vektor hossza”, vagy az „x vektor normája”. Az x vektor normáját gyakran jelölik még a szimbólummal is.

vektorok egyenlősége

Lásd vektor.

vektorok hajlásszöge

Adott az a és a b vektor, feleljen meg a az , b pedig az irányított szakasznak. Ekkor az a és b vektorok által bezárt szög az az szög, amelyre teljesül, hogy (radiánban), vagy (fokban). Innen lehet megkapni:

vektorok összeadása

Ábrázolja a közös O kezdőpontú és irányított egyenesszakasz az a és a b vektort. Ekkor és összege az az irányított egyenesszakasz, amellyel OACB parallelogramma, és az összeget úgy értelmezzük, mint az által ábrázolt c vektort. Ezt hívjuk a parallelogrammaszabálynak. Másik – egyenértékű – lehetőség az, hogy az a és b vektor összegét úgy defináljuk, hogy az a vektort ábrázolja az irányított egyenesszakasz, a b vektort pedig az a irányított egyenesszakasz, amelyiknek a kezdőpontja az előző végpontja; ekkor az összeg az által ábrázolt vektor. Ez a háromszögszabály. A vektorok összeadása tetszőleges és c vektorok mellett rendelkezik az alábbi tulajdonságokal:

  1. , kommutativitás,

  2. , asszociativitás,

  3. , ahol a nulla vektor,

  4. , ahol az a vektor ellentettje.

vektorösszeadás

Az általános meghatározást illetően lásd a vektortér címszót. Ha közönséges síkvektorokról (vagy térvektorokról) van szó, a vektorösszeadásnak az alábbi szemléletes geometriai tartalma van: ha p és q két vektor, melyeket és reprezentál, akkor a vektori összeg az a vektor, melyet az vektor reprezentál, ahol a B pontot úgy vesszük fel, hogy az O,A,B és C pontok parallelogrammát alkossanak. Röviden, a vektori összeg annak a parallelogrammának az átlója, amelynek oldalait a két összeadandó határozza meg.

vektor skalárszorosa

Legyen a egy nullától különböző vektor, k pedig egy nullától különböző skalár. Ekkor jelöli az a vektor k-val vett skalárszorosát, amelynek nagysága , iránya pedig megegyezik a irányával, ha , és irányával, ha . Továbbá és minden a és k esetén definíció szerint . A skalárral való szorzás tulajdonságai:

  1. .

  2. .

  3. .

  4. , a nulla vektor.

  5. .

  6. , az a vektor ellentettje.

vektortér

A vektortér, pontosabban egy F test feletti V vektortér olyan matematikai struktúra, amelyet az F és a V halmaz, valamint bizonyos, rajtuk értelmezett műveletek határoznak meg a következőképpen.

  1. A vektorok V halmaza kommutatív csoportot alkot, vagyis a V halmazon értelmezve van egy vektorösszeadásnak nevezett kommutatív művelet, amelyre nézve V zárt, továbbá V -nek van egy egységeleme (melyet nullvektornak hívunk), és minden elemnek van inverze a vektorösszeadásra nézve (az inverz elemet ellentett vektornak mondjuk).

  2. Az F halmaz (melynek elemeit skalároknak is nevezzük) testet alkot, vagyis F kommutatív csoport a számok összeadására nézve, továbbá az halmaz kommutatív csoport a számok szorzására nézve (ahol 0 jelöli az F halmaz nulla elemét), végül a számok szorzása disztributív a számok összeadására nézve.

  3. Az F és a V halmaz elemeit egy számmal való szorzásnak nevezett művelet kapcsolja össze, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

    1. , ( és ),

    2. , ( , ),

    3. , ( , ),

    4. , ( , ),

    5. , ahol 1 az F test egységeleme és .

A fenti tulajdonságokból számos más, megszokott összefüggés levezethető. Igaz például, hogy , ahol 0 az F test nulleleme, a nullvektor és . A képlet szintén következményként adódik, ahol tetszőleges és az ellentett vektort jelenti.

