Ugrás a tartalomhoz

A polimertechnika alapjai

Czvikovszky Tibor, Nagy Péter, Gaál János (2007)

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

5.3 Polimer ömledékek áramlása

5.3 Polimer ömledékek áramlása

Tipikusnak mondható – különösen a hőre lágyuló – műanyagok feldolgozásánál az alábbi folyamat: A szilárd műanyagot – többnyire granulátumot – egy olvasztó egységben – plasztifikáló berendezés – megolvasztjuk, azaz alakítható állapotba hozzuk, majd innen, többnyire nyomáskülönbség segítségével, egy hűtött (temperált) szerszámba juttatjuk, ahol az ömledék felveszi a szerszám alakját, lehűl és megszilárdul (Bizonyos esetekben az ömledék a fűtött szerszámon keresztül áramlik, kap egy alakot, majd ezután egy kalibráló-hűtő egységben hűl le, szilárdul meg.). Ez annyit jelent, hogy viszkózusan folyó polimer ömledék áramlik, pl. már a plasztifikáló henger bizonyos zónájába, innen különböző csatornákon keresztül eljut a szerszámba, ahol szintén áramlik. A polimer ömledék áramlásának elemzése tehát a feldolgozástechnológiai folyamatok megismeréséhez nélkülözhetetlen.

Mivel a polimer ömledékek ilyen fajta áramlása meglehetősen összetett folyamat, matematikai leírásuk nagyon bonyolult feladat. A következőkben csak a legegyszerűbb esetek ismertetésére szorítkozunk, melyekből a folyamatok minőségileg megismerhetők.

Az áramlás leírásához a reológiai anyagtörvények mellett fel kell használni a tömegmegmaradás tételét (kontinuitási összefüggések), az impulzusmegmaradás tételét (mozgási összefüggések), és amennyiben a folyamat közben még hőcsere is lejátszódik, szükség van az energiamegmaradás törvényére, valamint a termodinamikai anyag és állapottörvényekre. Az elfogadható kezelhetőség érdekében az alábbi egyszerűsítéseket tesszük:

  • Az áramlás stacioner, azaz minden pontjában időtől független.

  • Az áramlás lassú (lamináris, a Reynolds szám kisebb mint 2100), a tehetetlenségi erő a súrlódási erőhöz képest elhanyagolható.

  • Az áramlás izoterm, azaz hőmérsékletében homogén.

  • A rendszer hidrodinamikailag teljesen kitöltött. (A teljes keresztmetszetben ömledék van.)

  • Az ömledék összenyomhatatlan (ρ=áll.).

  • A nehézségi erők elhanyagolhatók.

  • Az áramlás és a nyomásesés is csak egyirányú. (Esetünkben x irányú.)

  • Az áramlás Poisson típusú (a be- és kilépési hatások elhanyagolhatók).

  • Az ömledék sebessége a falnál nulla.

Ilyen egyszerűsítő feltételek mellett a legfontosabb összefüggések már viszonylag egyszerűen levezethetők.

5.3.1 Newton féle ömledék áramlása

Mint sok hasonló esetben, ezúttal is a legegyszerűbb anyaggal kezdjük a probléma megközelítését. Vizsgáljuk az (5.3) összefüggéssel definiált newtoni közeg áramlását csőben ill. sík lapok között. Már most hangsúlyozzuk, hogy a gondolatmenet valamennyi, a későbbiekben tárgyalandó esetben a mostanival megegyező lesz.

5.3.1.1 Áramlás kapillárisban

Első lépésben az áramlás v(r) sebességeloszlását határozzuk meg. A newtoni közeg kapilláris áramlására az 5.24 ábra alapján írhatjuk:

A kapilláris áramlás jelöléseinek értelmezése

5.24 ábra: A kapilláris áramlás jelöléseinek értelmezése

5.38. egyenlet -


ahonnan

5.39. egyenlet -


τ értékének meghatározásához írjuk fel az ömledékre ható erők egyensúlyát:

5.40. egyenlet -


ahol τf a falnál ébredő nyírófeszültség

5.41. egyenlet -


Ezzel analóg módon a τ nyírófeszültség eloszlása:

5.42. egyenlet -


Ez az anyagi minőségtől független összefüggés annyit jelent, hogy az áramlás az 5.25 ábra szerint tengelyében feszültségmentes, a falnál pedig a kúpszerű feszültségeloszlásból következően a maximális τf nyírófeszültség ébred.

