A hosszú (végtelen, nem vágott) szállal erősített kompozit alkatrészünk méretezéséhez legfontosabb a kompozit σ_c szakítási szilárdságának és az E_c (húzó) rugalmassági moduluszának kiszámítása a szál (fiber) és a matrix megfelelő σ_f, σ_m és E_f, E_m) adataiból.

Idealizált kompozit modellünk tehát váltakozó rétegekből áll:

Alapfeltételként kell vennünk a kompozit definíció legfontosabb kritériumát: a kapcsolat, az adhézió, az együttműködés a szál és a matrix között olyan erős, – és az is marad jelentős deformációk esetén is, – hogy a kompozitra a szállal párhuzamosan ható erő (Fc) azonos deformációt okoz a szálban és a matrixban („iso-strain” condition)

14.7. egyenlet -

A kompozitra ható terhelés egy részét a szál, más részét a matrix viseli el:

14.8. egyenlet -

14.4 ábra:Egyirányú szállal erősített kompozit terhelése a szállal párhuzamosan

Mivel általában F= σ·A, így

14.9. egyenlet -

A 14.4 ábrából az is könnyen belátható, hogy az erőhatásra merőleges keresztmetszet felületarányai egyúttal a kompozit összetevőinek térfogat arányait is megjelenítik (lc·Ac = Vc):

14.10. egyenlet -

Ha Vc-t egységnyinek tekintjük, (vagy osztunk vele), s mivel az adott kompozitban csak két komponensünk van,

akkor

14.11. egyenlet -

tehát a kompozit szakítási szilárdsága ez esetben kiszámítható az összetevők szilárdságából és a szálerősítés térfogathányadából.

14.12. egyenlet -

A Hooke törvény érvényessége esetén és a nyúlásazonossági feltétel fennállása miatt hasonlóan számolhatjuk ki a kompozit rugalmassági modulusát is

14.13. egyenlet -

Ez az ún. Voigt-szabály, vagy egyszerű „keverési” szabály (rule of mixtures), amely a kontrakciót, illetve Poisson-tényezőt elhanyagolja, ezzel azonban – az alkalmazások többségében – legfeljebb 1–2 %-t téved.

14.5 ábra:Egyirányú szállal erősített kompozit terhelése a szálra merőlegesen

A szálerősítés irányára merőlegesen ható erő azonos feszültségállapotot („iso-stress” condition) fog létrehozni a kompozit rétegeiben: σ_c= σ_f= σ_m, amely azonban az eltérő moduluszok miatt eltérő deformációkat eredményez a szálon és a matrixban.

Húzó igénybevételnél például a teljes méretváltozás (Δl_c) a szál és a matrix rétegek deformációjából adódik össze:

14.14. egyenlet -

Ugyanezt kifejezhetjük a fajlagos nyúlással is, s mivel ε = Δl / l₀ így

14.15. egyenlet -

Ha a Hooke törvény érvényességi tartományában vagyunk, akkor ε = σ / E alapján

14.16. egyenlet -

Mivel a σ feszültség az egyes rétegekben – s így a kompozit egészében – azonos, így

14.17. egyenlet -

Ezúttal is könnyen belátható, hogy a rétegvastagságok aránya valójában térfogathányadot képvisel, így

14.18. egyenlet -

Ha a kompozit egységnyi térfogatában (V_c=1) V_f a szálerősítés térfogathányada és 1–V_f a matrix térfogathányada, akkor

14.19. egyenlet -

ami átrendezés után

14.20. egyenlet -

kifejezést ad

Ez az ún. Reuss- szabály, amely alapján az összetevők moduluszából kiszámíthatjuk a kompozit moduluszát. Figyelemre méltó, hogy ebben az esetben is az összetevők térfogathányadából és nem tömegarányából kell kiindulni, ami a tipikus (1 g/cm³-hez közeli) matrix sűrűség és az ennél jóval nagyobb (1,4 – 2,6 g/cm³) tipikus szálsűrűségek mellett jelentős különbség.

Jegyezzük meg, hogy a szálirányra merőlegesen terhelt kompozit σ szilárdságára nem ilyen alakú képlet érvényes, az ugyanis az első közelítésben a leggyengébb réteg: a matrix szilárdságával azonos.

A terhelés irányában és az arra merőlegesen elhelyezett szálerősítés hatása közti lényeges különbséget jeleníti meg a 14.6 ábra.

