A polimertechnika alapjai|Digitális Tankönyvtár

Főoldal > Tankönyvtár > Könyvek > Természettudományok > Kémia

A polimertechnika alapjai

Czvikovszky Tibor, Nagy Péter, Gaál János (2007)

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Beágyazás

5.4 Reális polimer ömledékek viselkedése

Az előző, 5.3 fejezetben mindig éltünk azzal a lehetőséggel, hogy a kiindulási sebességeloszlást leíró összefüggéseink meghatározásához feltételeztük valamilyen modell érvényességét. Ha viszont a reális ömledékek áramlását valós körülmények között elemezzük, számos, az ideálistól eltérő viselkedést tapasztalhatunk. Ebben a fejezetben néhány ilyen jelenséget ismertetünk, és adjuk meg magyarázatukat.

5.4.1. A folyásgörbe felvétele

Az ömledékreológia egyik alapfeladata a különböző anyagok τ-γ folyásgörbéjének meghatározása a mérhető V-Δp adatpárokból. Addig, amíg kapilláris áramlásnál az erőegyensúlyból meghatározott τf=R Δp/2l összefüggés anyagi minőségtől független, addig a térfogatáramból meghatározható -ra kapott összefüggéseink (pl. newtoni közegre γf=(4V)/(R^3 π) ) eddig mindig anyagtól (modelltől ) függőek voltak.

A feladat tehát egy anyagi minőségtől független összefüggés felállítása -re: A következőkben ismertetésre kerülő gondolatmenetet első publikálója nyomán Rabinowitsch korrekciónak nevezik, melynek számos variációja ismeretes. Ezúttal az egyik legegyszerűbbet mutatjuk be.

Kiindulásként írjuk fel a térfogatáramot kapilláris áramlásra:

5.122. egyenlet -

5.123. egyenlet -

Ezek az összefüggések megegyeznek pl. a newtoni közegnél megismert (5.50…5.52) egyenletekkel. Az eltérés a következő lépésben van: a v(r) sebességeloszlás helyére nem írjuk be valamelyik modell ide vonatkozó eredményét, hanem ezt ismeretlennek tekintjük! Mivel ismeretlen, parciálisan kell integrálni:

5.124. egyenlet -

Az (5.124) egyenlet első tagja zérus r=0 és r=R helyen is, így a térfogatáramra:

5.125. egyenlet -

adódik. Felhasználva a τ feszültségeloszlásra már megismert (5.41) és (5.42) összefüggéseket, írhatjuk:

5.126. egyenlet -

melyekből

5.127. egyenlet -

valamint

5.128. egyenlet -

fejezhető ki. Figyelembe véve, hogy kapilláris áramlásra γf=-(dv/dr) , az (5.125) egyenletet az alábbi alakban írhatjuk:

5.129. egyenlet -

A jobb kezelhetőség érdekében (5.129) egyenletet az alábbi alakban célszerű rendezni:

5.130. egyenlet -

Elvégezve a τ_f szerinti differenciálást a Leibnitz szabály szerint (ahol természetesen függ τ_f-től):

5.131. egyenlet -

Itt megjelent az anyagi minőségtől független . Elosztva az egyenlet mindkét oldalát τ_f²-tel, és (1/(R^2 π)) -t kiemelve írhatjuk:

5.132. egyenlet -

Ez elvileg már a végeredmény, melyet a jobb érthetőség kedvéért célszerű más formában is felírni.

Tudjuk, hogy τf=R Δp/2l melyből dτf=R d(Δp)/2l , melyet behelyettesítve (5.132)-be írhatjuk:

5.133. egyenlet -

Egyszerűsítve R-el és 2l-el, kapjuk:

5.134. egyenlet -

Ez az egyenlet már lehetőséget nyújt a valós meghatározására, hiszen ha megmérem a különböző Δp nyomáskülönbségekhez tartozó térfogatáramot, az 5.32 ábra szerint a görbe meredeksége adott Δp esetén épp dV/d(Δp) .