Behelyettesítve a τ (5.42) alakját az (5.39) összefüggésbe:

A nyírófeszültségek eloszlása kapillárisáramláskor

5.25 ábra: A nyírófeszültségek eloszlása kapillárisáramláskor

5.43. egyenlet -


melyből integrálással:

5.44. egyenlet -


A c integrálási állandó meghatározásához azt használjuk fel, hogy r=R helyen, tehát a falnál a sebesség nulla [v(R)=0].

5.45. egyenlet -


melyből:

5.46. egyenlet -


Az integrálási állandót visszahelyettesítve (5.44)-be kapjuk a végeredményt:

5.47. egyenlet -


A newtoni közeg sebességeloszlása kapilláris áramlásban tehát izotermikus esetben az 5.26 ábra szerinti.

A sebességeloszlása jellege kapillárisban áramló newtoni közeg izoterm (folytonos vonal) és anizoterm (szaggatott, ill. eredményvonal) körülmények között

5.26 ábra: A sebességeloszlása jellege kapillárisban áramló newtoni közeg izoterm (folytonos vonal) és anizoterm (szaggatott, ill. eredményvonal) körülmények között

Az η viszkozitási tényező hőmérsékletfüggéséből következően a parabolikus sebességeloszlás módosulása is érzékelhető, ha a Tf falhőmérséklet és a Tö ömledékhőmérséklet nem egyezik meg.

Az áramlás tengelyében fellépő maximális sebesség:

5.48. egyenlet -


amelynek felhasználásával az (5.47) összefüggés egy másik alakja:

5.49. egyenlet -


Az (5.47) összefüggés ismeretében meghatározható a könnyen mérhető V térfogatáram, amelyből nagyon fontos eredményekre lehet jutni:

5.50. egyenlet -


ahol a dA elemi felület:

5.51. egyenlet -


Ezzel a térfogatáram:

5.52. egyenlet -


melybe behelyettesítve v(r) (5.47) szerinti alakját kapjuk:

5.53. egyenlet -


Elvégezve a műveleteket írhatjuk:

5.54. egyenlet -


azaz:

5.55. egyenlet -


5.56. egyenlet -


Ez az ún. Hagen-Poiseuille összefüggés, amely minden reológiai mérés alapjának tekinthető. Ugyanis ha pl. egy, az 5.23 ábra szerinti l hosszúságú, R sugarú kapillárist használva mérem a V térfogatáramot, a Δp nyomáskülönbség ismeretében az η newtoni viszkozitási tényező:

5.57. egyenlet -


vagy pl. meghatározhatjuk γf fal melletti nyírósebességet:

5.58. egyenlet -


amelybe behelyettesítve τf (5.41) alatti alakját, kapjuk:

5.59. egyenlet -


Ezzel a V térfogatáram:

5.60. egyenlet -


ahol RΔp/2ηl=γf , melyből:

5.61. egyenlet -


Így eljutottunk a τγ folyásgörbe egyik meghatározási lehetőségéhez, hisz az anyagi minőségtől független τf=RΔp/2l összefüggés mellett most már ennek „párja”, a γf=4V/(R^3 π) is ismert. Különböző Δp nyomáskülönbségek esetén mérve V értékét, a folyásgörbe megszerkeszthető.

Felhasználhatjuk az (5.56) összefüggést a v (keresztmetszeti) átlagsebesség meghatározásához is, ugyanis

5.62. egyenlet -


melyből:

5.63. egyenlet -


mely pontosan fele a vmax maximális sebességnek. A v ismeretében felírható még a v(r) sebességeloszlás egy másik, a későbbiekben még felhasználásra kerülő alakja, miszerint:

5.64. egyenlet -


Ugyancsak kiszámítható az ún. átlagos tartózkodási idő ( t ) is:

