Ugrás a tartalomhoz

A polimertechnika alapjai

Czvikovszky Tibor, Nagy Péter, Gaál János (2007)

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

5.4 Reális polimer ömledékek viselkedése

5.4 Reális polimer ömledékek viselkedése

Az előző, 5.3 fejezetben mindig éltünk azzal a lehetőséggel, hogy a kiindulási sebességeloszlást leíró összefüggéseink meghatározásához feltételeztük valamilyen modell érvényességét. Ha viszont a reális ömledékek áramlását valós körülmények között elemezzük, számos, az ideálistól eltérő viselkedést tapasztalhatunk. Ebben a fejezetben néhány ilyen jelenséget ismertetünk, és adjuk meg magyarázatukat.

5.4.1. A folyásgörbe felvétele

Az ömledékreológia egyik alapfeladata a különböző anyagok τ-γ folyásgörbéjének meghatározása a mérhető V-Δp adatpárokból. Addig, amíg kapilláris áramlásnál az erőegyensúlyból meghatározott τf=R Δp/2l összefüggés anyagi minőségtől független, addig a V térfogatáramból meghatározható γf -ra kapott összefüggéseink (pl. newtoni közegre γf=(4V)/(R^3 π) ) eddig mindig anyagtól (modelltől ) függőek voltak.

A feladat tehát egy anyagi minőségtől független összefüggés felállítása γf -re: A következőkben ismertetésre kerülő gondolatmenetet első publikálója nyomán Rabinowitsch korrekciónak nevezik, melynek számos variációja ismeretes. Ezúttal az egyik legegyszerűbbet mutatjuk be.

Kiindulásként írjuk fel a V térfogatáramot kapilláris áramlásra:

5.122. egyenlet -


5.123. egyenlet -


Ezek az összefüggések megegyeznek pl. a newtoni közegnél megismert (5.50…5.52) egyenletekkel. Az eltérés a következő lépésben van: a v(r) sebességeloszlás helyére nem írjuk be valamelyik modell ide vonatkozó eredményét, hanem ezt ismeretlennek tekintjük! Mivel ismeretlen, parciálisan kell integrálni:

5.124. egyenlet -


Az (5.124) egyenlet első tagja zérus r=0 és r=R helyen is, így a térfogatáramra:

5.125. egyenlet -


adódik. Felhasználva a τ feszültségeloszlásra már megismert (5.41) és (5.42) összefüggéseket, írhatjuk:

5.126. egyenlet -


melyekből

5.127. egyenlet -


valamint

5.128. egyenlet -


fejezhető ki. Figyelembe véve, hogy kapilláris áramlásra γf=-(dv/dr) , az (5.125) egyenletet az alábbi alakban írhatjuk:

5.129. egyenlet -


A jobb kezelhetőség érdekében (5.129) egyenletet az alábbi alakban célszerű rendezni:

5.130. egyenlet -


Elvégezve a τf szerinti differenciálást a Leibnitz szabály szerint (ahol V természetesen függ τf-től):

5.131. egyenlet -


Itt megjelent az anyagi minőségtől független γf . Elosztva az egyenlet mindkét oldalát τf2-tel, és (1/(R^2 π)) -t kiemelve írhatjuk:

5.132. egyenlet -


Ez elvileg már a végeredmény, melyet a jobb érthetőség kedvéért célszerű más formában is felírni.

Tudjuk, hogy τf=R Δp/2l melyből dτf=R d(Δp)/2l , melyet behelyettesítve (5.132)-be írhatjuk:

5.133. egyenlet -


Egyszerűsítve R-el és 2l-el, kapjuk:

5.134. egyenlet -


Ez az egyenlet már lehetőséget nyújt a valós γf meghatározására, hiszen ha megmérem a különböző Δp nyomáskülönbségekhez tartozó V térfogatáramot, az 5.32 ábra szerint a görbe meredeksége adott Δp esetén épp dV/d(Δp) .