Fontos, hogy – a szóhasználat hasonlósága ellenére – ne tévesszük össze a ( ) skalárral való szorzatot és a számértékű skaláris szorzatot

Ha és V a sík pontjainak halmaza, akkor V vektortér felett: a jól ismert síkvektorokat kapjuk vissza. Ha V a tér pontjaiból áll, akkor a térvektorokat definiáltuk. Ha rögzített szám, akkor vektorteret alkotnak a legfeljebb n-edfokú valós együtthatós egyváltozós polinomok. Nem alkotnak azonban vektorteret a pontosan n-edfokú polinomok: előfordulhat, hogy két, n-edfokú polinom összege nem n-edfokú (a főtag ugyanis „kieshet”). Az összes, valós együtthatós egyváltozós polinom vektorteret alkot, de beszélhetünk a valós függvények vektorteréről is. Szintén vektortér felett például az -es valós elemű mátrixok halmaza.

vektor vetülete vektoron

Legyen a és b nullától különböző vektor, és legyen , illetve két irányított egyenesszakasz, amely őket reprezentálja. Jelölje az a és b vektorok által bezárt szöget ( ). Legyen C a B pont OA egyenesre eső vetülete. A b vektor a vektorra eső vetületén az szakasz által reprezentált vektort értjük. Mivel , ezért az előbbi vetület megegyezik a vektorral. Ha a skaláris szorzást jelöli, akkor ennek felhasználásával a b vektor a vektorra eső vetülete az alakban is felírható. Az előbbiekből következően a vetület előjeles hossza , vagyis . Ez az érték pozitív, ha a b vektor a vektorra eső vetülete a-val egyirányú, és negatív, ha ellentétes irányú.

véletlen

A kifejezés jelentése általában esetleges vagy szabálytalan, de a valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában pontosabb jelentést hordoz, és azt fejezi ki, hogy a kimenetel eredménye csak valószínűségekkel írható le, sok összefüggésben még azt is, hogy az egyes kimenetelek egyenlő valószínűségűek. Ezért egy véletlenszám-generátor az n szám mindegyikét valószínűséggel állítja elő. Az adott méretű véletlen statisztikai minta azt jelenti, hogy ennek a méretű mintának a populációból vett minden lehetséges kombinációja egyenlő valószínűségű.

véletlen bolyongás

Legyen Markov-lánc a állapottérrel. Képzeljük el, hogy egy részecske mozog az egyenes egész koordinátájú pontjain oly módon, hogy az helyről (állapotból) vagy az , vagy az helyre lép, vagy helyben marad. Az ilyen Markov-láncot egydimenziós véletlen bolyongásnak nevezzük: ha , akkor , vagy , vagy . Az i állapot elnyelő állapot, ha esetén , más szavakkal: ha a részecske eléri az i helyet, akkor ott is marad.

Ha egy játékos sorozatban játszik, és minden egyes játszmában rögzített összeget nyer vagy veszít, akkor nyereményei véletlen bolyongással írhatók le.

Két- és többdimenziós véletlen bolyongás hasonlóan értelmezhető.

véletlen hiba

A jósolt és a megfigyelt értékek különbségét valószínűségi változóként kezeljük. Lényegében ez az az ingadozás, amit a modell nem magyaráz meg, ennélfogva a hiba kifejezés meglehetősen félrevezető. A regresszióanalízisben a véletlen hibát reziduálnak is hívják.

véletlen minta

Lásd minta.

véletlen számok

Véletlenszám-táblázatok a számjegyekből álló olyan listákat tartalmaznak, amelyekben minden egyes számjegy egyenlő valószínűséggel fordul elő minden szinten. Nincs rá mód, hogy a következő számjegyet megjósoljuk. Az ilyen táblázatok alkalmasak arra, hogy véletlenszerűen elemeket válasszunk ki egy populációból. Azokat a számokat, melyeket olyan determinisztikus algoritmusok generálnak, amelyek kiállják a véletlenszerűséget vizsgáló statisztikai próbákat, pszeudovéletlen számoknak nevezik. Az ilyen algoritmusokat véletlenszám-generátoroknak szokás nevezni.