5.65. egyenlet -


Jóllehet a polimer ömledékek viselkedését a folyás vagy viszkozitásgörbékkel (5.10, 5.11 ábrák) kellene jellemezni, ezek meglehetősen költséges kimérése miatt a mai felhasználói gyakorlatban az ömledék folyóképességének jellemzésére nem azokat, hanem az ún. MFI (MFR) (Melt Flow Index, Melt Flow Rate) értéket, az ömledék folyási indexét használják. Ez az érték nem más, mint egy adott kapillárison (d≈2 mm, l=8 mm) időegység (10 min) alatt átáramló ömledék mennyisége grammban előírt hőmérsékleten és terhelés mellett. Így pl. az MFI(190; 2,16)=3,5 annyit jelent, hogy 190 °C-on, 2,16 kg-os súlyterhelést alkalmazva, 10 min alatt 3,5 g ömledék áramlik át a szabványos kapillárison. Az állandó τ nyírófeszültséggel dolgozó MFI mérőberendezés elvi vázlata látható a 5.27 ábrán.

Az MFI készülék vázlata

5.27 ábra: Az MFI készülék vázlata

Az MFI mérését – főként minőség-ellenőrzés céljára – széles körben használják a gyakorlatban annak ellenére, hogy a τ- γ folyásgörbének csak egyetlen pontját szolgáltatja, és azt is nagyon alacsony ( γ ≈1…50s-1) nyírósebesség mellett. Az minden esetre megállapítható, hogy az egyes polimerek MFI értéke döntően befolyásolja, hogy az milyen technológiával dolgozható fel. A különböző feldolgozási eljárásokra ajánlott MFI értékek a következők:

5.1. táblázat - Különböző feldogozási eljárásokra ajánlott MFI értékek (v.ö.: 9.1 tábl.)

Feldolgozási eljárásMFI [g/10 min]
Fröccsöntés5…100
Rotációs öntés5…20
Fólia extrudálás0,5…6
Fröccsfúvás0,1…1
Profil extrúzió0,1…1

5.3.1.2 Áramlás résben

A sík lapok közötti ún. résáramlás nem kisebb jelentőségű, mint az előző fejezetben megismert kapillárisáramlás. A téma tárgyalását a kapillárisáramlásnál megismert módszer szerint végezzük, azaz először a v(y) sebességeloszlást határozzuk meg.

A résáramlás jelöléseinek értelmezése

5.28 ábra: A résáramlás jelöléseinek értelmezése

Az 5.28 ábra jelöléseit használva egy b szélességű, 2h magasságú (b>>2h) résre írhatjuk (–hyh):

5.66. egyenlet -


ahonnan:

5.67. egyenlet -


A τ kifejezését ezúttal is erőegyensúlyból kapjuk:

5.68. egyenlet -


5.69. egyenlet -


Ezt behelyettesítve (5.67) összefüggésbe:

5.70. egyenlet -


ahonnan v(y) sebességeloszlás:

5.71. egyenlet -


A c integrálási állandót ezúttal is a faltapadás (v(h)=0) feltételezésével határozzuk meg:

5.72. egyenlet -


ahonnan

c=(Δp/2ηl) h^2

Ezt behelyettesítve (5.71) összefüggésbe a sebességeloszlást leíró egyenlet:

5.73. egyenlet -


Ezúttal is egy parabolikus sebességeloszlást kaptunk, melynek jellege megegyezik az 5.25 ábrán látottal.

Az áramlás tengelyében lévő vmax maximális sebesség értéke:

5.74. egyenlet -


Második lépcsőben határozzuk meg a V térfogatáramot.

5.75. egyenlet -


ahol dA=b·dy

Ezzel a térfogatáram:

5.76. egyenlet -


5.77. egyenlet -


5.78. egyenlet -


A gyakorlatban elterjedt az a fajta kifejezésmód is, amikor az 5.27 ábrán vázolt résnek a teljes magasságát jelölik h-val. Ebben az esetben a V térfogatáramot megadó összefüggés (h→h/2):

5.79. egyenlet -


A (bh^3 /12l)=K kifejezést fúvókaállandónak nevezzük. Ha a rés ideális téglalaptól eltérő alakját egy fp áramlási tényezővel (ld. 5.29 ábra) figyelembe vesszük, a térfogatáramra felírható általános összefüggés:

5.80. egyenlet -


Az áramlási tényező értékei különböző alakú csatornákra, izoterm newtoni áramlás esetén

5.29 ábra: Az áramlási tényező értékei különböző alakú csatornákra, izoterm newtoni áramlás esetén

A mérhető V térfogatáram ismeretében az előző (5.3.1.1) fejezetben leírtakkal teljesen analóg módon meghatározható az η, a γf vagy a v .