A térfogatáram nyomáskülönbségtől való függésének jellege

5.32 ábra: A térfogatáram nyomáskülönbségtől való függésének jellege

A még jobb szemléltetés kedvéért tovább alakítjuk (5.134) kifejezést. Felhasználva, hogy d dV=Vd(logV) , ill. hogy Δp/d(Δp)=1/d(logΔp) , a fal melletti valós γf nyírósebesség legszemléletesebb alakja:

5.135. egyenlet -


Az (5.135) kifejezésben szereplő 4V/(R^3 π) mennyiség megegyezik az (5.61) összefüggéssel, azaz a Newton féle ömledék fal melletti nyírósebességével! Jól látható tehát az összefüggés az ideális és a valós viselkedés között.

A Rabinowitsch korrekció alkalmazásával még mindig nem tudjuk a folyásgörbét korrektül felvenni, ehhez tovább kell elemezni a valós áramlási viszonyokat. Az 5.33 ábra jelöléseit használva a kapilláris áramlást az alábbi szakaszokra lehet osztani:

A kapillárisáramlás szakaszai

5.33 ábra: A kapillárisáramlás szakaszai

  • A tartály átmeneti szakasza: A hirtelen nagy átmérőváltozás, valamint az ömledék bizonyos rugalmas tulajdonságai következtében kialakuló jelenségekkel az 5.4.2 fejezetben fogunk foglalkozni.

  • A stacioner áramlási szakaszban kialakuló instabil áramlás következményeivel szintén a következő fejezetben foglalkozunk.

  • A kilépési szakaszban kialakuló sebességátrendeződés következményeit is az 5.4.2 fejezetben tárgyaljuk.

  • A belépési szakaszban kialakuló, az ideálistól (ld. 5.23 ábra) eltérő viszonyok figyelembe vétele a folyásgörbe korrekt felvételéhez szükséges, ezért ezt most itt ismertetjük.

A belépési szakaszban a tartályból a kapillárisba belépő ömledékrészecskék az átmérők négyzeteinek arányában felgyorsulnak a stacioner áramlási sebességre. Ez a felgyorsulás energia felvétellel jár, ami azt jelenti, hogy ebben a szakaszban nagyobb nyomásesés jön létre, mint ami a stacioner szakasz konstansnak feltételezett Δp/lstac nyomáseséséből következne. Tekintettel arra, hogy valamennyi eddigi fontosabb összefüggésünkben a konstans Δp/l szerepel, célszerűnek látszik az l kapilláris hosszt megnövelni az összefüggéseinkben egy akkora l*=ξR értékkel, hogy ezen az l+l* szakaszon már konstans nyomáseséssel lehessen számolni. Az 5.34 ábra jelöléseivel az ú.n. Bagley korrekció gondolatmenete a következő:

A Bagley korrekció jelölésrendszere

5.34 ábra: A Bagley korrekció jelölésrendszere

A falnál ébredt τf nyírófeszültség az (5.41) összefüggés alapján:

5.136. egyenlet -


melyet kicsit átrendezve írhatjuk:

5.137. egyenlet -


Felhasználva, hogy l*/R=ξ, a Δp nyomásesésre az alábbi kifejezést kapjuk:

5.138. egyenlet -


Ha ennek ismeretében különböző l/R arányú kapillárisokkal felvesszük a folyásgörbét (5.35 ábra), meghatározhatjuk az azonos γf -hez tartozó Δp értékeket:

Az l/R viszony hatása a folyásgörbére

5.35 ábra: Az l/R viszony hatása a folyásgörbére

5.139. egyenlet -


Ha ezek után ábrázoljuk Δpl/R összetartozó értékpárjait, az (5.138) összefüggés szerint egyenest kapunk (5.36 ábra), melynek meredekségéből (2τf) és tengelymetszetéből (2ξτf) kiszámítható a keresett ξ ill. τf értéke!