véletlen változó

Lásd valószínűségi változó.

véletlen vektor

Véletlen vektornak vagy valószínűségi vektorváltozónak nevezzük n számú valószínűségi változó rendezett halmazát, ami sokszor egy megismételt kísérlet kimeneteleit reprezentálja. Például, ha négyszer dobunk kockával, a kísérlet kimeneteleit az vektor írhatja le, ahol egyenletes eloszlású diszkrét valószínűségi változó az halmazon. Ha 5-öt, aztán 2-t, majd 5-öt, végül 6-ot dobunk, akkor a megfigyelt kimenetel lesz.

Venn, John

(1834–1923) Angol logista, aki a Symbolic Logic (Szimbolikus logika) című 1881-es munkájában bevezette a később róla elnevezett Venn-diagramm fogalmát.

Venn-diagramm

Azokat az ábrákat, amelyek egy univerzális alaphalmaz és részhalmazai között fennálló tartalmazási viszonyok szemléltetésére szolgálnak, Venn-diagrammoknak nevezzük. Az E alaphalmazt gyakran egy téglalappal, míg a részhalmazokat a téglalapba írt (satírozott) tartományokkal jelöljük. Az alábbi ábra adott A és B részhalmazok, mint körök esetén az és halmazokat satírozással tünteti fel.

A fenti ábrán például az halmazon kívül három másik halmaz is látható, nevezetesen az és halmazok, mint jobb- és baloldali „félholdak”, illetve „külső tartomány” jelennek meg. (Itt jelenti az A halmaz E-re vett komplementumát.)

Három halmaz, A,B és C (valamint az E alaphalmaz) esetén a Venn-diagramm már 8 részből áll; négy általános helyzetű halmaz körökkel való megjelenítésére pedig a Venn-diagramm nem is alkalmas, mert a 16 diszjunkt részhalmaz az eddigiekhez hasonló módon nem helyezhető el a síkon. (Nemkonvex halmazokat is megengedve – kényelmetlenül – akárhány halmaz viszonya ábrázolható.) A Venn-diagrammokkal tehát csak nagyon speciális halmazok jeleníthetők meg, szigorú értelemben bizonyítani velük nem lehet, szerepük inkább csak a szemléltetés.

verifikálás

Lásd szimuláció verifikálása, azonosság verifikálása.

versengő egyensúly

Olyan egyensúlyi helyzet a játékelméletben és a matematikai közgazdaságtanban, ami akkor áll be, amikor a cselekvő személyek vagy játékosok együttműködés nélkül, a saját érdekükben cselekszenek. Ezt a fogalmat Nash vezette be. A populációdinamikában is használják, ott olyan egyensúlyi helyzetet jelöl, amelyben egyik faj sem pusztult ki.

vetület

Lásd egyenes vetülete síkon, pont vetülete egyenesen, pont vetülete síkon, vektor vetülete vektoron.

vezéregyenes

Lásd kúpszelet, ellipszis, hiperbola, parabola.

virtuális munka

Egy rendszer által végzett teljes munka egy, a kényszerek által megengedett infinitezimális elmozdulás során.

viszonylagos hely, viszonylagos sebesség és viszonylagos gyorsulás

Lásd relatív hely, relatív sebesség és relatív gyorsulás.

viszonylagos törzsszámok

Lásd relatív prím számok.

visszahelyettesítés

Tegyük fel, hogy lineáris egyenletek egy halmaza lépcsős alakú. Ekkor az utolsó egyenlet megoldható a benne szereplő első ismeretlenre úgy, hogy az összes többi ismeretlent – tetszőleges értékeket fölvevő – paraméternek tekintjük. Ezt a megoldást azután behelyettesíthetjük az előző egyenletbe, mely ismét megoldható a benne szereplő első ismeretlenre. Amikor ezt az eljárást folytatjuk, visszahelyettesítést végzünk.

visszállítási együttható

Lásd ütközési együttható.