5.3.2 Hatványtörvényt követő közeg áramlása

Amint azt az 5.2.1 fejezetben már említettük, a reális polimer ömledék a feldolgozástechnológiák által megvalósított igénybevételi tartományban pszeudoplasztikusan viselkedik, melyre a , n<1 reláció az érvényes. Így ha a newtoni ömledéknél tett gondolatmenetünket ebben az esetben is végigvisszük, a valóságot jobban megközelítő eredményekre jutunk.

5.3.2.1 Áramlás kapillárisban

Az 5.23 ábrán már bemutatott koordináta – ill. jelölésrendszert használva először v(r) sebességeloszlást határozzuk meg. Definíció szerint:

5.81. egyenlet -


amelyből

5.82. egyenlet -


A τ nyírófeszültségre az anyagi minőségtől független (5.42) összefüggés szerint τ=r Δp/2l , amit (5.82)-be behelyettesítve kapjuk:

5.83. egyenlet -


amelyből a v(r) sebességeloszlásra

5.84. egyenlet -


adódik.

A c integrálási állandó – a korábbiakhoz hasonlóan – a faltapadás (v(R)=0) feltételből:

5.85. egyenlet -


Ezzel a sebességeloszlást leíró végső összefüggés:

5.86. egyenlet -


Megfigyelhető, hogy n=1 esetben a newtoni közeg sebességeloszlását leíró (5.47) összefüggést kapjuk.

Az (5.86) összefüggés az 5.30 ábrán vázolt sebességeloszlást ír le, miszerint n értéke minél jobban eltér egytől, a görbe annál jobban eltér a parabolától, annál kisebb lesz a különbség a maximális – és az átlagsebesség között.

A hatványtörvényt követő ömledék sebességeloszlásának jellege

5.30 ábra: A hatványtörvényt követő ömledék sebességeloszlásának jellege

Második lépésben (a már ismert módon) határozzuk meg a V térfogatáramot:

dV=v(r)dA

dA=2rπdr

dV=2πrv(r)dr

5.87. egyenlet -


Ide helyettesítsük be v(r) (5.86) alatti alakját:

5.88. egyenlet -


Tovább írva:

5.89. egyenlet -


5.90. egyenlet -


5.91. egyenlet -


A végeredmény:

5.92. egyenlet -


Megfigyelhető, hogy n=1 esetében (K=η) ezúttal is a newtoni közegre kapott eredményre, ezúttal a „klasszikus” Hagen-Poiseuille összefüggés (5.56) alatti alakjához jutunk.

a V térfogatáram ismeretében ezúttal is meghatározható:

  • A v átlagsebesség

    5.93. egyenlet -


    mellyel a v(r) sebességeloszlás egy másik alakja:

    5.94. egyenlet -


  • A γf falmenti nyírósebesség:

    τf=Kγf^n

    γf^n=τf^(1/n) /K^(1/n) τf^(1/n)=(R^(1/n) Δp^(1/n))/(2l)^(1/n)

    γf^n=(R^(1/n) Δp^(1/n))/(2Kl)^(1/n)

    V=π(Δp/2Kl)^(1/n) 1/(R^n R^3) (n/(3n+1))

    ahol (Δp/2Kl)^(1/n) R^(1/n)=γf

    5.95. egyenlet -


    mely n=1 esetben (K=η) ezúttal is a newtoni közeg azonos, (5.61) szerinti alakját adja.