5.32 ábra: A térfogatáram nyomáskülönbségtől való függésének jellege

A még jobb szemléltetés kedvéért tovább alakítjuk (5.134) kifejezést. Felhasználva, hogy d dV=Vd(logV) , ill. hogy Δp/d(Δp)=1/d(logΔp) , a fal melletti valós nyírósebesség legszemléletesebb alakja:

5.135. egyenlet -

Az (5.135) kifejezésben szereplő 4V/(R^3 π) mennyiség megegyezik az (5.61) összefüggéssel, azaz a Newton féle ömledék fal melletti nyírósebességével! Jól látható tehát az összefüggés az ideális és a valós viselkedés között.

A Rabinowitsch korrekció alkalmazásával még mindig nem tudjuk a folyásgörbét korrektül felvenni, ehhez tovább kell elemezni a valós áramlási viszonyokat. Az 5.33 ábra jelöléseit használva a kapilláris áramlást az alábbi szakaszokra lehet osztani:

5.33 ábra: A kapillárisáramlás szakaszai

A tartály átmeneti szakasza: A hirtelen nagy átmérőváltozás, valamint az ömledék bizonyos rugalmas tulajdonságai következtében kialakuló jelenségekkel az 5.4.2 fejezetben fogunk foglalkozni.
A stacioner áramlási szakaszban kialakuló instabil áramlás következményeivel szintén a következő fejezetben foglalkozunk.
A kilépési szakaszban kialakuló sebességátrendeződés következményeit is az 5.4.2 fejezetben tárgyaljuk.
A belépési szakaszban kialakuló, az ideálistól (ld. 5.23 ábra) eltérő viszonyok figyelembe vétele a folyásgörbe korrekt felvételéhez szükséges, ezért ezt most itt ismertetjük.

A belépési szakaszban a tartályból a kapillárisba belépő ömledékrészecskék az átmérők négyzeteinek arányában felgyorsulnak a stacioner áramlási sebességre. Ez a felgyorsulás energia felvétellel jár, ami azt jelenti, hogy ebben a szakaszban nagyobb nyomásesés jön létre, mint ami a stacioner szakasz konstansnak feltételezett Δp/l_stac nyomáseséséből következne. Tekintettel arra, hogy valamennyi eddigi fontosabb összefüggésünkben a konstans Δp/l szerepel, célszerűnek látszik az l kapilláris hosszt megnövelni az összefüggéseinkben egy akkora l*=ξR értékkel, hogy ezen az l+l* szakaszon már konstans nyomáseséssel lehessen számolni. Az 5.34 ábra jelöléseivel az ú.n. Bagley korrekció gondolatmenete a következő:

5.34 ábra: A Bagley korrekció jelölésrendszere

A falnál ébredt τ_f nyírófeszültség az (5.41) összefüggés alapján:

5.136. egyenlet -

melyet kicsit átrendezve írhatjuk:

5.137. egyenlet -

Felhasználva, hogy l*/R=ξ, a Δp nyomásesésre az alábbi kifejezést kapjuk:

5.138. egyenlet -

Ha ennek ismeretében különböző l/R arányú kapillárisokkal felvesszük a folyásgörbét (5.35 ábra), meghatározhatjuk az azonos -hez tartozó Δp értékeket:

5.35 ábra: Az l/R viszony hatása a folyásgörbére

5.139. egyenlet -

Ha ezek után ábrázoljuk Δp–l/R összetartozó értékpárjait, az (5.138) összefüggés szerint egyenest kapunk (5.36 ábra), melynek meredekségéből (2τ_f) és tengelymetszetéből (2ξτ_f) kiszámítható a keresett ξ ill. τ_f értéke!