visszatérés az átlaghoz

Egy véletlen változó független megfigyeléseinek egy sorozatában, minél nagyobb az eltérése egy megfigyelésnek az átlagtól, annál nagyobb a valószínűsége annak, hogy a következő megfigyelés közelebb lesz az átlaghoz. Ez a függetlenségnek ellentmondani látszik, de valójában annak közvetlen következménye, mivel a valószínűségi mérték szigorúan nő növekvő függvénye az intervallumnak. Tehát, ahogy távolodunk az átlagtól, úgy növeljük szükségszerűen az eloszlás átlaghoz közelebb fekvő részének arányát.

Viète, François

(1540–1603) Francia matematikus és csillagász, a modern algebrai jelölésmód előkészítője. Viète (latinosan Vieta) az ismeretleneket magánhangzókkal, az ismert mennyiségeket pedig mássalhangzókkal jelölte. Ilyen és ehhez hasonló jelölésbeli újításaival lehetővé vált az egyenletek felírása és kezelése, amivel jelentős algebrai eredményeket tudott elérni. Az algebra mellett Viète a trigonometria témakörében is dolgozott.

vonal

Eukleidésznél a vonal szélesség nélküli hosszúság. A név rendszerint görbére utal, és – amikor szükséges – „egyenes vonalat” mondunk, vagy röviden egyenest. Az egyenes mindkét irányban végtelen, és „egyenesszakaszról” beszélünk, amikor ennek két pont által határolt részére gondolunk.

vonalfelület

Egy felület, amely bejárható egy mozgó egyenessel; más szavakkal, a felület minden pontjára fektethető egy egyenes vonal, amely teljes egészében a felületen van. Ilyen például a kúp, a henger, az egyköpenyű hiperboloid és a hiperbolikus paraboloid.

vonalintegrál

Legyen intervallum, pedig a folytonos síkbeli C görbe paraméterezése. Akkor az f függvény vonalintegrálja vagy görbementi integrálja: . A definíció zárt görbére is értelmezhető, valamint térben és a komplex síkon is (zárt vagy nyílt görbére egyaránt).

vonalkód

A vonalkód EAN, amely – optikai olvasóval leolvasható – fekete vonalak sorozatából áll. Ezen alapul, hogy ma már számos pénztárnál a fogyasztó vásárlásának részleteit feltüntető nyugtát kap, és ugyanekkor a cég nyilvántartásából a megvásárolt termékek levonódnak.

vonatkoztatási rendszer

A mechanika által használt eszköz, melynek segítségével egy megfigyelő helyeket határozhat meg, és leírhatja a testek mozgását. A megfigyelő használhat például Descartes-féle koordináta-rendszert vagy polárkoordináta-rendszert. Bizonyos körülmények között hasznos lehet egynél több vonatkoztatási rendszert használni, melyek mindegyikéhez tartozik egy megfigyelő. Két vonatkoztatási rendszer esetén például az egyik vonatkoztatási rendszer origója és tengelyei mozoghatnak a másik vonatkoztatási rendszer origójához és tengelyeihez képest. Ekkor egy részecske mozgását a két megfigyelő eltérő módon észleli.

Az olyan vonatkoztatási rendszereket, melyekben érvényesek a a newtoni mozgástörvények, inerciális vonatkoztatási rendszereknek vagy inerciarendszereknek nevezik. Bármely vonatkoztatási rendszer, amely nyugalomban van vagy állandó sebességgel mozog egy inerciarendszerhez képest, szintén inerciarendszer. Az a vonatkoztatási rendszer, amely gyorsul vagy forog egy inerciarendszerhez képest, nem inerciarendszer.

A Föld forgása miatt a Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszerek egyike sem inerciarendszer. Azonban egy ilyen vonatkoztatási rendszer inerciarendszernek tekinthető olyan problémák megoldása során, amelyek esetén a Föld forgásának hatása nem jelentős.

Von Neumann, John

Lásd Neumann János.

v.v.

A valószínűségi változó rövidítése.