A gyakorlatban a szálerősítés térfogathányada nem lép túl a 0,35 < V_f < 0,65 tartományon: geometriai és technológiai határok sem teszik lehetővé, hogy polimer kompozitunk több mint 65 térf. % szálerősítést tartalmazzon. Másfelől a szálas erősítőanyag modulusza és szilárdsága is tipikusan 1 vagy 2 nagyságrenddel nagyobb, mint a matrixé. Így – ökölszabályként – nem tévedünk nagyot, ha első közelítésben a kompozitnak a szállal párhuzamosan mérhető szilárdságát és moduluszát csak a szál szilárdságából és moduluszából, a szál térfogathányadával arányosan számoljuk, a matrixra vonatkozó összetevőt pedig elhanyagoljuk.

Közelítőleg érvényes tehát, hogy

14.21. egyenlet -

14.22. egyenlet -

14.6 ábra:Egyirányú szállal erősített kompozit szilárdsága, illetve modulusza a szállal párhuzamos és merőleges terhelés esetén (a vonalkázott terület a gyakorlatban előforduló tipikus kompozitokat jelöli) [14.28]

Ugyanakkor – megint csak első közelítésben – a gyakorlatban megvalósítható szál-koncentrációk tartományában – a terhelés irányára merőlegesen beépített szál gyakorlatilag alig növeli a kompozit moduluszát és egyáltalán nem növeli szilárdságát. Ebben az irányban tehát jobb, ha csak a matrix szilárdságával és moduluszával számolunk.

Ezek az egyszerűsített egyenletek a mikromechanikai szempontok miatt finomításra szorulnak. A szálerősítésre merőleges irányban mérhető modulusz például a gyakorlatban valamivel jobbnak mutatkozik, mint az a Reuss- szabályból következik. Ezt veszi figyelembe a Halpin-Tsai egyenlet

14.23. egyenlet -

ahol : a kompozit modulusza a szálirányra merőlegesen

E_m : a matrix modulusza

V_f : a szál térfogathányada

ς :a határfelület minőségét és a szállal töltés (packing) geometriáját figyelembevevő állandó, s végül

14.24. egyenlet -

Az alkatrésztervezésben legfontosabb mechanikai jellemző, a rugalmassági modulusz – és hasonlóképp a szilárdság is – mint láttuk, jelentős mértékben függ a szálirány és a terhelés által bezárt szögtől. Egyebek között ez is indokolja, hogy a párhuzamos szálakkal erősített rétegekből egynél jóval többet alkalmazzunk, illetve egyéb – szőtt és nemszőtt, hurkolt, nemezelt – textilszerkezeteket rétegezzünk egymásra szálerősítésként. A 14.7 ábra háromféle erősítő rendszerhatásának irányfüggését mutatja.

Valójában a szilárdság függése a szálirány szögétől ennél is bonyolultabb, mivel a mikrorepedések terjedésének mechanizmusa más a kis szög (0–18 °) és nagy szög (>40 °) alatt érkező terhelés esetén.

Ezt mutatja be a 14.8 ábra az egy irányban erősített karbonszálas epoxi kompozit példáján.

Ezek szerint a kis szögek tartományában a tönkremenetel határfeszültsége a τ nyírófeszültségtől függ, nem úgy, mint a magasabb szögeknél (>40 °), ahol σ-tól függ, de más típusú függésben. A Tsai-Hill kritérium pedig nem a feszültséget, hanem a tönkremenetel során végzett munkát veszi számításba.

14.7 ábra:A kompozit rugalmassági moduluszának függése a száliránytól egyirányú erősítés, 1x1 (vászonkötésű) szöveterősítés, és hurkolt kelmével történő erősítés esetén [14.28]

14.8 ábra:Az egyirányú karbonszállal erősített epoxi kompozit tönkremeneteli feszültségének függése a terhelés szögétől [14.27]

A fenti meggondolások az igen hosszú, gyakorlatilag végtelen szállal erősített kompozitokra vonatkoztak. Az elmúlt 20. század utolsó évtizedében a rövid szállal erősített kompozitok is megjelentek a polimertechnikában. A vágott (1–2 mm hosszú) üvegszállal erősített PA-66 pl. rendkívül fontos szerephez jutott a gépkocsigyártásban, fröccsönthető motor-alkatrészként.