5.36 ábra: Az l/R viszony és az azonos fal melletti nyírósebességhez tartozó nyomáskülönbség kapcsolata

5.4.2 A rugalmas tulajdonságok hatása

A polimerfeldolgozási gyakorlatban számos esetben találkozunk olyan jelenséggel, ami arra utal, hogy a polimer ömledék is rendelkezik bizonyos rugalmas tulajdonsággal. Ha pl. a kapillárisból kifolyó ömledéket kicsit meghúzzuk, majd elengedjük, az többé-kevésbé visszatér eredeti helyzetébe. Vagy ha az ömledékből golyót formálunk, és azt kemény felületre ejtjük, az bizonyos mértékben felpattan. Ez annyit jelent, hogy a polimer ömledékek is rendelkeznek viszkoelasztikus tulajdonságokkal, azaz terhelés hatására – rövid időskálán – képesek energiát tárolni, ami a terhelés megszűntekor részlegesen visszaalakul. A következőkben – amint azt már az előző fejezetben jeleztük – kapilláris áramláson keresztül magyarázunk néhány olyan jelenséget, amit az ömledékek rugalmas tulajdonságával lehet összefüggésbe hozni.

Az 5.32. ábra kapcsán elmondott szakaszokat elemezve a következőket mondhatjuk:

A tartály átmeneti szakaszában a polimer ömledék hirtelen nagy keresztmetszet változáson megy keresztül, erősen összenyomódik. Ha az ömledékben ébredő igénybevétel (nyomó feszültség) meghaladja az anyag nyomószilárdságát, ún. olvadéktörés (lágy törés, melt fracture) lép fel. A kapillárisba történő belépés kör keresztmetszete mentén kialakuló majd továbbterjedő törés eredményeként a kapillárist elhagyó ömledéknek spirális alakja lesz.
A stacioner áramlási szakaszban az áramlás – elvileg – független az időtől. A kapillárist elhagyó ömledék alakját, térfogatáramát elemezve azt kell gondolnunk, hogy ez – sajnos – nem így van. Nem ritkán tapasztalhatjuk ugyanis azt, hogy a kapillárisból kifolyó ömledék felszíne nyugtalan, tömegárama egyenetlen, keresztirányú áramlások miatt alakja teljesen kaotikus, széteső, azaz az áramlás turbulens. Turbulens annak ellenére, hogy az ömledék nagy viszkozitása miatt a kritikus Reynolds számnak még a közelében sem vagyunk. Ezt a jelenséget rugalmas turbulenciának nevezik, és magyarázatát az ömledék falhoz való tapadásában, ill. megcsúszásában találhatjuk meg. Eddig ugyanis mindig azt tételeztük fel, hogy a fal mellett (r=R helyen) a sebesség nulla, azaz a molekulák a falhoz tapadnak. A folyamat alaposabb elemzéséhez használjuk az 5.37 ábra jelöléseit, és vegyük figyelembe a falnál fellépő súrlódást is.

5.37 ábra: Az ömledékelemre ható erők értelmezése

A falnál ébredő τ_f feszültségek értékei:

Tapadás esetén, amikor τ_f konstans:
5.140. egyenlet -
Csúszás esetére:
5.141. egyenlet -

ahol μ a mozgó súrlódási tényező.
Egyensúlyi állapotban:
5.142. egyenlet -

azaz
5.143. egyenlet -

Hasonló eredményre jutunk, ha az erők egyensúlyából indulunk ki:

F1=R^2 π p(x); F2=-R^2 π p(x+dx)=-R^2 π (p(x)+(∂p/∂x)dx);

5.144. egyenlet -

5.145. egyenlet -

Egyszerűsítések után kapjuk:

5.146. egyenlet -

amelyből

5.147. egyenlet -

adódik. Következő lépésben integráljuk az (5.143) ill. (5.147) egyenleteket:

5.148. egyenlet -

A c integrálási állandó meghatározásához azt használjuk fel, hogy a kapilláris végén (x=l helyen) a nyomás p_l.

5.149. egyenlet -

melyből

5.150. egyenlet -

Visszahelyettesítve ezt (5.148) összefüggésbe, írhatjuk:

5.151. egyenlet -

Átrendezve:

5.152. egyenlet -

azaz

5.153. egyenlet -

amelyből a végeredmény:

5.154. egyenlet -

vagy (5.141) szerint csúszás esetén:

5.155. egyenlet -

Ez annyit jelent, hogy csúszás esetén a τ_f nem konstans, ellentétben a faltapadás esetével! Az F_s súrlódó erő (F_s =–μ2Rπp(x)dx) a kapilláris végétől való távolság (l–x) növekedésével nő. (5.38 ábra).