Az l/R viszony és az azonos fal melletti nyírósebességhez tartozó nyomáskülönbség kapcsolata

5.36 ábra: Az l/R viszony és az azonos fal melletti nyírósebességhez tartozó nyomáskülönbség kapcsolata

5.4.2 A rugalmas tulajdonságok hatása

A polimerfeldolgozási gyakorlatban számos esetben találkozunk olyan jelenséggel, ami arra utal, hogy a polimer ömledék is rendelkezik bizonyos rugalmas tulajdonsággal. Ha pl. a kapillárisból kifolyó ömledéket kicsit meghúzzuk, majd elengedjük, az többé-kevésbé visszatér eredeti helyzetébe. Vagy ha az ömledékből golyót formálunk, és azt kemény felületre ejtjük, az bizonyos mértékben felpattan. Ez annyit jelent, hogy a polimer ömledékek is rendelkeznek viszkoelasztikus tulajdonságokkal, azaz terhelés hatására – rövid időskálán – képesek energiát tárolni, ami a terhelés megszűntekor részlegesen visszaalakul. A következőkben – amint azt már az előző fejezetben jeleztük – kapilláris áramláson keresztül magyarázunk néhány olyan jelenséget, amit az ömledékek rugalmas tulajdonságával lehet összefüggésbe hozni.

Az 5.32. ábra kapcsán elmondott szakaszokat elemezve a következőket mondhatjuk:

  • A tartály átmeneti szakaszában a polimer ömledék hirtelen nagy keresztmetszet változáson megy keresztül, erősen összenyomódik. Ha az ömledékben ébredő igénybevétel (nyomó feszültség) meghaladja az anyag nyomószilárdságát, ún. olvadéktörés (lágy törés, melt fracture) lép fel. A kapillárisba történő belépés kör keresztmetszete mentén kialakuló majd továbbterjedő törés eredményeként a kapillárist elhagyó ömledéknek spirális alakja lesz.

  • A stacioner áramlási szakaszban az áramlás – elvileg – független az időtől. A kapillárist elhagyó ömledék alakját, térfogatáramát elemezve azt kell gondolnunk, hogy ez – sajnos – nem így van. Nem ritkán tapasztalhatjuk ugyanis azt, hogy a kapillárisból kifolyó ömledék felszíne nyugtalan, tömegárama egyenetlen, keresztirányú áramlások miatt alakja teljesen kaotikus, széteső, azaz az áramlás turbulens. Turbulens annak ellenére, hogy az ömledék nagy viszkozitása miatt a kritikus Reynolds számnak még a közelében sem vagyunk. Ezt a jelenséget rugalmas turbulenciának nevezik, és magyarázatát az ömledék falhoz való tapadásában, ill. megcsúszásában találhatjuk meg. Eddig ugyanis mindig azt tételeztük fel, hogy a fal mellett (r=R helyen) a sebesség nulla, azaz a molekulák a falhoz tapadnak. A folyamat alaposabb elemzéséhez használjuk az 5.37 ábra jelöléseit, és vegyük figyelembe a falnál fellépő súrlódást is.

Az ömledékelemre ható erők értelmezése

5.37 ábra: Az ömledékelemre ható erők értelmezése

A falnál ébredő τf feszültségek értékei:

  • Tapadás esetén, amikor τf konstans:

    5.140. egyenlet -


  • Csúszás esetére:

    5.141. egyenlet -


    ahol μ a mozgó súrlódási tényező.

  • Egyensúlyi állapotban:

    5.142. egyenlet -


    azaz

    5.143. egyenlet -


Hasonló eredményre jutunk, ha az erők egyensúlyából indulunk ki:

F1=R^2 π p(x); F2=-R^2 π p(x+dx)=-R^2 π (p(x)+(∂p/∂x)dx);

5.144. egyenlet -


5.145. egyenlet -


Egyszerűsítések után kapjuk:

5.146. egyenlet -


amelyből

5.147. egyenlet -


adódik. Következő lépésben integráljuk az (5.143) ill. (5.147) egyenleteket:

5.148. egyenlet -


A c integrálási állandó meghatározásához azt használjuk fel, hogy a kapilláris végén (x=l helyen) a nyomás pl.

5.149. egyenlet -


melyből

5.150. egyenlet -


Visszahelyettesítve ezt (5.148) összefüggésbe, írhatjuk:

5.151. egyenlet -


Átrendezve:

5.152. egyenlet -


azaz

5.153. egyenlet -


amelyből a végeredmény:

5.154. egyenlet -


vagy (5.141) szerint csúszás esetén:

5.155. egyenlet -


Ez annyit jelent, hogy csúszás esetén a τf nem konstans, ellentétben a faltapadás esetével! Az Fs súrlódó erő (Fs =–μ2Rπp(x)dx) a kapilláris végétől való távolság (l–x) növekedésével nő. (5.38 ábra).