5.3.2.2 Áramlás résben

A newtoni közeg résáramlása kapcsán az 5.27 ábrán bemutatott koordináta és jelölésrendszert használva első lépésként ezúttal is a v(y) sebességeloszlást határozzuk meg (–hyh):

5.96. egyenlet -


melyből dv/dy=-τ^(1/n) /K^(1/n)

A τ eloszlását leíró, anyagi minőségtől független (5.69) összefüggés szerint τ=y Δp/l , ezt felhasználva:

5.97. egyenlet -


melyből

5.98. egyenlet -


A c integrálási állandót ezúttal is a faltapadásból [vh)=0] kapjuk:

c=(Δp/Kl)^(1/n) (n/n+1)) h^((n+1)/n)

mellyel a v(y) sebességeloszlást leíró összefüggés végső alakja:

5.99. egyenlet -


Megfigyelhető, hogy az 5.29 ábrán látható jellegű sebességeloszlást leíró összefüggés n=1 esetén (K=η) a newtoni közegre kapott (5.73) egyenlet szerinti alakot ölti.

Második lépésben – a korábban már alkalmazott gondolatmenet alapján – a V térfogatáramot határozzuk meg:

5.100. egyenlet -


Behelyettesítve a v(y) sebességeloszlás (5.99) szerinti alakját és felhasználva azt, hogy a sebességeloszlás az áramlás tengelyére szimmetrikus:

5.101. egyenlet -


Elvégezve az integrálást:

5.102. egyenlet -


5.103. egyenlet -


5.104. egyenlet -


Végül a végeredmény:

5.105. egyenlet -


amely n=1 esetén (K=η) a newtoni közeg térfogatáramát leíró (5.78) összefüggés szerinti alakot ölti.

A V térfogatáram ismeretében meghatározható ezúttal is:

  • A v átlagsebesség

    5.106. egyenlet -


  • A γf falmenti nyírósebesség:

    5.107. egyenlet -


    amelyből

    5.108. egyenlet -


    A V térfogatáram e szempontból célszerűbb alakja:

    5.109. egyenlet -


    γf=(Δp/Kl)^(1/n) h^(1/n)

    amelyből az (5.108)-al:

    5.110. egyenlet -


5.3.3 Bingham féle közeg áramlása kapillárisban

A polimer ömledék áramlási viszonyait elemző fejezet végén nézzük a Bingham típusú ömledék áramlását, az egyszerűség kedvéért ezúttal csak kapillárisban.

A v(r) sebességeloszlást az (5.9) egyenletből határozhatjuk meg γ>0 az (5.42)-t felhasználva:

5.111. egyenlet -


5.112. egyenlet -


5.113. egyenlet -


A c integrálási állandó a faltapadás [v(R)=0] feltételéből:

5.114. egyenlet -


Így a végeredmény (feltéve, hogy τ>τh):

5.115. egyenlet -


Az (5.115) összefüggés az 5.31 ábrán vázolt sebességeloszlást írja le. Látható, hogy τ>τh tartományban az áramlás newtoni, míg az alatt (τ<τh) nincs réteges (lamináris) áramlás, az ömledék rm sugárral jellemezhető hányada vm sebességgel csúszik! Ez a mag (vagy belső dugó) erősen töltött rendszereknél akár a teljes keresztmetszet 60…80 %-a is lehet! Elmondható, hogy ez a dugószerű mozgás a polimer ömledék nagy részénél előfordul, és egyfajta rugalmas viselkedést okoz.

A Bingham féle közeg sebességeloszlása kapillárisáramlásban

5.31 ábra: A Bingham féle közeg sebességeloszlása kapillárisáramlásban

A V térfogatáram meghatározásához először a mag vm csúszási sebességét kell megismernünk.

r=rm helyen a τh értéke:

5.116. egyenlet -


amit (5.115)-be helyettesítve kapjuk:

5.117. egyenlet -


melyből rendezés után

5.118. egyenlet -


adódik.

A V térfogatáram ebben az esetben:

5.119. egyenlet -


melybe beírva (5.115), (5.116) és (5.118) összefüggéseket:

5.120. egyenlet -


adódik.

A kijelölt műveleteket elvégezve – a részleteket ezúttal mellőzve – a V térfogatáram

5.121. egyenlet -


Láthatjuk, hogy ha egy kicsit is eltérünk a newtoni viselkedéstől, összefüggéseink egyre bonyolultabbak lesznek, de ezzel egyidejűleg egyre jobban leírják a reális ömledék viselkedését.