5.38 ábra: Tapadás, ill. csúszás a kapillárisban

Ez okozhatja azt, hogy a kapilláris végétől távol a súrlódó erő olyan nagy lehet, hogy csúszás már nem tud fellépni (x<x₁). Ebben a tartományban a tiszta nyíró áramlással összefüggő τ_f ( τf=(R/2) (dp/dx) =állandó) kisebb, mint a súrlódó erő leküzdéséhez szükséges nyírófeszültség. Ezért az ömledék a kapilláris elején (0<x<x₁) hozzátapad a falhoz. Távolodva a belépéstől, a kapilláris vége felé (x₁<x<l) a súrlódóerő átlépéséhez szükséges τ_f kisebb lesz, mint a tiszta nyíróáramlással összefüggő τ_f, és az ömledék megcsúszik a falnál. Ebben a zónában fal melletti csúszással és járulékos nyíróáramlással kell számolnunk.

A gyakorlatban ez annyit jelent, hogy a folyásgörbe felvételénél a következő jelenségeket tapasztalhatjuk:

Átlépve egy kritikus– a kísérlet során konstansnak tartott– térfogatáramot, ugrásszerű változás áll be a nyírófeszültségben (5.39/a ábra)
Túllépve egy kritikus τ feszültséget – a kísérlet során a nyomás állandó–, ugrásszerű változás áll be a térfogatáramban (5.39/b ábra).

5.39 ábra: Instabilitási jelenségek

Az előzőek alapján a jelenség magyarázata a következő:

Meg lehet határozni a falnál ébredt nyírófeszültségre egy kritikus értéket (5.141) alapján, amely alatt nem lép fel csúszás:

5.156. egyenlet -

ahol μ_t a tapadási (v. nyugvó) súrlódási tényező (5.38 ábra). Ha a falnál ébredt nyírófeszültség nagyobb ennél a kritikus értéknél, akkor a kapilláris vége közelében egy labilis tartomány alakul ki. Ebben a zónában az ömledék tapadásból csúszásba megy át, a súrlódási tényező ugrásszerűen változik (μ_tapadási→μ_csúszási, μ_álló→μ_mozgó), de hirtelen változás áll be a nyírófeszültségben és a nyomásban is. Ebben az instabil tartományban egyidejűleg lehetséges tapadás ill. csúszás. Ez az ún. akadozva csúszás (stick-slip) esete, amely a kapillárist elhagyó ömledék nyugtalan áramlását okozza.

Ezek után vizsgáljuk meg, mire tudjuk használni még a gyakorlatban az (5.154) és (5.155) összefüggéseket. Megfontolásainkat – az egyszerűség kedvéért– newtoni közegre korlátozzuk.

Határozzuk meg azt a kritikus x₁ értékét, ahol a tapadás csúszásba megy át. Tudjuk, hogy , melybe (5.61) alatti alakját beírva kapjuk:
5.157. egyenlet -

Felhasználva ezt τ_f (5.155) alatti kifejezésénél:
5.158. egyenlet -

Rendezve az egyenletet:
5.159. egyenlet -

melyből
5.160. egyenlet -

adódik, melyet a kívánt alakra rendezve kapjuk:
5.161. egyenlet -

Látható, hogy az összefüggésben szerepel a newtoni közegre érvényes tag is.
Ezek után meghatározható az x=x₁ helyen ébredt p₁ nyomás is. Az (5.154) kifejezés alapján írhatjuk:
5.162. egyenlet -