A rövid szálerősítésre is érvényesek a kompozitok definíciójából következő alapelvek: a nagyszilárdságú, lehetőleg nagy fajlagos felületű szálnak jó tapadást kell biztosítania a szál-matrix határfelületen. A szál még alkalmas, legkisebb hossza (rövidsége), pontosabban l/d aránya ezzel a tapadással hozható kapcsolatba. Könnyen belátható, hogy egységnyi határfelületre vonatkoztatott állandó értékű tapadást feltételezve, van egy olyan kritikus szálhossz, amelynél rövidebb szálat a húzóigénybevétel alkalmával tönkrement minta felületéből kihúzhatunk, s amelynél hosszabb szál a jó beágyazottság, a jó tapadás következtében maga szakad el a tönkremenetel pillanatában. E kritikus szálhossz kiszámításához tekintsük át a következő modellt.

A határfelületen τ feszültséget okozó nyíróerőt kell a szál saját szakítási szilárdsága (σ_f) által behatárolt erővel szembeállítanunk:

14.9 ábra:Kritikus szálhosszúság a rövid szálas erősítésű kompozitban

Erőegyensúly esetén

14.25. egyenlet -

(A jelölések értelmezése a 14.9 ábrán látható)

Egyszerűsítve és integrálva azt kapjuk, hogy a feszültség a szálban a z koordinátával lineárisan nő egy Lc kritikus határ-hosszúságig (14.10 ábra).

14.26. egyenlet -

amiből (R sugárról D átmérőre térve át) a kritikus szálhosszúság és az átmérő viszonyára a következő kifejezés adódik:

14.27. egyenlet -

Ez az ún. „Kelly-Tyson” összefüggés.

14.10 ábra:A szál-matrix határfelületen ébredő feszültség σ_fm és a kritikus szálhossz (L_c) kapcsolata [14.10]

Egy tipikus E-glass-poliészter kompozitra pl. a következő adatok jellemzők:

Az üvegszál átmérője D = 7 μm

szilárdsága σ_f = 1750 MPa

a határfelületen a nyírófeszültség τ = 25 MPa

Ezekből az adatokból L_c/D =35, vagyis az üvegszál kritikus, minimális hosszúsága az adott esetben 0,25 mm.

Nyilvánvaló, hogy a kompozit alapelv, a szálas erősítés jótékony hatása viszonylag rövid szálakkal is megvalósítható, ha a tapadást jellemző határfelületi nyírófeszültséget (τ) növelni tudjuk. A századvég molekuláris tervezés elvű (molecular engineering) megközelítése éppen e vékony rétegek – szélső esetben monomolekuláris határréteg – mint felület tudatos felépítésén (surface engineering) ért el jelentős műszaki eredményeket. Az üvegszál-poliészter határfelületen korábban mért τ = 25 MPa ma már korántsem jelenti az elérhető maximumot. Megfelelő tapadásközvetítő (adhesion-promoter, Haftvermittler) anyaggal ez a nyírófeszültség jelentősen megnövelhető. A következő 14.2 táblázat jól mutatja ennek hatását a kritikus szálhosszúságra.

A 7 m körüli szálátmérő közel van mai technikai lehetőségeink határához, másrészt tipikusnak tekinthető a természetes rostok körében (pamut, gyapjú, selyem, „farost”: mint elemi egység a cellulóz alapú növényekben). Mivel ezek a magas határfelületi feszültségek nem elérhetetlenek a korszerű reaktív tapadásközvetítők segítségével, így akár az 5 < L_c/D < 10 "aspect ratio"-val rendelkező „fűrészport” is felhasználhatjuk szálerősítésként pl. a polipropilénben, hiszen a természetes rost több, mint egy nagyságrenddel nagyobb szilárdsággal és modulusszal rendelkezik, mint egy tipikus poliolefin (l. 16.5. fejezet).

A vágott rövidszálas erősítés rendkívül gyorsan terjed a jelen századforduló hőre lágyuló polimerjei között, annak ellenére, hogy az erősítés hatásfoka több tényező miatt korlátozott:

A rövidszálas kompozitok moduluszának kiszámítására a fentiek alapján a következő kifejezést javasolták:

14.28. egyenlet -

ahol η_Θ = a szálorientációt figyelembevevő hatékonysági tényező

η_l = a szálhosszúságot figyelembevevő hatékonysági tényező