Tapadás, ill. csúszás a kapillárisban

5.38 ábra: Tapadás, ill. csúszás a kapillárisban

Ez okozhatja azt, hogy a kapilláris végétől távol a súrlódó erő olyan nagy lehet, hogy csúszás már nem tud fellépni (x<x1). Ebben a tartományban a tiszta nyíró áramlással összefüggő τf ( τf=(R/2) (dp/dx) =állandó) kisebb, mint a súrlódó erő leküzdéséhez szükséges nyírófeszültség. Ezért az ömledék a kapilláris elején (0<x<x1) hozzátapad a falhoz. Távolodva a belépéstől, a kapilláris vége felé (x1<x<l) a súrlódóerő átlépéséhez szükséges τf kisebb lesz, mint a tiszta nyíróáramlással összefüggő τf, és az ömledék megcsúszik a falnál. Ebben a zónában fal melletti csúszással és járulékos nyíróáramlással kell számolnunk.

A gyakorlatban ez annyit jelent, hogy a folyásgörbe felvételénél a következő jelenségeket tapasztalhatjuk:

  • Átlépve egy kritikus– a kísérlet során konstansnak tartott– V térfogatáramot, ugrásszerű változás áll be a nyírófeszültségben (5.39/a ábra)

  • Túllépve egy kritikus τ feszültséget – a kísérlet során a nyomás állandó–, ugrásszerű változás áll be a térfogatáramban (5.39/b ábra).

Instabilitási jelenségek

5.39 ábra: Instabilitási jelenségek

Az előzőek alapján a jelenség magyarázata a következő:

Meg lehet határozni a falnál ébredt nyírófeszültségre egy kritikus értéket (5.141) alapján, amely alatt nem lép fel csúszás:

5.156. egyenlet -


ahol μt a tapadási (v. nyugvó) súrlódási tényező (5.38 ábra). Ha a falnál ébredt nyírófeszültség nagyobb ennél a kritikus értéknél, akkor a kapilláris vége közelében egy labilis tartomány alakul ki. Ebben a zónában az ömledék tapadásból csúszásba megy át, a súrlódási tényező ugrásszerűen változik (μtapadásiμcsúszási, μállóμmozgó), de hirtelen változás áll be a nyírófeszültségben és a nyomásban is. Ebben az instabil tartományban egyidejűleg lehetséges tapadás ill. csúszás. Ez az ún. akadozva csúszás (stick-slip) esete, amely a kapillárist elhagyó ömledék nyugtalan áramlását okozza.

Ezek után vizsgáljuk meg, mire tudjuk használni még a gyakorlatban az (5.154) és (5.155) összefüggéseket. Megfontolásainkat – az egyszerűség kedvéért– newtoni közegre korlátozzuk.

  • Határozzuk meg azt a kritikus x1 értékét, ahol a tapadás csúszásba megy át. Tudjuk, hogy τf=ηγf , melybe γf (5.61) alatti alakját beírva kapjuk:

    5.157. egyenlet -


    Felhasználva ezt τf (5.155) alatti kifejezésénél:

    5.158. egyenlet -


    Rendezve az egyenletet:

    5.159. egyenlet -


    melyből

    5.160. egyenlet -


    adódik, melyet a kívánt alakra rendezve kapjuk:

    5.161. egyenlet -


    Látható, hogy az összefüggésben szerepel a newtoni közegre érvényes τf=(4Vη)/(R^3 π) tag is.

  • Ezek után meghatározható az x=x1 helyen ébredt p1 nyomás is. Az (5.154) kifejezés alapján írhatjuk:

    5.162. egyenlet -


    (l–x1) értékét (5.160)-ból kifejezhetjük:

    5.163. egyenlet -


    melyet behelyettesítve (5.162)-be kapjuk:

    5.164. egyenlet -


    melyből egyszerűsítés után a végeredmény:

    5.165. egyenlet -


    ahol (4Vη)/(R^3 π)=τf .