(l–x₁) értékét (5.160)-ból kifejezhetjük:
5.163. egyenlet -

melyet behelyettesítve (5.162)-be kapjuk:
5.164. egyenlet -

melyből egyszerűsítés után a végeredmény:
5.165. egyenlet -

ahol .
Ha azt akarjuk, hogy a kapilláris teljes l hosszán csússzon meg az ömledék a fal mentén, akkor az ehhez szükséges térfogatáram az x₁=0 feltételből az alábbiak szerint határozható meg. Az (5.161) összefüggés alapján:
5.166. egyenlet -

Átrendezve:
5.167. egyenlet -

ill.
5.168. egyenlet -

melyből a végeredmény:
5.169. egyenlet -
A kilépési szakaszban megszűnik az ömledék érintkezése a kapilláris falával (megszűnik a „falhatás”), ennek következtében az 5.40 ábrán látható egyenletes v_s sebességgel jellemezhetjük a szabad sugár sebességét. A kérdés az, mekkora lesz D_s, a szabad sugár átmérője.
5.40 ábra: Sebesség átrendeződés a kilépési tartományban
Ennek meghatározásához feltételezzük, hogy az ömledékmozgáshoz tartozó, tömegegységre vonatkoztatott átlagimpulzus a kapilláris végén (v index) és a szabad sugárban (s index) megegyezik:
5.170. egyenlet -

A levezetést az egyszerűség kedvéért Newton típusú közegre végezzük el.
5.171. egyenlet -

5.172. egyenlet -

A newtoni közeg sebességeloszlására korábban levezetett (5.64) összefüggést behelyettesítve írhatjuk:
5.173. egyenlet -

Elvégezve az integrálást:
5.174. egyenlet -

melyből R²-tel egyszerűsítve kapjuk:
5.175. egyenlet -

A két impulzus (5.170) szerinti egyenlősége szerint:
5.176. egyenlet -

vagy
5.177. egyenlet -

Ez annyit jelent, hogy a szabad sugár konstans vs sebessége nagyobb, mint a newtoni közeg átlagsebessége. Ebből az következik, hogy a fal menti ömledékrészeknek fel kell gyorsulniuk erre a v_s sebességre, ami egy húzó igénybevételt jelent ezen a szakaszon. Ha ez az igénybevétel nagyobb, mint az ömledék húzó szilárdsága, az ömledék a felületén felszakadozik, pikkelyes, hártyás lesz. Ezt a jelenséget nevezik „cápabőrnek”.
Végül a tömegáramok egyenlőségéből
5.178. egyenlet -

kapjuk a választ az átmérők viszonyára
5.179. egyenlet -

Ez annyit jelent, hogy a szabad sugárnak kb. 13 %-al kisebb az átmérője, mint a kapillárisnak, tehát newtoni közeg kilépéskor összehúzódik. Ezt tapasztaljuk pl. ha olaj folyik ki egy csőből. Polimer ömledékek estén viszont épp a newtoni viselkedéstől való eltérés miatt a kapillárist elhagyó ömledék duzzadását figyelhetjük meg. A jelenséget különböző elméletekkel lehet magyarázni, de abban mindegyik megegyezik, hogy az ún. kifolyási duzzadás legfontosabb oka az ömledék rugalmas viselkedése. Mc.Intosh szerint a kapillárisba belépő ömledék középső zónájában egy dugó csúszik (5.41 ábra), amely a tengelyében ugyan feszültségmentes, de a palástján τ_h nyírófeszültség ébred.
5.41 ábra: A kifolyási duzzadás szemléltetése Mc.Intosh szerint
Ez a feszültség a kapillárisban való előre haladás során relaxálódhat, de meg nem szűnik, torzítja a dugót, és egy rugalmas nyíródeformációt ébreszt benne. Kilépéskor a feszültség feloldódik, a torzult dugó visszarugózik, az ömledék megduzzad. A gondolatmenet helyességét látszik bizonyítani az, hogy mindazon hatások, melyek a nagyobb mértékű relaxációt segítik elő, csökkentik a duzzadás (D_s/D) mértékét. Így pl. a kifolyási duzzadás csökken:
- a hőmérséklet növekedésével
- a kapilláris l hosszának növekedésével
- a tartózkodási idő növekedésével
- az átlagos móltömeg csökkenésével.