    Ha azt akarjuk, hogy a kapilláris teljes l hosszán csússzon meg az ömledék a fal mentén, akkor az ehhez szükséges V térfogatáram az x1=0 feltételből az alábbiak szerint határozható meg. Az (5.161) összefüggés alapján:

    5.166. egyenlet -


    Átrendezve:

    5.167. egyenlet -


    ill.

    5.168. egyenlet -


    melyből a végeredmény:

    5.169. egyenlet -


  • A kilépési szakaszban megszűnik az ömledék érintkezése a kapilláris falával (megszűnik a „falhatás”), ennek következtében az 5.40 ábrán látható egyenletes vs sebességgel jellemezhetjük a szabad sugár sebességét. A kérdés az, mekkora lesz Ds, a szabad sugár átmérője.

    Sebesség átrendeződés a kilépési tartományban

    5.40 ábra: Sebesség átrendeződés a kilépési tartományban

    Ennek meghatározásához feltételezzük, hogy az ömledékmozgáshoz tartozó, tömegegységre vonatkoztatott átlagimpulzus a kapilláris végén (v index) és a szabad sugárban (s index) megegyezik:

    5.170. egyenlet -


    A levezetést az egyszerűség kedvéért Newton típusú közegre végezzük el.

    5.171. egyenlet -


    5.172. egyenlet -


    A newtoni közeg sebességeloszlására korábban levezetett (5.64) összefüggést v(r)=2v(1-(r/R)^2) behelyettesítve írhatjuk:

    5.173. egyenlet -


    Elvégezve az integrálást:

    5.174. egyenlet -


    melyből R2-tel egyszerűsítve kapjuk:

    5.175. egyenlet -


    A két impulzus (5.170) szerinti egyenlősége szerint:

    5.176. egyenlet -


    vagy

    5.177. egyenlet -


    Ez annyit jelent, hogy a szabad sugár konstans vs sebessége nagyobb, mint a newtoni közeg átlagsebessége. Ebből az következik, hogy a fal menti ömledékrészeknek fel kell gyorsulniuk erre a vs sebességre, ami egy húzó igénybevételt jelent ezen a szakaszon. Ha ez az igénybevétel nagyobb, mint az ömledék húzó szilárdsága, az ömledék a felületén felszakadozik, pikkelyes, hártyás lesz. Ezt a jelenséget nevezik „cápabőrnek”.

    Végül a tömegáramok egyenlőségéből

    5.178. egyenlet -


    kapjuk a választ az átmérők viszonyára

    5.179. egyenlet -


    Ez annyit jelent, hogy a szabad sugárnak kb. 13 %-al kisebb az átmérője, mint a kapillárisnak, tehát newtoni közeg kilépéskor összehúzódik. Ezt tapasztaljuk pl. ha olaj folyik ki egy csőből. Polimer ömledékek estén viszont épp a newtoni viselkedéstől való eltérés miatt a kapillárist elhagyó ömledék duzzadását figyelhetjük meg. A jelenséget különböző elméletekkel lehet magyarázni, de abban mindegyik megegyezik, hogy az ún. kifolyási duzzadás legfontosabb oka az ömledék rugalmas viselkedése. Mc.Intosh szerint a kapillárisba belépő ömledék középső zónájában egy dugó csúszik (5.41 ábra), amely a tengelyében ugyan feszültségmentes, de a palástján τh nyírófeszültség ébred.

    A kifolyási duzzadás szemléltetése Mc.Intosh szerint

    5.41 ábra: A kifolyási duzzadás szemléltetése Mc.Intosh szerint

    Ez a feszültség a kapillárisban való előre haladás során relaxálódhat, de meg nem szűnik, torzítja a dugót, és egy rugalmas nyíródeformációt ébreszt benne. Kilépéskor a feszültség feloldódik, a torzult dugó visszarugózik, az ömledék megduzzad. A gondolatmenet helyességét látszik bizonyítani az, hogy mindazon hatások, melyek a nagyobb mértékű relaxációt segítik elő, csökkentik a duzzadás (Ds/D) mértékét. Így pl. a kifolyási duzzadás csökken:

    • a hőmérséklet növekedésével

    • a kapilláris l hosszának növekedésével

    • a tartózkodási idő növekedésével

    • az átlagos móltömeg csökkenésével.